Метод псевдодифференциальных операторов для исследования объемного сингулярного интегрального уравнения электрического поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958; 517.968.23

Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов

МЕТОД ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБЪЕМНОГО СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ1

Аннотация. Рассматривается задача дифракции электромагнитных волн на объемном теле, расположенном в свободном пространстве. Для изучения ин-тегродифференциальных уравнений, описывающих явление, используется техника псевдодифференциальных операторов. Вычислено асимптотическое разложение символа, доказаны эллиптичность и фредгольмовость с нулевым индексом оператора задачи.

Ключевые слова: уравнения Максвелла, псевдодифференциальные операторы, задача дифракции.

Abstract. The problem of diffraction electromagnetic waves on a volume body in a free space is considered. The issue is studied by pseudodifferential operators technique. Asymptotic expansion of the operator’s symbol is obtained. Ellipticity and Fredholm property with zero index of the operator of the problem are proved.

Keywords: Maxwell equation, pseudodifferential operators, diffraction problem.

1 Задача дифракции и уравнение электрического поля

Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в свободном про-

3

странстве М расположено объемное тело (область) О с границей дО класса C “, хаpактеpизующееся постоянной магнитной проницаемостью Ц° и 3 X 3 -матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости s (x). Компонентами тензора s(x) являются Ej (x) - бесконечно гладкие функции

в О , т.е. £у (x)е C~(о), причем Ej (x) = E j (x)/e°, где E° - диэлектриче-

ская проницаемость свободного пространства.

Из условия конечности энергии необходимо [1], чтобы

E£ L2 (О) = Z*2 (О)XL2 (О)XL2 (О).

Требуется определить электромагнитное поле E, H £ L2 (О), возбуж-

Е0 тт0 ~

, H с временной зависимостью вида e .

Будем искать электромагнитное поле E, H, удовлетворяющее уравнениям Максвелла, условиям непрерывности касательных компонент поля при переходе через границу тела и условиям излучения на бесконечности [1].

Задача отыскания E, H сводится к решению интегродифференциально-го уравнения [1]:

E(x) = E° (x) + k° {GE (xy)((y) — 1 )E(y)dy +

О

1 Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647.

^гаааіу | &Е (х, у )(ё (у)-1 )Е (у )<яУ, х ей, (1)

а

\Г

где Е (у) = (Е\ (у), Е2 (у), Е3 (у)) -(комплекснозначный) вектор электриче-

ского поля и у = (у1, У2, Уз) - точка в пространстве М3; I - единичная 3 X 3-

матрица; Се (х, у) =

(Г1 GE 0 0

° оЕ 0

° V 0 оЕ

+gm (x, у) х,

Л

- тензорная функция Грина, где

О™ (х, у ) = -^е-р + gm (х, у), х, у ей, gm е С°° (йхй) - гладкая функ-

4я р - у| 4 '

ция (m = 1, 2, 3); ко - волновое число свободного пространства.

В задаче дифракции электромагнитных волн на объемном теле в свободном пространстве функции ^ (у) равны нулю. Но мы будем рассматривать более общий случай, когда эти функции отличны от нуля, что, например, имеет место в задаче дифракции на теле в волноводе [2].

Кроме того, вне тела й имеем представление для поля [1]:

Е

(х) = Е° (х) + $ |Се (^у)(є(у)-1)Е(у)dy-

а

+егааа1у 16E (x,у)(г(у)-1)Е(у)dy, xе М3 \й, й

если Е (у). у ей - решение уравнения (1). Поле Н выражается через Е из уравнения Максвелла [1].

Пусть 0 ^ ):=(е (у)-1) 1 существует при всех x ей и J(у):=(е(у)-1)Е(у), откуда Е(у) = 0(у^(у), получаем уравнение (1) в виде

0^^(x) = Е0 (x) + к016E (x,у)J(у)dy + й

+ graddiv 16 E (x, у ) (у )у, x ей. (2)

й

Рассмотрим оператор, отвечающий уравнению (2):

AJ = 0^^)-к016E (x,у)J(у)dy -graddiv |<5E (x,у^(у)dy, (3)

где J(у) = (^1 (у),’12 (у)^ (у)) •

а а

т

Оператор (3) можно представить в следующем виде:

Аи = 0и -(О °Т)и, (4)

где Ти = | Се (х, у )и (у )у , Би = ( + graddiv )и (у), А = О о Т - компози-<2

ция дифференциального оператора О и интегрального оператора Т .

2 Теорема о композиции, эллиптичность и фредгольмовость

В этот пункт для удобства читателя мы включили некоторые известные теоретические результаты, которые легко найти, например, в [3-5]. Мы придерживаемся обозначений, принятых в [3].

Класс псевдодифференциальных операторов (ПДО) с символами

а(х,£)є С“(йхМи), принадлежащими пространству Шварца

Бт = Бт (ахМи), будем обозначать через Iі или і1 (й).

Пусть даны два ПДО А и В : С0°(а)^ С “(а), где С0° (а) - пространство С“ -функций с компактным носителем в области а с Ми . Для того чтобы композиция А о В имела смысл, достаточно, чтобы либо оператор А, либо оператор В был собственным.

Всякий ПДО А может быть записан в виде А = А' + А*, где А' - собственный ПДО, а А" имеет ядро Ка’ е С“ (аха), а - область в Ми .

Пусть даны два псевдодифференциальных оператора (ПДО) А и В: С“(а)^ С “(а), где С“ (а) - пространство С “ -функций с компактным

носителем в области а с Ми . Для того чтобы композиция А о В имела смысл, достаточно потребовать, чтобы один из операторов был собственным. Собственность оператора А равносильна одновременному выполнению двух условий: 1) для любого компакта К сй существует такой компакт К сЙ,

что оператор А отображает С“ (К) в С“ (К); 2) то же самое верно для

транспонированного оператора 1А [3].

Теорема 2.1 (о композиции) [3]. Пусть А е і!™1, В е 1т2 - два ПДО в области а, один из которых является собственным. Тогда С = А о В е і™1 +т2 и С = с (х, Ох) + Я , где Я е 1-“ , а с (х, ^) имеет асимптотическое разложение

с (х Е а (а (х £))(((x, ^)).

а

Определение 2.1 [3]. Матричный оператор А = а(х,О)е (й) называется эллиптическим ПДО порядка т , если detа0 (х,0, при ^0, где а0 (х, ^) - главный символ (матричный) оператора А .

Класс Цл - класс полиоднородных, или классических, ПДО.

Пусть Еі , E2 - банаховы пространства; Lin (1, E2)- множество всех линейных непрерывных операторов из Еі в E2; Comp (1, E2) - множество всех компактных линейных операторов из Еі в E2; Fred (1, E2) - множество всех фредгольмовых операторов из Lin (1, E2). Индексом фредгольмова оператора A называется число ind A = dim Ker A - dim Coker A .

Теорема 2.4 [4]. Пусть A є Fred (1, E2), R є Comp (1, E2). Тогда A + R є Fred (El, E2), причем ind (A + R) = ind A .

Мы будем иметь дело с гильбертовыми пространствами, поэтому теорема 2.4 сохраняют силу.

Пусть а - область, определим нужные нам пространства: H£omp (а) = = Е*(а) nHs (мп ), где Е'(а) - пространство всех обобщенных функций с компактным носителем в а, Hs (мп ) - пространство Соболева; Hf,c (а) -пространство таких u є D*^), что фu є Hs (мn) для любой функции

фє C° (а), где D,(а) - пространство всех обобщенных функций в а .

Теорема 2.5 [4, 5]. Если Aє (а) и а - область в Mn, то A осуществляет отображение A: HComp (а)^ Hj^^ (а). Если дополнительно предположить, что A - собственный, то A также задает отображения

a : hcSomp (а) ^ Hcom (а) и a : hfoc (а) ^ Hf~m (а).

З Уравнение электрического поля как псевдодифференциальное уравнение

Перейдем от уравнения (2) к псевдодифференциальному уравнению.

Схема перехода такова: сначала представим операторы D и T из (4) как псеводифференциальные и найдем их символы d (£) и t (£) (из дальнейшего будет видно, что символы d и t не зависят от x), затем воспользуемся теоремой о композиции двух ПДО, чтобы найти асимптотическое разложение символа а(£) оператора A = D о T . Если у интеграла не обозначена область

З

интегрирования, будем предполагать интегрирование по всему М .

Разобьем элемент ядра GEm на три слагаемых, для изучения оператора,

отвечающего первому слагаемому (его мы обозначим T), мы перейдем к ПДО, два вторых слагаемых дадут компактные операторы (обозначим их сумму R, таким образом, T = T + R, где R - компактный). В дальнейшем под оператором T мы часто будем иметь в виду T , не оговаривая этого каждый раз (когда в этом не будет необходимости), а поскольку ПДО изучаются с точностью до компактного слагаемого, то мы ничего не теряем.

Поскольку ядром оператора T служит негладкая в точке x = y функция Gе (x, у), то прежде получим формулу, которая будет позволять сглаживать ядро до любого (конечного) необходимого нам порядка.

Рассмотрим отдельно один из диагональных элементов О™ тензора

„ 1 егко|х-у|

Грина ОЕ . Представим элемент ядра О™ (х, у) =-----------------:-р + gm (х, у) в виде

4л |х - у|

°Е (x,у) = е

їк0г е

-г (і I-1 к 1

4л:

г + Е (к +1)1

\к Гк+1

+ еік0Г ^ Е ( 1)____________________

4л к=01 !к!( +1 +1)

+ Г (х, ) =

ік0г е = е 0 -

-г (1 1-1 гк 1

4л

Е

к=0

(к +1)!

+ яі (г) + ёт (^ у), 1 = 0,1,...:

(5)

где г = |х - у| и первая сумма в (5) при I = 0, как обычно, считается равной нулю.

Представление (5) получается следующим образом:

1 = 1 - е_ + £_ = 1

Г Г Г гг

-г 1 “

(-е-г)+¥=1Е

і “ I л\к Vк+1

=1^ г1!г е

г г

к=0

\к „к

“ (-1)к Гк е-г ,“(-1)к^ е-г -г

= Г / ч +---------= Г / ч +-----------е Г +

к=0 (к +'! г к=0 (к + 1)! г

е г =

“ / і \к к “ =1Ш7 - е

(-1)к Гк -Г ( 1

к=0

(к+і)!

к=0

к!

“ (-і!+1 гк = Г ( 1! г ^ + е-г

1+‘1=Е

=1 (к-1)!(к +1) I г ) к=0 к!(к + 2)

+ е~' I - +1 I =

г

(-1)к Гк+1 -г ( 1 ,

-— -----------+ е I - + 1

и т.д., каждый раз отнимая и прибавляя произведение ае-г, где а - первое слагаемое в остающейся сумме. Например, дальше нужно отнять и прибавить

^ / Л\к к+1

г -г п 1к0г 1 ( 1 г _ ЛI

величину — е . Причем е 0 — 7 —-—/----------е С (ь2), т.к. имеем

2 4л к=01 !к!( +1 + 1) У 7

) = Е Ск (г1 ^(е*0г ) *; = Е СкО(гі-к)(г-п+к+1 ) = О(г1-п+1),

-к)

к=0

к=0

и, следовательно

..і „ік^

, (ук0г )(п)е с (а),

когда і - п +1 > 1, значит,

ге'’0' е Сп (й) , как только і > п , г = |х - у|.

Формула (5) позволяет сглаживать ядро до нужного нам порядка.

Таким образом, мы представили тензор Грина в виде Се = Се 1 + К ,

где слагаемому Я, как будет показано ниже, отвечает компактный оператор (выше мы обозначили его Я).

ты

Рассмотрим оператор Т с ядром СЕ 1, где на диагонали стоят элемен-

е-г (1 I-1 гк ^

™,1 (г) = е1 оГ —— — + 70 (к—1)! (см. формулу (5)) и найдем его преоб-

разование Фурье, где г = |х - у|.

Обозначим Тти = ^От 1(х - у|)и (у ^)ёу, теперь мы считаем, что интеграл берется по всему М3 (поскольку носитель функции и (х) - компактное множество, мы можем доопределить и (х) нулем вне носителя):

Р[Тт ](и ) = Р[|От,1 ((- уI)и (у )^ = |е~и'^|От,1 ( ( - уI)и (у)=

= |е-1^отл х|е-и'^и ^)Л,

где последнее равенство получено в силу свойства преобразования Фурье свертки функций.

Обратимся к вычислению первого сомножителя. Поскольку t и Е -векторы в М3, то t -Е = |t| |Е| cos у , где у - угол между этими векторами. Введем сферическую систему координат, причем ось t3 направим по вектору Е (см. рис. 1).

..2 •

Имеем: ti = r sin^cos ф, t2 = r sin^sin ф, t3 = r cos^, Jac = r sin^ . Очевидно, что у = ^, и мы получаем:

о 2— —

Je lt'^GEm\ Jt|)dt = Jdr J dф|e ir\^cosvGmi (r)r2sin^d^ =

ooo

7З

= 2л | ОЕт 1 (г )г 2 ёг | е 1Г\Щ 008 ^ 8Іп ^ё ^ =

0 0

(

= 2л

І “Ь (г)'

)Г е

іг Щ ■іІ ®м

“

Т]Щ І вЕ,1(г )г 8Ь (іг И)ёг = Ц| 4л

ёг =

1 + Е/ ч

V к=0 (к +1)!,

8Ь (іг |Щ|)ёг =

1^^ і к л і л

=Ж\Іе"Г(1-ік0)8Ь(іг 1Щ1)Е0ГЦёг=7]ЩЕ0кГІе"гк0 к8Ь(іг\Щ)г =

I к=0 ■ 0

1 £ Г(к +1)

21 Щ1к=0 к!

(1 - ік0 - і |Щ|) к 1 -( - ік0 + і |Щ|) к 1

1 (1 -ік0 +і|Щ|)к+1 -(1 -ік0 -і|Щ|)к+1

I к=0

(1 - ік0)2 +|Щ|2

к+1

Пусть

(-ік0 +і|Щ|)к+1 -(1-ік0 -і|Щ|)к+1

(1 - ік0 )2 +|Щ|2

к+1

(6)

тогда

^[Тт ](и) = Іе-ггвд (|ґ|)ёгхІе-^и(ґ)ёг = і(Щ)Іе-іг'Щи(ґ)ёг. (7)

Используя формулу (7), мы получаем

Тти =——3 І"Гег(хґ)Щґ (Щ)и (()ё(ёЩ . (8)

(2л)3-'-'

Это уже представление оператора Тт как ПДО с точностью до компактного слагаемого Ят (Ят - скалярный оператор, а Я - матричный), отвечающего слагаемым ядра Яі и ят из формулы (5).

Теперь мы преобразуем символ (6) в полиоднородный, это нам понадобится в дальнейшем. Пока будем рассматривать одно слагаемое вида

1

1

(1 - ік0 - і |Щ|)к+1 (1 - ік0 +і %\)к+1

Введем обозначения: 1 - і^ = а, і |Щ| = г, получаем

ґк(гк =

к +1

(

2г

к+2

V

Н)к+1 (1 -а

-к -1

-I 1 +

а

-к -11

к +1

2г

к+2

((-1)к+1 ґЛг)- ґк+(г)

а 1-к-1 ( а Л-к -1

где ґк(г к = I1 -Ч , ґ+(г к=I1+г

Воспользуемся биноминальным разложением для ґк- (г),

чаем

ґ-(г )=|1 -а і = е

-к-1

(к + п)!( а

п=0

-к -1

ґк+(г )=|1+ГI = Е (-1)

(к + п)!

п=0

а

Теперь мы можем выписать ґк (г):

/ \ к + 1 ^ (к + п)!// ,\к+1 / ,\п \(а

ґкИ=2Гк+2Е-пїкгИ -г-]))

п=0 4

Найдем выражение для ґ(г):

ґ (г )=Е Е тк+г (ктИ^1 -(-1)”) I -і =

п=0к=0 2Г

і “ / ч і / \п і

=1 Е^ -ИГ) “г(Е

' п=0

1 (а 1п ' (2к + 1)(п + 2к)!

п! I г I (о \ і ,м2к+2

к=0

(2к )!г

■2Е(1 -(-1)) 1 (а I Е

' п=0

1 (а 1п £ (2к + 2)(п + 2к +1)! =

к=0

2 4 ' /п!I г і к"0 (2к +1)!г2к+3

(Л.(“ 12п £ (2к + 1)(2п + 2к)! +

п=0

г2”)!

к=0

(2к)!

2к+2

и

ґк+(г), полу-

+Е

1

а

(2п +1)!I г

^ ,2п+1 £ (2к + 2)(2п +1 + 2к +1)!

п=0У^.,±ҐК.; к=0 (2к + 1)!г

1 (а 12п^ (2к + 1)(2п + 2к)!

2к+3

=4Е (“1 Е

(2п)!

к=0

(2к)!

2к

+

а

г4 п=0 (п + 1)!

а 12п £ (2к + 2)(2п +1 + 2к +1)!

к=0 (2к +1)!

В результате мы получаем такое разложение:

,.2к

ґ

(г) = —2 + _1_(_3 + 4а-а2 І + к(-5 +16а-18а2 + 8а3 - а4 ) +

- го

+—( + 36а- 75а2 + 80а3 -45а4 + 12а5) +... = £

Г п=0

Рп (а)

г

,.2п

где рп (а) - многочлен от а, его степень в общем случае не равна п .

Вернемся в выражении для символа t (^) к старым переменным, получим

ґ(Щ) = ^ рп (1 ік0 к Е ( 1)прп (1 ік0 к

^Щ' = ^ / .|Єі\2п = 1 |е|2

п=1 ( |Щ) п=1 ІЯ

|2п

(9)

Из формулы (9) видно, что символ t(^) является полиоднородным

(классическим), а оператор ему отвечающий - полиоднородный (классический) ПДО.

Теперь мы можем выписать символ оператораТ , рассматриваемого как

ПДО:

(10 0 ^

* (Щ)=ґ (Щ)

0 1 0 V0 0 Ь

=ґ(Щ)і.

Рассмотрим оператор В = ( + graddiv ). Нетрудно показать, что символ d (Щ) оператора В, рассматриваемого как ПДО, будет равен

* (Щ) = -

щ2 - к2 Щ1Щ2 Щ1Щ3

Щ1Щ2 Щ2 - k°) Щ2Щ3

Щ1Щ3 Щ2 Щ3 Щ2 - к0

По теореме о композиции В о Т - ПДО и асимптотическое разложение символа оператора В ° Т есть (Щ) (теорема о композиции имеет место, поскольку оператор В является собственным):

оо

dt (5) = - (5)

52 - to2 5і52 5і5з

5152 52 - k0 525з

5153 525з 52 - k0

(lO)

Уравнение (2) как псевдодифференциальное запишется в виде

O

где

AJ = E

AJ = —ff ei(x y )5(0 (x)- dt (5)J (y )dyd 5, (2я)

(ll)

(l2)

где Л (^) определяется формулой (10).

4 Эллиптичность и фредгольмовость ПДО задачи

В этом пункте на основе изучения символа (10) оператора (12) мы покажем, что этот оператор при некоторых ограничениях является эллиптическим на а . Мы также докажем фредгольмовость этого оператора при дополнительном условии.

Пусть

|5|2

52 5і52 5і5з '

5152 52 525з

5153 525з 5з

Рассмотрим выражение

0 (х) + о = |^1 + о (г -1 ) 0 (х) = а0 (х, ^). Это выражение - главный символ исследуемого ПДО (12). Вычислим det ао (х, ^), важно, чтобы он не обращался в нуль (см. определение в п. 3):

det ао (х, ^) = det ( + о (г -1 )] 0 (х )) = det (I + о (г -1 ))(det ( -1) 1.

Полагаем, что

det(г-1) 0, хеО (13)

(это соответствует физическим ограничениям). Имеем для о представление в виде

5' 2 2 2

очевидно, можно положить |5 = cos а', где cos al + cos а2 + cos аз = l. Определитель det aO (x, 5) отвечает за эллиптичность оператора A .

f 5l ' Г Ы15 '

52 (5l 52 5з ) = Ы15 (5 5^15 5з/І5)

15з j 1W15 j

Введем следующие обозначения: nT =(cos ( cos 02 cos аз),

)=(е1г е2i е3г )T , n • s(i)= a . Теперь определитель det ( + о(г -1)) вычислить просто:

det( + о(s -1)) =

1 + cos Oi ( - cos ai) cos ai ( - cos 02) cos ai (аз - cos 03) cos 02 (ai - cos Oi ) i + cos 02 (2 - cos 02 ) cos 02 (аз - cos 03 ) cos 03 (ai - cos 0i) cos 03 ( - cos 02) i + cos 03 (аз - cos 03)

Используя свойства определителей и обозначения cos 0i = b. ai - cos 0i = Ci, получаем следующее:

blcl blc2 b1c3 l 0 0

det (і + о (є -1 )) = b2cl 1 + b2c2 b2c3 + b2cl 1 + b2c2 b2c3

bbcl b3c2 1 + hcз b3c1 ^c2 1 + hcз

Далее точно так же поступаем с каждой строкой, в которой есть элемент вида 1 + ajbj, получим сумму определителей, которые состоят только из элементов вида afo, 1 и O. После простейших выкладок получаем окончательный результат:

з _

A(x ) = det (і + о (є -1 ))= ^ cos а' cos ау £у Ф O, £у = £у (x), x єй . (14)

', J=1

Ограничение, о котором шла речь в начале этого пункта, - это отличие от нуля последнего определителя.

Из вышесказанного следует

Теорема 4.1. Оператор A : И^^ (й)^ И8Ж (й), определенный по

формуле (12), является эллиптическим ПДО при условиях (1з) и (14).

Теперь докажем фредгольмовость этого оператора.

Определим пространства Соболева:

И8 (й) := ju|й : и є И8 (м2 ) и И8 (й) := ju є И8 (м2): suppи с й} .

Будем рассматривать указанные пространства при 8 > O исходя из физических соображений (условие конечности энергии в любом ограниченном объеме) [l].

Мы докажем при некоторых дополнительных условиях фредгольмо-вость с нулевым индексом оператора A в двух случаях. Представим A в виде A = Aq + A', где Aq определяется символом aO(x,5) = 0(x) + о(5); A' - компактный оператор. Из формул (9) и (10) видно, что оператор A' действует из И 8 в И 8+2 . Поскольку И 8+2 компактно вкладывается в И 8 , то из этого следует компактность A' . Поскольку индекс фредгольмова оператора не ме-

няется при прибавлении к нему компактного оператора, то нам достаточно доказать фредгольмовость с нулевым индексом оператора Ад •

Известно (см., например, [6]), что если ограниченный оператор А имеет вид А = S + Т, где S - непрерывно обратим, а Т - компактный, то А -фредгольмов оператор с нулевым индексом.

Нам остается доказать непрерывную обратимость оператора Ад .

2

Случай 1. Докажем, что Яе[Ады,и)> Сд ||и||0. Это будет иметь место когда Яе ( (х) и А х), и (х) )> С ||ы 112 . Действительно,

Яе (АдЫ, и )== Яе 10 (х)ы (х)• и (х)йХ + й

+ Яе—Г Г Гег(х у(^)и(у)йуй\

(2я) йVйй

г (х )йх =

= Яе

|0(х)и(х)•и(х)йх-

й

\ (

+ Яе—1—з Гд(^) Ге іу'^и(у)йу • Ге гх^и(х)йх

(2л)3 й V й

= Яе

Г 0 (х )и (х )• и (х )йх Н--Г

й (2л) й

/ V й

2

ЇЇ ы («

й ^> с1 и д.

При проведении вычислений мы воспользовались известной теоремой Планшереля о переходе к образам Фурье в скалярном произведении (см., например, [7]). Поскольку теорема Планшереля имеет место для 5 = 0 (т.е. для пространства Ь2_), то фредгольмовость с нулевым индексом доказана в пространствах Н0 (П).

Рассмотрим условие Яе((х(и(х),и(х))>С^||и||^, имея в виду, что Яе((х(и (х), и (х)) = | Яе((х(и(х)• и (х))х . Пусть и = 0-1у = ((х)-1(у .

й

Тогда

Яе((х)и (х)• и (х)) = ЯеV • ((х)-1) =

= Яе V •( (х)-1) = Яе V •((х)-1) = — Яе г (х)v •

е0

Таким образом, условие Яе(0(х)и (х), и (х))> С \\и\^ следует

- I |2 V - V .

из

Яе г (х ^ • V > (С2 + 1) , при х ей и С2 > 0 .

(15)

Случай 2. Чтобы показать, что Кег Ад ={0}, достаточно (см., напри-

2

мер, [8]) доказать, что 1т(Аи,и) > Сд ||и||0 . Последнее выполняется при условии 1т(б(х(и(х), и(х)) > С2 ||и||2 , хе й . Вычисления здесь аналогичны случаю 1, но условия на тензор г, которые мы получим в результате, будут другими.

Рассмотрим условие - 1т ( (х (и (х), и (х ))> С2 ||и||2, имея в виду, что

- 1т (в (х )и (х), и (х )) = - Г 1т ( (х )и (х )• и (х ))х.

й

Пусть и = В-^ = ((х)-1)v . Тогда

- 1т (б (х (и (х )• и (х )) = - Іт V ((х) -1) =

= - Іт V ((х)-1) = Іт V ((х)-1) = Іт г (х ^ • V .

Таким образом, условие Іт ( (х (и (х), и (х ))> С^ |и||2, х ей, следует из

2 —

Іт г (х )v • V > С3 V при х ей . (16)

Теорема 4.2. Пусть выполнены условия (13) и (14). Тогда, если дополнительно выполнено одно из двух условий (15) или (16), то оператор А: Ь 2 (й)^ Ь 2 (й), определенный формулой (12), является фредгольмовым с нулевым индексом.

5 О компактности оператора М

Здесь мы докажем компактность матричного оператора Я, состоящего из скалярных операторов Ят, с ядрами gl (х - у|) + gm (х,у)

(см. формулу (5)).

Пусть й - область с бесконечно гладкой границей.

Теорема 5.1 [9]. Пространство Нк (й) компактно вкладывается в С (й), если к -1 > п/2.

Ясно, что тогда и Нк (й) (см. обозначения в конце п. 4) компактно вкладывается в С1 (й) при тех же условиях.

Рассмотрим интегральный оператор с ядром gl (х - у|). Функция gl (х - у|) на области й является ограниченной, следовательно, и интегральный оператор будет ограниченным. Кроме того, т.к. функция gl (Iх - у| )е С (й) , то интегральный оператор с ядром gl (х - у|) действует

из с1 (й) в с1 (й). Тогда из теоремы 5.1 следует компактность этого опера-

тора как оператора из Hs (й) в Сl (й) при s > l + З/Q . Легко показать, что

тождественный оператор I: С (й) —> Hk (й) является оператором вложения. Оператор вложения всегда ограничен. Из этого следует компактность интегрального оператора с ядром gl (x - y|) из Hs (й) в H1 (й) при s > l + З/Q. Наличие оператора дифференцирования в композиции операторов не играет ключевой роли, поскольку гладкость функции gl (x - y|) мы можем повысить до нужного порядка. Аналогичное утверждение (о компактности) будет иметь место и для оператора, отвечающего слагаемому gm (x, y)

в формуле (З), поскольку это слагаемое бесконечно гладкое.

Таким образом, мы обосновали все этапы перехода от уравнения (Q) к уравнению (ІІ) и доказали, что оператор A, определенный формулой (І2), является фредгольмовым с нулевым индексом при условиях (ІЗ), (І4) и любом из условий (ІЗ) или (Іб).

Список литературы

І. Самохин, А. Б. Итерационные методы в электромагнитном рассеянии I А. Б. Самохин. - М. : Радио и связь, І998.

Q. Smirnov, Yu. G. Investigation of Electromagnetic Diffraction by a Dielectric Body in a Waveguide Using the Method of Volume Singular Integral Equation I K. Kobayashi, Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov II SIAM Journal of Applied Mathematics. - Q009. -V. 70. - № З. - P. 9б9-98З.

3. Егоров, Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Элементы современной теории I Ю. В. Егоров, М. А. Шубин II Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - Т. ЗІ. Итоги науки и техники. - М. : ВИНИТИ, І988. - С. З-І2З.

4. Шубин, М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория I М. А. Шубин. - М. : Добросвет, 200З.

З. Ремпель, Ш. Введение в общую теорию индекса эллиптических краевых задач I Ш. Ремпель, Б.-В. Шульце. - М .: Мир, І98б.

6. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов I Т. Като. - М. : Мир, І972.

7. Егоров, Ю. В. Лекции по уравнениям с частными производными. Дополнительные главы I Ю. В. Егоров. - М. : Изд-во Московского университета, І98З.

5. Панич, О. И. Введение в общую теорию эллиптических краевых задач I О. И. Панич. - Киев : Вища Школа, І98б.

9. Мазья, В. Г. Пространства Соболева I В. Г. Мазья. - Л. : Изд-во Ленинградского университета, І98З.

Валовик Дмитрий Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Valovik Dmitry Viktorovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

E-mail: dvalovik@mail.ru

8З

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: smimovyug@mail.ru

УДК 517.958; 517.968.23 Валовик, Д. В.

Метод псевдодифференциальных операторов для исследования объемного сингулярного интегрального уравнения электрического поля / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 4 (12). -С.70-84.

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University