Метод расчета эффективности применения гетерогенных вибродемпфирующих покрытий для несущих конструкций сложной формы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.2:534.833

А. Н. Литвинов МЕТОД РАСЧЕТА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ГЕТЕРОГЕННЫХ ВИБРОДЕМПФИРУЮЩИХ ПОКРЫТИЙ ДЛЯ НЕСУЩИХ КОНСТРУКЦИЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

Аннотация. Разработан приближенный метод расчета эффективности многослойных вибродемпфирующих покрытий применительно к несущим конструкциям сложной формы. Конструкция с покрытием рассматривается как многослойная гетерогенная вязкоупругая структура. Метод основан на задании форм собственных колебаний несущей конструкции, локальной аппроксимации этих форм, локальной аппроксимации покрытия на криволинейной поверхности плоским покрытием и вычислении относительного рассеяния энергии с использованием квазистатического приближения для поля деформаций в покрытии. Показана удовлетворительная точность предложенного метода.

Ключевые слова: метод расчета, эффективность вибродемпфирования, гетерогенные покрытия, конструкции сложной формы.

Abstract. The approximate method of design of multilayer vibration damping coatings efficiency with reference to awkward shape bearing structures is developed. The structure with a coating is observed as the multilayer heterogeneous viscoelastic structure. The method is based on presetting of free vibration shapes of a bearing structure, local approximation of these shapes, local approximation of a coatring on a curvilinear surface by a flat coating and calculation of relative energy dispersion with use of quasi-stationary approximation for deformation field in a coating. Satisfactory accuracy of the offered method is shown.

Keywords: method of design, vibration damping efficiency, heterogeneous coating, awkward shape structures.

Введение

Для повышения демпфирующих свойств конструкций используются вибродемпфирующие покрытия, выполненные из полимерных материалов с высокими показателями внутреннего рассеяния. Покрытие, как правило, состоит из слоев полимерного материала, где в основном происходит диссипация энергии, и стесняющих слоев из материала повышенной жесткости, назначение которых - увеличить эффективность покрытия за счет развитых деформаций сдвига в полимерных слоях [1]. Применение таких многослойных покрытий является наиболее эффективным для тонкостенных несущих конструкций в виде пластин и оболочек различной конфигурации. В этом случае несущая конструкция с покрытием представляет собой многослойную гетерогенную структуру, динамические процессы в которой можно исследовать на основе теории многослойных систем [2]. При этом полученные решения учитывают обратное влияние покрытия на формы колебаний несущей конструкции. Однако построение точных решений для таких гетерогенных структур возможно только для ограниченного класса задач, например: для прямоугольной пластины [3], круговой цилиндрической оболочки [4] с условием Навье - Власова на контуре и некоторых других.

Реальные несущие конструкции, как правило, имеют достаточно сложную геометрию и подкрепляются набором ребер жесткости. Кроме того, из

конструктивных и технологических соображений покрытие может наноситься не на всю поверхность несущей конструкции, а на ее отдельные части, что также существенно усложняет динамический расчет гетерогенной системы. В этом случае особо важное значение приобретают приближенные методы расчета, позволяющие достаточно точно оценивать эффективность применения вибродемпфирующих покрытий в сложных гетерогенных системах. В то же время эти методы должны быть относительно просты для их практического использования в инженерных расчетах.

В работе предлагается приближенный метод расчета эффективности применения многослойных гетерогенных покрытий применительно к несущим конструкциям сложной формы.

Для гетерогенных систем сложной формы наиболее общей характеристикой демпфирования при гармонических колебаниях, очевидно, следует считать относительное рассеяние энергии в системе за период колебаний [4]:

где Ж - некоторое среднее за период значение полной механической энергии системы; АЖ - величина энергии, рассеиваемой в конструкции за период.

Материалы несущей конструкции и покрытия в самом общем случае считаются линейными вязкоупругими, а поле деформаций при гармонических колебаниях с частотой ю задано в виде £ = £ (X,ю)ехр(іюґ), где

£0 (X, ю) - тензорная функция координат X = (, х^, Х3), характеризующая форму колебаний гетерогенной системы; х^, Х2, Х3 - пространственная система координат, к которой отнесена гетерогенная система; ґ - время.

Динамические свойства вязкоупругой гетерогенной системы характеризуются тензором комплексных модулей Л = ЛГ + і'Лі , где тензор Лг (X, ю) характеризует упругие свойства материалов гетерогенной системы, а тензор Лі (X, ю) - их диссипативные свойства [5].

Величины, входящие в правую часть (1), вычисляются по формулам

где £о • Лг • £о и £о • Лі • £о - скалярные функции координат, полученные путем перемножения и свертывания соответствующих тензоров, а интегрирование производится по всему объему гетерогенной системы V, включая область, занятую покрытием.

Величина относительного рассеяния (1), вычисленная с учетом (2), существенно зависит от частоты и формы колебаний. Для прикладных вибрационных расчетов наиболее важно знать характеристики демпфирования при колебаниях, происходящих при частотах и формах, близких или совпадающих с собственными частотами и формами колебаний несущей конструкции.

Так как характеристика демпфирования (1) является интегральной, то она относительно мало чувствительна к малым изменениям формы колеба-

1 Характеристика эффективности демпфирования

(2)

V

V

ний. В качестве приближенного тензора поля деформаций можно, например, использовать поле деформаций, соответствующее собственным формам упругой системы, тензор модулей упругости которой совпадает с тензором

аппроксимировать подходящими функциями координат.

Энергия системы Ж складывается из энергии несущей конструкции Жк и энергии покрытия Жп. С точки зрения ограничения веса и размеров конструкции покрытия, как правило, стремятся выполнить достаточно тонкими. Если, кроме того, жесткость покрытия относительно невелика (т.е. выполняется соотношение Жп <<Жк), то можно считать, что Ж = Жк + Жп ~ Жк. Для рассеянной энергии существенны оба слагаемых: АЖ = АЖк + АЖп. Относительное рассеяние энергии в несущей конструкции без покрытия считаем известным: = ^Ж . В этом случае приближенное выражение для относи-

тельного рассеяния энергии в конструкции с покрытием запишем в виде

Очевидно, покрытие следует считать эффективным, если второе слагаемое в (3), учитывающее вклад покрытия в величину относительного рассеяния энергии, существенно больше .

Далее будем рассматривать многослойные покрытия, выполненные из чередующихся мягких и жестких слоев. Рассеяние энергии в мягких слоях происходит за счет развитых деформаций сдвига. Жесткие слои покрытий, как правило, выполняются из металла, и их вклад в энергию рассеяния является несущественным по сравнению с мягкими вязкоупругими слоями, обладающими развитыми диссипативными свойствами. Таким образом, в выражении для энергии, рассеиваемой в покрытии, будем учитывать лишь вклад мягких слоев, динамические свойства которых характеризуются комплексным модулем сдвига О(ю) = Ог (ю) + (ю), представим его в виде

безразмерная функция частоты; Жп - некоторое характерное значение полной энергии для покрытия. Это значение выбирается таким образом, чтобы оно легко вычислялось; при этом выбор величины Жп и коэффициента Р взаимно обусловлены.

С учетом (4) для относительного рассеяния (3) получим приближенную формулу

Здесь предусмотрена возможность вычисления как полной энергии, так и энергии, рассеянной за период колебаний суммированием по ] частям гете-

Лг (X,ю). Формы колебаний, определяющие тензор £д (X,ю), можно также

(3)

АЖп = 2ллРЖп,

(4)

где л(ю) - тангенс потерь для вязкоупругого материала мягкого слоя; Р(ю)

V = ¥к + 2я—

(5)

рогенной системы, что позволяет применять формулу (5) для оценки демпфирования в сложных конструкциях.

Полагая жесткость покрытия достаточно малой, будем при практическом применении выражения (5) в качестве форм колебаний использовать соответствующие собственные формы для упругой несущей конструкции без покрытия. При этом имеется в виду, что любой вибрационный расчет несущей конструкции опирается на знание собственных форм и частот колебаний, так что эти формы и соответствующие им частоты можно считать заданными. Движение покрытия будем рассматривать как вынужденное квазистатическое деформирование, вызванное заданным движением несущей конструкции. Таким образом, основная задача сводится к определению полей перемещений в слоях покрытия при заданном характере движения поверхности несущей конструкции, на которой расположено покрытие.

Для инженерных расчетов возможно использование дальнейших упрощений: локальная замена собственной формы более простым аналитическим выражением, локальная аппроксимация покрытия на криволинейной поверхности плоским покрытием и т.д. Это позволяет существенно упростить расчет, подобрать характеристики вибродемпфирующего покрытия, теоретически оценить его эффективность и решить вопрос о целесообразности его применения уже на этапе проектирования сложной гетерогенной структуры. Для оценки погрешности принятых допущений следует использовать задачи, допускающие точные решения.

2 Основные соотношения

Определение поля деформаций в покрытии сводится к задачам теории многослойных конструкций. Особенностью этих задач применительно к вибродемпфирующим покрытиям является то, что движение одного из крайних слоев задано: оно совпадает с движением поверхности несущей конструкции, на которой расположено покрытие, при колебаниях по соответствующей форме.

Пусть несущая конструкция - оболочка с характерной толщиной Н0 и характерным радиусом кривизны R0. Покрытие имеет толщину Н. Элемент несущей конструкции в виде оболочки с вибродемпфирующим покрытием показан на рис. 1 (ось x3 направлена по нормали к поверхности оболочки). Типичное распределение перемещений на поверхности несущей оболочки в направлении осей xi,x^,Х3 имеет вид

и0 (xi,Х2 ) = Uosinki (xi -£i )sink2 (x2 -£2),

^0 (xb Х2 ) = POsin ki (xi -rii )sin k2 (x2 -Л2),

w0 (xi,Х2 ) = W,sinki (xi -Ci )sink2 (x2 -C2). (6)

Здесь Uo, Vq, Wo, £i, £2, ri, Г2, Ci, C2 - заданные локально величины, характеризующие рассматриваемую форму колебаний; волновые числа ki, k2 связаны с масштабами форм колебаний Xi, в направлении осей xi, x2 (рис. i)

соотношениями ki = 2я/^1 , k2 = 2я/^2 . Далее везде параметры с нулевым индексом будут относиться к несущей конструкции.

Рис. 1 Элемент несущей конструкции с покрытием

Рассмотрим случай, когда мягкие и жесткие слои покрытия являются изотропными вязкоупругими, а жесткие слои подчиняются также гипотезам Кирхгофа - Лява. Для мягких слоев все компоненты тензора деформаций, кроме поперечных сдвигов, полагаются пренебрежимо малыми. Считаем, что парциальные собственные частоты покрытия настолько велики по сравнению с частотой w, что можно ограничиться квазистатическим приближением.

Пусть масштабы форм колебаний ^, X2 и соотношение H0/Rq в области расположения покрытия таковы, что в пределах части конструкции X XX2 (рис. 1) кривизной покрытия можно пренебречь. В этом случае поле перемещений в слоях гетерогенной системы определяется из уравнений, составленных для прямоугольной пластины размером Xi X X2 с многослойным покрытием, которые имеют вид [3]

AkL1k ((k,Uк ) + Bk

uk+1 - uk + ck

dwQ

dx

Лки Bk-1

1

uk - uk-1 + ck-1

dwr

dx

= 0;

AkL2k (uk,^k ) + Bk

"°k+1- ^k + ck

dw.

Л

0

dx

^kn Bk-1

2 J 1,2

^k - ^k-1 + ck-1

3wn

dx'

= 0, (7)

2 J

n.

Dc AAw0

n-1

X Bkck k=0

XX" (+1 - uk ) + XX_ (k+1 -r°k ) + ck Aw0

= q , (8)

где - нормальное перемещение слоев, которое в рамках данной модели одинаково для всех слоев; ик , хк - тангенциальные перемещения средних поверхностей к-го жесткого слоя покрытия (к = 1, 2, ..., и); q - интенсивность нормальной нагрузки; Ь1к , Ь2к - линейные дифференциальные операторы над полем тангенциальных перемещений жестких слоев покрытия:

% К ,«к )=^к-++1+Ук э^к •

Xx1

dx2

2 Xx1dx2

Т л. \_Э2Ч , 1 -Vк д2Щ , 1+ Ук дик

Ь.к [ик,Ч )_—Г~+ ^------+ о д д •

дх'2 2 дхі 2 дхідх2

Кроме того, использованы обозначения: А* =------т-; В* =

1 -V2

п Екк1

Ек^к . в _ ^к .

—2 . вк _ —.

1 -V2 5к

°к = X / к к 2\ ; Ск = 5к + 0,5 (к + кк+1) , где Ек, Vk - модуль Юнга и ко-

к=0 12 (1 -V22 )

эффициент Пуассона для материала жестких слоев (к = 1, 2, ., и); Ок - модуль сдвига для материала мягких слоев (к = 0, 1, 2, ..., и - 1); и - число жестких слоев; кк и 5к - толщина жестких и мягких слоев соответственно; цкп = 1 - §кп (§кп - символ Кронекера).

Поскольку по предположению материал несущей конструкции и покрытия вязкоупругий, то Ек , Vk , о* следует трактовать либо как вязкоупругие операторы, либо как соответствующие комплексные характеристики, если под перемещениями ик, хк и ^0 понимать их амплитуды Фурье при заданной частоте ю . Основная задача состоит в том, чтобы на основании уравнений (7) и (8) найти подходящую аппроксимацию для поля деформаций в вибродемпфирующем покрытии. С этой целью при определении поля перемещений в покрытии Ек , Vk, Ок будем рассматривать как упругие характеристики.

Для материала мягкого слоя полагаем Ок = о(Г) (ю).

Несущая конструкция в уравнениях (7), (8) учитывается как нулевой слой. Так как в уравнениях все перемещения отнесены к срединным поверхностям жестких слоев, а перемещения несущей конструкции заданы на ее поверхности (6), то в уравнениях (7), (8) следует положить ск = Sk + % (к = 1, 2, ., и);

с0 = 50 + 2\. Подставляя в уравнение (7) вместо и0, х0 и ^0 выражения (6),

получим систему 2и дифференциально-разностных уравнений относительно тангенциальных перемещений жестких слоев. Уравнение (8) для нахождения поля перемещений в покрытии не используется. Это уравнение позволяет вычислить напряжения отрыва покрытия от несущей конструкции, которые в рамках принятой модели можно отождествить с нормальной нагрузкой q, действующей на покрытие.

Типичными граничными условиями для уравнений (7) будут условия периодичности:

ик ( +^1,х2 ) = ик (,х2 + Х ) = ик (,х2),

■Нк ( +ЯЬх2 ) = ^к {хЪх2 + Х2 ) = ^к {хЪх2 ). (9)

Вместо (9) могут быть поставлены и другие граничные условия, например, условия конструктивного закрепления по некоторым линиям или границе прямоугольника 0 < х < ^1; 0 < Х2 < X2 .

Для многослойных покрытий существенное упрощение получается в случае применения регулярного многослойного покрытия, когда кк = к; sk = 5;

ск = 5 + к; Ек = Е; Ок = О; vk = V при к = 1, 2, ..., и. В этом случае уравнение (7) принимает вид:

- при к = 1:

-1 Т / \ ~ 1 7 dWt

X ьц (1,«2) + «2 — 2^1 =—h

0

2 Эх

"u0>

—1T / \ ~ 1 , Эw0

X £21 («1, U ) + ^2—2^1 =— -h—^ —Un

2 Эх-

2

- при к = 2, 3, « - 1:

X 1£1к («к, Uk) + «к+1 — 2«к + «к-1 = 0 X 1£2к («к, ик ) + ик+1 — 2ик + ик—1 = 0;

- при к = п:

X 1£1п («п,Un ) — («п —«п —1 ) = с

Эwo

Эх1

X 1£2п («п,ип ) —(п — ип —1 ) = с

Эwn

Эх2

(10)

Здесь введен безразмерный комплексный параметр x = '

G (1 — v2 )

E (1 — a)oH 2

где a = h/{h + s) - коэффициент армирования покрытия; H = H/H - безразмерная толщина покрытия.

Уравнения (10) являются дифференциальными по хь х2 и разностными по номеру к. Уравнения для крайних слоев при этом играют роль разностных граничных условий. При граничных условиях на контуре типа условий периодичности (9) удается отделить непрерывные переменные хь х2 от разностного аргумента к и получить решение, явно зависящее от числа жестких слоев в покрытии. Процедура построения решения описана в работе [3].

После того как все перемещения найдены, по формулам (2) вычисляется значение энергии, рассеиваемой за цикл T = 2л/ю в области покрытия размером À1 XÀ2 . Так как существенными компонентами тензора деформаций полимерных слоев являются только поперечные сдвиги, то

к=1 0 0

«к+1 —«к + ск

Эwo

Эх1

ик+1 — ик + ск

Эwo

Эх2

dx1dx2 . (11)

Полная энергия многослойного покрытия вычисляется по достаточно громоздким формулам, приведенным в [2]. В целях упрощения расчета относительного рассеяния энергии для всей конструкции за характерное значение полной энергии покрытия примем потенциальную энергию деформации слоев покрытия, вычисленную в предположении, что тангенциальные перемещения всех его слоев равны нулю:

W =

г'п

, П ^1 ^2

2 ь и

k=0 о О

Db

(-л2 ->2 2

Э Wo , v д Wo д Wo

~~Г + v k

дх2

Эх22

Эх2

( *л2 ~л2

Э w0 , v Э w0 —г+v k—

2

Э Wo

Эх2

Эх2

Эх22

+2 (1- v k)

( Э 2 ^2

Э Wo

дх1Эх2

v j

П-1 ^1 ^2 G(r)

líí^

k=o o o k

( dwo ^ ( dwo ^

Эх2

Эх

сд-йЦйх-. (12)

В рассмотренной выше модели использовано допущение о том, что все компоненты тензора деформаций в полимерных слоях, кроме поперечных сдвигов, пренебрежимо малы. Уравнения для более общей модели, учитывающей удлинение нормалей (трансверсальную податливость), в мягких слоях применительно к покрытию с и жесткими слоями приводит к 3и уравнениям относительно тангенциальных и нормальных перемещений на срединных поверхностях жестких слоев покрытия. В работе [2] показано, что для тонких многослойных конструкций учет трансверсальной податливости оказывает несущественное влияние на поле перемещений. Следовательно, для тонких покрытий переход к моделям слоистой среды, учитывающим трансверсаль-ную податливость мягких слоев, является нецелесообразным, тем более при приближенном методе расчета вибродемпфирующих покрытий.

3 Определение поля перемещений в покрытии

Рассмотрим вспомогательную задачу об определении перемещений в покрытии, имеющем регулярную структуру. Распределение перемещений на поверхности несущей конструкции принимаем в виде (6), где и0, У0, в общем случае являются независимыми величинами. Граничные условия для жестких слоев покрытия размером ^ хХ2 принимаем в виде (9). При определении полей перемещений в покрытии будем полагать мягкие слои упругими

с модулем сдвига О = О(г) (ю).

Решение системы уравнений (10), удовлетворяющее граничным условиям (9), ищем в виде

uk = Uk sink Xi -£i )sink2 (x2 -£2),

4 =vk sin ki (x - Til )sin k2 X2 - Л2 )• При выполнении условий

Ti = Ci; £2 =C 2; £1 =Ci-2r; T2 = c 2 ~~2k~

2ki 2k2

(13)

(14)

в уравнениях (10) удается разделить непрерывные переменные хь х2 и разностный аргумент к. Подставляя решение (13) в уравнения (10), с учетом (14) получим для к = 2, 3, ..., и систему 2и уравнений в конечных разностях относительно амплитуд тангенциальных перемещений ик и Ук жестких слоев покрытия:

ЦЛ2 + ^Цк2 + -2ик + ик_1) = 0,

Vkk2 + l~^Vkkl + -^Ukkxk2 - %{Vk+l - 2Vk + Vk-) = 0. (15)

Решение системы уравнений ищем в виде

Uk = Uexp(|ik), Vk = Vexp(|ik). (16)

Подставляя (16) в (15) и требуя нетривиальное™ решения однородной системы уравнений, получим характеристическое уравнение для определения характеристических показателей

ch Ц = 1 + .¿±^1; ch Ц1 =1 + .¿1^ (1 -V). (17)

2Х 4%

Общее решение (16) принимает вид

Uk = Qsh (|ik) + Cich (|ik) + C3sh (¡11k) + C^ch (111k);

Vk = [C1sh (|ik) + C2ch (|ik )] - ^ [c3sh (|i1k) + C4ch (|i1k)]. (18)

k1 k2

Постоянные Cj при j = 1, 2, 3, 4 определяются из граничных условий, которыми являются уравнения (10) для k = 1 и k = n с учетом соотношений (17):

О [ch i(n + 1)-ch |1П ] + Woc C1 = ;—7----------гг—;-kl, C2 =01k1;

1 + v

sh ц(n +1)- sh цп

ch Ці (n + 1) - ch Ціп

C3 = a3 ~r------7—~T\---------T-, C4 = -a3,

sh Ці (n +1) - sh Ціп

(19)

где

a _ 1 hW I k1U0 + k2V0 a _ k1k2

a1 _ThW0 + ,0,2 , a3 _T^2

k1 + k2

k1 + k2

Vo - k2 U0 k1

\

(20)

Выражение (12) для характерного значения полной энергии покрытия принимает вид

Eh3 /,2 ,2\ Gc2

12 (1 -v2)

(2 + kf )n + -

n -1 + —

W02 (kf + k22), (21)

а коэффициент P, определяющий AWn (4), вычисляется по формуле

n-1 г

Z (Uk+1 - Uk + ck1 W0 )2 + (Vk+1 - Vk + ck2W0 ) P_ -k-0

c0 |2 2 h2 (k12 + k2 )n

n -1 + — I c2 + —--------------------

12X

W02 (kf + k22

полученной с учетом соотношений (11) и (21). 168

4 Численный пример. Оценка погрешности метода

Оценку погрешности и области применения предлагаемого приближенного метода выполним на примере расчета замкнутой цилиндрической оболочки с граничными условиями Навье - Власова, на внешней поверхности которой расположено вибродемпфирующее покрытие. Эта задача имеет точное решение, учитывающее обратное влияние покрытия на формы колебаний несущей конструкции, полученное в [4].

Относительное рассеяние энергии вычислялось по формуле (5), при этом полагали, что рассеяние энергии в несущей конструкции отсутствует, т.е. ук = 0. Поля перемещений в слоях покрытия определялись в соответствии с предложенным методом: материалы слоев покрытия считались упругими, участки покрытия на поверхности несущей оболочки аппроксимировались плоскими поверхностями, амплитуды тангенциальных перемещений Ц и У0 на поверхности контакта несущей оболочки и покрытия принимались равными соответствующим амплитудам тангенциальных перемещений на внешней поверхности оболочки без покрытия.

Вычисления проводились для оболочки с покрытием, имеющим следующие характеристики: Н0 = 10-2К0; Н = 0,2Н0; V = у0 = 0,3; и = 1;

I = 5^0 - длина оболочки; а = 0,5 - коэффициент армирования покрытия;

е = Е(1-V2)) ( _V2 ) = 1 - относительная жесткость жестких слоев покрытия. Тангенс потерь т и безразмерный параметр сдвига g = О (1- V2 )е , характеризующий относительную жесткость мягких слоев покрытия на сдвиг, варьировались. Вычисления проводились для собственных форм изгибных колебаний несущей оболочки с одной полуволной вдоль образующей и различными значениями т = 2, 4, ..., 12, определяющими номер формы колебаний в окружном направлении оболочки. Относительное рассеяние энергии ^ определялось по алгоритму, изложенному в [4], приближенные значения -по приближенному методу, изложенному в настоящей работе. Погрешность

5 предлагаемого приближенного метода оценивалась по формуле

Результаты вычисления характеристик ^ , \(г и погрешности метода 5 приведены в табл. 1.

Анализ результатов расчета показывает, что предлагаемый приближенный метод дает завышенную оценку величины относительного рассеяния энергии. Точность приближенного метода существенно зависит от величины тангенса потерь т , относительной жесткости на сдвиг g и номера формы колебаний т. При уменьшении параметров т, g и увеличении номера формы колебаний т погрешность приближенного метода существенно уменьшается. Например, при выполнении условий п < 0,2; g < 10-5 для всех форм колебаний погрешность метода оказывается меньше 10 %. При возрастании номера формы собственных колебаний несущей оболочки погрешность метода существенно уменьшается. Это объясняется тем, что на более высоких формах колебаний поверхность несущей оболочки разбивается на большее число участков, в пределах которых аппроксимация криволинейного покрытия плоским является более точной.

■О II О II Со ’Т о ’^Г о о4 ’Т о 1Л <ч о4 20,19 99Р‘0 0,550 СП оо 0,449 0,505 12,47 40 СП СП о" '::Т 1Л СП о" 40 СП •о о 04 о" 0,254 СП оо оГ 0,185 0,188 М3

л = 0,6 'Г о II &0 0,649-10-2 о сп •о гн о" 04 ю а> сч о4 о СП СП оЛ тГ СП С4! оо о4 01 о СП о4 1Г) о о4 СП о4 а>л СП о> ^г сГ СП «о оЛ |> оГ оЛ СП оЛ оо

о" II р- Т о II Со с? о 04 о> СП о4 7 о оо о) «о о4 СП о СП о тг о4 I1 о 1Л ю тг оЛ ~г 1Л I1 о 40 а> 1> о4 I1 о а> а> оо о4 оГ СП о о" о" 40_ о" М3 04 оп М3 оС |> о" 40 о* оЛ СП Ол оо

о" п о II Ьо о а> <ч <ч о4 о «о <ч о4 ю оС СП о о" о оЛ оо чэ т* о 40 о4 О о" €4 1ГГ т* о о> 40Л о4 т* о о> о |> о4 40_ оГ о ‘Лч о4 ’Т о о оЛ °°п ’Т о (N1 г- СП оЛ ’Т о г- г- СП оЛ -г СП

о" п 'Т о II Ьо о со |> о4 о 1Л ОС о4 СП а>л СП ’Т о а> сч о4 о ’^Г а> гч оЛ СП Ол т* о а> 40 о4 т* о о о о4 а> ‘Лч о4 7 о 1Г) о °\ о4 7 о о> о а\ о4 о4 о со о! 40Л о4 о о СП МЗЛ о" <ч СП оЛ 0,438-10-2 о СП о" СП оЛ

Характеристики и погрешность метода > о4- ОО > о4- оО > оО > V? оо > -'ч о4 оо > О' СО

£ с<\ 40 оо о 04

Проведенные численные исследования показали, что погрешность приближенного метода увеличивается при увеличении толщины, жесткости и кривизны покрытия.

Заключение

Разработан приближенный метод расчета вибродемпфирующих покрытий, состоящий в задании форм колебаний несущей конструкции, локальной аппроксимации этих форм подходящими аналитическими выражениями, локальной аппроксимацией покрытия на криволинейной поверхности плоским покрытием и вычисления рассеянной энергии с использованием квазистати-ческого приближения для поля деформаций в покрытии. Показано, что для достаточно тонких и не слишком жестких покрытий метод обладает приемлемой точностью и его применение позволяет на этапе проектирования сложных гетерогенных конструкций теоретически оценить эффективность применения покрытия и подобрать его оптимальные параметры.

Список литературы

1. Mead, D. J. Loss factors and resonant frequencies of encastre damped sandwich beams / D. J. Mead, S. Marcus // J. Sound Vibr. - 1970. - V. 12. - № 1. - P. 99-112.

2. Болотин, В. В. Механика многослойных конструкций / В. В. Болотин, Ю. Н. Новичков / В. В. Болотин. - М. : Машиностроение, 1980. - 374 с.

3. Литвинов, А. Н. Вынужденные колебания пластин с полимерными вибродемпфирующими покрытиями / А. Н. Литвинов // Механика деформируемого твердого тела и теория надежности : труды МЭИ. - Вып. 353. - М., 1978. -С. 12-16.

4. Литвинов, А. Н. Эффективность демпфирования оболочек при помощи многослойных покрытий / А. Н. Литвинов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2005. - № 5 (20). - С. 178-191. - (Технические науки).

5. Работнов, Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел / Ю. Н. Работнов. - М. : Наука, 1977. - 384 с.

Литвинов Александр Николаевич

кандидат технических наук, профессор, кафедра надежности машин и приборов, заместитель декана факультета заочного отделения, Пензенский государственный университет

E-mail: pyp@pnzgu.ru

Litvinov Alexander Nikolaevich Candidate of engineering sciences, professor, sub-department of machines and devices reliability, deputy dean of the department of correspondence tuition, Penza State University

УДК 539.2:534.833 Литвинов, А. Н.

Метод расчета эффективности применения гетерогенных вибродемпфирующих покрытий для несущих конструкций сложной формы /

А. Н. Литвинов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 4 (12). - С. 160-171.