CC BY
59
УДК 629.197
А. П. Алешкин, П. В. Савочкин, М. Ю. Манташян, С. М. Курушкин
МЕТОД ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ НА ОСНОВЕ ВЕКТОРНОГО РЕДУЦИРОВАННОГО ОЦЕНИВАНИЯ
Предложен метод обработки результатов угловых измерений, выполненных с помощью оптико-электронных систем, позволяющий повысить точность определения параметров движения динамического объекта за счет совместного использования метода максимального правдоподобия и векторной редукции.
Ключевые слова: векторная редукция, идентификация, несмещенная/смещенная оценка, оптические измерения, ММП-оценка.
В настоящее время в задачах идентификации вектора состояния динамических объектов в основном применяются алгоритмы, основанные на методе максимального правдоподобия (ММП) [1]. При формировании оценок в реальном масштабе времени широко используется алгоритм калмановской фильтрации и его модификации. Первоначальные данные для завязки траекторий малоразмерных космических объектов в условиях интенсивных шумов измерений не позволяют решать задачу идентификации динамических объектов с требуемой точностью. Это связано с тем, что дисперсия измерений после ММП-оценивания получается недопустимо большой.
Известно неравенство Рао—Крамера [2, 3], которое подтверждает возможность получения меньшей полной квадратичной ошибки для смещенной оценки, чем дисперсия несмещенного ММП-оценивания. Для этого представляется целесообразным последовательно использовать несмещенное и смещенное оценивание в процедурах обработки данных измерений.
При представлении модели наблюдения простым линейным уравнением
У = Ах + вш (1)
максимально правдоподобная оценка хммп вектора х (да-мерного вектора оцениваемых параметров) является решением уравнения
дФ( х, у )
дх
= 0
_ _____ Т —1 ___
и имеет вид Ф(х, у) = (у - Ах) Кв (у - Ах),
Хммп = (АТК—А)-1 АтК-у, (2)
где у — п-мерный вектор измерений; вщ — да-мерный вектор шумов, распределенных по
нормальному закону, характеризующийся корреляционной матрицей Кв ; А — п х да матрица
наблюдения (функциональная матрица).
В теории статистического оценивания известно несколько вариантов смещенных оценок [2—5], каждый из которых эффективен для конкретных условий применения. Наиболее популярным и понятным с позиций физической интерпретации представляется следующий вариант векторной смещенной оценки:
х* = гх . (3)
При этом исходная несмещенная оценка х1 = х1 +Вммп- (Х[ — значение истинного вектора оцениваемого параметра, Вммп- — случайная погрешность, распределенная по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2, т.е.
Метод обработки результатов оптических измерений 13
8ММП- е N(0, а )) умножается на некоторый коэффициент г, значение которого должно
быть меньше единицы. Действительно, только в этом случае возможно уменьшение погрешности г . Однако при этом появится смещение, равное Ъ = (1 - г)х..
Выполнив поиск экстремума функции полной ошибки оценивания по параметру г, не-
X.2
сложно получить наилучшее значение коэффициента редукции гоптг = 1
2 2 ' X +а2
Таким образом, оптимальным вариантом векторной редуцированной оценки является следующий:
* х Х2 х хоптг' = гоптг'хг = 2 2Хг . (4)
х.2 +а2
Более универсальной представляется следующая форма редуцированной оценки [2, 3], удобная для практической реализации:
* = . (( - хопг) (х _ )= + (х _ ) (5)
хг = хопг' + 2 2 ^Х' Хоп^ = Хопг + гг \хг хопг' ', (5)
(( _ хопг' ) +а
где хоп. — значение априорно известного вектора, в направлении которого осуществляется
редукция, называемого опорным.
При объединении ММП и векторной редуцированной оценки в соответствии с выражениями (2) и (5) получим
(хММПг _ хопг' ) I х \
' = хопг' + гг (хММПг. _ хопг' ) , (6)
х' = хопг' +', 2
(ХММПг хопг') +°2
где ••ммП' — максимально правдоподобная оценка вектора х .
При выборе опорного вектора хоп в задачах идентификации траекторий динамических
объектов целесообразно осуществлять оценку не самих измеряемых параметров, а их невязок относительно прогнозируемых значений. Действительно, опорный вектор можно заменить средним значением невязок ( хн.) по каждому оцениваемому параметру:
хоп = N 2 (х' _ ХММПг. ) = N 2 хнг , (7)
где N — общее количество измеренных параметров вектора х ; х' — прогнозируемое значение вектора х .
Тогда выражение (6) примет вид:
х * = х .+ (( _ х°п'')_= .с .+ г. ( _ .с .) (8)
лнг Лопг ^ 2 2 опг ^ -^нг Лопг) ■
(н _ хопг' ) +а
В условиях точного прогнозирования, как показало компьютерное моделирование, наилучшим образом зарекомендовала себя оценка вида:
хнг' = хопг' + г(хнг _ хопг' ) , (9)
где а = 2, 3,....
На рис. 1 представлен график работы алгоритма в соответствии с выражением (8). Из графика видно, что редуцированная оценка хн дает существенный выигрыш по точности по сравнению с ММП-оценкой Хммп •
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1) и Хш ' ' ! 1 1 хн 1
5-Р ' 1 !1| 191 №. аЬ'Н 11 Л ад 1 11 Л
1г .!■____ ! _____ ЙЖ /7111 (
1 ХММП \ \
20 40 60 80 100 120 140 160 г, с Рис. 1
На рис. 2 представлены гистограммы распределения плотности вероятности (Р) при использовании рекуррентной фильтрации (а, в) и редуцированной оценки (б, г) в зависимости от объема выборки N (а, б — 183; в, г — 366) усреднения опорного значения хоп при дисперсии шума измерений аш = 1 и нулевом математическом ожидании.
а)
б)
в)
Р 3
1
0
)
Р 4 3 2 1 0
-2
2 хммп, рад
4---4- -
4---4- -
-I----4- -
Р
3
2 1 0
I
Р
4
3 2
1
0
-^
-2
2 х, рад
г)
-2
0
-2
0
2 х, рад
2 Хммп, рад Рис. 2
Усреднение хоп производилось с различным числом выборки измерений N вектора измерений х .
0
2
0
0
Метод обработки результатов оптических измерений 15
Из анализа гистограмм можно сделать вывод о доминировании смещенной оценки над несмещенной, а также повышении точности смещенного оценивания с ростом числа усредняемых измерений при нахождении хоп .
Таким образом, совместное использование процедур несмещенного и смещенного оценивания значительно уменьшает погрешность измерений. Следует отметить, что редуцированная оценка обеспечивает заметный выигрыш в случае высокой интенсивности шумов измерений и не приводит к снижению точности несмещенного оценивания при малых значениях указанного шума.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Малютин Ю. М., Экало А. В. Применение ЭВМ для решения задач идентификации объектов. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988. 256 с.
2. Костылев А. А., Степанов М. Г. Смещенные оценки и метод регуляризации в радиотехнических задачах. Учеб. пос. М.: МО СССР, 1984. 83 с.
3. Степанов М. Г. Введение в теорию смещенного оценивания параметров движения космических аппаратов по ограниченным данным. СПб: ВИККА им. А. Ф. Можайского, 1993. 135 с.
4. Алешкин А. П. Плотность вероятности адаптивной редуцированной оценки данных наблюдений, полученных угломерными оптико-электронными системами // Оптич. журн. 2000. Т. 67, № 7. С. 45—49.
5. Алешкин А . П. Основы теории адаптивного смещенного оценивания с нелинейными ограничениями и ее применение к решению некорректных навигационных задач. СПб: ВИКУ им. А. Ф. Можайского, 2001. 153 с.
Сведения об авторах
Андрей Петрович Алешкин — Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, Санкт-
Петербург
Павел Владимирович Савочкин — Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, Санкт-
Петербург, E-mail: [email protected] Максим Юрьевич Манташян — Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, Санкт-
Петербург
Сергей Михайлович Курушкин — Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, Санкт-
Петербург
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
антенно-фидерных устройств 26.06.08 г.
