CC BY
28
УДК 539.374; 621.983
С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82,
mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
В.И. Платонов, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82,
mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
А.В. Черняев, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82,
mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЫТЯЖКИ С УТОНЕНИЕМ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ В КЛИНОВОМ КАНАЛЕ В РЕЖИМЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
Приведена математическая модель изотермической вытяжки с утонением анизотропного материала в клиновом канале в режиме кратковременной ползучести. Оценены напряженное и деформированное состояния, силовые режимы операции.
Ключевые слова: анизотропия, кратковременная ползучесть, клиновой канал, вытяжка с утонением, деформация, напряжение, сила, повреждаемость, скорость деформации, температура.
Основные уравнения и соотношения. Рассмотрим деформирование анизотропного материала в режиме кратковременной ползучести (в условиях вязкопластического течения) [1, 2]. Упругими составляющими деформации пренебрегаем. Считаем, что если величина эквивалентного напряжения а е, реализуемая в процессе деформирования, больше некоторой величины аео, например, соответствующей эквивалентной остаточной степени деформации еео = 0,2 % при эквивалентной скорости деформации ^е0 = 0,02 1/ с, то процесс деформирования будет протекать в условиях вязкопластического течения материала.
Уравнения состояния с учетом повреждаемости, описывающие поведение материала, подчиняющегося энергетической теории ползучести и повреждаемости, записываются в виде
a e = a e0
CP
d
vSe0 у
s
cp e
k
s
e0
(1
Ю
cP ) r .
A ) ;
со
cp A
s
cp e
AcP Апр
(1)
а применительно к группе материалов, подчиняющихся кинетическим уравнениям ползучести и повреждаемости, так
a e
a e0
8
cp
d
8e0
s
cp e
k
se0
(1 -с ep)
с ep =
8 cP
e np
(2)
e
e
где <зео, к, <Л, г - константы материала, зависящие от температуры испытаний; в^Р - величины эквивалентной деформации при вязкопластическом течении материала; и <зе - величины эквивалентной скорости деформации и напряжения при вязкопластическом течении [1]; АЩу и 8с^Пр -удельная работа разрушения и предельная эквивалентная деформация при вязкопластическом течении материала; со^' = с1со^7 /ей ; оЬ^7 = ¿/соСР¡(11;
со^ и со^ - повреждаемость материала при вязкопластическом течении
материала по деформационной и энергетической моделям разрушения соответственно.
Величины удельной работы разрушения 8С/Пр и предельной эквивалентной деформации А^ определяются по выражениям
ср _ ^ пр ~ ^ ехР
Ащу ~ С ехр
/■ \ л а
А —
V
с \
V аеу
X
X
(я 0 + соб а + а2 собР + собр);
(ад + а[ сова + соз(3 + а3 сову),
где С, ад' аь а2' а3 и С' а0' ' а2> а3 " константы материала; а, (3 , у -углы ориентации первой главной оси напряжений а| относительно главных осей анизотропии х,у и г соответственно; а - среднее напряжение.
Заметим, что в зависимости от температурно-скоростных условий деформирования, поведение материала может описываться уравнениями состояния (1) или (2) соответственно.
Математическая модель. Рассмотрена вытяжка с утонением стенки заготовки, обладающей цилиндрической анизотропией механических свойств, в режиме кратковременной ползучести через коническую матрицу с углом а (рис. 1). Отношение диаметра заготовки к толщине П3/$о»1. В связи с этим предположением принимаем, что течение материала реализуется в условиях плоской деформации.
На контактных границах заготовки и инструмента реализуется закон трения Кулона
где и ц ¡-[ - коэффициенты трения на контактных поверхностях матрицы и пуансона; а^ - нормальные напряжения на контактных поверхностях матрицы и пуансона.
Рис. 1. Схема к теоретическому анализу кинематики течения
материала
Поле скоростей в цилиндрической системе координат р, 0, у' принимаем радиальным с равномерным распределением компоненты скорости
ур ■
Ур = Ур (р), Уэ = 0, Уу .= 0. (3)
Для определения вида зависимости радиальной скорости от координат используем уравнение несжимаемости материала, которое с учётом уравнений (3) запишется
1 ^ (р Ур) = 0.
р ар к
Величина радиальной скорости определяется по выражению
Ур = в; р
в =-^
а
(4)
(5)
где Уо - скорость перемещения пуансона.
Компоненты скоростей деформации в нашем случае рассчитываются по формулам
в в
£р=- ^р0= 0; £0 = £0у '= 0; £ у = 0; £ у 'р = о. (6) рр
Поскольку физические уравнения ортотропного тела связаны с главными осями анизотропии, запишем выражения для компонент деформаций в новых осях х, у, z (главные оси анизотропии) с помощью формул преобразования компонент скоростей деформаций [3]
в в 1 в
£х =—2'со§20; £z = —■ сое20; £у = 0; £^ =----■ sin20.
р
р
2
2 2
2 р
(7)
Принимая во внимание, что течение материала происходит в условиях плоской деформации, т.е.
•YV
О,
(В)
получим выражение для определения эквивалентной скорости деформации ^е в следующем виде:
2 {Rf+Rf+RfRf ^ "J 3R?
к 2
+ 1
1/2
(9)
где Rf=H/G; Ясур R%=M|G\ Р,в,Н,М - параметры анизо-
тропии.
Учитывая условие (8), получим
а^ + ту. =туг =0, (10)
и выражение для определения эквивалентного напряжения ае принимает вид
1
(
2{R? + Rf + R?Ry) [
1 Rv
R?Rf
■ +
Rf
(Rf+\)¿ (Rf+l)4
+ 1
(11)
Определим компоненты напряжений в системе координат x9y,z через компоненты напряжений в системе координат р,6,у'
2 2 -2 2 ох = apcos 0+ <79 sin 0; av=apsin Q + GqCOS 0;
cos2 0 +sin2 0 R*? sin2 0 +cos2 0 ap_cr6 a- = —-Ors h—:-ag; xxz =-sin 20. (12)
Rf+i
RCP +1
Выражения (11) и (9) для определения эквивалентного напряжения и эквивалентной скорости деформации после использования соотношений (12) и (7) в системе координат запишутся соответственно
1
3 Rf
2 iR?x+Rf+R?Rf)
R?+Rtf+1
Л/2
^ + Л2Г +1 2 1 . 2
----cos2 20 + -Rfz sm¿ 20
Rf+i
ae
(13)
•СР ое
1
2 (Я? + ЯСР + ЯСР ЯСР)
КР+1
Я?+ 11*+1
Щр
-соэ2 29 + —-—вт2 26
2КСЛ
1/2
В
(14)
В дальнейшем примем, что компоненты напряжений ар, ад и компоненты скоростей деформаций зависят только от координаты р и связываются со средним углом матрицы, т.е. полагаем 0 = а/2; = (рис. 2).
и
Рис. 2. Схема к расчету напряженного состояния заготовки при вытяжке с утонением стенки
В этом случае получим
щр
я? + Яср +1 ясур +1
2 (я'Р^ + яу + Я?ЯСР)
сое2 а + —Яг- бш2 а 2
х
(15)
•CP ое
1
2 {R?+Rf+R?Rf)
3 Rf
R?+l 2 1-2 -cos a +-sm a
Rf + Rf+1
2 Rci
1/2
В
(16)
Напряженное состояние заготовки. Для определения радиальных ар и контактных ст^ напряжений, а также величины накопленной повреждаемости материала со^ следует решать совместно следующие уравнения
ар " ак =
i
2 (Rf+Rf + RfRf)
3 Rf
fR?+Rf+\ 2 1 2
-=-cos a ч—RrZ sin a
2 XZ
V
^ Л^/ \k rn \
V eO У
V
2 (Rc/ +Rf +RfRf)
3R?
/ \ 1/2
Д^+l 2 1.2 ---cos a +-sin a
RCXP + RCP+1 2R%
5
~2
pZi£ + a -aK(l + M) = 0; M = - - \xM)jtga.
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
и уравнение равновесия (рис. 2) ¿/р
если поведение материала описывается энергетической теорией кратковременной ползучести и повреждаемости.
В том случае, когда поведение материала подчиняется кинетической теорией кратковременной ползучести и повреждаемости, необходимо воспользоваться системой уравнений (17) - (21), в которых необходимо заменить coj на cof, а также учесть, что
cfP = tcP /ЕСР
tip
(22)
На этапе формоизменения приращение времени деформирования определяется так: с!( = ¿/р / .
Системы уравнений (17) - (21) решаются методом конечно- разностных соотношений вмести с методом итераций.
Изменение направления течения при входе и выходе из очага деформации будем учитывать изменением величины радиального напряжения Ср на величину [4]:
О,,, — О ГУ
(23)
Силовые режимы. Осевое напряжение ах с учетом поворота течения материала на угол а/2 на выходе из очага деформации вычисляется следующим образом
ах = ар
О,,, — Огу
+ (24)
P=Pi 2 2
Силу вытяжки с утонением определяется по формуле:
Р2
Р = Ttfi^G;^ + Ti\\. jjdjj J \gk dp. (25)
Pi
Силовые режимы изотермической вытяжки с утонением стенки исследовались в зависимости от коэффициента утонения ms, угла конусности матрицы а, скорости перемещения пуансона при Vq = const, условий трения на контактной поверхности пуансона и матрицы (|u^j/|u^) для
алюминиевого сплава АМгб (71 = 450°) и титанового сплава ВТ6С
(Т = 930°), поведение которых описываются энергетической и кинетической теориями кратковременной ползучести и повреждаемости. Механические свойства исследуемых материалов приведены в работе [1].
Результаты расчета. Расчеты выполнены при постоянной скорости перемещения пуансона Vq в следующих диапазонах изменения указанных
выше технологических параметров: ms= 0,5...0,9; а = 6...30°; =0,05...0,1; ця=(1...4)цм; F0 =0,04...0,1 мм/с.
Графические зависимости изменения относительных величин силы Р =/>/(2тгг^о<7ео) и осевого напряжения ах =сгх/аео ПРИ вытяжке с утонением стенки алюминиевого сплава АМгб (Т = 450°), поведение которого описывается энергетической теорией кратковременной ползучести и повреждаемости, от угла конусности матрицы а при фиксированных значениях скорости перемещения пуансона Vq, обеспечивающих вязко пластическое течение материалов, представлены на рис. 3 соответственно.
29
Рис. 3. Зависимости изменения Р (а) и ал, (б) от а (сплав АМгб, 450 °С): кривая 1 - ms= 0,5; кривая 2 - ms= 0,6; кривая 3 - ms = 0,7; кривая 4 - ms= 0,8
(juM = 0,1; jli^j = 0,2; Vq = 0,05 мм/с)
Анализ результатов расчетов и графических зависимостей показывает, что относительная величина силы Р с ростом коэффициента утонения ms уменьшается. Относительная величина напряжения ах возрастает с ростом угла конусности матрицы а и уменьшением коэффициента утонения ms. Установлено существование оптимальных углов конусности
матрицы в пределах 10... 20°, соответствующие наименьшей величине силы, при коэффициентах утонения ms < 0,75. Если величины коэффициентов утонения ms > 0,75, то увеличение угла конусности матрицы а приводит к возрастанию относительной удельной силы Р. Величина оптимальных углов конусности матрицы а с увеличением коэффициента утонения ms смещается в сторону меньших углов.
На рис. 4 представлены зависимости изменения относительной величины силы Р от скорости перемещения пуансона Vq при изотермической вытяжке с утонением стенки алюминиевого АМгб (Т = 450°С) на конической матрице с углом конусности а = 18°. Установлено, что относительная величина силы Р существенно зависит от скорости перемещения пуансона Vq. Относительная величина силы процесса Р с ростом величины Vq возрастает.
Графические зависимости изменения относительной величины силы Р от условий трения на контактных поверхностях матрицы и пуансона (¡ijj / ) при вытяжке с утонением титанового сплава ВТ6С (930 °С), по-
ведение которого описывается кинетической теорией кратковременной ползучести и повреждаемости, приведены на рис. 5. Анализ результатов расчетов и графических зависимостей показал, что с ростом коэффициента трения на пуансоне \1 ^ (при фиксированном значении \хм) величина относительной силы Р возрастает.
1 А 2
д__
\з \4_
0.04 0.05 0.06 ММ С 0.08 Г0-v
Рис. 4. Зависимости изменения Р от Vq (сплав АМгб, 450 °С): кривая 1 - ms= 0,5; кривая 2 - ms= 0,6; кривая 3 - ms = 0,7; кривая 4 - ms= 0,8 (Vm =
\i]j = 0,2; а = 18°^
\i
\
1 2 з
%т/м-м-*
Рис. 5. Зависимости изменения Р от }1 и (сплав ВТ6С, 930 °С): кривая 1 - т8 =0,7 ; кривая 2 - т8= 0,8; кривая 3 - т8= 0,9
(У0 =0,04 мм/с; а = 18°^
Заметим, что характер изменения относительных величин силы Р и напряжений ах от исследуемых технологических параметров вытяжки с утонением стенки справедлив, как для вязкого, так и вязкопластического течений материала [1].
Приведенные выше соотношения и результаты расчетов могут быть использованы при анализе процессов изотермической вытяжки с утонением цилиндрических заготовок, обладающих цилиндрической анизотропией механических свойств, через коническую матрицу в режиме ползуче-пластического течения.
Работа выполнена по государственным контрактам в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы и грантам РФФИ.
Список литературы
1. Изотермическое формоизменение анизотропных материалов жестким инструментом в режиме кратковременной ползучести / С.С. Яков-
31
лев, С.П. Яковлев, В.Н. Чудин, В.И. Трегубов, А.В. Черняев / под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 412 с.
2. Малинин Н.Н. Ползучесть в обработке металлов. М.: Машиностроение, 1986. 216 с.
3. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант. 1997. 331 с.
4. Попов Е.А. Основы теории листовой штамповки. М.: Машиностроение, 1968. 283 с.
S.S. Yakovlev, V.I. Platonov, A.V. Tchernyaev
MATHEMATICAL MODEL OF THE EXTRACT WITH UTONENY OF ANISOTROPIC MATERIALS IN THE MAPLE CHANNEL IN THE MODE OF SHORT-TERM CREEP
The mathematical model of an isothermal extract with an utoneniye of an anisotropic material is given in the maple channel in a mode of short-term creep. The strained and deformed conditions, power modes of operation are estimated.
Key words: anisotropy, short-term creep, maple suited, an extract with an utoneniye, deformation, tension, force, damageability, speed of deformation, temperature.
Получено 24.08.12
УДК 621.7, 539.3
О.А. Ткач, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-18-32, tkachoa@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
А.Н. Пасько, д-р техн. наук, доц., (4872) 35-18-32, tm@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
Л.П. Семенова, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-18-32, tm@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОСАДКИ КОЛЬЦА В КОЛЬЦЕВУЮ МАТРИЦУ БЕЗ ОПРАВКИ
Представлены результаты исследования напряженно-деформированного состояния кольцевой заготовки при осадке в кольцевую матрицу без оправки. Математическая модель строилась на использование трехмерных конечных элементов.
Ключевые слова: осадка, напряженно-деформированное состояние, трехмерное моделирование.
На современном этапе развития науки и техники моделирование различных процессов деформирования в обработке металлов давлением (ОМД) имеет принципиальное значение. Оно дает возможность рассмотреть все особенности процесса, оценить возникающее напряженно-
