CC BY
560
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ С ДИНАМИЧЕСКИМИ СТРУКТУРНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
В статье рассматривается метод обобщения традиционной модели линейной регрессии, когда значения структурных параметров этой модели являются переменными во времени величинами. Использование разработанного метода динамизации параметров регрессионных зависимостей иллюстрируется на примере модели макроэкономической производственной функции.
Применение эконометрических методов базируется, как правило, на представлении изучаемого процесса в виде линейной регрессионной модели, которая в стандартном виде задается соотношениями:
у = Ха + е,
X =
У = (Уі>-> Ут X а' = Ц — ат X Є = (Єї,..., Єт X (1)
где т - число оцениваемых структурных параметров; Т - число наблюдений (длина временных рядов переменных, если речь идет о динамических процессах); у
- вектор значений зависимой переменной; Х - матрица наблюдений объясняющих переменных; а - вектор структурных параметров; е - вектор случайных отклонений, которые, по предположению, обладают нулевым математическим ожиданием (М(е) = 0) и фиксированной дисперсией (М(ее ') = сте Е, где Е -единичная матрица, ое2= свт(). Коэффициенты модели (1) предполагаются постоянными и отражают степень влияния каждого из факторов, включенных в модель, в среднем за период 1, ..., Т. Условия (требования) существования оценок {аг} в модели (1) следующие: 1) число наблюдений не меньше числа оцениваемых параметров и 2) ранг матрицы X равен числу оцениваемых параметров, т.е. столбцы матрицы X линейно независимы. В регрессионном анализе рассматриваются задачи, в которых Т >т, и, как правило, Т существенно больше т. Соответственно требование 1) предполагается выполненным заранее. Требование 2) с содержательной точки зрения означает, что имеющаяся эмпирическая информация об исследуемом процессе должна обладать достаточным разнообразием, обеспечивающем возможность идентификации модели (1). При соблюдении данных условий набор структурных параметров для модели (1) находится по методу наименьших квадратов (МНК):
а = (XX )-1 Ху.
С вычислительной точки зрения модель (1) - избыточная система уравнений, точное решение которой не существует, а приближенное решение (квазирешение, если пользоваться устоявшейся математической терминологией) задается формулой МНК.
Естественное обобщение модели (1), представляющее широкий класс практически важных численных задач как в области экономико-статистических исследований, так и в технической и прочих областях, имеет вид:
1 Статья подготовлена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 05-06-80339).
Х11---Х1т
ХТ1 " Тш
Уі =Е
ха + Є = ХЛ +Є,
(2)
где аи - переменные во времени величины, как и в (1), являющиеся структурными инвариантами по отношению к Хц, т.е. элементы а вектора а\ =(а^, ..., аШ и хй- не зависят друг от друга в каждый данный момент времени ?.
Очевидно, что применительно к модели (2) условия существования оценок МНК, указанные выше, не удовлетворяются, поскольку на каждое наблюдение приходится ш оцениваемых структурных параметров. По существу, в вычислительном отношении задача (2) является недоопределенной, поскольку не формализован критерий, позволяющий выбрать из числа допустимых векторов а (а таких векторов бесконечно много) набор структурных параметров, который при определенных условиях можно принять в качестве решения задачи (2).
Наиболее очевидный путь исследования вопроса оценки степени изменчивости во времени структурных параметров модели (1) - разбиение исходной временной последовательности (выборки) данных на некоторое количество интервалов (подвыборок), расчет значений структурных параметров модели (1) для каждого отдельного интервала и сопоставление полученных результатов между собой.
Предположим, что исходный временной интервал разбит на N интервалов, каждый из которых содержит 0 наблюдений, т.е. Т=Ж. Соответственно вместо модели (1) рассмотрим набор моделей того же типа, т.е.:
Т ттТ Т і
у = Ха + е х
( Т—1)0+11 ...ХТ( Т—1)0+1 Ш
у (у(Т—1)0+1,..., УТ0 ) ,
аТ = (ах
е “ (е(Т—1)0+1,..., ?
т = 1,..., N.
0)'
(3)
х01........... Т0т _
Обоснованное суждение о динамичности параметров модели (1) возможно лишь при разбиении исходной совокупности данных на достаточно большое количество интервалов. Это в свою очередь приводит к тому, что число наблюдений, приходящихся на каждый из интервалов, становится сравнимым с числом оцениваемых параметров, т.е. 0 ненамного превосходит т. И теория, и практика регрессионного анализа свидетельствуют, что естественное следствие такого соотношения 0 и т - неудовлетворительные результаты оценивания совокупности моделей (3) с точки зрения как формальных характеристик структурных параметров (в частности их стандартных ошибок), так и содержательного толкования рассчитываемых оценок.
В связи со сказанным рассмотрим статистическую модель, в которой наряду с совокупностью соотношений (3) имеются соотношения, устанавливающие связь векторов оцениваемых параметров а в последовательные моменты времени, т. е.
ХТаТ
Т-1
у
Т Т-1 оТ
а - а =Ь Т =1,..., N
(4)
(5)
где вектор 8Т по смыслу аналогичен вектору еТ, остальные обозначения те же, что и в (3).
В отличие от набора моделей (3), искомые структурные параметры которых могут быть найдены независимо друг от друга, соотношения (4)-(5), взятые в совокупности, образуют именно единую модель, так как должны рассчитываться одновременно.
а
Т
Если рассматривать (4)-(5) как регрессионную модель, необходимо явным образом зафиксировать какие-либо гипотезы относительно характера распределения векторов {еТ},{8Т}. При этом очевидно, что элементы векторов еТ и 8Т должны иметь различную дисперсию. Так, элементы {еТ} характеризуют погрешность аппроксимации зависимой переменной, а элементы {8Т} - различия значений отдельных структурных параметров в последовательные моменты времени. Примем, что все элементы векторов {еТ} обладают одинаковой дисперсией сте , а элементы векторов {8Т}, относящиеся к одноименным
структурным параметрам (т.е. параметрам при г-й объясняющей переменной), -
2
дисперсией ст8г .
ГТ1 _ 1 Т П
Тогда искомые векторы структурных параметров а находятся в
соответствии с обобщенным МНК, т.е. на основе минимизации квадратичной формы:
£ (У - Х]а]) V - XV)+£ (ак - а"-1) Ъ(ак - а"-1), (6)
]=1 к=2
где Б - диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали Бгг = уг2 = сте2/ст8г2
Нетрудно видеть, что уровень весовых коэффициентов уг имеет определяющее значение для результатов оценивания. Так, если уг^ ж (г= 1,т) и равенства (5) точно соблюдаются, оценки коэффициентов модели (4)-(5) оказываются постоянными во времени, т. е. совпадают с оценками исходной регрессионной модели (1); предположение уг^ 0(г = 1,...,т) эквивалентно переходу к оцениванию моделей типа (4) независимо друг от друга для каждого т.
Таким образом, коэффициенты уг регулируют динамику оценок структурных параметров модели (4)-(5): каждому фиксированному набору конечных значений уг однозначно соответствует вполне определенная временная последовательность значений
а, а1, а. При этом, поскольку одним из предельных случаев модели (4)-(5)
является модель с постоянными во времени коэффициентами, формулировка правил определения значений уг - путь к построению динамических оценок регрессионной модели.
До сих пор предполагалось, что для интервалов длины 0, на которые разбита исходная совокупность данных, включающая Т наблюдений, выполняется условие 0 > т и обеспечивается возможность получения векторов оценок МНК для всех т=1, п. Однако в оцениваемой модели, заданной соотношениями (4)-(5), число
наблюдений равно (Т+(п-1)т), а число оцениваемых параметров - пт. Соответственно при Т>т число наблюдений в модели (4)-(5) всегда превышает число оцениваемых параметров, как это и требуется в стандартной регрессионной модели (1). Следовательно, можно предположить (подробнее об этом ниже), что при фиксированных конечных значениях {} число наблюдений 0, входящих в каждый отдельно взятый интервал, может быть меньше числа объясняющих переменных, а оценки {ат} по-прежнему могут быть получены на основе минимизации (6).
Очевидно, что в предельном случае 0=1 и модель (4)-(5) принимает вид:
= ха +^, аи - аи-1 =8гt, (г=1,., т; (=1,., Т). (7)
Относительно остатков е( и 8г( в (7) будем считать справедливыми гипотезы, принятые для модели (4)-(5).
Запишем (7) в векторно-матричном виде, аналогичном (1):
ь + п = иь + п,
у '2"
0 Б
где
(8)
- вектор длины (Т+(Т-1)т), первые Т компонент которого - значения
зависимой переменной в моменты времени (=1,., Т, а остальные компоненты -нули. М - матрица размерности {(Т+(Т-1)т)(Тт)} такая, что
,0
х1,0,.
0, х2,0,...,0
0,
.0, хТ
где х( - как и ранее, (-я вектор-строка матрицы X модели (1), 0 - нулевой вектор-строка длины т.
Б - матрица размерности ((Т-1)т)(Тт), в которой
Бкк= -Ъ, (г=1,., т; к=/+(М)/, (=1,..., Т-1)),
Бкк+т= Ъ, (г=1,., т; к=/+(М>', (=1,..., Т-1),
все остальные Мг=0. Таким образом, матрица Б обладает ненулевыми элементами Бкк и Бк к+т, сформированными по описанному выше правилу.
В соответствии с определением матриц 2, Б вектор Ь представляет собой совокупность искомых структурных параметров, упорядоченных следующим образом:
Ь=(а1Ь ..V а\т-, а2Ь ..., а2m, ■■■ , aT1, ..., аТт) '.
П=(8Ь ..., 8Т, 71811, ..., Ут8т1, ■■■, 71812, ■■■, Ут8т2, ■■■) - вектор погрешностей
регрессионной модели размерности (Т+(Т-1)т).
Поскольку для п в соответствии с предположениями, введенными для соотношений (4)-(5) и (7), выполняются условия, аналогичные условиям модели (1), т. е. М(п)=0, М(пп 7 ) = Е, оценка модели (8) возможна на основе
минимизации п п или обычного МНК.
Очевидно, что условие существования оценки МНК вектора структурных параметров Ь модели (8) - обратимость матрицы и V (или условие ранга). Применительно к модели (8) справедливо следующее утверждение.
Если заданы значения уъ---, ут >0 и матрица объясняющих переменных модели (1) имеет ранг т (т.е. существует матрица (XX)'1), то определена и оценка вектора структурных параметров Ь модели (8), т.е. ранг матрицы и равен Тт и соответственно существует матрица (ии)'1.
Доказательство данного утверждения основывается на приведении матрицы и посредством невырожденного линейного преобразования к виду (см. Приложение):
Ги1 и2 ~
о =
и и4 _
где и1 =X, т.е. совпадает с матрицей объясняющих переменных для модели (1); и4 — квадратная матрица размерности (Т-1)т, у которой элементы главной диагонали
и4 = 1, элементы и4+т( = -1, остальные элементы равны нулю; и2, и3 - нулевые
матрицы соответствующей размерности.
В силу того, что матрица X имеет ранг, равный т (в соответствии с предпосылками модели (1)), а матрица и - ранг, равный (Т-1)т, матрица О обладает рангом, равным Тт. Следовательно, тем же рангом обладает и исходная матрица и.
Таким образом, возможность оценки стандартной модели (1) с постоянными на интервале 1,..., Т структурными параметрами с необходимостью влечет и возможность получения переменных во времени структурных параметров, исчисляемых на основе модели (8) (при условии, что 71,., Ут - заданные заранее величины).
Употребляя несколько вольную аналогию, можно рассматривать (8) как инструмент для «растягивания» во времени структурных параметров модели (1), либо сами значения параметров модели (1) - как результат «сжатия» временных рядов структурных параметров при соответствующих объясняющих переменных.
Как было отмечено, результат оценивания модели (8) существенным образом зависит от значений уь..., ут. Поскольку была установлена тесная связь моделей (1) и (8), логично было бы искать способ задания уь---, 1т исходя из результатов оценивания стандартной регрессионной модели. Как хорошо известно из теории регрессионного метода, результаты оценивания модели (1) - это не только численные значения структурных параметров, но и оценки остаточной дисперсии объясняемой переменной сте , а также оценки дисперсий структурных параметров стаг2. Эти последние характеризуют вероятные интервалы нахождения истинных значений структурных параметров модели. При этом, если истинные значения структурных параметров модели (1) считаются известными, стаг2 - не что иное, как мера рассеяния оценок структурных параметров вокруг их истинных значений.
В свою очередь временные ряды оцененных значений структурных параметров модели (8) позволяют исчислить эмпирические значения дисперсий:
= Т 1 £ (а*' - а )2 (9)
Т -1 (
для каждой г-й объясняющей переменной, где агс - средняя арифметическая соответствующего временного ряда. Эти дисперсии задают меру рассеяния структурных параметров, исчисляемых на основе оценивания (8), вокруг их средних значений агс.
Ввиду того, что модель (1) - предельный случай модели (8), оценки дисперсий 5а2 в соответствии с (9) можно трактовать как альтернативный (по отношению к результатам оценивания ааг на основе применения МНК к (1)) метод определения меры рассеяния структурных параметров для стандартной регрессионной модели.
Следовательно, у\,---,ут должны быть выбраны таким образом, чтобы обеспечивались равенства:
$аг2=<3аг2 (' = 1,■■■, т).
Требуемые значения уь---, ут могут быть, в принципе, определены различными способами, самый простой из которых - перебор вероятных значений исходя из заранее заданных интервалов.
Реализованный вычислительный процесс для модели (8) - итерационная процедура с
последовательным уточнением значений уь..., ут. В качестве начальных приближений
(0) /
используются значения у^ = ст</ста-, где оценки сте, ста- определяются по результатам оценивания модели (1). После получения на основе оценивания (8) временных рядов
аи, аъ,..., ап (/=1,..., т)
в соответствии с (9) рассчитываются эмпирические дисперсии s2J■Y>. Далее
определяются значения у/1=(5-(1'/стж)у/0'1, и весь вычислительный процесс повторяется. Опыт практических расчетов показывает, что осуществление такой вычислительной процедуры не вызывает затруднений в плане обеспечения сходимости.
В приведенном выше изложении упор был сделан на трактовку (1) и (8) как регрессионных моделей. Это, с одной стороны, позволяет дать определенное содержательное толкование коэффициентов уь ■■■, 1т, а с другой - сформулировать конструктивный алгоритм их численного нахождения. Вместе с тем модель (1) (равно как и (8)) может быть сформулирована безотносительно к вероятностной интерпретации входящих в нее погрешностей, а именно как математическая задача определения функциир, являющейся решением некоторого операторного уравнения:
Qp=u,
где Q - оператор преобразования р в и, а правая часть (известная функция и) является приближенно заданной [1]. К данному классу относятся разнообразные задачи обработки экспериментальных данных, цель которых - восстановление вида функции р по заданным значениям и, а также известным правилам преобразования р в и, определяемого оператором Q. Нетрудно видеть, что при данной трактовке модели (1) речь идет о нахождении вектора структурных параметров а исходя из результатов наблюдений некоторой временной функции у и заданных правил преобразования а в у, представленных матрицей X; при этом не делается никаких предположений о характере погрешности, которую содержит у. В силу того, что матрица X"1 при Т>т не определена, может быть найдено лишь квазирешение системы линейных уравнений. Если мера близости отчетных данных у и аппроксимирующей их функции, получаемой на основании приближенного решения системы Ха=у, определяется в евклидовой метрике (а данная метрика является естественной для множества прикладных задач), искомый вектор а как раз и определяется в соответствии с формулой МНК.
В связи с этим вернемся к рассмотрению функционала, минимизация которого позволяет получить оценки структурных параметров модели (8). Он выражается в виде:
Т Т
п'п = Е(у,- ха,)(у,- хл)+Е (а<- а<-і),(А - а<-іХ (10)
,=1 ,= 2
гл 2 2-
где и - диагональная матрица с элементами 71 ут на главной диагонали.
Пусть в результате оценивания модели (8) в соответствии с описанным выше
2 £ 2 2 гр
алгоритмом определены эмпирические значения ає = С и у1 ут . Тогда при
заданной матрице и результат минимизации (10) правомерно рассматривать как рТешение задачи на условный экстремум, в которой минимизируется
Е(а,- аи (а< -а,-1) при ограничении
,=2
X (у,- ха ),(у,- х,а,)=с,
,=1
где С - заданный уровень погрешности для системы уравнений
у,=х,а,, (і=1,..., Т).
Это означает, что при зафиксированных \ и уД..., ym2 выбор значений {ait} должен осуществляться исходя из требования минимальной длины линии, заданной в пространстве возможных значений структурных параметров, в котором метрика p(vbv2), определяющая расстояние между произвольными векторами v1,v2, задана в виде:
P(vlv2) = [Zy2(vi, - V2i)2]1/2,
i
т. е. является обобщением евклидовой метрики.
Если же перейти к рассмотрению задачи (В) в непрерывном времени, указанное выше требование минимальности длины кривой есть не что иное, как требование наибольшей гладкости линии, соединяющей точки пространства, координаты которых
- векторы структурных параметров (at1, ..., am) в последовательные моменты времени.
Следовательно, данное требование и является тем формальным критерием, который позволяет доопределить задачу (2) таким образом, чтобы она имела единственное решение.
Необходимо обратить внимание на одну существенную особенность рассматриваемого в данной работе метода. В формальном отношении запись ограничений на динамику параметров модели в форме:
ait - ait-1 =Sit
эквивалентна предположению, что
ait-l = ait + Sit, (11)
т. е. при заданном (известном) ait-1 искомое текущее значение параметра ait должно находиться в некоторой окрестности его прошлого значения. Именно из такой или аналогичной формы связи структурных параметров в последовательные моменты времени исходят авторы работ, в которых рассматриваются регрессионные модели с параметрами, представленными в виде стохастических величин, подчиняющихся определенному закону изменения во времени. Если исходить из предположения, что начальные значения структурных параметров известны, процедура оценивания параметров модели (2) оказывается принципиально иной - в каждый данный момент t должны оцениваться параметры модели вида:
Уt = xat +St , (12)
a,t-l= ait + Sit (i=1,., m),
включающей (m+1) соотношение при числе оцениваемых параметров, равном m.
Принятие каких-либо конкретизирующих гипотез относительно погрешностей st и Sit в принципе позволяет сделать данную задачу разрешимой. Однако получаемые при этом временные ряды структурных параметров, помимо зависимости от начальных условий, будут результатом решения задачи минимизации, иной по сравнению с (10). Во всяком случае, постановка задачи в форме (12) априори предполагает несимметричность (по времени) ограничений, налагаемых на динамику структурных параметров, тогда как в соответствии с (В) соседние члены временного ряда параметров при каждой данной объясняющей переменной равноценны в смысле их взаимной обусловленности.
По аналогии с подходами, применяемыми для построения устойчивых решений разнообразных вычислительных задач (в том числе интегральных уравнений типа свертки и т.п.) [1], можно сказать, что способ задания ограничений на динамику структурных параметров регрессионной модели, рассматриваемый в данной работе, есть не что иное, как формализация качественных представлений о поведении решения системы (2). Так, на искомые параметры налагаются ограничения в форме
пределов их (параметров) колеблемости на интервале оценивания, но никаких количественных требований к самим абсолютным величинам параметров не формулируется, хотя по результатам оценивания стандартной регрессионной модели можно задать ограничения на область нахождения структурных параметров модели (8), например в виде:
где а° - оценки параметров модели (1), полученные на основе обычного МНК.
Рассмотренный метод оценки переменных во времени структурных параметров регрессионной модели может быть легко модифицирован для решения ряда практически важных вычислительных задач. В частности, в модель (8) могут быть добавлены соотношения, обеспечивающие соблюдение краевых условий, т. е. равенство начальных и (или) конечных значений структурных параметров заранее заданным величинам. Аналогичным образом, имеется возможность обеспечить получение динамических рядов структурных параметров модели при выполнении условия, при котором все или часть рассчитываемых параметров в какой-либо из моментов времени внутри периода (1, ..., Т) принимала заранее заданные значения. Наконец, требования к параметрам могут быть специфицированы в виде:
т. е. средние за период оценивания значения параметров при каждой из объясняющих переменных должны быть равны заданным величинам а, .
Применительно к области экономико-статистических исследований задачи такого рода часто возникают, когда исследуемый процесс представим в виде балансового тождества:
и стоит задача определения {ай}, причем отчетные данные представлены известными значениями {у,} и {хй} за определенный период времени, а также значениями структурных параметров в какой-либо момент т, т. е. являются результатом прямого статистического наблюдения. Вместе с тем, если, исходя из содержательных соображений, есть основания предполагать изменчивость во времени ат/ на протяжении изучаемого периода, то регрессионная модель типа (8) как средство описания исследуемого процесса должна быть сформулирована таким образом, чтобы искомые параметры в момент времени т принимали заранее заданные значения.
К данной проблемной области, в частности, могут быть отнесены задачи, связанные с разработкой динамических рядов коэффициентов затрат межотраслевого баланса за ряд лет на основе известной межотраслевой таблицы, составленной для одного определенного года и т. п. При этом метод использования модели (8) для расчета параметров, связывающих переменные в тождествах балансового типа, совершенно не обязательно должен базироваться на предварительном расчете стандартной регрессионной модели: коэффициенты уъ---, ут могут быть заданы исходя из каких-либо нормативных или экспертных соображений. Например, эти коэффициенты могут быть подобраны таким образом, чтобы колебания рассчитываемых параметров {ай} в (13) находились в пределах заданных границ и т. п.
Использование модели типа (8) также расширяет возможности количественного анализа по сравнению со стандартной регрессионной моделью. Известно, что
агс= аи + 8/, (ї=1,...,ш; Ґ=1,..., Т),
(13)
существенность (значимость) той или иной объясняющей переменной, включаемой в модель, может быть выявлена на основании тестов, в основе которых лежит сопоставление абсолютной величины оцененного параметра с его стандартной ошибкой. Однако учитывая связь моделей (1) и (8), можно предполагать, что относительно большая величина стандартной ошибки параметра при данной объясняющей переменной может быть результатом двух принципиально различных процессов: 1) на протяжении исследуемого периода величина данного структурного параметра изменяется в таких пределах, что вклад соответствующей объясняющей переменной в динамику зависимой переменной незначим (в буквальном смысле этого термина); 2) на протяжении изучаемого периода структурный параметр при данной объясняющей переменной имел ярко выраженную тенденцию к изменению, сопровождавшуюся, например, сменой знака параметра. Очевидно, что во втором случае результаты применения модели (8) позволяют получить существенную информацию об изучаемом процессе, что в свою очередь может обусловить сохранение в модели соответствующей объясняющей переменной.
Другая область количественного анализа, в которой регрессия с переменными структурными параметрами может быть успешно использована - уточнение аналитического вида функциональных зависимостей, применяемых при построении статистических моделей.
Пусть моделируемый процесс представлен в виде функции, связывающей теоретические значения выхода (результирующий признак) системы УТ с объясняющими переменными {Х1, Х2,..., Хп}, или УТ = ^,({Х},Е,), где Е, = (Ей, Е,2, ..., Е,к) - вектор структурных параметров в момент времени ,; функциональная зависимость />({Х}, Е,) в общем случае изменяется во времени, что отражается в изменении вектора ее структурных параметров. Предполагая дифференцируемость />({Х'}, Е,) в каждый данный момент по всем параметрам, запишем соотношение для первых частных производных в момент ,:
&Т = ^Х < 7,Х' > (—'•
где ^X =&, /дХ, и $=№, /сЧ,.
Связь между значениями объясняющих переменных {X} и фактическими значениями зависимой переменной Г в общем случае носит статистический характер, что формализуется добавлением в приведенное выше выражение стохастической компоненты е,:
— Г® = X Р„( —X) + х ^,(— Е,) + е, .
Вследствие того, что производные {-^й}, а также X ^\( — Е,,) не зависят от {—X,}, последнее выражение можно трактовать как линейную регрессионную
—
модель (связывающую дифференциальные показатели — Г, { —X}), причем эта
Т Т
модель характеризуется изменяющимися во времени структурными коэффициентами.
Точность исходных данных в экономических исследованиях (а также и во многих других областях науки), как правило, такова, что зачастую лишь
идентификация значений первых частных производных модели выглядит достаточно корректной процедурой. Определение значений первых частных производных наиболее важно и в прикладном аспекте, поэтому с полным основанием можно утверждать, что построение динамических оценок линейной регрессионной модели позволяет в принципе решить вопрос идентификации (в достаточном для практического использования виде) количественных характеристик связи между отдельными элементами моделируемого объекта. В силу сказанного модель линейной регрессии с переменными во времени структурными параметрами правомерно рассматривать как инструмент, применимый и для оценивания нелинейных по искомым параметрам моделей.
В качестве примера практического использования модели (8) рассмотрим результаты оценивания макроэкономической производственной функции (ПФ) для реального сектора экономики РФ за период 1971-1999 гг. [2]. Спецификация ПФ2 и значения оценок ее структурных параметров, оцененных на основе стандартной модели (1), выглядят следующим образом:
Уt-и =а(кг- /,) + + ^2§2= 0,46847(^ - Ъ) + 0,00854£и +0,02715^,
(0,08361) (0,00206) (0,00217)
Л2 =0,87
(14)
где уь кь I - погодовые темы изменения объемов выпуска, основных фондов и численности занятых реального сектора, g\, g2t - инструментальные переменные (представляющие собой линейные комбинации темпов изменения коэффициентов текущих материальных затрат), включение которых в регрессионное уравнение позволяет отразить в обобщенном виде эффект воздействия технологических изменений, т.е. воздействие на темпы изменения производительности труда (угЬ) факторов, не связанных непосредственно с текущими темпами изменения уровня фондовооруженности (^ - ^).
Стандартные ошибки структурных параметров уравнения (14) (приводимые в скобках под значениями параметров) и уровень коэффициента детерминации Я2 свидетельствуют о хорошем качестве верифицированной модели. Тем не менее результаты оценивания ПФ с помощью модели типа (8) показывают, что формальные показатели высокой устойчивости усредненных оценок структурных параметров вовсе не исключают наличия ярко выраженных тенденций в их (параметров) динамике (рисунок).
1990 1995 2000
(а)
(б)
(в)
Рисунок. Динамика параметров а (а), V! (б), у2 (в)
2 Обоснование использования и подробное описание приводимой спецификации ПФ для моделирования взаимосвязи выпуска и производственных ресурсов см. в работах [2, 3].
Как видно из приводимых графиков, изменение каждого из параметров рассматриваемой ПФ на протяжении ретроспективного периода носило весьма специфический характер и было достаточно слабо связано друг с другом. Кроме того, очевидно, что динамика искомых структурных параметров на отчетном периоде не может быть описана элементарными функциями времени (например прямой или гиперболой).
С точки зрения взаимосвязи уровня производительность труда с уровнем его фондовооруженности спецификация ПФ при a = const, т.е. в виде (14), представляет собой функцию Кобба-Дугласа. Вместе с тем по результатам расчетов правомерно сделать вывод о возможности существования гораздо более сложной взаимосвязи между динамикой выпуска и производственных ресурсов. В прикладном плане наличие динамического ряда погодовых значений параметра эластичности производительности труда по фондовооруженности позволяет произвести проверку различных гипотез относительно вида ПФ и тем самым существенно повысить прогнозно-аналитическую ценность ПФ как
эконометрической модели. Полученные результаты также позволяют проверить адекватность эмпирическим данным разнообразных форм ПФ, используемых в рамках теоретического анализа процесса производства.
Литература
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.
2. Суворов Н.В., Суворов А.В. Инструментарий макроэкономического анализа и прогнозирования в работах А.И. Анчишкина и современные направления его развития // В кн.: А.И. Анчишкин. Прогнозирование темпов и факторов экономического развития. М.: МАКС Пресс, 2003.
3. Суворов Н.В. Макроэкономическое моделирование технологических изменений (теоретические, прикладные и инструментальные вопросы). М., ГУ-ВШЭ. 2002.
Приложение
Для наглядности доказательство сформулированного утверждения иллюстрируется на примере модели, содержащей две объясняющие переменные и четыре наблюдения. Соответственно матрица и системы (8) при этом имеет вид:
х11 х12 0 0 0 0 0 0
0 0 х21 х22 0 0 0 0
0 0 0 0 х31 хз2 0 0
0 0 0 0 0 0 х41 х42
-Ї1 0 Ї1 0 0 0 0 0
0 -У2 0 Ї2 0 0 0 0
0 0 -п 0 Ї1 0 0 0
0 0 0 -У2 0 У2 0 0
0 0 0 0 -У1 0 У1 0
0 0 0 0 0 -У2 0 У2
Заменим в и 1-й столбец суммой 1, 3, 5, 7-го столбцов (суммой столбцов, относящихся к первой объясняющей переменной); аналогично 2-й столбец заменим суммой 2, 4, 6, 8-го столбцов. Далее разделим строки 5, 7, 9 на у-|, а строки 6, 8, 10 - на у2. В результате получим матрицу:
х11 х12 0 0 0 0 0 0
х21 х22 х21 х22 0 0 0 0
хз1 хз2 0 0 х31 хз2 0 0
х41 х42 0 0 0 0 х41 х42
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 -1 0 1 0 0 0
0 0 0 -1 0 1 0 0
0 0 0 0 -1 0 1 0
0 0 0 0 0 -1 0 1
Далее, вычтем из 2-й строки 5 и 6-ю строки, умноженные соответственно на х21 и х22, из 3-й строки вычтем 7 и 8-ю строки, умноженные соответственно на х31 и х32, из 4-й строки вычтем 9 и 10-ю строки, умноженные соответственно на х41 и х42. В результате получим матрицу вида:
хИ х12 0 0 0 0 0 0
х21 х22 0 0 0 0 0 0
хз1 хз2 хз1 хз2 0 0 0 0
х41 х42 0 0 х41 х42 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 -1 0 1 0 0 0
0 0 0 -1 0 1 0 0
0 0 0 0 -1 0 1 0
0 0 0 0 0 -1 0 1
Повторяя описанную операцию для строк 3 и 4-й, и далее снова для 4-й строки, получим в конечном счете матрицу:
хи х12 0 0 0 0 0 0
х21 х22 0 0 0 0 0 0
х31 х32 0 0 0 0 0 0
х41 х42 0 0 0 0 0 0
_0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 -1 0 1 0 0 0
0 0 0 -1 0 1 0 0
0 0 0 0 -1 0 1 0
_00 0 0 0 -1 0 1
содержащую четыре блока: матрицу объясняющих переменных стандартной
регрессионной модели (и1), треугольную матрицу, ненулевые элементы которой суть +1 и -1 (и4), а также две нулевые матрицы (и и и3). В силу специального вида рассматриваемой блочной матрицы ранг ее равен сумме рангов матриц и1 и и4. Очевидно, что и в случае произвольной размерности исходная матрица и посредством описанных
Г и1 и2 И, и3 и4 J
линейных преобразований может быть преобразована аналогичным образом, что и требовалось доказать.
