О фредгольмовости интегродифференциального оператора в задаче дифракции электромагнитной волны на объемном теле, частично экранированном системой плоских экранов Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.968, 517.983.37, 517.958:535.4

А. А. Цупак

О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА В ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ОБЪЕМНОМ ТЕЛЕ, ЧАСТИЧНО ЭКРАНИРОВАННОМ СИСТЕМОЙ ПЛОСКИХ ЭКРАНОВ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Цель работы - теоретическое исследование векторной задачи рассеяния электромагнитной волны на частично экранированном объемном теле.

Материалы и методы. Задача рассматривается в квазиклассической постановке; краевая задача сводится к системе интегродифференциальных уравнений, для исследования которой применяются элементы теории псевдодифференциальных операторов на многообразиях с краем.

Результаты. Сформулирована квазиклассическая постановка задачи дифракции; краевая задача сведена к системе интегродифференциальных уравнений; оператор системы уравнений рассмотрен как псевдодифференциальный оператор (ПДО) в пространствах Соболева на многообразиях с краем; исследована квадратичная форма матричного ПДО, установлена ее коэрцитив-ность; доказана фредгольмовость ПДО.

Выводы. Получен результат о фредгольмовости матричного интегродиф-ференциального оператора рассматриваемой задачи дифракции, важный для дальнейшего теоретического исследования задачи дифракции и для обоснования проекционных методов ее приближенного решения.

Ключевые слова: векторная задача дифракции, интегродифференциаль-ные уравнения, пространства Соболева, псевдодифференциальные операторы, квадратичная форма, коэрцитивность.

A. A. Tsupak

ON FREDHOLM PROPERTY OF AN INTEGRO-DIFFERENTIAL

OPERATOR IN THE PROBLEM OF ELECTROMAGNETIC WAVE DIFFRACTION ON A VOLUMETRIC BODY, PARTIALLY SCREENED BY A SYSTEM OF FLAT SCREENS

Abstract.

Background. The aim of this work is to study a new vector problem of electromagnetic wave scattering on a partially shielded volumetric inhomogeneous anisotropic body.

Material and methods. The problem is considered in the quasiclassical formulation; the original boundary value problem is reduced to a system of integro-

1 Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-1100344).

differential equations; the properties of the system are studied using pseudodifferential calculus in Sobolev spaces on manifolds with a boundary.

Results. The quasiclassical formulation of the diffraction problem is proposed; the boundary value problem for Maxwell's equations is reduced to a system of in-tegro-differential equations; the operator of this system is treated as a pseudodifferential operator (yDO) in Sobolev spaces on manifolds with a boundary; the quadratic form of the matrix yDO is studied and is shown to be coercive; the Fredholm property of the yDO is proved.

Conclusions. The matrix yDO is proved to be a Fredholm operator of zero index; this results can be used for further theoretical study of the diffraction problem as well as for validation of numerical methods.

Key words: vector diffraction problem, integro-differential equations, Sobolev spaces, pseudodifferential operators, coercive quadratic form.

1. Постановка задачи дифракции.

Система интегродифференциальных уравнений

Пусть Q - ограниченная область с кусочно-гладкой границей dQ, причем некоторая часть этой границы Q - плоский экран или система непересекающихся плоских экранов: QcdQ . Край BQ := Q \ Q экрана Q -

гладкая кривая (или система кривых) класса Cбез точек самопересечения; SQg := ^ Bg (x) - трубчатые окрестности края экрана. Предполагаем, что

xe9Q

экран Q - абсолютно проводящая поверхность с определенным заранее полем нормалей n.

Область Q является неоднородной и анизотропной; она характеризуется постоянной магнитной проницаемостью це > 0 и тензорной диэлектрической проницаемостью e(x), причем егу е C(Q). Потребуем, чтобы во всех

точках области неоднородности существовал тензор \(x) = (er (x) -1) 1; здесь sr = s / Ze - тензор относительной диэлектрической проницаемости. Кроме того, всюду в Q для Z(x) должно выполняться хотя бы одно из условий:

Ree(x)v • v > C1 | v |2 при C1 > 0, (1) _ 2

Im e(x)v • v > C2 | v | при C2 > 1 (2)

для всех v е С .

3 —

Свободное пространство Ж \ Q однородно с постоянными значениями

3 —

проницаемостей це > 0 и Ze , причем всюду в Ж \ Q выполняются условия

Re£е >0, Im£е > 0. (3)

Задача дифракции электромагнитной волны с гармонической

—irat гл

зависимостью от времени вида е на частично экранированном теле Q приводит к следующей системе интегродифференциальных уравнений [1]:

E

(x )-(ke2 + grad div) J G (x, y)(er (y) -1 )E (y )dy-

Q

-(kl + graddiv) JG(x,y)u(y)dsy = Eo (x), xe Q,

Q

-(ke2 + graddiv) J G (x, y)(er (y) -1 )E (y )dy -

Q

-(ke + graddiv) J G (x, y )u (y )ds}

Q

= Eo,t(x), xe Q.

(4)

/т

2 2

Здесь ке - волновое число (ке =ю £еце); E - полное электрическое поле; Eo - падающее электрическое поле; u - поверхностная плотность электрического тока на О (представляет собой векторное поле, касательное к О); I - единичный 3 X3-тензор.

Функция Грина уравнения Гельмгольца в свободном пространстве определяется стандартным образом:

е'ке\х - У\

G (х,у ) = а(х,у) I = 1;

символом (w )т обозначена операция вычисления касательной компоненты векторного поля w во внутренних точках экрана О [2, с. 97].

Введем ток поляризации J(у) = (ег(у) — I^(у) и перепишем систему

(4) в токах, разделив первое уравнение на ке, а второе - на ке :

1 ^(х ^ (х) — -1 (ке2 + вгаааху) \ G (х, у )J (у )у —

ке ке Q

—!Т(к2 + ) |G(х,у)(у^у = к-Eo (х), хе Q,

ке О ке

ke +

■^-graddiv IJG(x,y)J(y)dy-

'Q

ke +

-1 grad div IJ G (x, y )u (y )ds

'Q

H

= Eo,t(x), xeQ.

ke

(5)

Представим тензор G в виде G(x, у) = Go( х, у) + G1(x, у), где

Go(х,у) = Со(х,у)I = (4п|х — у|) 11, и введем оператор системы (5):

L = A + K1 + K2.

(6)

Компоненты матричных операторов в разложении (6) определим следующим образом:

1 ~ 1 г ~

4цJ(x) = -=-£(x)J(x) — -=-graddiv I G0 (x,y)J(y)dy,

ke ke q

1 Г ~

A12u(x) = — ygraddiv J G0 (x,y)u(y)dsy,

Q

A21J(x)=

1 Г ~

—graddiv J G0 (x,y )J(y)dy

Q

/Т

A22u (x ) =

(ke + k-grad div) J G 0 (x, y )u (y )ds

Q

(7)

/т

K

11J (x ) = — kr J GG0 (x, y )J (y )dy, K2U (x ) = — -J G 0 (x, y )u (y )dsy,

Q

*2J (x ) =

Q

-ke J G0 (x, y )J( y )dy

Q

K^u (x ) = 0.

(8)

Л

>2

Компоненты оператора К в разложении (6) определяются согласно

" 2 "

системе (5), причем ядро интегральных операторов в К - тензор х, у).

Будем рассматривать введенный оператор как матричный псевдодифференциальный оператор (ПДО) в пространствах Соболева на многообразиях с краем [2-4]:

I: ¿2(Я)хЖ(й) ^ ¿2(Я)хЖ'(й), где Ж(й) = Ж - пространство сечений векторных расслоений [2, с. 88], представляющее собой пополнение Сд°(й) по норме || • \Ж:

II и \Жг=\\и \ —1/2 + I и\\-1/2 .

Здесь \ \и\—1/2 обозначает норму в пространстве Соболева Н-1/2(й); пространство Ж'(й) = Ж' - антидвойственное к Ж [2, с. 88].

2. Коэрцитивность квадратичной формы оператора задачи дифракции

Введем обозначения: 4(6) х Ж(й) =: Р, ¿2(6) х Ж'(й) =: Р' и (^ и) =: w е Р.

Теорема 1. Квадратичная форма (Lw,w) ,3 оператора Ь является

Ь2

коэрцитивной, т.е. существует такой компактный оператор Ьс : Р ^ Р', что для всех w е Р выполняется неравенство

1т((Ь — Ьс)w,w)Ьз >у|Н|Р (9)

с некоторой константой у > 0.

" 1 " 2

Доказательство. 1. Покажем сначала, что операторы К , К компакт" 2

ны в выбранных пространствах. Для К это очевидно, так как ядра интегральных операторов в определении всех К2 имеют устранимую особенность.

Компактность К1 следует из свойств операторов типа потенциала, оператора касательного следа и компактности операторов вложения в пространствах Соболева. Так как u е Ж, то К^ е Н[5], поэтому 1 3

К12 : Ж ^ Ь2^) компактен. Аналогично, из условия J е Ь2^) следует [6] |Go (х,у)(у)у е н1с(М3), откуда Kl1lJе Н2^) и К^е Н3/2(О); сле-

Q

13 3 13 ^

довательно, операторы К^ : L2(Q) ^ L2(Q) и К21 : Ь^^) ^ Ж' компактны.

2. Остается показать, что квадратичная форма (Aw,w) ь3 оператора А

Ь2

удовлетворяет условию коэрцитивности. Имеем:

((А11 А12VJ^ (JМ

(Aw, w )/3 =

A21 A22 )[ u )[ u

yV-21 "22/v / V JJ = (A11J, J) + (A12u, J) + (A21 J, u) + (A22u, u). (10)

В работах [7, 8] показано, что при выполнении одного из условий (1) или (2) ПДО

AJ(x) = (x) J(x) - grad div J Go (x, y) J (y )dy = k^ 1 J(x)

Q

является фредгольмовым с нулевым индексом, а для его «главной части» Aq верны неравенства

Im(A) J, J) >Yo| J||Z3(Q) при Yo > 0 (11)

Re( AoJ, J) > Y11| J|| Z3(Q) при Y1 > 1. (12)

Обозначая 1/ ke через k1 := k{ + ik{, получим

Im( A11 J, J) = Im (k1 (A J, J)) = k{ Im( A J, J) + k'Re( A J, J).

и

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Отсюда, а также из (11), (12) и ограничений (3) на £д, выводим:

1т(( - аЦи, з) >У2| И, (13)

где 72 > 0, а АЦ : ¿2(6) ^ ¿2(6) компактен. Отметим, что свойство коэрци-тивности (13) выполняется и в случае, когда область неоднородности 6 не является поглощающей.

Рассмотрим теперь квадратичную форму оператора А22 :

1т( Л_22и, и) = 1т | (ке + —grad div) о( х, у )и( у х =

й е й

= 1т Ца(^)(ке«(К) - к- К(К • й(£)))е"%с1 К • и(х)ёх =

ке

= 1т \а (К) Vке№ - к- К(К • Ш ] и(К¥К =

V

= 1т + а '(К)

Ч<К)

Л

V 1

keU(^) — — й®) й(^ =

ke

= Im ke

j^I ¿( ^ d J JL| ад)|2 d *

Л

+ Im(A|2u,u) >

>Y 3| |u|\W + Im( u).

(14)

В сделанных выше преобразованиях оператор А22 представлен как

„ 1 Т ~ ПДО с матричным символом с(А22) = а(К)(кеI--К® К ), а(К)I - символ

ке

Г~ 1

интегрального оператора |Со(х,у)и(у^у , а -— - главная часть а(К). Из

й ^К) (14) видно, что квадратичная форма оператора А22 также удовлетворяет условию коэрцитивности. Покажем теперь, что

(Auu, J ) = ( A21J, u).

(15)

Всюду ниже будем рассматривать плоские экраны, перпендикулярные

2 12 Т 12

оси 0хз . Пусть йс! , тогда и = (и ,и ,0) и (у)х :=(у ,V ,0) для всех

1 к -

вектор-функций у , заданных на й . Обозначим = = —г- =: кь к1 = ко, тогда

к I к |2

-(А^и,И) = |И(х)к gradх divх |бо(х,у)и(у№уёх =

Q

Q

f I

k1 Jdivx J(x)divx JGo(x,y)u(y)dsy

Q V Q

dx -

— i

J divx J(x)divx JGo(x, y )u(y )dsydx =

Q

Q

(

= k J J(x) divx JGo (x, y)u(y)ds

y

nQ(x )dsx +

dQ V Q

+k1 Ju(y) J grady Go (x, y) divx J(x)dxdsy =: i1 + i2 .

QQ

Рассмотрим теперь форму (L21J, u):

-(A21J,u) = Ju(x)k2gradxdivx JGo(x,y)J(y)dydsx -QQ

= k2 Ju(x)gradx J gradx Go(x, y )J(y )dydsx =

Q

Q

= -k2 J u( x) grad x J grad y Go( x, y )J (y )dydsx =

Q

Q

Q

-k2 Ju(x)gradx J divy (Go(x, y )J(y)) -

VQ

- JGo( x, y )div y J( y ))dy

Q

sx =: h + ^2.

Так как

/1 = -k2 Ju(x)gradx J Go(x, y)J(y) • nQ (y)dsydsx =

Q dQ

= -k2 Ju(y) J grady Go (y, x)(J(x) • nQ (x))dsxdsy = Q dQ

= k2 J J(u(y) • gradxGo(x,y))(J(x)• nQ(x))dsydsx = dQQ

f I

= k2 J J(x)divx JGo(x,y)u(y)dSy nQ(x)dsx = ii

dQ V Q J

и

/2 = k2 Ju(x)gradx JGo(x, y)divy J(y)dydsx = QQ

= k2 Ju(y) Jgrady Go(y, x)divx J(x))dxdsy = QQ

= k2 Ju(y) J grady Go (x, y) divx J(x))dxdsy = ^, QQ

то получим требуемое соотношение: (A12u, J) = (A21J, u).

Из доказанного выше, а также из (13) и (14) заключаем, что

Im((A - Ac)w, w) >Y|\w\\p (16)

с некоторой константой y > 0 и компактным оператором Ac : P ^ P'.

Из доказанной теоремы следует основной результат работы.

Теорема 2. Оператор A: P ^ P' является фредгольмовым с нулевым индексом, причем для случая области Q без поглощения достаточно выполнения ограничений (1) и (3); если же область неоднородности Q является поглощающей, то дополнительно должно выполняться условие (2).

Заключение

Рассмотрена задача дифракции электромагнитной волны на сложном препятствии. Применение теории потенциала и псевдодифференциальных операторов позволило доказать важное утверждение о коэрцитивности квадратичной формы матричного интегродифференциального оператора, которое играет существенную роль для дальнейшего теоретического и численного исследования поставленной задачи.

Список литературы

1. Smirnov, Y. G. Integrodifferential Equations of the Vector Problem of Electromagnetic Wave Diffraction by a System of Nonintersecting Screens and Inhomogeneous Bodies / Y. G. Smirnov, A. A. Tsupak // Advances in Mathematical Physics. - 2015. - Vol. 2015. - 6 p.

2. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : ИПРЖР, 1996. - 173 с.

3. Агранович, М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей / М. С. Агранович. - М. : МЦНМО, 2013. - 379 с.

4. Трибель, Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / Х. Трибель. - М. : Мир, 1980. - 664 с.

5. Costabel, M. Boundary integral operators on Lipschitz domains: elementary results / M. Costabel // SIAM Journal of Mathematical Analysis. - 1988. - Vol. 19, № 3. -P. 613-626.

6. Banjai, L. Boundary element methods / L. Banjai. - Zurich, 2007.

7. Валовик, Д. В. Метод псевдодифференциальных операторов для исследования объемного сингулярного интегрального уравнения электрического поля / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-маткматические науки. - 2009. - № 4 (12). - С. 70-84.

8. Valovik, D. V. Pseudodifferential Operator Method in a Problem on the Diffraction of an Electromagnetic Wave on a Dielectric Body / D. V. Valovik, Y. G. Smirnov // Differential Equations, 2012. - Vol. 48, № 4. - P. 517-523.

References

1. Smirnov Y. G., Tsupak A. A. Advances in Mathematical Physics. 2015, vol. 2015, 6 p.

2. Il'inskiy A. S., Smirnov Yu. G. Difraktsiya elektromagnitnykh voln na provodyashchikh tonkikh ekranakh. Psevdodifferentsial'nye operatory v zadachakh difraktsii [Electromagnetic wave diffraction on thin conducting screens. Pseudodifferential operators in diffraction problems]. Moscow: IPRZhR, 1996, 173 p.

3. Agranovich M. S. Sobolevskie prostranstva, ikh obobshcheniya i ellipticheskie zadachi v oblastyakh s gladkoy i lipshitsevoy granitsey [Sobolev spaces, their generalizations and elliptic problems in areas with smooth and Lipschitz boundaries]. Moscow: MTsNMO, 2013, 379 p.

4. Tribel' Kh. Teoriya interpolyatsii. Funktsional'nye prostranstva. Differentsial'nye operatory [Interpolation theory. Functional spaces. Differential operators]. Moscow: Mir, 1980, 664 p.

5. Costabel M. SIAM Journal of Mathematical Analysis. 1988, vol. 19, no. 3, pp. 613626.

6. Banjai L. Boundary element methods. Zurich, 2007.

7. Valovik D. V., Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matkmaticheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2009, no. 4 (12), pp. 70-84.

8. Valovik D. V, Smirnov Y. G. Differential Equations. 2012, vol. 48, no. 4, pp. 517-523.

Цупак Алексей Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: altsupak@yandex.ru

Tsupak Aleksey Aleksandrovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 517.968, 517.983.37, 517.958:535.4 Цупак, А. А.

О фредгольмовости интегродифференциального оператора в задаче дифракции электромагнитной волны на объемном теле, частично экранированном системой плоских экранов / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2015. - № 4 (36). - С. 3-11.