CC BY
22
УДК 621:534.834;886.6 Хоменко Андрей Павлович,
д. т. н., профессор, ректор, Иркутский государственный университет путей сообщения (ИрГУПС),
тел./факс: 8(3952)63-83-11, Елисеев Сергей Викторович,
д. т. н., профессор, директор, Научно-образовательный центр современных технологий, системного анализа
и моделирования (ИрГУПС), тел./факс: 8-395-2-59-84-28, e-mail: eliseev_s@inbox.ru,
Ермошенко Юлия Владимировна,
к. т. н., декан заочного факультета, Иркутский государственный университет путей сообщения ИрГУПС,
тел.: 8(3952) 638-392
МЕТОДОЛОГИЧЕКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ. МЕХАТРОННЫЕ ПОДХОДЫ (ЧАСТЬ II)
A.P. Khomenko, S.V. Eliseev, Yu.V. Ermoshenko
METHODOLOGIC BASIS OF DECISION OF DYNAMIC TASKS. MECHATRONIC APPROACHES (PART II)
Аннотация. Рассматриваются возможности упрощения построения математических моделей механических систем с несколькими степенями свободы на основе введения понятия упругого компакта, или квазипружины. Предложено использование передаточных функций в режимах зануления промежуточных масс. Статические свойства системы определяются из передаточной функции системы при комплексной переменной, равной нулю. Приведены примеры определения параметров упругих компактов из различных элементов типового набора.
Ключевые слова: приведенная жесткость, динамическая жесткость, упрощение механических колебательных систем, передаточная функция.
Abstract. Simplification possibilities of mathematical models formation of mechanical systems with several degrees of freedom based on definition introduction about elastic compact or quasispring are considered. Transfer functions using in zeroing intermediate masses regimes is offered. Statical features of system are defined from transfer function of system at complex variable which is equal to zero. Estimation parameters examples of elastic compacts from different elements of standard set are shown.
Keywords: reducing elasticity, dynamical elasticity, simplification of mechanical oscillation systems, transfer function.
Введение
В первой части предлагаемой статьи [1] были показаны общие подходы к оценке свойств динамических систем, определенным образом реагирующих на входные сигналы (или воздействия). Динамическая система выбранного класса опреде-
ляется линейным дифференциальным оператором, что позволяет находить решения в установившемся и переходном режимах. В этом плане можно опираться на известные методы решения так называемого классического подхода [2]. В рамках этого подхода с учетом свойств линейного оператора можно представить структуру динамической системы в виде последовательно соединенных в одну цепь элементарных звеньев, передаточная функция которых соответствует апериодическому звену. В качестве основных правил соединения звеньев используются правила последовательных соединений, когда части линейного оператора перемножаются, а также правила параллельного соединения [3]. Такие представления об элементарных звеньях связаны с предположениями о свойствах корней линейного оператора, являющегося для динамической системы характеристическим уравнением. Соответствующие дополнения появляются при нулевых и кратных корнях полинома [4]. В рамках классического подхода в качестве базовой структуры может рассматриваться и колебательное звено, имеющее второй порядок; оно может быть представлено в виде произведения двух апериодических функций. При этом предполагается, что система исходных уравнений с любым приемлемым числом степеней свободы может быть разрешена относительно любых точек входа и выхода сигналов. Правила структурных преобразований могут быть дополнены правилами соединения с обратной связью, что связано с введением понятия «передаточная функция», построение которой связано с преобразованиями Лапласа по отношению к исходному линейному дифференциальному оператору. Алгебраизация дифференциальных уравнений и возможности структур-
ных преобразований позволяют определиться с набором типовых элементов систем автоматического управления.
Цель предлагаемого продолжения статьи [1] заключается в рассмотрении особенностей механических колебательных систем, являющихся распространенными расчетными схемами для различных задач динамики машин, в частности для задач вибрационной защиты технических объектов от вибраций.
I. Постановка задачи исследования. Общие положения
Отметим, что при всей общности свойств линейного оператора построение передаточных функций связано с учетом физических особенностей типовых элементов механических систем и особенностей описания взаимодействий, опирающихся на законы механики и использования специфичных силовых и кинематических характеристик динамического состояния [5]. В частности, принцип Даламбера [6] предполагает выполнение условий геометрического равенства всех сил, которые могут быть приложены к материальной точке, освобожденной от связей, что, в свою очередь, предопределяет единую размерность всех составляющих условий квазистатики. Аналогичная ситуация характерна для электрических цепей, подчиняющихся законам Кирхгофа [7]. Использование электромеханических аналогий, а также представлений о свойствах элементов механических и электрических систем послужило основой выделения традиционного набора типовых элементов механических цепей в виде массоинерционных, упругих и диссипативных звеньев [8].
Формирование математической модели простейшей механической системы, используемой в качестве виброзащитной, в частности, показало возможности интерпретации модели в виде структурной схемы эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления. При этом естественным образом, в силу специфики постановки задачи, выделяется объект защиты,
имеющий передаточную функцию W =-—, на
тр
входе которого суммируются внешние силы и реакции связей. Выходным сигналом такого звена является смещение. Что касается остальных силовых факторов, то они интерпретируются как элементарные типовые звенья, входом которых является смещение, а выходом - сила. В этом смысле упругий и диссипативный элементы имеют общность в описании, что позволяет рассматривать соединения таких элементов в последовательном
и параллельном видах как своеобразных пружин. В этом нет ничего неожиданного, поскольку такие подходы давно реализуются в теории и практике виброзащиты, где введение в схемы упругих и диссипативных элементов рассматривается как введение дополнительных обратных связей [9]. Построение общей структуры системы основано на использовании идей соединения всех элементов по принципу обратной связи [10]. Естественным направлением развития структурного подхода стало расширение типового набора элементов, в состав которого были включены элементы с передаточными функциями дифференцирующих звеньев второго порядка, а также интегрирующих звеньев первого и второго порядков (в том числе и запаздывающего звена) [6]. Аналогичные подходы нашли отражение и в теории цепей [10, 11]. Таким образом, при одной и той же динамической системе и использовании одного и того же линейного дифференциального оператора и получении одной и той же передаточной функции, то есть связи между выбранными в системе точками входа и выхода, могут быть использованы различные формы структурных интерпретаций исходной модели, а также различные представления о простейших типовых элементах и правилах их соединения, то есть структурных преобразований. Последнее отражает, с учетом общности подхода, влияние особенностей физической природы динамической системы.
II. Особенности структурных интерпретаций механических колебательных систем
Поднятые в статье [1] вопросы нуждаются в детализации обоснования сделанных обобщений.
Рассмотрим основной элемент механической системы в виде материальной точки, которая находится в свободном пространстве (рис. 1, а). В данном случае можно полагать, что мы имеем дело с проявлениями 1 -го закона Ньютона; в таком же виде может быть рассмотрена и система материальных точек. Если к материальной точке будет приложена некоторая сила Р, то материальная точка придет в движение в соответствии со 2-м законом Ньютона; его математическая форма Р = ту (рис. 1, б) дает возможность построить
простейшую математическую модель в виде структурной схемы (рис. 1 , б) некоторого звена, которое в развитии структурных подходов получило название базового инерционного звена [5]. Отметим, что в данном случае и в последующих
Р = = лРГ) .
а)
I - ыйзакон твердое тело
материальная сила
' точка
система материальным точек
г) / '
б)
11-ой закон Ньютона
д)
в)
система
Г с „гт.......................
I ^ ? \т 1к
Математическая модель
математическая модель
Т.
/ Квазистатика Д^Тера,
- сила Тинерции
IТ = о
Я - реакция
/Т
_
к
г 1
2
тр
- к
к
к
1
№ = У =
г тр + к
№2 = У =
1
Т тр + к
Рис. 1. Принципиальная схема связи понятий в концепции обратной связи
Для образования простейшей системы необходимо введение еще одного массоинерционного элемента (рис. 1, в) и связи, которая может быть реализована в виде упругого элемента, или пружины. Соединение элемента массой т через пружину жесткостью к со вторым массоинерцион-ным элементом (он может обладать некоторой массой т или иметь бесконечно большую массу,
то есть выполнять роль неподвижной системы отсчета).
В отношении полученной системы может быть реализован принцип Даламбера, в соответствии с которым при отбрасывании связи может быть записано условие кинетостатики (рис. 1, г), легко преобразуемое в математическую модель в виде дифференциального уравнения второго порядка (рис. 1, д). Другая форма уравнения может быть представлена в виде структурной схемы некоторой системы автоматического управления (рис. 1, е) со всеми необходимыми для такой трактовки связями, то есть структурная схема (рис. 1, е) является эквивалентной математической модели исходного дифференциального уравнения (рис. 1 , д). Входной сигнал в системе имеет вид силы Р , выходной сигнал - параметр состояния или координата смещения у, звено с передаточной функцией к реализует обратную отрицательную связь. Можно утверждать, что принцип обратной связи в механических колебательных си-
стемах, если иметь в виду их простейшие формы, осуществляется через наличие упругой связи.
Что касается внешних воздействий, то они могут иметь форму силы, прикладываемой в т. А (рис. 1, е), или кинематического воздействия 2 , которое также прикладывается в т. А как сила величиной к 2. Отметим, что точка А на структурной схеме (рис. 1 , е) является в некотором смысле «узловой» точкой. В этой точке справедливо условие кинетостатики, соответствующее принципу Даламбера. Аналогичная ситуация характерна и для электрических цепей и соответствует 1 -му закону Кирхгофа. Собственно, на основе учета таких особенностей механических и электрических цепей и основаны методы электромеханических аналогий.
Отметим также, что структурные представления (рис. 1 , е) делают равнозначными силовые и кинематические внешние воздействия, так как они прикладываются в одной и той же точке А, что послужило развитию представлений об обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции. Структурная схема на рис. 2, е может быть названа базовой схемой механических колебательных систем в том понимании, что более сложные системы могут быть построены путем усложнения базовой системы (если вводятся дополнительные связи) или путем соединения базовых моделей между собой (так можно получить системы с несколькими степенями свободы). Для описания свя-
зи между выходными и входными величинами используются передаточные функции. На рис. 1, ж показаны, соответственно, Щ (р) — передаточная
функция «смещение объекта массой т — смещение основания 2 » и Щ (р) — «смещение объекта массой т — внешняя сила Р ». На рис. 1, а^е представлена принципиальная схема связи основных понятий концепции обратной связи в механических колебательных системах. Однако существует и еще одна характерная особенность, которая находит свое отражение в структурах механических колебательных систем. Это связано с существованием 3-го закона Ньютона «действие - противодействие» .
Рассмотрим движение простейшей механической колебательной системы (рис. 2, а), состоящей из двух элементов массами щ и т2. Эти
элементы соединены упругой связью в виде пружины с жесткостью к . Опуская промежуточные выкладки по составлению математической модели, построим структурную схему эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления. В точке А (рис. 2, б) приложена внешняя сила Р ; у и у — координаты смещения масс.
Отметим, что система состоит из двух пар-
циальных систем I и II, обозначенных соответствующими контурами на рис. 2, б. Математическая модель системы приведена на рис. 2 (позиция 2, в) и представляет собой систему двух дифференциальных уравнений 2-го порядка. На рис. 2, г приведены передаточные функции Щ (р)
и Щ (р), которые позволяют найти частоту собственных колебаний (выражение (1)) и частоту динамического гашения (выражение (2)). В свободном движении (имеется в виду отсутствие упругой связи с условно неподвижной системой координат) система имеет циклическую координату, характеризующую некоторое установившееся движение, а также колебательный процесс (рис. 2, д) с собственной частотой (1) и режимом динамического гашения (2). Важным для дальнейшего рассмотрения является то обстоятельство, что парциальные системы I и II имеют перекрестные связи, представленные на структурной схеме (рис. 2, б) двумя каналами взаимодействия с передаточными функциями звена усиления к . Такие перекрестные связи называются упругими. Они отражают динамическое взаимодействие двух парциальных систем (можно понимать и как динамическое взаимодействие двух элементов с массами т и т ), что соответствует проявлениям действия 3-го закона Ньютона. Можно рассматри-
а)
►Ух
F
т. A
о
■У 2
£
П
m-
У /
WVW
k
777*777777
в)
m yi + tyi - h>2 = F; m2y2 + ky2- kVl = °
б)
F 4
г)
~3 - ий закон Ньютона
k
k 1 -4 k 1 г 1
т. A m2p 2 1\ V m2p2
II
y 2
Wi( p) = У? k k
F (mx p 2 + k)(m2 p2 + k) - k 2 p 2 [mxm2 p 2 + k(mx + m2 )J
W2( p) yi m2p 2 + k 2 k(mi + m), ,n 2 k. f 'Ыо ' (1) . (2) m1m2 m2
F p2 [m^m2p2 + k(m + m )
I
Колебательноедвижение т1,т2 реализуетсяотносительнонекоторогодвижения / (существуе т циклическая координата движения системы)
е)
k2
F m2p2 + k
5-
k l m,p2
Ух
Парциальная система II реализует режим динамического гашения и выступает в качестве дополнительной по отношению к объекту защиты щ обратной связи
-1
Рис. 2. Общая схема динамического взаимодействия в двухмассовой системе
вать эту ситуацию и с других позиций, полагая, что введение упругой силы, содержащей динамическое взаимодействие в системе между двумя элементами т и т , предопределяет некоторую
«симметрию» в структуре системы: перекрестные связи отражают принцип «действие равно противодействию». Обобщая вышеприведенное, можно полагать, что при введении в систему некоторой связи (в том числе и дополнительной), которая создает силу, необходимо принимать во внимание некоторые физические реалии. Последнее означает, что «по минимуму» сила должна иметь две точки закрепления между выбранными элементами. В физическом смысле такой подход не вызывает вопросов о действии 3-го закона Ньютона. При учете таких особенностей на структурной схеме действие 3-го закона отражается в обязательном проявлении симметрии перекрестных связей. В связи с этим могут существенным образом измениться представления о введении в механические колебательные системы управляемых или активных связей. Их введение должно сопровождаться обязательным учетом особенностей физических форм реализации силовых воздействий с определением конкретных мест размещения исполнительного механизма сервопривода.
Структурная схема (рис. 2, б) позволяет путем формальных преобразований построить структурную модель, отражающую такой вид динамического взаимодействия, как динамическое гашение колебаний при действии внешней возмущающей периодической моногармонической силы Р . Отметим, что режим динамического гашения при расчетной схеме, представленной на рис. 2, а, соответствует введению в структурной схеме (рис. 2, б) положительной обратной связи.
В целом общая схема (рис. 2, а^е) динамических взаимодействий в системе свободного движения двух соединенных упругой связью к масс т и т дает представление о формировании связей и их функциональном назначении.
Как характерную особенность рассматриваемого случая можно было бы отметить, что выбор объекта защиты, например переход от элемента с массой т к элементу с массой т приводит
к изменению параметров режима динамического гашения; при этом частота динамического гашения будет определяться выражением
k
m.
(1)
Wdon( p) =
mp2 + k
(2)
Для сравнения, на рис. 2, е, мы имеем такой же результат:
k 2
Won( Р) =-Т
(3)
а передаточная функция положительной цепи дополнительной обратной связи (или динамического гасителя) примет вид
m2p + k
Таким образом, режим динамического гашения в системах с несколькими степенями свободы зависит от выбора объекта защиты и особенностей внешнего гармонического возмущения, которое, в частности, может быть и результатом суммирования нескольких возмущающих факторов.
III. О свойствах передаточной функции
Структурный подход, развиваемый автором, предопределяет широкое использование передаточной функции в качестве основной динамической характеристики механических колебательных систем, в частности виброзащитных. В части [1] рассматривались возможности частотных методов в сравнении с другими, что в целом связано с преимуществами частотного анализа, в частности, в оценке динамических свойств именно виброзащитных систем. Для таких систем кроме амплитудных и фазовых частотных характеристик важными являются частотный диапазон собственных колебаний и динамического гашения, возможность учета особенностей дополнительных связей пассивной и активной природы, динамический синтез систем, связанный с формированием передаточных функций с определенным набором полюсов и нулей; учет характера и форм внешних воздействий; оценки устойчивости системы; оценка поведения системы в характерных режимах (p ^0, p ^ го) и реакция на типовые внешние
воздействия.
В целом, динамические свойства передаточных функций, если иметь в виду теорию автоматического управления [13], являются достаточно изученными, однако этого нельзя сказать о сложных колебательных системах. Передаточная функция механической колебательной системы может быть построена непосредственно из расчетной схемы системы с использованием представлений о парциальных системах и перекрестных связей, которые могут иметь вид упругих, инерционных и инерционно-упругих, если используется традиционный набор типовых элементарных звеньев. По существу, такой набор состоит из базового инерционного элемента и двух соединительных звеньев: упругого элемента (пружина), что было рассмотрено выше, и диссипативного элемента (дифференцирующее звено первого порядка). Передаточная функция диссипативного звена имеет
2
k
2
Юд ин =
вид Щ(р) = Ьр, где Ь — коэффициент вязкого трения.
Расширенный набор элементов виброзащитной системы предполагает использование дополнительно к двум известным (пружина, демпфер) еще нескольких элементарных звеньев с передаточными функциями: звена двойного дифференцирования звена одинарного инте-А а
грирования
Щ (р)=-
рования
' А ^
Щ (р) = -2-р
и звена двойного интегри-
На рис. 3 показана струк-
тура расширенного набора звеньев механических колебательных систем. Таким образом, набор из пяти соединительных элементов определяет одно общее свойство: элементарное звено в наборе типовых элементов на входе имеет смещение, а на выходе - усилие.
Набор из пяти элементарных звеньев можно назвать набором звеньев 1-го уровня. Используя правила параллельного и последовательного соединения элементарных звеньев 1 -го уровня, можно построить, комбинируя элементы, звенья второго уровня, как показано на рис. 4. В таких звеньях передаточная функция звена 2-го уровня может быть уже достаточно сложной. Что касается
элементарных звеньев 1 -го уровня, то они, в отличие от звеньев 2-го уровня, не могут быть разложены на более простые. В этом плане имеется также и отличие по сравнению с набором типовых элементарных звеньев в теории автоматического управления.
Набор типовых элементарных звеньев может быть расширен, например за счет элементарного звена чистого запаздывания и др.; при этом типовое элементарное звено не должно представлять собой комбинацию более простых элементов.
Введение понятия о расширенном наборе элементарных типовых звеньев механических колебательных систем, в частности виброзащитных, позволяет изменять структуры базовых моделей с любым числом степеней свободы. При этом происходит формирование дополнительных обратных связей в виде механических цепей той или иной сложности. По существу, упругий элемент или упругий элемент с параллельно присоединенным демпфером может быть развит до дополнительной обратной связи общего вида. В такой интерпретации дополнительная обратная связь может рассматриваться как обобщенная пружина и иметь передаточную функцию в виде дробно-рационального выражения, как показано на рис. 5. В дополнительной обратной связи входом является смещение, а выходом - усилие. Что касается
Рис. 3. Структура набора типовых элементарных звеньев механической колебательной системы
Рис. 4. Схема преобразований структурной схемы и передаточной функции модели при введении дополнительных соединительных звеньев ( а + и — последовательные этапы преобразований)
(А)
усилительн0езВено -ь^;;.:--; ¡¡".-.¿-.-..«■¡¡^■..^и
звене» днффгргншфОБання эвено
IV -
ту _
Д1Р
<НР
¿ь
тяг ".... 1
гу - "и
апйрнод! гаско е звено
4 + ^
иниватвиим чиено
фйренрующее зв^гно второго породил
я0 + л^р
Рис. 5. Структура дополнительной обратной связи и возможности ее упрощения
физической формы дополнительной связи, то она может быть представлена не только механическими цепями, но и различными механизмами и устройствами, что нашло отражение, например, в [5]. На рис. 6 приведены некоторые примеры реализации дополнительных обратных связей, которые имеют передаточную функцию элементарного звена и дифференцирующего звена 2-го по-
рядка, реализуемого в нескольких конструктивных вариантах. В соответствии с известными в теории автоматического управления принципами можно рассматривать различные варианты реализации управления, которые соответствуют принципам управления по абсолютному, относительному отклонению, а также по возмущению (рис. 7).
г
6) л
...........
Р
К + V
и У
2 ' ■' I ■■■ ■■■
I
N У
К*
1Г У
+ V
2 .■,,/,,. л
.Г У
2 | ... .' I ,■■■
уп;
А)
е)
11нфЦ[!(1НН1>- 4ч» 1ЬД1 ИШШ-Б I
-устройство с преобранннвш дкебкэтк
Рис. 6. Варианты реализации элементарного дифференцирующего звена 2-го порядка
Варианты введения дополнительных обратных свячен , которые ПОЗВОЛЯЮТ реализовать принципы управления:
• по абсолютному отклонению Т„,
по относительному отклонению
Ж
по внешнему возмущению
ш
чч\ч\\\ч\ччч\ч\\\
—д ^д
1
т 1
ф I * [V
.У ■
дат чик
2 ■
Ш (р) = У =
¡¿+■17 +№
1 " «IV 1 " п»
Рис. 7. Структурные подходы в динамике виброзащитных систем
р
Важным для последующих исследований представляется принцип формирования передаточных функций при учете особенностей, которые отмечаются в структурах числителя и знаменателя передаточных функций системы. Знание передаточной функции системы в первую очередь используется для оценки параметров установившегося режима; таковым является реакция на внешнее гармоническое воздействие. Для оценки противоударных свойств виброзащитных систем так-
же используется передаточная функция, через которую могут быть найдены параметры переходного процесса.
IV. К вопросу об относительности понятий об элементарных звеньях, их соединениях и введении обратной связи
Если в теории автоматического управления типовые элементарные звенья, из которых по определенным правилам преобразования формируется структурная схема системы, рассматрива-
ются как потенциальные обладатели статуса отрицательного звена и это закрепляется в классификации звеньев, предполагающей наличие звеньев с положительной и отрицательной передаточной функцией, т. е. вопросы рассматриваются в теории механических цепей. В частности, в [12] дуальные элементы в формировании структуры механической цепи соединяются по правилам параллельного и последовательного соединения пружин. Однако при переходе к более сложным типовым элементам, например четырехполюсникам, при построении структурных схем системы в целом приходится учитывать достаточно сложные особенности возможных соединений. В теоретической механике, если иметь в виду такой ее раздел, как теория механических колебаний [2, 6], в качестве типовых элементов рассматриваются массоинер-ционные звенья, а также упругие и диссипативные звенья; в отношении таких звеньев вопрос о возможности их отрицательных значений не поднимался. Такое обстоятельство, на наш взгляд, могло бы найти объяснение в том, что упомянутые три элемента связаны непосредственно с формированием соответствующих сил: инерционных, упругих и диссипативных. При построении математических моделей механических систем, например на основе использования принципа Даламбера, полагается, что знак силы определяется направлением взаимодействий. Однако, как показали исследования особенностей колебательных процессов в управляемых динамических системах (активные виброзащитные системы, металлорежущие станки с системами автоматической настройки и др.), элементы с отрицательной упругостью могут быть реализованы в механических колебательных системах [5]. Упругие звенья с отрицательной жесткостью представляют собой некоторые устройства, более сложные, чем известные в инженерной практике пружины. Можно предполагать, что аналогичным образом могут быть построены и другие типовые элементы расширенного набора звеньев механических колебательных систем. Имеются в виду передаточные функции элементарных звеньев в структурной теории виброзащитных систем.
1. Покажем, что упругие звенья, совместное действие которых происходит по правилам параллельного и последовательного соединения, могут учитывать и отрицательные значения жесткостей. На рис. 8, а приведена схема механической колебательной системы, в которой объект опирается на две параллельные пружины с жесткостями к
и к 2.
Рис. 8. Расчетные схемы механических колебательных систем с упругим опиранием: а - параллельное действие
двух пружин; б - замена двух пружин кх и к2 на к ; в - последовательное соединение пружины кр с элементом кх; г - последовательное соединение пружины кпр2 с элементом к2
Произведем некоторые выкладки, полагая, что к = к + к2; в свою очередь,
кл к
к=-
ч"- пр
к1 + КЛ
Найдем что кк + ккт = кхкпп , откуда
т -
кпр1 (к1 к) = кк\,
или
^ ккх к^ (к^ + к^) к1 к к 2
(4)
(5)
(6)
Таким образом, параллельное соединение пружин может быть преобразовано в последовательное соединение двух пружин: с жесткостью к и отрицательной жесткостью
кпр = к 1 (к1 + к2) '
к.
2
При использовании к получим
к = -
пР2 к к
2 пр2
к 2 + кпр2
откуда
кп
кпр2 = - "^Г(к1 + к2).
(7)
(8)
(9)
На рис. 9 приведена расчетная схема системы, которая в исходном положении имеет упругое опирание объекта на последовательно соединенные пружины к и к2.
а)
б)
в)
У
Рис. 9. Расчетные схемы механических колебательных систем с упругим опиранием (вариант последовательного соединения): а - последовательное соединение пружин;
б - замена двух пружин к и к2 на одну к ; в - параллельное соединение двух пружин к и к, ; г - параллельное соединение двух пружин к2 и к пр2 Приведем некоторые выкладки, полагая, что
к = -
к к
кк .=к, + кр, откуда
к + к 2
а)
б)
кпр1 =
к2
к^ + к2
(10)
Аналогично
к1к2 к, + к ^
= к2 + кпР2, откуда
кпр2 =
к о
кк
; в свою очередь - к = кпр1 + к, тогда
к, + к 2
(11)
к| + к2
Приведенные выше примеры отражают относительный характер правил преобразования соединений элементов при использовании понятий об отрицательных значениях передаточных функций типовых элементарных звеньев механических колебательных систем. В этом плане имеет смысл рассмотреть вопрос о том, как соотносятся между собой положительные и отрицательные обратные связи, которые присутствуют в обязательном порядке при построении структурных схем механических колебательных систем.
2. Развивая идею об относительности правил соединения типовых дуальных элементов в теории механических цепей, рассмотрим особенности введения динамического гасителя колебаний в концепции обратной связи. На рис. 10 приведены расчетная и структурная схемы механической
у*
2 7777-
в)
У2
к, Щ1
к
т1 р + к, -
к
У1
к,
г)
О]
Я
2
т2 р2 + к3
У2
3
Рис. 10. Принципиальная схема введения в механическую колебательную систему динамического гасителя колебаний: а - расчетная схема системы с одним динамическим гасителем; б - структурная схема системы с одним динамическим гасителем; в - динамический гаситель как обратная положительная связь; г - динамический гаситель
как обратная отрицательная связь
иркутским государственный университет путей сообщения
щ =
тр + к3
и отрицательной обратной связи к ), получим
Щд оп( р) =
т2р + къ
(14)
2 (тр2 + к + к2 + къ)(т2р2 + к3) - к32' в варианте (10, в) -
_1_
тр2 + к + к2 + к3 (15)
Щ"(р) = Л = 2
1 -
к2
(тр2 + к + к2 + к3 )(т2р2+к3)
в варианте (10, г) -
колебательной системы с одним динамическим гасителем колебаний.
На расчетной схеме (рис. 10, а) приняты обозначения: т - масса объекта защиты, т -масса динамического гасителя колебаний; к , к и к3 - жесткости упругих элементов, 2 - кинематическое внешнее возмущение; у ,у2 - вертикальные координаты движения элементов системы.
Используя структурную схему (рис. 10, б) эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления и делая обычные для сверток-схем преобразования, можно представить введение динамического гасителя (ДГ) колебаний как введение дополнительной обратной связи по отношению к основному блоку (т2р2 + к + к2 + к3), представляющему собой
парциальную систему, связанную с координатой у1. Передаточная функция дополнительной положительной обратной связи (рис. 10, в) имеет вид
к 2
Щопп(р) =-2Чт- (12)
тр + к3
В свою очередь, полагая, что к является на
структурной схеме (рис. 10, б) дополнительной отрицательной связью с передаточной функцией Щ(р) = к3 по отношению к базовой структурной
схеме (тр2 + к + к2), после обычных преобразований (суммирование положительной обратной связи с передаточной функцией — к
Щ"'(р) = ^ = ■ 2
тр2 + к + к2
(16)
1+-
к3 т2 р 2
к3 т2р2 (13)
тр2 + к3
Передаточная функция (13) соответствует статусу отрицательной обратной связи. Если найти передаточную функцию механической колебательной системы с динамическим гасителем колебаний, то в варианте (10, б) можно получить
щ' (р) = 4 =
(тр + к2 Жр + к + к2)
После преобразований выражения (14)-(16) становятся равнозначными. Таким образом, характер дополнительной обратной связи (положительной или отрицательной) нельзя рассматривать как безусловно определяющий фактор для передаточной функции системы в целом.
V. Особенности математического моделирования
Как было показано выше, динамическая система может быть адекватно представлена соответствующей структурной интерпретацией, и в этом плане существует несколько подходов, используя которые, в конечном итоге можно получить совпадающие передаточные функции. При этом в каждом из подходов рассматривается свой набор типовых элементарных звеньев.
Если звенья с указанными передаточными функциями физически осуществимы, то возможно построение реальных моделей любых линейных систем рассматриваемого класса. Подобные модели естественно назвать математическими, так как они, вообще говоря, могут и не отражать сущности физических процессов, происходящих в моделируемой системе. С другой стороны, такая модель может быть построена для экспериментального решения дифференциального уравнения.
Для полного моделирования исходного уравнения движения системы необходимо ввести в структурную схему звено, отображающее правую часть уравнения
Уо'(р) = Я0(р)у0(р). (17)
Для систем рассматриваемого класса выражение Д, (р)у0 (р) соответствует изображению суммы производных различных порядков (включая и нулевой) входного сигнала. Следовательно, имеется необходимость введения звеньев, осуществляющих умножение на постоянный множитель, дифференцирование и суммирование.
Линейные решающие блоки. При рассмотрении элементарных звеньев, выполняющих основные линейные математические операции: умножение на постоянный коэффициент, суммирование, дифференцирование и интегрирование, -используются соответствующие электрические схемы таких звеньев. Такие схемы имеют главным образом иллюстративное значение, так как обладают рядом существенных недостатков при практическом использовании. Схемы усилительного и интегрирующего звеньев дают результат сильно
1
зависящий от сопротивления нагрузки. В схеме суммирования каждый из коэффициентов к зависит от всех сопротивлений Лг, т. е. при изменении одного из них меняются и все остальные коэффициенты. Емкостные схемы дифференцирования и интегрирования лишь весьма приближенно и в ограниченных промежутках времени способны выполнять соответствующую операцию.
Применяемые в электронных моделирующих устройствах схемы соответствующих звеньев, называемых линейными решающими блоками, более совершенны. В них используется усилитель с большим коэффициентом усиления, охваченный обратной связью. Обычно усилитель одновременно инвертирует [14].
Отметим, что в основе схем упомянутых линейных решающих блоков лежит одна общая схема, представленная на рис. 11, в которой ^ и ^ - некоторые импедансы. Соответствующим выбором импедансов ^ и ^ можно получить как рассмотренные выше блоки, так и другие блоки, выполняющие более сложные математические операции. Характерным для всех блоков является присутствие в них усилителя с большим коэффициентом усиления к, охваченного обратной связью. Поэтому данные устройства часто называют не «блоками», а «усилителями» с указанием выполняемой ими математической операции (суммирующий усилитель, интегрирующий усилитель и т. д.) [14].
Рис. 11. Обобщенная схема решающего усилителя
Общая структурная схема линейной системы
Перечень рассмотренных в данном разделе элементарных звеньев является полным в том смысле, что их достаточно для построения структурной схемы любой сложности линейной системы, описываемой системой дифференциальных уравнений вида
Ai( У1)+Dn( У2) + •••+А* ( У* ) = y», D21(У1 ) + D22 (У2 ) + ••• + D2s (У* ) = Уо2'
В этих уравнениях у,у2,..., у — обобщенные координаты системы, у01,у02,..., у0х — входные сигналы (внешние силы, действующие на систему). Вместе с тем, система может быть описана уравнением:
В( ук ) = В0к (уо).
Можно показать, что этот список обладает даже избыточностью. Как известно, любая форма задания уравнений движения линейной системы может быть приведена к совокупности уравнений первого порядка:
-у = Еа*у* + £(?) О = ^-п), (19)
где ук — координаты системы, (?) — внешние воздействия, ай — постоянные коэффициенты. Такой вид уравнения иногда называют каноническим.
Необходимо обратить внимание на то, что число уравнений (18) равно 5 - числу обобщенных координат системы у , совпадающему с числом степеней свободы системы. Так как каждое из уравнений (18) не выше второго порядка, порядок системы п < 2s, и этому порядку соответствует порядок уравнения [1]
у) = А(уо) . (20)
Число уравнений (19) равно порядку системы п и, следовательно, ему равно и число координат у . Таким образом, координаты у не являются обобщенными координатами системы, что мы подчеркнули, приняв для них иное обозначение. Выбор координат у может быть сделан весьма произвольно, и в зависимости от него будут изменяться значения постоянных коэффициентов а и вид функций £ (?), являющихся, вообще говоря, линейными операторами от заданных внешних воздействий у0 (?) .
В справедливости сказанного легко убедиться, если, например, в системе уравнений (18) по-
йу, йуг ложить = у , ^ =-, г, = V, , г. =-, ... .
, ^ 2 <И В данном случае координаты У с нечетными индексами соответствуют обобщенным координатам системы, а координаты с четными индексами -первым производным обобщенных координат. Введя указанные координаты г в систему (18), получим эквивалентную ей совокупность уравнений:
(18)
Ds1( У1) + Ds 2 ( У2) + ••• + Dss ( У* ) = Уо* •
—2г
= 2^
—2Ъ
■ = 2Л
—2А
= 1 а2к2к + Л(0, ^ = 1 а4к24 + /ДО,."
Всего будет п уравнений, причем /(^) являются линейными комбинациями функций у0г (?) . При преобразовании уравнения (20) можно,
например, положить
—у — 2 у — п-1 у
21 =у'22 =—'23 = —т-*п = —^".
В данном случае в качестве координат системы принимаются выходная величина и ее производные до (п -1) -й включительно.
В соответствии с этим вместо (20) получим следующую совокупность уравнений первого порядка:
- = 2,,
■ = 2,
—2п-1
=2
—2„ а а а 1 ^ , ч
~Г = - ак 2п - ^ 2п-1 - ... - ^ + ~ ^ ^
ш а0 а0 а0 а0
Перейдем теперь к решению основной задачи: найти структурную схему для линейной системы наиболее общего вида, описываемой совокупностью уравнений (19).
Построение структурной схемы системы произведем следующим способом. Каждому из п уравнений (19) сопоставим некоторый блок структурной схемы. Рассмотрим построение ,-го блока, соответствующего ,-му уравнению (19), для чего положим:
=1 а,к2к + /, (0.
(21)
к=1
Тогда уравнение (19) можно переписать
в виде
—2, —Г
• = ш,.
(22)
ны на структурной схеме (рис. 12). Величины 2 приходят на входы усилительных звеньев а ; эти величины вырабатываются на выходах блоков самой системы.
Это уравнение интегрирующего звена с выходной величиной 2 и входной величиной ®г .
Это звено, снабженное знаком I , изображено
на структурной схеме рис. 12.
Величину гаг, согласно (21), можно рассматривать как выход суммирующего звена, на вход которого подаются слагаемые / (?) и ак2к . Слагаемое / (?) подается извне. Что же касается а 2 , то эти величины можно рассматривать как выходные величины усилительных звеньев с коэффициентами усиления , на входы которых поданы величины 2 . Эти звенья также изображе-
Рис. 12. структурная схема 1-го блока
На рис. 12 изображена структурная схема ,-го блока, на выходе которого получается величина 2 . Эта величина подается на вход усилительного звена а , как это показано на рис. 12. На вход звена а подается выходная величина 2 с к-го блока. Таким образом, все п блоков, соответствующих уравнениям (18), вообще говоря, связаны между собой перекрестными связями. Построение этих связей завершает построение структурной схемы всей системы.
Из изложенного следует, что структурную схему любой, сколь угодно сложной линейной системы можно построить при использовании лишь трех типов звеньев: усилительного, интегрирующего и суммирующего. Такое звено, как, например, инерционное, не является элементарным, ибо оно может быть построено из указанных выше звеньев трех типов. Это еще раз подтверждает условность выбора типовых элементов, что определяет задачи исследования.
На схеме (рис. 13) видно, что звено можно построить из интегрирующего, суммирующего и двух усилительных звеньев. Сходным образом можно построить и структурную схему колебательного звена.
I
>[—* /
уо
-у
>
у
Рис. 13. Вариант построения инерционного звена с помощью решающих усилителей
п
п
Таким образом, инерционное и колебательное звенья, строго говоря, не являются элементарными, так как могут быть построены из других, более простых звеньев. Все же имеются известные основания для включения этих звеньев в список «элементарных». Во-первых, эти звенья часто встречаются, в особенности инерционное звено. Во-вторых, если представлять любую систему в виде последовательного соединения звеньев, то инерционное и колебательное звенья уже приходится считать элементарными. Как было показано выше, каждому отрицательному действительному корню характеристического уравнения системы в этом случае соответствует инерционное звено, а каждой паре комплексно-сопряженных корней с отрицательной действительной частью соответствует колебательное звено.
Выбор структурной схемы в каком-либо конкретном случае зависит от многих обстоятельств. Если она строится для пояснения физических процессов, происходящих в системе, то ее звенья выбираются в соответствии с физической природой реальной схемы. Если задачей схемы является динамическое моделирование системы, то, очевидно, ее выбор связан с вопросом простоты ее физического осуществления и эксплуатации, универсальности производства необходимых измерений, удобства введения в схему начальных условий. В этом отношении возможна математическая модель, которую, как было показано, можно построить всего из трех типов звеньев - интегрирующего, усилительного и суммирующего.
Необходимо отметить, что в электронной модели обычно входными и выходными величинами любого блока являются напряжения. Поэтому при решении уравнения, относящегося к какой-либо конкретной системе, с помощью модели необходимо исходные уравнения привести, как говорят, «к машинному виду», в котором они и вводятся в моделирующее устройство. Машинные уравнения составляются по аналогии с исходными уравнениями путем замены исходных переменных машинными с соответствующими коэффициентами. В [1] была показана возможность приведения исходного уравнения к безразмерному уравнению того же вида. Очевидно, сходным способом можно перейти от величин одних размерностей к величинам других размерностей.
Заключение
Таким образом, с учетом изложенного в части I статьи [1] структурные интерпретации при одной и той же динамической системе могут быть различными. Это зависит от цели и задач исследования и оценки свойств динамической системы. Существенное расширение возможностей связано
с алгебраизацией дифференциального уравнения исходной системы на основе преобразований Лапласа. Введение передаточной функции для определяющей зависимости между входом и выходом позволяет привести в соответствие систему элементарных звеньев с правилами их преобразования. Наличие таких правил позволяет открыть достаточно большой простор для эквивалентных представлений как отдельных звеньев, так и более сложных блоков. В этом плане необходимо учитывать относительность не только самих правил преобразования, но и представлений о свойствах элементов с их передаточными функциями.
Сравнительный анализ показывает, что выбор системы типовых элементов вариативен и логично вписывается и сочетается не только с целями и задачами исследования, но и с особенностями физической природы динамической системы.
Важно подчеркнуть наличие вполне объяснимых отличий в правилах соединения и преобразования структурных схем между системами автоматического управления и их аналогами в виде механических колебательных систем, хотя при этом структурные интерпретации имеют общую основу в виде системы дифференциальных уравнений.
Учет специфики виброзащитных систем позволяет выделить некоторые особенности механических колебательных систем, представляемых как структурные модели систем автоматического управления, которые связаны с отождествлением объекта защиты и объекта управления рассматриваемых виброзащитных и автоматических систем. Отсюда следует очень полезное свойство механических систем - возможность объединения в одной структуре объекта защиты (массоинерцион-ный элемент) и одной или нескольких ветвей из механических систем, являющихся, на самом деле, механическими цепями.
Реализация таких подходов производится в междисциплинарном понятийном пространстве теории цепей и теории автоматического управления. В свою очередь, соблюдение условий «паритета» потребовало расширения некоторых понятий и введения, в частности, обобщений упругих элементов, приведенных жесткостей и др. В целом обобщенный подход к оценке возможностей влияния свойств динамических систем на особенности прохождения по ней сигналов или внешних воздействий представляется полезным в отношении выбора направлений решения задач мехатроники в том ее понимании, которое предполагает возможности определения рациональных форм преобразования сигнала в действие.
Исследования выполнены по гранту в рамках федеральной целевой программы «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2012-2013 гг. (XLVП. Мероприятие 1.3.2. -естественные науки) № 14.132.21.136.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хоменко А. П., Елисеев С. В., Ермошенко Ю. В. Методологические основы решения задач динамики. Мехатронные подходы. (Часть I) // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. 4(36). Иркутск : Ир-ГУПС. 2012. С. 8-16.
2. Бабаков И. М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. М. : Наука, 1968. 549 с.
3. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем - М. : Наука, 1966. 623 с.
4. Гарднер М. Ф., Бэрнс Дж. Л. Переходные процессы в линейных системах с сосредоточенными постоянными. ГИТТЛ. 1949. 530 с.
5. Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хоменко А. П. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск : Наука. 2011. 394 с.
6. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. Т. 2. Динамика М. : Высшая школа. 1986. 360 с.
7. Атабеков Г. И. Линейные электрические цепи. М. : Энергия, 1978. 584 с.
8. Елисеев С. В. Структурная теория виброзащитных систем. Новосибирск : Наука, 1978.
9. Елисеев С. В., Волков Л. Н., Кухаренко В. П. Динамика механических колебательных систем с дополнительными связями. Новосибирск : Наука, 1990. 386 с.
10. Елисеев С. В., Трофимов А. Н., Большаков Р. С., Савченко А. А. Концепция обратной связи в динамике механических систем и динамическое гашение колебаний [Электронный ресурс] // techomag.edu.ru: Наука и образование: электронное научно-техническое издание. №5. 2012. URL. http://technomag.edu.ru/doc/ 378353.html (дата обращения: 10.05.2012)
11. Бакалов В. П., Дмитриков В. Ф., Крук Б. И. Основы теории цепей. М. : Радио и связь, 1998. 460 с.
12. Дружинский И. А. Механические цепи. Ленинград : Машиностроение, 1977. 238 с.
13. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. М. : Физматлит, 2003. 288 с.
14. Тетельбаум И. М., Шлыков Ф. М. Электрическое моделирование электроприводов механизмов. М. : Энергия. 1970. 192 с.
УДК 62-531; 62-762; 621.01 Огар Петр Михайлович,
д. m. н., npoфeccop, npopexmop no нayчнoй paбome, Бpamcкuй гocyдapcmвeнный yнuвepcumem (БрГУ), e-mail: ogar@brstu.ru
Тарасов Вячеслав Анатольевич, к. m. н., дoцeнm кaфeдpы «Тeopemuчecкaя u npuклaднaя мexaнuкa», БрГУ
Федоров Илья Борисович, acnupaнm БрГУ
УПРАВЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТЬЮ КОНТАКТНЫХ СИСТЕМ УПЛОТНИТЕЛЬНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
P.M. Ogar, V.A. Tarasov, I.B. Fedorov
MANAGEMENT OF SEALING CONNECTIONS CONTACT SYSTEMS STIFFNESS
Аннотация. Уnлomнumeльныe coeдuнeнuя npeдcmaвлeны шк кoнmaкmныe cucmeмы c oднo-u двyxcлoйнымu noкpыmuямu. Рaзpaбomaнa мame-мamuчecкaя мoдeль ynpyгoгo cлoucmoгo meлa npu нaгpyжeнuu eгo ocecuммempuчнoй нaгpyзкoй. Уnpaвляющuмu фaкmopaмu являюmcя ynpyгue xa-paкmepucmuкu ocнoвнoгo мamepuaлa, мamepuaлoв no^bimm u moлщuны no^umm. Пoкaзaнo тл^ чecmвeннoe влшнш omнocumeльнoй moлщuны no-крышт, coomнoшeнuя ущугш cвoйcmв мamepua-
лов основания и покрытия, формы приложенной нагрузки на упругую характеристику слоистого тела как композитного материала.
Ключевые слова: тонкослойное покрытие, слоистое упругое тело, жесткостная модель, модуль упругости, коэффициент Пуассона.
Abstract. Sealing connections are represented as contact systems with single and double-layer coatings. A mathematical model of a layered elastic body in loading load its axisymmetric, is developed. Con-
