Математическое моделирование экологической обстановки в Украине Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95: 504.3.054

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ОБСТАНОВКИ В УКРАИНЕ

УВАРОВ Р.А._____________________________

Приводится расчетная модель экологической обстановки в регионе со сложной формой границы. Модель основана на теории R-функций, позволяющей строить нормальные и нормализованные уравнения чертежей и вводить в эти уравнения дополнительные параметры, с помощью которых можно обеспечить требуемый характер поведения решения. Вычислительные эксперименты выполнены с использованием специально разработанного пакета программ.

1. Некоторые аспекты экологической проблемы

В настоящее время в Украине возникли серьёзные экологические проблемы, связанные с результатами человеческой деятельности, влияющими на естественные циклы природных процессов. Повышенный уровень загрязнения атмосферы, почвы, водоёма привёл к большим антропогенным нагрузкам на окружающую среду. Это относится к загрязнению биосферы токсичными веществами, радиоактивному загрязнению, а также к последствиям интенсивного использования природных ресурсов. Для предотвращения этих последствий в первую очередь требуется снизить количество загрязняющих веществ. Решение этой задачи связано с минимизацией антропогенной нагрузки до пределов, безопасных для природной среды, с учетом оптимальных темпов социально-экономического развития конкретного региона. Основные принципы построения таких моделей изложены в [1].

Исследуя процесс загрязнения окружающей среды выбросами отходов промышленных предприятий, необходимо оценить воздействие вредного загрязнения на биологическую среду. Поэтому важной задачей в настоящее время является прогноз изменения экологических систем под влиянием естественных и антропогенных факторов.

Математическое моделирование экологических процессов представляет собой мощный инструмент для количественной оценки изменения характеристик окружающей среды под воздействием различных антропогенных факторов. Такие исследования имеют междисциплинный характер и, следовательно, для комплексного решения экологической проблемы наряду с физическими моделями необходимы также химические, биологические, агрофизические и другие методы контроля окружающей среды, которые будут работать в рамках единого комплекса, что позволит более полно исследовать экологические процессы с учетом прямых и обратных связей. Хотя основные принципы построения моделей экологической безопасности народно-хозяйственных комплексов имеют общую

платформу, однако отдельные вопросы для каждого региона являются специфическими, поэтому необходимо проведение специальных экологических исследований.

В [2] представлена часть комплексной экологической модели, включающей модели гидротермодинамики атмосферы, основные и сопряженные уравнения переноса и диффузии с учётом фотохимической трансформации и процессов аэрозолеобразования за счет коагуляции, а также модель оптимизации мощности источников, минимизирующая наносимый окружающей среде ущерб.

В [3] изложены основные идеи построения математической модели распространения загрязнений в атмосфере с учетом ветра, турбулентности, сухого и влажного осаждения и превращения веществ.

Поскольку основные источники загрязнения расположены в городах, то важным является изучение полей атмосферного загрязнения городской среды, а это также и санитарно-гигиеническая задача, так как пространственное распределение загрязняющих веществ в городе тесно связано с уровнями заболеваемости в различных его районах [4].

Актуальной является разработка методов для предвычисления областей возможного размещения промышленных предприятий, жилых зон и зон отдыха с соблюдением санитарных норм загрязнения.

Наиболее широкое распространение получили математические методы расчета полей атмосферного загрязнения городской среды, в частности, разработанные в Главной геофизической обсерватории. Например, в [5] изложены результаты исследований атмосферной диффузии в виде расчетной схемы.

Поскольку весь комплекс факторов формирования поля атмосферного загрязнения города в наиболее совершенной математической модели учесть очень сложно, исследователи используют и другие подходы к моделированию пространственной структуры полей загрязнения урбанизированных территорий, в частности, ландшафтный, в основе которого лежит тот факт, что для каждого техногенного ландшафта существуют свои закономерности формирования геохимического поля [4].

Возможности ландшафтного подхода к изучению атмосферного загрязнения городов тяжелыми металлами, методика которого излагается в [4], реализованы на примере городов Днепродзержинска, Киева, Краматорска, Кривого Рога, Тернополя.

Картографическая информация о пространственной структуре полей атмосферного загрязнения города тяжелыми металлами, представленная в изолиниях равных, средних, многолетних концентраций металлов в приземном слое атмосферы, удобна для использования санитарно-гигиеническими и природоохранными службами города.

Для оперативного построения картин загрязнения в настоящее время применяются ЭВМ с достаточно эффективными пакетами программ, которые дол-

РИ, 2000, № 4

125

жны удовлетворять поставленным требованиям. Так, в [6] предложена общая схема и описание графической оболочки, включающей в себя модули для изображения проекций поверхностей в трехмерном пространстве на плоскость экрана, изображения векторных полей скорости ветра на различных высотах и изолиний различных уровней загрязнения, изображения контурной карты местности региона с нанесением участков загрязнения атмосферы.

2. Применение теории R-функций к построению нормальных уравнений чертежей

Уравнение f(x,y) = 0 называется нормальным уравнением чертежа (L) [7], если для любой точки M (^, ц) плоскости имеет место равенство

ffe p) = p(M,(L)). (1)

Функция f(x,y) называется нормальной функцией чертежа (L). Нормальное уравнение чертежа является единственным для каждого чертежа. Следуя определению (1), нормальным уравнением прямой является

|xcos а + ysin а- р| = 0,

окружности —

л/(х “ a)2 + (y - b)2 - R

= 0

точки —

л/(х - a)2 + (y - b)2 = 0,

эллипса —

тежа (Lj), а f^x,y) — нормальная функция чертежа (L2), то

ф(Уу) = А(уу) Л.^Уу) =

= fl + f2 ~|fl ~f2l) = min(fbf2) (3)

— нормальная функция чертежа (L), представляющего собой объединение чертежей (L і) и (L 2).

В работе [8] для построения функции чертежа (L) использовалась операция равнозначности ~ в виде:

ф( У у) = fi(x,y)~ f2(x,y)

*1(ууЫуу)

f1(x,y) + f2(yy),

(4)

которая в отличие от операции Aj (3) является дифференцируемой вне чертежа.

Покажем, что операция x ~ у ассоциативна. Действительно,

ХУ . x + У

x + У

При использовании операции ~ (4) будем получать, в отличие от R-конъюнкции Лі (3), не нормальные, а близкие к нормальным уравнения чертежей. R-равнозначность (4) стремится к f Aj f2 для точек, близких к гладким участкам границы. В этом случае нормальная функция соответствующего участка мала по сравнению с нормальными функциями других участков. Пусть, например, щ << v , где v - R-конъюнкция остальных участков. Тогда

(x~y)~ z

xyz

xy + xz + yz

(y~z)

. (5)

z

x

ya2 -Xxb2 = ГГ~ a2 -b2 й2 ,

здесь i( x,y) — действительный корень уравнения (ix -y)2(a2 + X2b2)-X2(a2 -b2) = 0,

которому соответствует наименьшее значение нормальной функции p(x,y).

Нормальное уравнение отрезка M jM 2 с концами в точках M^xj,y^ и M^x2,y^ записывается в виде:

ф(:

ч 1 I (Д - f2)2

,x, У, xj, yj, x2?y2 J =

L

2

2L

2

f 2 '

1 - sign 1 - С

_ V У

(2)

где f1 = (2x - x1 - xJ(y2 -уО ,

f2 = (2У - У1 - yj(x2 - x0 , f3 = |(2x _ x1_ x^(x2 - x0+(2у - У1 - у 2 Ху 2 - у 01,

L = л/(x2 - x02 + (у 2 - уО2 .

В [7] показано, что, несмотря на кажущуюся сложность, задача построения нормального уравнения практически может быть решена для всякого чертежа, который с заданной точностью аппроксимируется конечным числом отрезков прямых. Именно, если fj(x,y) — нормальная функция чер-126

u iv u;

U = u;~v =---— = ---- И ui = ui A1v

ui + v .ux+1

v

т. е. u и u; вблизи i-го участка чертежа.

В районе угловых точек ситуация меняется. В окрестности этих точек нормальные функции сторон угла являются величинами, близкими по значениям, но малыми по сравнению со значениями нормальных функций остальных сторон, т.е. решение вблизи вершины со сторонами, имеющими нормальные функции щ, u2, будет приблизительно равно u и u1 ~ u2 .

Рассмотрим более подробно операцию x ~ у и её обобщение:

Е xy

x~y =---------.

x + y + exy

Легко проверить справедливость следующих свойств:

S S

1) x~y = y~x ;

( si ^Ej s;f Ej ^ Ejf s; A

x~y

V J

z = x~

j

y~z V J ( r;+r; 0

= x~

y~z V J

s s = x~y~ z

8i +8 j

y ~ z

V J

где є = (є; +єj]/2 . Действительно

РИ, 2000, № 4

f Si уj

xy

x~y

V J

z = -

x + y +BjXy

xy

xyze j

■ + z +-

x + y +SiXy x + y +SiXy

■ f є;

xyz

xy + yz + xz + (Si +S j )xyz

j

y~z V J

z

x

є j f Si 3 ' Ei+Ej ^ 8 8

x~ N І - x ~ y ~ z = x~y~ z

V J 'v J

2) x~0 = 0 ;

8i 8i

3) lim ~ xi = ~ xi;

xi—i=1,n i=2,n

8

4) x~x = x/2 ;

5)

6)

lim (x ~ y ~ z) = x; z^-y

i

i=1,n

“I —1

Z (у)4 +Eb i

i—1

i—1

7)

Si

i=1,n

xi

s

i=1,n

xi

1 ”

ГДЄ Є =----Xei •

n "li=1

3. Моделирование экологической обстановки

При моделировании экологической обстановки в регионах со сложной формой границы и наиболее значимыми источниками загрязнения будем использовать нормальные уравнения чертежей, К.-равнозначность и интерлокационную формулу Лагранжа. Форму границы региона, в котором будем проводить исследование экологической обстановки, аппроксимируем с помощью определенного количества отрезков, выбранного экспериментально из условий быстродействия выполняемой задачи и удобочитаемости получаемого результата, и представим замкнутой ломаной.

Нормальное уравнение замкнутой ломаной с вершинами в точках M^x^y^, M2(x2,y^,..., M n (xn, y n ), исходя из равенств (2) и (4), запишем в виде:

n-1

f(x,y) = ~ 9(x,y,xi,yi,xi+1,yi+1)~

i=1 (6)

~ ф(Х y,xn,yn,x1,y1).

Благодаря ассоциативности (5) операции равнозначности (4), мы можем включать в конструируемую функцию (6) границы региона нормальные функции (2) участков границы в произвольной последовательности. При этом будет достигаться эффект симметрии картины региона, если форма и граничные условия обладают этим же типом симметрии.

С помощью данного подхода построено уравнение границы Украины юукраины = 0 (рис.1)

РИ, 2000, № 4

Рис.1. Линии уровня функции юУкраИНы

При этом использовано 310 отрезков прямых. Функциональное представление границы Украины единым аналитическим выражением позволяет в дальнейшем включать его (или уравнения участков границы) в разрешающий алгоритм.

При построении функции загрязненности региона будем использовать интерлокационную формулу Лагранжа [8]:

u(x,y) = U0 + U1

n

~ ®i f n 3

i=1 + Ф

n Юі li=1 ,

i=1 Ф i

(7)

где ®i(x, y) = 0 — уравнение локуса i-го источника с известным уровнем загрязнения фі ; ф — неопределенная компонента, входящая в остаточный член (7). Она может аппроксимироваться некоторым полиномом с неопределенными коэффициентами, находимыми из условия минимума функционала (если он известен) на множестве функций, принимающих заданные значения на локусах, коими являются области источников загрязнения.

В качестве форм источников загрязнения для простоты будем использовать круги, определяемые функциями:

окр _ R2 -(x-xi)2 -(y -Уі)2

2R

ю

окр

- ю

окр

Юі =

2

хотя ими могут быть геометрические фигуры любой сложности.

В [9] проведена оценка состояния загрязненности атмосферного воздуха в городах Украины по данным наблюдений, которые проводились в 54 городах на 167 стационарных постах. Наибольшее загрязнение воздуха наблюдалось в Донецке, Макеевке, Одессе, Днепропетровске, Дзержинске, Мариуполе, Днепродзержинске, Харькове, Запорожье, Луцке, Краматорске, Енакиево, Горловке, Львове. Определялось содержание в атмосфере 39 загрязняющих веществ, включая тяжелые металлы. Основной объём определений (около 60%) отно-

127

сится к наиболее распространенным веществам: пыль, двуокись серы, окись углерода, двуокись азота.

В настоящей работе по данным, имеющим наиболее важные значения, было произведено моделирование экологической обстановки в Украине. К возможностям пакета программ, разработанного для среды MS-DOS и моделирующего экологическую обстановку, относится, кроме наглядного представления результатов быстродействия (каждая картина, представленная в работе, при уже готовых данных о границе региона, рассчитывалась не более 30 секунд для экрана с разрешением 640x480x16), также возможность масштабирования, что позволяет пользователю получать информацию о выбранной области региона.

Данные, полученные из [9], приведены в табл.1.

Таблица 1

Город Количество выбросов загрязняющих веществ (тысяч тонн)

Днепродзержинск 108,5

Г орловка 108,5

Луганск 111,1

Енакиево 120,5

Дебальцево 131,3

Днепропетровск 140,7

Донецк 276,1

Мариуполь 338,9

Кривой Рог 368,3

По данным, приведенным в табл. 1, была построена картина линий уровня загрязненности региона, как показано на рис.2.

Рис.2. Распределение выбросов загрязнения

На рис.3-6 приведены картины линий уровня загрязнения веществами, содержание которых в атмосфере обусловило наибольшее загрязнение по среднегодовым значениям концентраций в 1996 году.

Рис.3. Распределение загрязнения пылью

Рис.4. Распределение загрязнения двуокисью серы

Рис.5. Распределение загрязнения окисью углерода

Рис.6. Распределение загрязнения двуокисью азота

128

РИ, 2000, № 4

Данные, с помощью которых исследовался регион, приведены в табл.2.

Таблица 2

Вещество Город Г одовая концентрация

Пыль Винница 2,0

Макеевка 2,0

Одесса 1,9

Тернополь 1,9

Днепропетровск 1,7

Донецк 1,7

Запорожье 1,7

Кривой Рог 1,7

Светловодск 1,7

Двуокись серы Енакиево 1,2

Одесса 1,1

Хмельницкий 1,1

Окись углерода Горловка 1,3

Дзержинск 1,2

Енакиево 1,2

Запорожье 1,1

Львов 1,1

Двуокись азота Енакиево 3,2

Горловка 3,0

Дзержинск 2,9

Донецк 2,2

Макеевка 2,2

Одесса 1,9

Линии уровня атмосферного загрязнения в регионе имеют значения, представленные в табл.3.

Таблица 3

Значения линий уровня, представленных на рисунках

Рис.2 Рис.3 Рис.4 Рис.5 Рис.6

368,92 2,0000 1,2000 1,2999 3,2000

■ 349,74 1,9785 1,1928 1,2857 3,1071

■ 331,18 1,9571 1,1857 1,2714 3,0142

■ 312,62 1,9357 1,1785 1,2571 2,9214

■ 294,07 1,9142 1,1714 1,2428 2,8285

■ 275,51 1,8928 1,1642 1,2285 2,7357

■ 256,95 1,8714 1,1571 1,2142 2,6428

■ 238,39 1,8499 1,1499 1,1999 2,5499

■ 219,84 1,8285 1,1428 1,1857 2,4571

■ 201,28 1,8071 1,1357 1,1714 2,3642

■ 182,72 1,7857 1,1285 1,1571 2,2714

■ 164,17 1,7642 1,1214 1,1428 2,1785

■ 145,61 1,7428 1,1142 1,1285 2,0857

■ 127,05 1,7214 1,1071 1,1142 1,9928

4. Заключение

Построена математическая модель распространения загрязнений в регионе (Украина) со сложной формой границы, которая описывается уравнениями теории R-функций, позволяющей строить нормальные уравнения локусов. Применена интерлокационная формула Лагранжа для построения функции загрязнения с учетом имеющихся экспериментальных данных. Приведены примеры моделирования экологической обстановки с помощью специально разработанной программы. Имеется возможность расширения решаемой проблемы путем внесения в неё новых данных, например, учёта наличия ветра, характера затухания функции уровня загрязнения и др.

Литература: 1.Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 324 с. 2.Марчук Г.И., Кондратьев КЯ. Приоритеты глобальной экологии. М.: Наука, 1992. 264 с. 3. Самарская Е.А., Сузан Д.В., ТишкинВ.Ф. Построение математической модели распространения загрязнений в атмосфере // Математическое моделирование. 1997. Т.9, №11. С.59-71. 4. Тютюнник Ю.Г. Ландшафтный подход к изучению полей атмосферного загрязнения городов тяжелыми металлами // География и природные ресурсы. 1993. №1. С.54-59. 5.Берлянд М.Е., Генихович Е.Л., Грачева И.Г., Оникул Р.И., Филатова Е.Н., Худшудян Л.Г. Об усовершенствовании методов расчета загрязнения атмосферы // Труды ГГО. 1987. Вып. 511. С. 3-23 6.Акименко В.В., Казанков Д.В., Симоненко А.Б. Средства компьютерной графики в задаче анализа и контроля экологического состояния атмосферы региона // Програм. продукты и системы. 1995. №3. С.10-12. 7.Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 8.Рвачев В.Л., Шейко Т.И, Шапиро В. Обобщенные интерполяционные формулы Лагранжа-Эр -мита на произвольных локусах (Интерлокационные операторы R-функций) // Проблемы машиностроения. 1998. Т.1, №3-4. С. 150-165. 9.Національна доповідь про стан навколишнього середовища в Україні 1996. К.: Видавництво Раєвського, 1998. 96 с.

Поступила в редколлегию 31.05.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Путятин В.П.

Уваров Роман Александрович, аспирант 2-го года обучения ИП Маш НАН Украины отдела “Прикладной математики и вычислительных методов”. Научные интересы: математическая физика, компьютерное моделирование, теория R-функций. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10, к. 1304, тел. 95-95-77,93-38-70.

РИ, 2000, № 4

129