Регуляризированный алгоритм многопараметрической вариационной идентификации динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.8:62-50

РЕГУЛЯРИЗИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Андрей Александрович Костоглотов, д.т.н., проф., каф. «Информационные технологии в сервисе», e-mail: kostoglotov@aaanet.ru

Сергей Валерьевич Лазаренко, к.т.н., старший преподаватель, каф. «Метрология и метрологическое обеспечение», e-mail: rh3311@mail.ru

Дмитрий Сергеевич Андрашитов, адъюнкт, каф. «Метрология и метрологическое обеспечение», e-mail: dima-andrahitov@rambler.ru

Ростовский технологический институт сервиса и туризма (филиал ГОУ ВПО «ЮжноРоссийский государственный университет экономики и сервиса»), г. Ростов-на-Дону

Обоснована актуальность постановки задачи повышения точности оценки неизвестных параметров чувствительных элементов систем контроля и предложен один из наиболее общих подходов к её решению, заключающийся в использовании методов параметрической идентификации; показано, что перспективным направлением эффективного решения этой задачи является использование вариационных принципов и теории регуляризации; представлены результаты численного моделирования, которые демонстрируют преимущества

разработанного алгоритма идентификации перед традиционным алгоритмом калмановского типа.

The authors proved the urgency of the problem formulation for improvement of the accuracy of estimates of the unknown parameters of sensors of control systems and offered one of the most common approaches to its solution, which consists in the use of parametric identification methods. It is shown that an effective promising direction to solve this problem is the use of variational principles and regularization theory. The article presented the results of numerical simulations that demonstrate the advantages of the developed identification algorithm over the traditional algorithm of the Kalman type.

Ключевые слова: многопараметрическая вариационная идентификация, динамическая система, некорректная задача, двухточечная краевая задача.

Keywords: multi-parameter variational identitification, dynamic system, ill-posed problem, the two-point boundary value problem.

Введение

В последнее время в связи с предъявлением все более высоких требований к процессам управления в различных областях техники проблема идентификации становится исключительно важной. Перспективным направлением эффективного решения задачи

идентификации является использование вариационных принципов [6] и теории регуляризации [11].

Изучение и оптимизация реальных объектов и систем с помощью математических методов начинаются с построения их моделей, а эффективное функционирование в сложных условиях эксплуатации достигается постоянным контролем параметров моделей. Это, в свою очередь, позволяет обеспечить своевременную выработку корректирующих воздействий для стабилизации исправного состояния.

Поскольку между вероятностью сохранения исправного состояния объекта или системы и точностью контроля существует неразрывная связь, задача повышения точности оценки неизвестных параметров чувствительных элементов систем контроля является актуальной и практически значимой. Один из наиболее общих подходов к ее решению заключается в использовании методов параметрической идентификации.

Методам и алгоритмам параметрической идентификации посвящены труды многих известных ученых в отечественной и зарубежной литературе [2, 4, 8]. Число работ по усовершенствованию предлагаемых алгоритмов устойчиво растет, а область практического использования постоянно расширяется. Особенно важное место они занимают в системах контроля параметров при эксплуатации объектов авиационной, космической, корабельной техники, различных систем сервиса, например таких, как компьютерная томография, спектроскопия, обработка сигналов систем GPS и других сложных автоматических и автоматизированных систем, комплексов различного назначения и видовой принадлежности.

Традиционно при разработке практических алгоритмов используются методы идентификации, базирующиеся на принципах регрессионного анализа [5] и статистического синтеза [2], а также и градиентные методы [9, 10]. Получаемые на их основе решения далеко не всегда обладают требуемой точностью. При этом их использование, как правило, требует больших вычислительных затрат даже при достаточно медленно изменяющихся параметрах.

Избавиться от данных недостатков позволяет использование вариационного принципа Гамильтона - Остроградского [7], который позволяет представить уравнения динамики объекта в форме дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода.

Данная статья посвящена многопараметрической вариационной идентификации модели динамической системы по критерию минимума функционала невязки. Исследована эффективность разработанного метода в сравнении с традиционным алгоритмом калмановского типа [9].

Постановка задачи идентификации

Рассмотрим голономную динамическую систему. Для нее выполняется соотношение, аналогичное принципу Гамильтона - Остроградского [7]:

т т

5Т¥ = 58 + $5Ш = |[Ж + О5х]& = 0, (1)

0 0

где £ - действие по Гамильтону за интервал времени [0, Т]; А - работа вектора обобщенных внешних сил О; Ь — кинетический потенциал; 5х - вектор вариаций обобщенных координат; 5' обозначает бесконечно малую величину, которая не является вариацией.

Из требования (1) следует справедливость дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода [7]:

дЬт &

( д17л

. дх

ч дх у

+ О = 0, (2)

дх &

где х е К" — вектор обобщенных координат; х е К" — вектор обобщенных скоростей;

О е К", п — число степеней свободы динамической системы.

Пусть уравнение состояния динамической системы известно и имеет следующий

вид:

х = f (х, х, г), х(0) = х0, х(0) = х0, (3)

где г е Кт — вектор неизвестных постоянных параметров (т - натуральное число); f (х, х, г) - непрерывная вместе со своими частными производными вектор-функция. Динамика идентифицируемых параметров г описывается уравнением г = П г(0) = г0 , (4)

где п е Кт — вектор неизвестных неслучайных возмущений, удовлетворяющий требованиям физической реализуемости п(^) е [0, Т].

Уравнение наблюдения имеет вид

у = Н(х, Г) + п(0, (5)

где у е Як — вектор наблюдения (к - натуральное число); Н(х, ^) — непрерывная вместе с частными производными вектор-функция; п(^) - вектор белого гауссовского шума с известными локальными характеристиками

1

М[п(Г)] = 0, М[п(Г)пт(т)] = - М(* — т).

Здесь N - матрица односторонней спектральной плотности шума наблюдения; 5() -векторная дельта-функция.

Поставим задачу определения оценки г вектора г из условия минимума функционала невязки 1 Т

Л = -1 [у - н(Х (г, г))]Т N 1 [у -н(Х (г, г у№. (6)

2 0

Требуется определить вектор неизвестных параметров г динамической системы (3) из условия минимума функционала качества (6).

Задача (3) - (6) является обратной измерительной задачей, некорректно поставленной по Адамару, и может быть отнесена к задачам типа синтеза оптимального управления [11]. Для ее решения сконструируем сглаживающий функционал вида

Т

1 Т т

■]2 = + ~а\ П (гМг)Ж, (7)

2 0

где а — параметр регуляризации.

Согласно методу А.Н. Тихонова, минимизация сглаживающего функционала (7) при соответствующем выборе параметра регуляризации как функции от величины погрешности исходных данных у (г), характеризуемой матрицей N, позволит получить условия, определяющие оценку вектора параметров.

Условия минимума сглаживающего функционала

Для решения задачи поиска минимума функционала (7) при ограничениях (3), (4) и (5) воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа, в результате чего получим расширенный функционал вида

Т

J = 72 + [Ш + | X т(г - ц)Ш, (8)

о

где и — неопределенный множитель Лагранжа; X е Я™ — вектор сопряженных функций.

Определим необходимые условия минимума расширенного функционала (8), для чего воспользуемся игольчатым варьированием возмущения п(г) [6] и асинхронным варьированием траектории х(^) [7].

Игольчатой вариацией возмущения будем называть функцию вида

г е [Т,Т + 81],

П |У(г), г * [т,т+е!],

где V - некоторый постоянный вектор; т — заданная произвольная точка непрерывности функции п*(0; I — заданное положительное число; є — произвольное положительное число, такое, что т + єі < Т.

Разность п (У) - П*(У) = ) будем называть игольчатой вариацией возмущения,

которая порождает вариацию параметров дг(ї), вызывающую вариацию траектории дх(і). Обозначим траекторию, соответствующую п (У), в виде хє(ґ), а траекторию,

соответствующую п*(У), как х (ґ). Согласно [6] синхронной будем называть вариацию траектории вида

3хс(У) = хє (У) - х*(У)>

а асинхронной — вариацию

дX

дха (У) = хє (У + Л) - х*(У) = —ді = С Зі ,

ді

где О — матрица чувствительности системы (3) по вектору параметров г, удовлетворяющая уравнению [10]

— . дґ дґ

С = —С + —С +—, 0(0) = С5- (0) = 0. дХ дх ді

Вариации 3хс(ґ) и дха(і) обладают следующими свойствами:

3ХС (У) = 0, У є [0, т + єі), дха (У) = 0, У £ [т, т + єі),

3хс (У) = дха (У), У = т + єі.

Пусть п*(У) — возмущение, доставляющее минимум функционалу (8). Найдем приращение функционала (8), обусловленное игольчатой вариацией п (У). Следует заметить, что на интервале [т,т + єі ] за счет скачка п (У) возникает асинхронная вариация

дха(і), а на интервале [т + єі, Т] возникает синхронная вариация дхс(і), поскольку

приращения обобщенных координат определяются решением дифференциальных уравнений в вариациях при начальных условиях в момент времени У = т + єі.

Таким образом, имеем

т+єі

А/= | <! [-(у-Н(х,ґ))тN 1 ^^]£ха +аг\тдг\ +/лдЬа +(}дха + 'кт[д±-дг\]\& +

т

Т

дх

дх

+ | ] [-(У - Н(х, У))тМ-1 дН]#хс +^ЬС + Ъ5хс | Л, (9)

т+єі ^

где 5Ьа и 5ЬС - вариации кинетического потенциала, связанные соответственно с 5ха(^) и дхс(г).

Выражение (9) записано с учетом того, что 5п(?) = 0, ? е [г + е1, Т] и,

соответственно, не получают приращений интегралы

Т Т

|ПТ(?)п(??)&, |Xт[г - ц]Ж .

т+е1 т+е1

С учетом выражения для функции чувствительности формулы интегрирования по частям и выражения вариации кинетического потенциала получим приращение функционала в виде

T+sl

Д/= f {[-(y-H(x,0)TN_1-------G-iT]£z+[crnT-XT]JTi

J дх

T

f дЬтЛ

+d SLT

дх

T Г f

+ f \ -

T+sl 1 V

SLT

+ d д

их

Kdij

X -dL\ u ox —u---------ox \dt

d > • Cl '

ox

T+sl

)T N- ®.

дх

T

SLT d (д17л

дх dt

Vй/

^ dlT Sx - ii----------------Sx \dt-

С • --s • С I

дх

SLT

ц-------ox

Sx

(10)

T+sl

Распорядимся выбором множителя Лагранжа следующим образом:

[г = 0, // = const. (11)

Принимая во внимание, что при асинхронной вариации уравнение Лагранжа второго рода равно нулю, и с учетом идентичности (2) и (3) запишем для (11):

T+sl

А/= f {[-(y-H(x,0)TN_1— G-iT]Sz + [cc4T-kT\S4}dt +

J pfr

dx

+

T+sl

j [-(y-H(x,0)TN 1^-;u[x-f(x,x,z)]jjxc^.

(12)

Вариация функционала в точке минимума вычисляется по формуле 51 = Нш = 0,

е^О £

при условии отсутствия ограничений на область допустимых возмущений.

Производя для (12) предельный переход и учитывая, что г - произвольный момент времени, получим необходимые условия минимума функционала (8) в виде следующей двухточечной краевой задачи (ДТКЗ):

Г

г = а 'Х, г(0) = г0,

ЛТТт

І = Gт—N-l(y-Я(x(z)M ЧТ) = 0,

ОХ

■■ & ■ & & ■ (13)

С = —0 +—0 +—, С(О) = 0(0) = о,

дх дх дг

аттГ

х = Г(х,х,г)- /Г1 —— Г'Г1 (у - Н(х, Г)\ х(0) = х0, *(0) = *0, ох

где О - матрица чувствительности системы (3) по вектору параметров г.

Алгоритм идентификации

Решение ДТКЗ (13) определяет оценку г вектора параметров г в смысле минимума сглаживающего функционала (7) и при соответствующем выборе параметра регуляризации а- приближенное регуляризованное решение задачи (3) - (5).

Поиск решения ДТКЗ типа (12) на практике оказывается довольно сложным. Поэтому воспользуемся методом инвариантного погружения [9] для получения алгоритма идентификации рекуррентного типа. Иными словами, модифицируем ДТКЗ к задаче Коши с известными начальными данными.

Для этого обобщим ДТКЗ (13), допустив, что на конце траектории 7=7 справедливо условие 'к(Т) = с. Кроме того, положим, что с и 7 переменны и введем обозначение г(Т) = г(с, Т) .

Пусть интервал наблюдения изменился на величину е, тогда к(Т + е) = с + Ас.

И, соответственно,

г(Т + е) = г(Т) + Аг = г(с,Т) + Аг = г(с + Ас,Т + е).

Раскладывая г (с + Ас, Т + е) в ряд Тейлора, получим с точностью до бесконечно малых второго порядка:

—г —г

Аг = — Ас +—е. (14)

-с -Т

Аппроксимация такого характера определяет алгоритмы идентификации первого порядка, что вполне достаточно для практических целей [9, 10].

В соответствии с уравнениями (12)

Аг = а-1Х,(Т)е = а гсе,

Т -Нт , (15)

Ас = -О т -—К -1(у - Н(х(г), Т ))е. сх

Подставляя (15) в (14) и устремляя £к нулю, получим уравнение погружения

а ^ Т ^- Н(х(г),Т)) + |Г ' (16)

ое ах от

Решение уравнения (14) аппроксимируем линейной функцией г(е,Т) = г (Т) + Р(Т )е, (17)

где Р - некоторая матрица размера шхш.

Используя аппроксимацию (17), запишем (16) в виде

янТ

а1е = -РС Т-------N-1 (у - Н(х(г + Ре), Т)) + г + ]Р е.

5х

Ох

Откуда с учетом определения функции чувствительности — = С, производя

Ое

разложение х(г + Ре) в ряд Тейлора и приравнивая коэффициенты при нулевой и первой степенях с, получим:

ЯттТ

* = РСТ—- ^(у-Н(х(ж),0), 2(0) = ж0,

ОХ

Р = а' I-РОт _ Н(^(г),0)1ор, Р(0) = Р„

Рекуррентные уравнения последовательной идентификации вектора г примут вид

ОН т

г = РСТ—N-1(у - н(х(г),г)), г(0) = г0, он

Р = а-' • I - РСТ |{°НТN-1(у - Н(х(г),г))|оР, Р(0) = Ро,

Ох ^ Ох ^ (18)

-- 5Г - 5Г о'

С ^С + °тС + °7-, С(0) = С (0) = 0,

ох ох ог

Т

х = Ъ(х, х, г) - V1 -^N-1(у - н(х(г), г^ х(0) = xо, х(0) = х0-

ох

Оценку качества работы синтезированного алгоритма рассмотрим на примере решения задачи идентификации параметров датчика давления мембранного типа.

Пример

Рассмотрим задачу идентификации параметров датчика давления мембранного типа, работа которого описывается дифференциальным уравнением второго порядка в относительных координатах

*(0 + *0.*(0+*!*(*) = ри(0> (19)

•*(0) = *о> -*(0) = л0,

где х(г) - прогиб мембраны; г0 - коэффициент демпфирования колебаний мембраны; ^ - жесткость мембраны; Ри ^) - измеряемое давление.

Следует отметить, что подавляющее большинство датчиков описываются именно такими уравнениями [3].

Выходной сигнал датчика имеет следующий вид:

уЦ) = хЦ) . (2°)

Требуется идентифицировать параметры г0 =—0,25, =—2 датчика, в котором

мембрана имеет форму квадратной пластины с жестким недеформируемым центром, учитывая условия минимума целевого функционала:

Зх = 0,5|[у(г) — х(20, ^, г)]2^ ^ шт .

(21)

Расширим пространство состояний

х

20 Х1 + 21Х0

х = .Р(х,г) =

где х0 = х; х1 = х0; х =

Уравнение наблюдения (20) примет вид у = Н(Х, г), хп

1 о X 1 20

х = ; 2 =

_ х1 _ _ 71 _

где у = Н(Х, г) =

0

Функция чувствительности удовлетворяет уравнению

0 = ^0 + -^, дх дг

(22)

(23)

(24)

0(0) = 0(0) = 0.

Тогда алгоритм многопараметрической идентификации (18) определяется следующей системой уравнений:

т

0

г = РС

Т5НТ

<Эх

Р = а 1 1-РСт

(у - н(х, г)),

дЯ т

дх

ОР, Р(0) = Р0

• дР дР ■

ОХ 01

лргТ

х = Б(х, г) - ц~х — (у - Н(х, 0), ох

(25)

х(0) = х(0) = 0, г(0) = г11,// = 45, а = 0,63.

Оценку эффективности разработанного алгоритма, на который получено свидетельство о регистрации программ для ЭВМ [1], проведем на основе вычислительного эксперимента путем сравнения с расширенным фильтром Калмана [10].

В качестве входного измерительного сигнала была выбрана единичная ступенчатая функция вида

, ч ч Г 0, г < о, ри (' ) = *(' ) = ^!, „ о,

где текущее время определяется расчетным соотношением г = — N А г [с] ( Аг = 0,1).

21

Результаты численного моделирования представлены ниже на рисунке.

(26)

Идентификация параметров датчика: г0, ^ - действительные значения параметров датчика;

20, 2 - оценки параметров датчика, полученные с помощью предложенного алгоритма; 2

0£>

оценки расширенного фильтра Калмана

В установившемся режиме определена относительная погрешность идентификации первого и второго параметров, соответственно равная 3,7 и 1,2% для разработанного метода и 4,6 и 2,1% - для расширенного фильтра Калмана. Относительная погрешность определяется как отношение абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины.

Таким образом, анализ результатов численного моделирования показывает, что решение задачи идентификации на основе вариационных принципов позволяет получить эффективный алгоритм многопараметрической идентификации динамических систем. При этом эффективность понимается как устойчивость и увеличение, в сравнении с решением Калмана, скорости сходимости и точности получаемых оценок параметров, относительная погрешность которых не превышает 3,7% .

Практическое применение предлагаемый алгоритм многопараметрической идентификации может найти в различных системах микропроцессорной техники, новых видах первичных преобразователей, волоконной оптики, аудио- и видеотехники, а также в системах механизации, автоматизации, роботизации приборостроительного производства и иной техники сервиса.

Работа выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» по проекту №2.1.2/6725 «Теоретические основы решения задач управления — идентификации - оценивания на основе объединенного принципа максимума».

Литература

1. Андрашитов Д.С., Дмитренко Г.Н., Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В. Алгоритм идентификации параметров динамических систем. Свидетельство регистрации программ для ЭВМ. №2010616571, заявл. 05.08.10, зарегистрировано в реестре 01.10.10.

2. ГроппД. Методы идентификации систем. М.: Мир. 1975.

3. Датчики теплофизических и механических параметров: Справочник в 3-х томах. Т1/ Под общ. ред. Ю.Н.Коптева. М.: ИПРЖР. 1998.

4. КарабутовН.Н. Адаптивная идентификация систем. М.: КомКнига. 2006.

5. Кику А.Г., Костюк В.И. и др. Адаптивные системы идентификации. Киев.: Техника. 1975.

6. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Дерюшев В.В. Идентификация параметров динамических систем на основе объединенного принципа максимума // Изв. вузов. Северокавказский регион. Естественные науки. 2004. Приложение № 2. С. 16 - 23.

7. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит. 1961.

8. Миронов В.И., Миронов Ю.В. Вариационный подход к комплексному оцениванию параметров состояния нелинейных динамических систем // Тр. СПИИРАН. 2005. Вып. 2. С. 298 - 307.

9. Сейдж Э.П., Мелс Д.Л. Идентификация систем управления. М.: Наука. 1974.

10. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука. 1987.

11. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука.

1986.

Поступила 10.07.2011 г.