Динамика конических оболочек с многослойными покрытиями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.2: 534.833

Д. В. Артамонов, А. Н. Литвинов, М. А. Литвинов

ДИНАМИКА КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С МНОГОСЛОЙНЫМИ ПОКРЫТИЯМИ

Аннотация. Коническая оболочка с покрытиями рассматривается как многослойная вязкоупругая система. Эффективность демпфирования определяется по результатам динамического расчета свободных колебаний слоистой системы. Исследовано влияние параметров и места расположения покрытий на эффективность демпфирования.

Ключевые слова: коническая оболочка, многослойное покрытие, эффективность, вибродемпфирование.

Abstract. The article considers a conical shell with coatings as a multilayer viscoelastic system. Damping efficiency is defined by results of dynamic calculation of free oscillations of a multilayer system. The authors investigate the influence of the effects of coating parameters and location on damping efficiency.

Key words: conical shell, multilayer coatings, efficiency, vibrodamping.

Введение

Конические многослойные оболочки широко применяются в конструкциях обтекателей авиационной и космической техники, а также в различных изделиях военного назначения.

Одним из эффективных способов снижения уровня вибрации и шума несущих конструкций в виде оболочек являются многослойные вибродемпфирующие покрытия, состоящие из чередующихся слоев различной жесткости. Чаще всего применяются покрытия, мягкие слои которых выполняются из вязкоупругих материалов с развитыми диссипативными свойствами при сдвиговых деформациях. В этом случае несущая конструкция с покрытиями может рассматриваться как многослойная вязкоупругая гетерогенная система

[1]. Наиболее общей характеристикой эффективности демпфирования при динамических воздействиях следует считать относительное рассеяние энергии в системе, которое определяется из решения задач о вынужденных или свободных колебаниях соответствующей вязкоупругой гетерогенной системы. Способы определения этих характеристик при вынужденных и свободных колебаниях подробно рассмотрены в [2]. Так как относительное рассеяние энергии при свободных колебаниях можно оценить, не определяя точно поле деформаций в гетерогенной системе, что существенно упрощает динамический расчет, то в качестве характеристики эффективности вибродемпфирования будем рассматривать относительное рассеяние энергии при свободных колебаниях конической оболочки с многослойными покрытиями.

1. Основные соотношения

Рассмотрим свободные колебания замкнутой конической оболочки. Коническая оболочка и ее фрагменты показаны на рис. 1. Оболочку отнесем к ортогональной системе координат х, ф, z, где x - продольная координата вдоль образующей срединной поверхности несущей оболочки, а ф - угловая

координата. Начало координат располагаем в полюсе O , а ось г - перпендикулярно к срединной поверхности. Угол полураствора полного конуса составляет а, а длина конической оболочки Ь определяется размерами и І2, которые откладываются вдоль образующей от полюса О (рис. 1). Ь = 1^ - /\. Коническая оболочка может быть полной (при /і = 0) или усеченной (/і > 0 ).

Рис. 1. Коническая оболочка: а - фрагмент слоистой оболочки; б - многослойная структура оболочки; в - срединная поверхность оболочки

На внешней и внутренней поверхностях несущей оболочки толщиной Н0 расположены многослойные покрытия толщинами И/, где / = +1, -1 соответствует внешнему и внутреннему покрытиям соответственно. Каждое покрытие состоит из чередующихся мягких и жестких слоев [1]. Жесткие слои имеют толщины Нк, мягкие - sk, число жестких слоев в /-м покрытии равно п. Индекс к, характеризующий номер жесткого слоя, принимает значения к = 0, /, 2/,..., /П/. Индекс к = 0 соответствует несущей оболочке.

Считаем, что жесткие слои многослойной системы характеризуются модулями упругости Ек и коэффициентами Пуассона Ук. Диссипативные

свойства мягких слоев, работающих на сдвиг, характеризуются комплексными модулями сдвига:

Ок = в'к+ 1в*к= Ок (1 + Щ),

где О'к и О" - действительная и мнимая части модуля сдвига; Ок = Ок -динамический модуль сдвига; Щк = О£ /О'к - тангенс потерь, характеризующий диссипативные свойства вязкоупругого материала к-го мягкого слоя покрытия.

Величина тангенса потерь зависит от свойств материала слоя, а также температурного и частотного диапазонов, в которых эксплуатируется конструкция [1].

В тех случаях, когда мягкие слои считаются достаточно толстыми, необходимо учитывать их трансверсальную податливость в направлении оси г (см. рис. 1) путем введения трансверсального модуля для материала мягкого слоя Е3к. Если мягкие диссипативные слои являются достаточно тонкими, т.е. их обжатием можно пренебречь, то полагаем Е3к = 0.

2. Уравнения колебаний

Уравнения колебаний слоистой оболочки в общем виде имеют следующий вид [1]:

1

и\к )и 2к >

( N к И к ) Ь — (Nк Ик ))^ )

Эх! к )( И2 Г))1 «12 Иі ) + Эх(к) «21

ЭИ11 «I к)

-к!к Г к>- к и

-2К<к )и!к)

ЯкЩ , ^к- #1

2

!к) [к1 1 Г[к 1 + / Щ Г1 + <к

Эх

|к) «22

и

!к)

Як-Щ

[к-11

Г

[к -11 .

гк'

[к 1

+ *к

[ к-11

Р[к 15к^

ЯкЩ а2ы\к+1) а2»!к ) ^

Як -1И1

■ Р[к-11Як-Л

[к -11

-РкИ 1 к)

а Цк)

Эг2

Г а2м! к ) а 2„( к-1)

а

+ я{1к —= 0;

1

и(к )и(к) И1 и 2

Эх,

(к)

«22)и1к Ч.)-1 «21)и 2к)

Эх

эн

(к)

1

(к)

Эх

N ( к )-■ ( к) «12

ЭИ

(к)

Эх2)

N

- к2к )г2к)- г2к 1+£

-2 к2к )И2к)

кИ 2к ^2 ,[ к 1

И2к) Г[к-11 Як-1И 2к -11Г2

, 4тГ . 4-Г

И [к Г И

Яки2 Як -1И

(к

ЛМ Ї ( .) Э2и( к)

-Р,к ( к )Э^^-

[к -11

Эг

1

2 4Х

(к) 11

Р[к ]•——

э2«<1'+1) э2»<к)

2

2

■ Р[к -1]5к—1^к

э24к) | э2и2‘-|) 1

Эt2

+4к )= о (1)

( к = 0, у,2 /,..., ]пу; ] = ±1);

К<к Ц< к >+ К2к )N22)

я(‘ )н2к)

-к КН") КН"

45к!^[к] — {к^^[к—1] | +

1

э

г с' о[к] / ск о1 {к

[к ]

0 / н

+ ск—1 01

+ {к

—1]

[к—1]

я——1 н[к—1]

Н(к )Н(к) Н1 Н 2

я— н1

( с о— / ск к2

1к

5— Н.

[—]

+ к ск—1 02 + ^

Л

я——1 Н(к—1]

Н(—)Н(—) Н1 Н 2

, э2^—

+ Р—Йк „ 2 + Эt

Р[к ]•——

^ ^2 ;л2 1

э ^—+1 +-_^н

Эt2

Эt2

■ Р[——1]я——1—

('л2 'л! 1

э ^к + э Щ+1

Эt2

Эt2

( — = 0, у ,2 у,..., п; у = ±1).

п - (—)

В качестве координатных линий х^ ' приняты главные линии кривизны

слоев. Физические составляющие перерезывающих усилий для жестких 0 0[—]

и мягких 0« слоев определяются соотношениями

(—)

01 =

НН 2

( М11Н2 ) + -—(м12 Н11 + ~Н^М-

Эх1

-ч —21 —^------------М22

-Х( -Х1

0? ]=-О—

^ д 1

и(к+1)— и(—)+_с^

иа иа + н -л

Н [к] -ха

•"а /

(3)

(4)

где О— - модуль сдвига к -го мягкого слоя.

Физические составляющие продольных усилий ^р' и моментов Мар в жестких слоях вычисляются по формулам

(—)

N1—! = 4 ( еЦ! + V—е(2)), )! = л— ( е22 + V—е1—!),

*12 ’ = *21’= Л— I1 —V — м{—’ = О— ( вЦ’ + V—в!7!’), М22’ = В— ( »£’ 'V—вЦ>),

м12— ’= «2? = В— (1 — V— )«1(). (5)

Е—И— Е—НИ—

где Л— =——2, В— =——г-; Е— , V— - модуль упругости и коэффициент

1 -Г

12(1 — V2)

Пуассона — -го жесткого слоя.

Компоненты тензоров деформаций еар и кривизн вар жесткого слоя

имеют вид

е = 1 -и1 + и2 эн1 + К.„ ец =----------1----------г К^ ,

И1 Эх1 И1И2 Э%2

И2 _Э_

И1 Эх1

( \ и2

И1 Э

( V

М1

П1

_1_ _а_

И1 Эх1

И1 Эх1

- ^1^1

и 2 Эх2 1 ЭИ1

И1И2 ЭХ2

И1

1 Э^ и 2 ЭХ2

(6)

- К2и2

1

Г а2

12

И1И2

Г

а ^ 1 эщ aw 1 ЭИ2 а^

Эх1Эх2 Щ Эх2 Эх1 И2 Эх1 Эх2

К

И 2

Эм1 М1 ЭИ1

Эх2 И1 Эх2

К2

И1

Эм2 «2 ЭИ2

Эх1 И 2 Эх1

(7)

Выражения для ец, в(2 и 02 получаются из выражений для ец, вц

и 01 заменой индексов (1 ^ 2). Здесь Н1, Н( - параметры Ламе; К1, К( -главные кривизны. В формулах (5)-(7) всюду опущен индекс —, указывающий на то, что эти формулы записаны для — -го жесткого слоя.

Компоненты тензора деформаций в мягком слое записываются в виде [1]

[к] 1 -1

е«3 = 2 *к

1 а

и,

[к 1 Эх„

( ск Кк+1 + ск ™к) +)

(к+1)- „(к ) -

—2Ка— ] (с—и(+1’ + с—иак’ ) , е3з] = я—1 ( М!—+1 — М!— ). (8)

Для случая, когда мягкие слои работают только на сдвиг ^ £д3] = 0 , в уравнениях движения следует положить Wk = ^ , т.е. пренебречь обжатием

мягких слоев. Прогибы всех слоев будут одинаковыми, а количество неизвестных функций перемещений иОа), w сокращается до n = 2( n++ n_) + 1. В качестве линейно-независимой системы уравнений принимаем 2 ( n+ + n_)

уравнений (1) и уравнение, которое получается суммированием всех уравнений (2). Используя соотношения (3)-(7), уравнения колебаний (1) и (2) многослойной конической оболочки можно записать в перемещениях жестких

(k)

слоев иа ', w.

В принятой системе координат коэффициенты Ламэ принимают значения Hk) = 1; H2k) = Rk , где радиус k -го жесткого слоя Rk на расстоянии х

(см. рис. 1) определяется выражением Rk = Ro + Ck, здесь Ck - расстояние

между срединными поверхностями двух соседних жестких слоев с номерами k и (k + 1):

ck =0,5( hk + hk+1) + sk при k =0,j\2У—J'nj; j = ±1, (9)

где ho = Ho - толщина несущей оболочки.

Учитывая, что текущий радиус срединной поверхности несущей конической оболочки Ro определяется выражением Ro = х sin а, получим выражение для коэффициента Ламэ Н^) в виде

Н2k)= хsinа + Ck. (Ю)

Выражения для главных кривизн принимают вид

к(k) = o ; 4k) = R_.

С учетом полученных выше выражений

K2k )= ( х sin а + Ck) 1.

Подставляя выражения для Нk), Н2), Кk), ) в уравнения (1) и

(2), получим уравнения движения в физических составляющих для многослойных конических оболочек. Выражения для компонент тензоров деформаций (6), (7), усилий и моментов (3), (4), а также сдвиговых деформаций в мягких слоях (8) также получаем подстановкой коэффициентов Ламэ и главных кривизн жестких слоев в эти соотношения. В силу того что эти соотношения и уравнения движения имеют достаточно сложную форму, они здесь не приводятся. Отметим, что эти уравнения и соотношения учитывают изменение метрики при переходе от слоя к слою, т.е. они применимы и для толстых многослойных покрытий.

Для тонких покрытий изменением метрики по j -му покрытию можно пренебречь, если ввести понятие среднего радиуса j -го покрытия R j , который в данном случае определяется выражением

R/ = хsin а + o,5(Ho + jH/ j при j = ±1. (11)

14o

Главная кривизна для j -го покрытия в этом случае будет определяться

как К.2) = R_1. В этом случае исходные уравнения и выражения для компонент тензоров напряжений, усилий, моментов и тензоров напряжений в слоях конструкции существенно упрощаются.

Возможно и дальнейшее упрощение уравнений движения и основных выражений. Если несущая оболочка также является достаточно тонкой, то можно ввести понятие срединной поверхности для всего многослойного пакета с учетом несущей конструкции и определить ее средний радиус R^ на

расстоянии х (см. рис. 1). При этом систему координат следует располагать в этой срединной поверхности. Этот средний радиус можно определять различными способами, например как средний арифметический радиус R^ на

уровне х :

Rcp = 3( Ro + R+ + R_), (12)

где R+ и R_ определяются соотношениями (11) при j = ±1 соответственно.

Располагая в этой поверхности оси х и ф (см. рис. 1), следует в уравнениях (1), (2) положить Hk)= 1; H2)= H2 = х sin а; Кk)= o;

K2k) = К2 = H_ . Координатные оси ) и ) следует заменить на

хlk) = х; х2^^) = ф .

При решении задач на вынужденные и свободные колебания конических многослойных оболочек необходимо задать граничные условия для всех жестких слоев на торцах при х = /1 и х = I2 . Существенной особенностью при решении этой задачи является то, что при любых граничных условиях, в отличие от цилиндрической и сферической оболочек [3, 4], для конической оболочки не удается построить аналитическое выражение в замкнутой форме, что существенно усложняет математическое моделирование НДС слоев такой конструкции при динамических воздействиях. Для определения полей перемещений, напряжений и деформаций в ее слоях и, как следствие, характеристик, определяющих эффективность вибродемпфирования, приходится применять вариационные методы (Ритца, Галеркина), численные методы или приближенные методы, предложенные в [5].

3. Численные исследования

Численные исследования проводились для замкнутой конической оболочки с различным расположением покрытий. Покрытия считались регулярными, т.е. характеристики покрытия не зависят от индекса j: sk = s; hk = h; vk = v;Gk = G( 1 + /^); Ek = E при k = j, 2j, ..., jn. Здесь n - число жестких слоев во внешнем (j = +1) или нижнем (j = -1) покрытии. Эффективность демпфирования оценивалась относительным рассеянием энергии при сво-

бодных колебаниях [1]. При проведении исследований аналогично [3] введен

безразмерный параметр сдвига g = G( 1 _v2 )/E , характеризующий относи-

тельную жесткость мягких слоев. Коэффициенты Пуассона приняты равными V = у0 = 0,3; Н = 5; относительная жесткость жестких слоев равна

е = Е11 - V0 ^1^о 11 “V21 = 1; отношение плотностей материалов слоев принято равным Р[д-]/= 0,3 . Тангенс потерь материала мягкого слоя принят равным ^ = 0,3.

Численные исследования показали, что зависимости относительного рассеяния энергии от основных параметров покрытия g, е и коэффициента армирования в покрытии а = Н/( Н + 5) являются нелинейными, т.е. существуют оптимальные параметры покрытий, обеспечивающие их максимальную эффективность, что согласуется с результатами исследований, представленных в работах [3, 4] для оболочек иной геометрии. Установлено, что внутреннее расположение слоистых покрытий обеспечивает более эффективное демпфирование конструкции.

В табл. 1 приведены некоторые результаты численных исследований, проведенных для цилиндрической и конической оболочек с одинаковыми характеристиками покрытий. Рассмотрено внешнее (\^+) и внутреннее (\^_) расположение покрытий при Н/Н = 0,4 . Число жестких слоев в покрытиях принято равным п = 2. Несущая оболочка соответствует размерам Н0/Я = 10-2; = 5. Для конической оболочки угол полураствора

принят равным а = 15°. Таким образом, габаритные геометрические размеры (длина Ь и радиус Я0) у обеих оболочек приняты одинаковыми.

Таблица 1

Характеристики демпфирования

Параметр сдвига g Цилиндрическая оболочка Коническая оболочка

¥+ V- ¥+ V-

10-2 0,480 • 10-3 0,506 • 10-3 0,321 • 10-3 0,392 • 10-3

10-3 0,466 • 10-2 0,490 • 10-2 0,312 • 10-2 0,350 • 10-2

10-4 0,351 • 10-1 0,367 • 10-1 0,301 • 10-1 0,320 • 10-1

10-5 0,651 • 10-1 0,666 • 10-1 0,596 • 10-1 0,612 • 10-1

10-6 0,150 • 10-1 0,152 • 10-1 0,116 • 10-1 0,108 • 10-1

Из сопоставления полученных результатов следует, что относительная характеристика эффективности демпфирования ^ j =у/ 2л^ для конической

оболочки меньше, чем для цилиндрической оболочки тех же габаритных размеров. Очевидно, это связано с тем, что коническая оболочка в окружном направлении является более жесткой, чем цилиндрическая, т.е. в мягких диссипативных слоях уменьшаются деформации сдвига, которые существенным образом определяют эффективность демпфирования несущей оболочки.

Заключение

В работе представлена математическая модель, описывающая динамику конической оболочки с внутренними и внешними многослойными покрытиями, состоящими из вязкоупругих слоев различной жесткости. Проведен-

ные численные исследования показывают эффективность применения таких покрытий. Математическое моделирование динамики конических оболочек с покрытиями позволяет на этапе проектирования определять оптимальные параметры слоев покрытий и места их расположения, обеспечивающие высокую виброустойчивость несущей конструкции в заданном частотном диапазоне внешних воздействий.

Список литературы

1. Литвинов, А. Н. Моделирование динамических процессов в изделиях приборостроения : моногр. / А. Н. Литвинов. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2011. -196 с.

2. Литвинов, А. Н. Эффективность демпфирования оболочек при помощи многослойных покрытий / А. Н. Литвинов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2005. - № 5. - С. 178-191.

3. Литвинов, А. Н. Исследование эффективности вибродемпфирования цилиндрических оболочек многослойными покрытиями / А. Н. Литвинов // Надежность и качество : тр. Междунар. симп. : в 2 т. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2005. - Т. 2. -С. 127-129.

4. Литвинов, А. Н. Динамический расчет сферических оболочек с гетерогенными покрытиями / А. Н. Литвинов, М. А. Литвинов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 3 (11). -С. 142-153.

5. Литвинов, А. Н. Методы расчета эффективности применения гетерогенных вибродемпфирующих покрытий для несущих конструкций сложной формы / А. Н. Литвинов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 4 (12). - С. 160-171.

Артамонов Дмитрий Владимирович

кандидат технических наук, доцент, кафедра автономных информационных и управляющих систем, Пензенский государственный университет

E-mail: dvamrcpk@pnzgu.ru

Литвинов Александр Николаевич

доктор технических наук, профессор, кафедра теоретической и прикладной механики, заместитель декана факультета заочного обучения, Пензенский государственный университет

E-mail: pyp@pnzgu.ru

Artamonov Dmitry Vladimirovich Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of autonomous information and control systems,

Penza State University

Litvinov Alexander Nikolaevich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of theoretical and applied mechanics, vice-dean of the faculty of correspondence education,

Penza State University

Литвинов Максим Александрович Litvinov Maxim Alexandrovich

аспирант, Пензенский Postgraduate student,

государственный университет Penza State University

E-mail: pyp@pnzgu.ru

УДК 539.2: 534.833 Артамонов, Д. В.

Динамика конических оболочек с многослойными покрытиями /

Д. В. Артамонов, А. Н. Литвинов, М. А. Литвинов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. - № 4 (24). -С.135-144.