CC BY
470
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК ОСНОВА ФОРМИРОВАНИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ
Аннотация. В статье раскрываются основы формирования универсальных учебных действий при решении сюжетных задач с использованием разных видов моделей. Математическое моделирование выступает в качестве основного средства решения сюжетных задач.
Ключевые слова: сюжетная задача, математическое моделирование, универсальное учебное действие.
S. I. Dyachenko, M.V. Kulabukhovu, A. A. Safaryan
MATHEMATICAL MODELING AS A BASIS OF FORMATION OF UNIVERSAL EDUCATIONAL ACTIONS IN THE SOLUTION OF THE STORY TASK
Abstract. The article reveals the basis of formation of universal educational actions in solving story problems using different types of models. Mathematical modeling acts as a primary means of solving story problems.
Key words. story problem, mathematical modeling, universal educational action.
Реализация системно-деятельностного подхода, положенного в основу ФГОС основного общего образования, требует в рамках метапредметных результатов освоения обучающимися основной образовательной программы формирование универсальных учебных действий (регулятивных, познавательных, коммуникативных). Формирование универсальных учебных действий обеспечивает обучающимся умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию, «умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач» [2]. «В результате изучения предметной области «Математика и информатика» обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию; получают представление об основных информационных процессах в реальных ситуациях» [2, 11]. Познавательные универсальные учебные действия включают: общеучебные и логические учебные действия; постановку и решение проблемы. Одно из важнейших познавательных универсальных действий - умение решать проблемы или задачи в разных сферах человеческой деятельности. В силу сложного системного характера общего подхода к решению задач данное универсальное учебное действие может рассматриваться как модельное для системы познавательных действий. Моделирование относится в особую группу общеучебных универсальных действий - знаково-символические действия.
Решение сюжетной задачи, которую можно рассматривать как текстовую модель некоторого процесса, события или явления реальной действительности, обладающую качественными и количественными характеристиками, формирует у учащихся все основные виды универсальных учебных действий. Сюжетная задача - математическая задача, в которой описан жизненный сюжет, а именно, количественная сторона реальных процессов, явлений и ситуаций; она содержит требование найти искомое значение величины по данным в задаче значениям величин и связям между ними. Эти задачи имеют и иные наименования: текстовые, практические, аналитические (задачи на составление уравнений или систем уравнений), арифметические и т.д.
До 19-ого века цели решения данных задач были чисто практические: обучить решать задачи, которые встречаются в жизненной практике; далее эти цели значительно расширились и, не исключая практических целей, решение сюжетных задач начинают применяться как важное общеобразовательное и методическое средство. «В курсе арифметики первостепенное внимание уделялось решению арифметических задач. Задача была целью обучения, а под умением решать задачи понимали способность ученика решать составные задачи вполне определенных типов, так называемые типовые задачи; способность ученика привести задачу к определенному типу считалась важнейшим показателем высокоразвитого мышления. Для того чтобы развить эту способность, ученика вооружали четко ограниченным множеством специальных правил (приемов), каждое из которых соответствовало задачам определенного типа. Перечень этих правил был весьма велик -простое тройное правило и сложное; правила процентов, учета векселей, нахождения средних процентных такс, вычисления сроков платежей; цепное правило; правила ложного положения и двух ложных положений; правила пропорционального деления, нахождения неизвестного по двум разностям, вычисления пробы, смешения первого и второго рода, сплавов, замены данных, урав-
нивания данных и т.д. Т.е. арифметический метод представлял собой собрание правил для решения арифметических задач определенных типов, а методика работы с ними носила «рецептурный» характер» [1, 15]. Со временем цели и функции решения сюжетных задач значимо менялись. Конкретное практическое использование, которое раньше имели всевозможные задачи на покупку и продажу, на совместную работу, на движение, теперь играет не особо важную роль в жизни людей. При решении сюжетных задач обучающийся приобретает общий подход к решению любой задачи.
В задаче обязательно заключен какой-то вопрос, а само условие сюжетной задачи является количественным и качественным описанием какой-либо практической ситуации, встречающейся в жизни. Ответ на вопрос задачи может быть получен путем совершения некоторых арифметических действий или с помощью уравнений и неравенств, в вопросе должно заключаться требование найти то или иное число (или числа). Кроме того, в условии задачи должны быть указаны те числа, с помощью действий над которыми будет найдено искомое. Выбор действия будет зависеть от связей между данными, которые также в явном или неявном виде даны в условии задачи.
Решение сюжетных задач приучает выделять величины, данные и искомые значения величин, разыскивать общее и особое в данных, сравнивать и противопоставлять факты, устанавливать связи и зависимости между величинами и их значениями. Сюжетные задачи применяются как довольно действенное средство усвоения учениками понятий и способов действий, как более эффективное средство развития мышления учеников, как универсальное средство математического воспитания и непременное средство привития ученикам умений и способностей в практических применениях математики. При осуществлении поиска решения задач у учащихся формируются основные мыслительные операции: анализ, синтез, классификация, сравнение, аналогия, умение рассуждать и объяснять; использование при решении разных видов моделей: предметные, знаковые, графические; создание и преобразование этих моделей в соответствии с содержанием задачи, т.е. происходит формирование познавательных универсальных учебных действий.
Решение задач помогает достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Кроме всего вышесказанного, сюжетная задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием. Воспитывающую роль играет не только фабула и текст задачи, но и целый процесс изучения решения сюжетных задач. Верное решение сюжетных задач воспитывает у учеников честность и правдивость. Решение задач требует от учеников напористости в преодолении трудностей и мужества. При решении задач формируются умения и навыки умственного труда: усидчивость, внимательность, аккуратность, последовательность умственных действий. При решении задач складываются умения и способности ответственного труда. В процессе поиска решения сюжетных задач формируются речевые умения: высказывание суждений, формулировка вопросов и ответов в ходе решения, обоснование этапов решения. При решении сюжетных задач формируются и личностные, и регулятивные, и познавательные, и коммуникативные универсальные учебные действия. Сюжетная задача - это такой математический объект, при изучении которого можно опереться на жизненный опыт учащихся, что позволяет сделать процесс решения сюжетных задач для учащихся более понятным, зримым и осознаваемым.
Общий подход к решению любой математической задачи реализуется при решении сюжетной задачи:
1. Изучить содержание (текст) задачи.
2. Анализ текста сюжетной задачи требует его перевода на язык математики. Осуществление поиска решения задачи.
3. На основе анализа текста задачи и поиска ее решения составить план решения задачи (матема-
тическую модель).
4. Решить задачу по составленному плану.
5. Проверить или исследовать решение (интерпретировать полученный результат решения к усло-
виям задачи).
6. Рассмотреть другие возможные способы решения, выбрать наиболее рациональный способ.
В обучении решению сюжетных задач одним из важных умений, которое должно быть сформировано у учащихся, является моделирование. При изучении структуры задачи учащиеся должны уметь строить модель текста (преобразовывать словесную модель в схему или таблицу). При поиске плана решения восходящим анализом можно построить мысленную или материализованную модель решения задачи в виде графа. При осуществлении плана решения учащийся должен уметь преобразовывать модель текста задачи в математическую модель и совершать дальнейшую работу с этой моделью.
К универсальным учебным действиям, формируемым в процессе обучения решению сюжетных задач, относятся анализ условия задачи (семантический, логический, математический): перевод текста на язык математики с помощью вербальных и невербальных средств, установление отношений между данными и искомыми; осуществление поиска решения задачи; составление
плана решения задачи; оценка решения задачи: установление причинно-следственных связей, основанных на таких действиях как анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификация; моделирование как универсальное учебное умение, включающее в себя: кодирование (использование знаков, символов, геометрических и графических объектов как условных заместителей реальных предметов, объектов и ситуаций), декодирование (считывание информации), умение использовать и преобразовывать наглядные, знаково-символические, графические и геометрические модели, умение строить вспомогательные и решающие модели. Семантический анализ текста задачи направлен «на обеспечение понимания содержания текста и предполагает:
• выделение и осмысление отдельных слов, терминов, понятий, как житейских, так и математических, грамматических конструкций ("если... то", "после того, как..." и т.д.),
• выделение количественных характеристик объекта, задаваемых словами "каждого", "какого-нибудь", "любое", "некоторое", "всего", "все", "почти все", "одинаковые", "столько же", "поровну" и т.д.;
• восстановление предметной ситуации, описанной в задаче, путем упрощенного пересказа текста с выделением только существенной для решения задач информации;
• выделение обобщенного смысла задачи - о чем говорится в задаче, указание на объект и величину, которая должна быть найдена (стоимость, объем, площадь, количество и т.д.)» [4].
К главным целям изучения математики относятся: умение строить геометрические и алгебраические модели задачи; умение конструировать приложения моделей; приобщение учащихся к опыту исследовательской и творческой работы, формирование умения использовать математическое моделирование в соответствии с целями исследования. Обширное внедрение математики в естественных и гуманитарных науках, в технике как раз связано с моделированием объектов, явлений и процессов, изучаемых в данных науках. Представления о структуре моделирования, о его компонентах, специфике отдельных его этапов создают основание для создания общих навыков решения задач. Вследствие этого, знакомство учащихся с моделированием дает собой принципиально важные практический и воспитательный аспекты изучения математики. Не обращая внимания на то, что учащиеся все годы обучения математике имеют дело с моделями, исследуют и преобразуют различные алгебраические и геометрические модели на уроках математики. Эти модели не редко осознаются как общепринятые математические объекты, например, формулы, уравнения, геометрические фигуры, так как процесс моделирования не считается конкретной целью их действий.
С понятием алгебраической и геометрической модели и ходом моделирования можно и надо знакомить учащихся, начиная с младших классов средней школы и непрерывно подкреплять и развивать на протяжении всего периода обучения. Главным средством для такого знакомства считается решение сюжетных задач.
Общий подход к решению любой задач состоит в том, что задача рассматривается как «модель» некоторой проблемной ситуации, а её решение - как процесс использования совокупных теоретических положений математики и общелогических правил вывода к условиям задачи, с целью поочередного её переустройства и перемоделирования до тех пор, пока не будет удовлетворено требование задачи.
Применительно к обучению математике используем следующий подход к определению моделирования: под моделированием будем понимать «обобщенное интеллектуальное умение учащихся, состоящее в замене математических объектов, их отношений, способов деятельности моделями в виде изображений отрезками, числовыми лучами, схемами, значками» [1].
При моделировании используются различные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, уравнения алгебраические или дифференциальные и их системы, неравенства, системы неравенств и уравнений, ряды, геометрические фигуры, различные граф-схемы, диаграммы Венна, графы.
Математическое моделирование применимо при решении большинства сюжетных задач. Уравнение, образованное по условию задачи, является ее алгебраической моделью. Моделированию: алгебраическому, геометрическому и аналитическому, должны уделить должное внимание при решении сюжетных задач. Как уже отмечалось, при построении модели применяются операции мышления: анализ и синтез, сопоставление, классификация, обобщение, которые содействуют развитию мышления. Формирование математической модели задачи, перевод задачи на язык математики постепенно подводит учащихся к моделированию настоящих процессов и явлений в их будущей работе.
При решении сюжетных задач большей частью применяются их алгебраические и аналитические модели. Подобной моделью может быть функция, описывающая явление или процесс, уравнение, система уравнений, неравенство, система неравенств, система уравнений и неравенств. При составлении модели задача переводится на язык алгебры или математического анализа.
Известно, что процесс математического моделирования в самом общем виде с исследовательской целью состоит из следующих этапов:
1. Постановка задачи и определение свойств оригинала, подлежащих исследованию.
2. Выявление невозможности или затруднительности исследования оригинала.
3. Выбор модели, хорошо описывающей существенные свойства оригинала и легко поддающейся исследованию.
4. Исследование модели в соответствии с поставленной задачей.
5. Перенос результатов исследования модели на оригинал.
6. Проверка этих результатов.
Математическое моделирование в учебных целях состоит из следующих этапов:
1. перевод предложенной задачи с естественного языка на язык математики, то есть построение математической модели задачи - формализация;
2. решение задачи в рамках математической теории, на основе которой составлена модель-внутримодельное решение;
3. перевод полученного результата математического решения на язык, на котором была сформулирована исходная задача - интерпретация полученного решения.
Понятие математической модели и основные этапы процесса математического моделирования обязаны иллюстрироваться и изучаться на протяжении всего курса математики. Разделы школьной программы, приуроченные к задачам на работу, движение, проценты, прогрессии, к сюжетным задачам на использование производных и интегралов, могут быть рассмотрены как введение в метод математического моделирования.
Выделяют следующие дидактические функции математического моделирования:
1. Познавательная функция.
Методической целью данной функции считается развитие познавательного вида изучаемого объекта. Это развитие случается постоянно при переходе от простого к сложному. Тут идея учащегося направляется по более коротким и более легкодоступным путям к целостному восприятию объекта. Воплощение познавательной функции не подразумевает процесса научного знания, значение данной функции состоит в ознакомлении учащихся с более коротким и легкодоступным методом осмысления изучаемого материала.
2. Функция управления деятельностью учащихся.
Математическое моделирование упрощает приблизительные, контрольные и коммуникационные действия. Приблизительным действием может служить, к примеру, построение чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, внесение в него добавочных элементов. Контролирующие воздействия устремлены на обнаружение ошибок при сопоставлении выполненного учащимися чертежа схемы, графика с помещенными в учебнике, на выяснение тех качеств, которые обязаны сберечь объект при тех или иных преобразованиях. Коммуникационные воздействия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащихся, которая соответствует исследованию изученных ими результатов. Выполняя эти воздействия, учащийся в свете личного опыта разъясняет другим или себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта.
3. Интерпретационная функция.
Один и тот же объект возможно представить с помощью всевозможных моделей. В одних случаях возможно пользоваться аналитическую модель объекта, в других - геометрической моделью. Обсуждение каждой из данных моделей считается ее интерпретацией: чем важнее объект, тем желательнее предоставить больше его интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с различных сторон. Возможно, также говорить об эстетических функциях моделирования, о таких функциях, как функции обеспечивания целенаправленного интереса учащихся, запоминания и повторения учащимися учебного материала и т. д.
4. Эвристическая функция.
Математическая модель, выступая как выражение численности качества объекта, разрешает проводить эксперимент с его количественной стороной, выделяет вероятность классифицировать границы устойчивости, обычный и подходящий режимы функционирования, еще глубже проникнуть в качественный аспект объекта - продемонстрировать его внутренние закономерности.
Использование нескольких функций математической модели содействует более плодотворному мышлению учащегося, к примеру, как его внимание легко и вовремя переключается с модели на полученную с ее помощью информацию об объекте, и обратно.
Метод математического моделирования при решении сюжетных задач есть не что иное, как выражение задач с помощью вспомогательных и решающих моделей. Для решения сюжетной задачи часто приходится строить несколько моделей (цепь моделей). Вспомогательными являются модели, которые позволяют глубже проанализировать объект, установить структуру задачи, найти способ решения, например, таблицы, отрезочные диаграммы, чертежи, графы и т.д. Решающие
модели - это те модели, которые, подвергаясь преобразованиям, приводят к новым знаниям об объекте. Применительно к сюжетным задачам это могут быть арифметические и алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы, одномерные и двумерные диаграммы, графики функций. Данный подход обучает работе с сюжетными задачами, раскрывает структуру задачи и процесс ее решения для обучающихся.
Рассматривая структуру сюжетной задачи, Фридман Л.М. [4] отмечает, что описание элементов задачи предполагает полное и неполное задания в тексте отдельных значений величин, которые характеризуют явления или ситуации, описанные в задаче.
Полное словесное задание величины и ее значений включает в себя:
1) название величины в тексте задачи;
2) указание особенностей данного значения величины, отличающих его от других значений той же величины;
3) числовое значение величины в виде именованного числа, если это значение известно.
По уровню полноты словесного задания величины могут быть:
1) явно заданные - характеристики объектов должны быть конкретными, когда указано числовое значение этой характеристики и единицы измерения;
2) неконкретные - характеристики объектов лишь названы, но их значение в задаче не дано;
3) неявно заданные характеристики объектов, которые в тексте задачи не указываются и обнаруживаются лишь при глубоком анализе описанного в задаче явления.
Сюжетная задача, решаемая в 5-11 классах, как правило, имеет большое количество отношений (между данными, между данными и искомыми, между искомыми). Под отношением понимают такую связь между значениями величин, которую нельзя расчленить на другие, более простые связи.
В задачах выделяют информационную и внутреннюю структуры. Информационная структура есть внешнее строение задачи. Информационная структура - это данные, искомые и отношения между ними, связи между величинами, а также базис (теоретическая основа) решения и способ решения задачи. Информационная структура задачи относительно просто уточняется в процессе анализа текста. Как правило, она характеризуется двумя ведущими компонентами: условием и требованием.
В зависимости от логического построения условия выделяют два типа составных задач:
1. Задачи с приведенным условием. В данных задачах сам текст и построение условия подсказывает порядок, последовательность решения простых задач, из которых состоит данная составная задача.
2. Задачи с не приведённым условием. Структура условия этих задач такова, что числовые данные, необходимые для решения простых задач, разъединены; рядом поставлены такие данные, которые не связаны непосредственно друг с другом. Отношения между данными и искомыми выражены неявно и при изучении условия их надо установить.
В зависимости от характера требований выделяют пять типов задач:
1. Задачи на распознавание. В качестве искомого в этих задачах выступает один из компонентов системы объектов, при этом предполагается, что этот компонент в наличной системе имеется и что его значение определяется отношениями, которые присущи данной системе.
2. Задачи на конструирование. В качестве искомого выступает та или иная система, причем функции, которыми она должна обладать, описываются в требованиях задачи.
Задача. Составить текст задачи на движение так, чтобы ее решением было следующее числовое выражение: (15+30) 2-6.
3. Задачи на доказательство. В качестве искомого в них выступает процедура обоснования истинности некоторого утверждения, сформулированного в прикладной задаче. Обоснование возможно провести при построении математической модели задачи.
4. Задачи на исследование. В качестве искомого в них выступают: а) связи и зависимости между некоторыми фактами и явлениями, а также внутренние отношения, определяющие качественную природу объектов; б) числовые значения величин исследуемых элементов и выявление закономерности появления данных числовых значений.
Задача. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и 70 % меди, второй - 10% меди и 30 % марганца, третий - 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40 % марганца. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание меди может быть в этом сплаве?
5. Задачи на преобразование. В качестве искомого в них выступает процесс преобразования исходного состояния системы в заданное, которое указано в требовании.
Внутренняя структура задачи - это совокупность элементов рассматриваемой системы, связей и обликов связей. Внутренняя структура задачи определяет стратегию (ориентировочную основу способа) решения задачи и ее сложность. Гурова Л.Л. [3] отмечает, что понятие «стратегии»
обширнее, чем понятие «плана» решения, стратегия строится на основе обобщенных программ поступков, которыми располагает человек. Трудность задачи считается психолого-дидактической категорией и представляет собой совмещение множества субъективных элементов, зависящих от индивидуальностей личности, например, таких, как умственные способности и интересы учащегося, уровень новизны и т.д.
Общий подход к решению задач включает: знание этапов решения, методов (приемов) решения, типов задач, обоснование выбора метода решения на основании анализа текста задачи, владение предметными познаниями: понятиями, определениями терминов, правилами, формулами, логическими способами и операциями.
Задача. За день в магазине продуктов было продано 25 кг слив. Если бы цена слив была бы на 5 руб. меньше, то, чтобы выручить те же деньги, надо было бы продать на 10 кг слив больше. Определить стоимость покупки.
Решение. Данная задача послужит образцом использования двух возможных способов применения двумерных диаграмм. Так. как в задаче рассматриваются величины: цена, количество, стоимость, причем произведение двух величин есть третья величина, то для наглядности представим условие задачи в виде двумерной диаграммы.
Способ №1. Чертеж делаем от руки (рис. 1).
о <
С
С) С
О
и
<о О
О
г Е Г
В \
\ V А \ С
_^ 5
О
о и А' / о ст ь п о куп к и
Пусть по условию задачи, масса покупки, составляющая 25 кг, представлена отрезком АВ, а цена слив (величина неизвестная) - отрезком АО. Тогда площадь прямоугольника АВСО - соответствует стоимости покупки.
Пусть во втором случае цена слив изображается отрезком АС, соответствующая ему масса (10 кг+25 кг) - отрезком АЕ. В этом случае стоимость покупки определяется площадью прямоугольника равновеликого прямоугольнику АВСВ. Тогда \\ CF и ДАВв ~ ДНРС. Из по-
_ ЛС 25 . _ 5*25 25 „„,-/■ N
добия этих треугольников следует — = —, А& = = — = 12,5 (руб.).
(35*25) 875
Тогда стоимость покупки равна —-— = — = 437,5 (руб.).
В данном способе решения рисунок выполнялся от руки, и проводились вычисления, основанные на геометрических свойствах начерченных фигур, т.е. использовалось графико-вычислительное решение.
Путь к этому арифметическому решению помогло найти геометрическое моделирование. Алгебраическое решение задачи потребовало бы более длительных вычислений. Наметим его. Пусть Б - стоимость всей покупки; тогда цена слив в первом случае —, а во втором - (-25+10у Со-
с с
= 5, и т.д. Возможно и другое алгебраическое решение задачи,
ставляем уравнение —
(25 + 10)
если использовать не основное неизвестное задачи (стоимость), а вспомогательное неизвестное -цена. Если цену слив в первой ситуации обозначить за х, то цена во второй ситуации х-5. Тогда, найдя стоимости и уравняв их, получим уравнение: 25х=35(х-5). Способ №2.
С)
5 _
25 _ 1и /? , М
20 _ | 12 5 4 5
75 _
10 _
5 _ 1
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 г4 /V Т
О 12 5 4 5 6
9 101112
17,5
Рис. 2.
Ответ можно получить только при помощи точных построений. Такое решение называется конструктивным. К примеру, найдем цену слив, исходя из данных нашей задачи. Выберем масштаб для изображения количества слив и цены (например, 1 кг=2,5 мм, цена 1 руб.=5мм). Построим прямоугольный треугольник QRM (рис.2), у которого в соответствии от выбранного масштаба катет RQ изображает 10 кг, а ЯМ изображает 5 руб.
Продолжаем катеты RQ и ЯМ вниз и влево за точку И и отложим отрезок ИЫ, изображающий 25 кг. Через точку N проведем прямую ЫЬ 11 MQ, до пересечения в точке Ь с продолжением MQ. Тогда отрезок ЬМ изобразит искомую цену слив. По масштабу определяем, что она равна 17,5 руб.
Приведенная задача знакомит учащихся с возможными способами решения с использование геометрических моделей задачи, а именно, с конструктивным и графико-вычислительным способом. При решении задачи использовался следующая последовательность действий:
• Нахождение существенных связей, зависимостей между значениями величин, которые характеризуют изучаемое явление.
• Построение геометрической модели.
• Решение поставленной задачи внутри геометрической модели (двумерной диаграммы): снятие показаний с чертежа или составление уравнения (числового выражения) и его решение.
• Перевод полученного результата на тот язык, на котором была сформулирована
задача.
В рамках общей последовательности действий, используя разные модели задачи, получаем разнообразные способы решения задач, что способствует развитию вариативного мышления учащихся.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дяченко, С.И. Основные методы решения сюжетных задач и их взаимосвязь в школьном курсе математики. Учеб-метод. пособие для студентов 3-5 курсов физико-мат. фак. по специальности 032100 «Математика» по курсу «Теория и методика обучения математике» / Под. ред. А.А.Илюхина. - Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2004. - 72 с.
2. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. Утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «17» декабря 2010 г.
3. Гурова, Л.Л. Психологический анализ решения задач. - Воронеж: Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 1976. - 329 с.
4. Фридман, Л.М Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. - М.: Школьная пресса, 2002.
5. Ляхова, Н.Е. Обучающая модель решения текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2006. № 1. - С. 73-80.
С.И. Дяченко, К. М. Миронец
СОДЕРЖАНИЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ В ОБЛАСТИ ОБУЧЕНИЯ ПРОВЕДЕНИЮ ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Аннотация. В статье раскрывается содержание методической подготовки студентов бакалавриата направления подготовки «Педагогическое образование» по профилю «Математика» в области обучения проведению логико-математического анализа учебного материала.
