CC BY
21
НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ
Математическая модель телескопической системы фиксации
Сергей
Лемешевский,
директор Института математики НАН Беларуси, кандидат физико-математических наук; svl@im.bas-net.by
Алексей Козленков,
инженер-
программист
иностранного
предприятия
«Эксадел»;
alexey.koz le n kov@
gmail.com
Андрей Пашук,
ассистент кафедры
ортопедической
стоматологии
Белорусского
государственного
медицинского
университета;
and7655@yandex.by
Аннотация. Представлены различные системы фиксации частичных съемных протезов, проанализированы их характеристики и проблемы, возникающие при выборе конструкции в конкретной клинической ситуации. Описан процесс математического моделирования напряженно-деформированного состояния конусовидных коронок, целью которого является оценка силы удержания конуса для рассматриваемой физической модели - коронки. Для решения граничной задачи теории упругости в области сложной формы построен численный метод, основанный на методе конечных элементов. Проведено моделирование телескопических конусовидных коронок, для чего была разработана программа на языке Python. Использовался пакет для научных вычислений FEniCS. На основе полученных результатов выполнена оценка влияния геометрических параметров коронки на силу удержания. Установлено, что угол конуса не должен превышать 6°. Ключевые слова: математическое моделирование, напряженно-деформированное состояние, зубочелюстная система, телескопическая система фиксации, конусовидные коронки.
Для цитирования: Лемешевский С., Козленков А, Пашук А. Математическая модель телескопической системы фиксации//Наука и инновации. 2019. №4. С. 55-58. h ttps://doi. org/10.29235/1818-9857-2019-4-55-58
Стоматологические заболевания, требующие удаления зуба, многочисленны, поэтому на протяжении жизни большинство людей сталкивается с этой процедурой. Нарушение целостности зубного ряда вызывает нарушения функции жевания, дефекты речи и эстетические недостатки. Отсутствие более четырех зубов является показанием к протезированию частичными съемными протезами, которые делятся на пластиночные
(наиболее популярные и недорогие, чаще пластмассовые, восстанавливают жевательную функцию, но признаются нефизиологичными) и бюгельные (с металлическим каркасом, более долговечные и физиологичные). Фиксация и стабилизация последних достигаются с помощью различных систем. Самые простые в изготовлении и доступные по цене фиксаторы - кламмеры, они выполняют удерживающую и опор-но-удерживающую функции, но при этом передают жевательную нагрузку не по оси зуба, что
ведет к расшатыванию и впоследствии к удалению опорных зубов. Замковые фиксаторы, или аттач-мены, используются широко и имеют множество разновидностей. Они более надежные, чем кламмеры, однако нагрузку тоже передают не по оси, что компенсируется увеличением количества опорных зубов до двух и более и добавлением других опорных элементов.
Телескопические (состоящие из двух частей) коронки, которые используются как фиксирующий элемент, фактически можно назвать съемным мостовидным протезом, поскольку они отличаются близкой к оптимальной, физиологичной передачей жевательного давления на зубочелюстную систему [1, 2]. При достаточном количестве опорных зубов допустимо уменьшение базиса конструкции - к такому протезированию пациенты привыкают быстрее, что благоприятно влияет на качество жизни и здоровье. Телескопическая система фиксации состоит из двух коронок, одна из которых (внутренняя - первичная, или патрица) зацементирована на опорном зубе, другая (внешняя - вторичная, или матрица) находится в базисе съемной части протеза. Внутренняя стенка матрицы в недеформированном состоянии точно совпадает с внешней стенкой патрицы.
Существует несколько вариантов телескопических коронок как удерживающих элементов для съемных протезов. У цилиндрических коронок стенки параллельны, и с момента первого контакта поверхностей до полного их наложения происходит динамическое трение, вызывающее преждевременное стирание; то же происходит и при разъединении
элементов. Конусовидные коронки лишены этого недостатка: когда один конус помещается в соответствующий ему второй (вогнутый), сцепление возникает только в конечном положении, что предотвращает преждевременное изнашивание элементов конструкции [3-5].
Врачами стоматологами-ортопедами телескопические фиксаторы, имеющие много положительных качеств, используются не очень активно. Это объясняется тем, что ни в отечественной, ни в зарубежной специальной литературе не описаны четкие показания к их применению в качестве фиксаторов для съемных протезов, недостаточно изучено распределение нагрузки, которую они оказывают на костную ткань.
Цель настоящего исследования - изучить телескопическую систему фиксации частичных съемных зубных протезов методом математического моделирования и определить, как геометрические параметры коронки влияют на силу удержания.
Информационные технологии проникают в самые различные области медицины, в том числе в стоматологию, активно работая на этапах диагностики (цифровая рентгенография и фотография, сканированные диагностические модели) и протезирования [6, 7]. Для обоснования выбора в конкретной клинической ситуации вида ортопедической конструкции, в частности телескопической системы фиксации, воспользуемся методом математического моделирования [8, 9].
Напряженно-деформированное состояние твердых тел описывается теорией упругости [10]. Ее задачи, как и множество других, сводящихся к уравнениям
в частных производных, трудно поддаются аналитическому решению. В сложных случаях используются численные методы, среди которых метод конечных элементов (МКЭ) [12-14]. Он применяется для задач механики деформируемого твердого тела, теплообмена, гидро- и электродинамики. Суть его заключается в поиске решения на дискретизированной области - разбиении оригинальной области на множество элементов. Для каждого из них выбирается вид аппроксимирующей функции (в простейшем случае - полином 1-й степени). Эти функции равны нулю вне своего элемента. Также соблюдаются условия согласования - равенство значений функций на границах элементов (в узлах), что позволяет определить коэффициенты функций. Составляется система алгебраических уравнений; обычно она получается разреженной, что упрощает ее решение.
МКЭ имеет несколько преимуществ по сравнению со своим ближайшим аналогом - методом конечных разностей (МКР). Так, МКЭ позволяет работать с более сложными областями, полученное приближенное решение принадлежит тому же классу функций, что и решение исходной дифференциальной задачи. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния конусовидных коронок
Цель моделирования - оценить силу удержания конуса для рассматриваемой физической модели - коронки. Эта сила возникает при прижимании коронок друг к другу: внутренний конус входит, как клин, во внешний. При этом на поверхности конуса возникает значительное давление,
СТОМАТОЛОГИЯ
направленное перпендикулярно поверхности, - нормальная сила, которая также определяет величину силы трения. Чем ближе составные части коронки будут прижаты друг к другу, тем большая сила удержания возникнет и тем надежнее коронка будет зафиксирована.
Чтобы оценить силу удержания, нужно рассчитать тензор напряжений а(и)=ХУ • й1+(и), где £ (и) = 1/2 (Уй + (УйТ)) - тензор деформаций, й - вектор упругих деформаций, I - единичный тензор второго ранга, X, ц - коэффициенты Ламе, которые характеризуют упругие свойства тела.
Рассмотрим трехмерную область, представляющую собой пару усеченных конусов, один из которых «надет» на другой. Такие области моделируют форму телескопических коронок (рис. 1). Между конусами имеется свободное пространство,зазор. К верхнему основанию внешнего конуса в некоторой точке прикладывается нагрузка £ под некоторым углом. Требуется определить, во-первых, напряженно-деформированное состояние (НДС) тела после действия нагрузки, то есть решить основную задачу теории упругости. Во-вторых, оценить состояние кумулятивной области на границе сопряжения составляющих областей и проанализировать, появилось ли смещение. Для нахождения вектора упругих деформаций и, следовательно, тензора напряжений необходимо решить граничную задачу для уравнения линейной теории упругости
(1)
Уравнение (1) дополняется условиями, описывающими внешнюю нагрузку, условиями жесткой
Го Го Го
Го
Го
а
По
Г
Г
Го
П
Рис. 1. Составные части телескопической коронки в разрезе
Го
условия и условия сопряжения, приходим к следующему тождеству:
,
которое можно записать в виде:
,
(2)
фиксации основания коронки, а также условиями сопряжения на границе раздела двух конусов.
После нахождения тензора напряжений можно вычислить его нормальные /п) и тангенциальные (т) составляющие, по которым согласно закону Кулона - Амантона можно оценить величину модуля силы удержания
/у=к0 /п-|Т|,
где к 0 - коэффициент трения скольжения (для заданных материалов примем, например, значение 0,15).
Вариационная формулировка
При построении дискретной задачи методом конечных элементов используется вариационная формулировка исходной дифференциальной задачи.
Введем следующие функциональные пространства:
триальных функций;
тестовых функций.
Умножая скалярно уравнение (1) на тестовую функцию т{х) е интегрируя результат по области О и учитывая граничные
где V х V -* Л - билиней-
ная форма; £,(г!): ^ ^ д - линейная форма.
Надо отыскать такую вектор-функцию и е V, которая удовлетворяет уравнению (1). Для приближенного решения данной вариационной задачи область О разбивается на N подобластей (расчетная сетка), на которых задается набор из N вектор-функций из пространства <рк (я:} £ V, к = 1,2, который называется базисом. Приближенное решение ищем в виде линейной комбинации базисных функций ^ = Таким обра-
зом, задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ск.
Для построения расчетной сетки можно использовать свободное программное обеспечение, например программу СшзЬ [15], которая предоставляет пользователю удобный графический интерфейс для построения трехмерных моделей, а также генерации трехмерной расчетной сетки (рис. 2).
Рис. 2. Расчетная сетка, построенная в программе Gmsh
Г
2
Г
о
L24
0.0513
о
Рис. 3. Векторное поле упругих деформаций
Для реализации численного решения вариационной задачи (2) удобно использовать FeniCS - набор программных компонентов с открытым исходным кодом, обеспечивающий решение методом конечных элементов задач, описываемых уравнениями в частных производных [16]. Данный программный продукт написан на языке C++, но имеет удобную обертку для быстрого описания расчетных задач на языке высокого уровня Python. При этом параметры задачи можно задавать во входных файлах формата XML. Расчет напряжений в телескопических конусовидных коронках
Выполним расчеты для разных углов (в пределах от 4 до 12° с шагом 2) и нагрузок. Будем иметь в виду, что среднестатистическая человеческая челюсть при жевании создает нагрузку порядка 108 Па.
Все варианты параметров эксперимента задаются в файле
ргоЫет.хш1. Генерировать область и производить вычисления будем для каждой пары (угол - нагрузка) конкретных значений. Для анализа результатов можно использовать свободный программный пакет Рагау1е"№ - открытый графический кросс-платформенный пакет для интерактивной визуализации в исследовательских целях [17]. На рис. 3 в качестве примера использования Рагау1е-№ представлена визуализация рассчитанного векторного поля упругих деформаций.
Проанализируем силу удержания для всего набора углов коронок (4-12°), прикладывая нагрузку порядка 4х108 Па. Она в несколько раз превышает величину давления, которую создают человеческие челюсти при жевании. Максимальные значения возникшей силы удержания для всех вариантов нагрузок и углов представлены в таблице. Поскольку с увеличением угла сила удержания (конструкции/протеза) резко уменьшается, рекомендуется использовать телескопические конусовидные коронки с углом конуса 4 и 6°.
Таким образом, для решения граничной задачи теории упругости в области сложной формы построен численный метод, основанный на методе конечных элементов. Выполнено моделирование конструкции телескопических конусовидных коронок, для чего была разработана программа
Угол конуса
на языке Python. Использовался пакет для научных вычислений FEniCS. На основе моделирования проведена оценка влияния геометрических параметров коронки на силу удержания. Установлено, что в стоматологической практике не стоит выбирать угол конуса больше 6°. .
■ Summary. Various systems for fixing partial dentures are presented, their characteristics and problems arising from the choice in a particular clinical situation are analyzed. The process of mathematical modeling of the stress-strain state of conical crowns is described, the purpose of which is to estimate the strength of the cone for the considered physical model - the crown. The finite-element approximation of the elasticity boundary-value problem in the complex-shape domain is presented in the paper. Computer simulation of the telescopic crowns structure is carried out. For this purpose the Python computer program is developed. Platform for scientific computations was used. On the basis on computer simulation, it is estimate influence of geometric parameters of crown on holding force. It is established that the angle of the cone should not exceed 6°.
■ Keywords: mathematical model operation, intense strained state, dentoal-veolar system, telescopic system of fixing, cone-shaped crowns, mathematical model, telescopic crowns.
■ https://doi.org/10.29235/1818-9857-2019-4-55-58
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Гребенщикова К. И. Частичные съемные протезы с телескопической фиксацией // Международный студенческий научный вестник. 2016. № 2.С.40.
2. Лисовский А. А. Частичные съемные протезы с телескопической фиксацией и полные съемные протезы с опорой на внутрикост-ных имплантатах // Медицинские науки. 2017. № 3. С. 51-54.
3. Пашук А.П.Телескопические коронки:исторические этапы применения // Медицинский журнал. 2012. № 1. С. 152-154.
4. Тимачева Т. Б., Шемонаев В. И., Малолеткова А. А. Телескопиче-
ские методы фиксации зубных протезов: учебно-методическое
пособие. - Волгоград, 2009.
Полный список литературы размещен на сайте innosfera.by
КЖИЖ http://innosfera.by/2019/04/mathematical_model Статья поступила в редакцию 28.06.2018 г.
зузка, Па 4° 6° 8° 10° 12
1х108 7,1 6 4,1 3,2 3
2х108 14,1 12,4 8,4 6,1 6
4х108 28 24,2 17,2 12,2 10,9
8х108 60,6 50,4 36,1 25,3 22,3
Таблица. Максимальные значения силы удержания при разных нагрузках и величинах угла конуса коронки
