Математическая модель беспилотного летательного аппарата в условиях движения с возмущающими воздействиями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Информатика, вычислительная техника и управление

УДК 519.6

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В УСЛОВИЯХ ДВИЖЕНИЯ С ВОЗМУЩАЮЩИМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

Е.М. Васильев, Н.О. Мельник

В статье рассматривается задача построения математической модели беспилотного летательного аппарата с учётом реальных аэродинамических эффектов, возникающих при его движении в открытом пространстве и затрудняющих стабилизацию аппарата как объекта управления. Получены соотношения, определяющие векторы сил и вращающих моментов, появляющихся вследствие этих эффектов, и с их учётом построена полная модель движения аппарата

Ключевые слова: беспилотный летательный аппарат, динамическая модель, возмущающие воздействия

Беспилотные летательные аппараты (БПЛА) относятся к структурно неустойчивым объектам, работа которых в условиях с возмущающими воздействиями представляет собою, в широком понимании, критический режим их функционирования [13]. Для проектирования систем управления, обеспечивающих длительное автоматическое поддержание таких режимов, необходимы соответствующие динамические модели БПЛА, адекватно описывающие поведение аппарата в реальных условиях его движения [4-6]. К наиболее существенным из этих условий относятся турбулентные воздушные потоки и соответствующие опрокидывающие моменты, затрудняющие стабилизацию аппарата при его перемещении в открытом воздушном пространстве.

В работе рассматривается БПЛА вертолётного типа с четырьмя несущими винтами, схема которого представлена на рис. 1.

• -

Рис. 1. Компоновочная схема БПЛА

На рис. 1 обозначены: >ь....>4 - частоты вращения винтов с указанием направлений вращения; иь...,и4 - силы тяги каждого винта; Р - сила тяжести несущей платформы; Ух, ¥у, У2 - векторы скоростей в собственной - подвижной системе координат платформы.

Кинематические соотношения всех физических величин, описывающих движение аппарата в неподвижной ХУ2 и подвижной хух системах координат (рис. 2), задаются уравнениями:

Васильев Евгений Михайлович - ВГТУ, канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, e-mail: vgtu-aits@yandex.ru Мельник Никита Олегович - ВГТУ, студент, тел. (473) 243-77-76, e-mail: vgtu-aits@yandex.ru

x X X x

У = C Y Y = CT У

z Z Z z

(1)

(2)

с помощью ортогонального преобразования С:

е0 • еу е0 • 5у - 50

С = 5 ф- 5 0- е у- е ф- 5у 5 ф- 5 0- 5 у+ е ф- еу 5 ф- е 0 е ф- 5 0- е у+ 5 ф- 5у 5 ф- 5 0- 5 у-5 ф- еу е ф- е 0 где символами с и 5 обозначены тригонометрические функции соб(-) и зш(-), аргументами которых являются угловые координаты платформы аппарата: ф -крен, 6 - тангаж, у - курс (рис. 2).

, х

Z

J,

X

У

Рис. 2. НеподвижнаяХЛ и подвижная хух системы координат аппарата

Матричное уравнение движения БПЛА в декартовых координатах ХЛ представим в виде

тУ = и + Б-Р-F-# , (3)

в котором т - масса аппарата; V - вектор скорости центра масс.

Сформируем компоненты уравнения (3).

и - вектор силы тяги винтов:

ux " 0"

u = Uy = CT 0

_ uz _ Uz _

(4)

4

и2 = киЯ2 = и + и2 + из + и4,

I=1

где ки - коэффициент тяги винта; Я - радиус винта.

Б - вектор дополнительной силы тяги, возникающей при обтекании платформы воздухом в плоскости винтов:

" DX ' ' 0 "

D = Dy = CT 0

_ Dz _ Dz _

Dz = 4ки + VL, у).

Уотн,(х,у) - компоненты скорости центра масс платформы относительно воздуха в подвижной системе координат ху2\

(6)

где Уотн,(Х,7,г) - компоненты скорости центра масс БПЛА относительно воздуха в координатах ХУ2; У(х,т,г) - компоненты скорости центра масс в неподвижной системе координат ХУ2; Ув,х,г,г) - компоненты скорости ветра в координатах ХУ2.

Р - вектор силы тяжести: 0

V ' отн,x V v отн, x VX - Vb, X

V r отн,y = C V v отн,/ = C V/ - Vb,/

V ' отн^ V -7 отн,/ V/ - Vb,z

P =

0

Pz

pz = mg,

(7)

g - ускорение свободного падения.

Е - вектор сил сопротивления воздуха перемещению корпуса БПЛА:

F =

где крххг) - коэффициенты сопротивления воздуха перемещению корпуса; для рассматриваемого аппарата принимаем кРх= кРТ.

Н - сила сопротивления воздуха вращению винтов определяется в соответствии с рис. 3:

Fx ' kF, X ^отн, x IV i-l у отн,x |

Fy = kf ,y V V ' отн,/ , (8)

Fz _ _ kf,z V V ' отн,/ |^тн,/|

E=kH[(DR+V)2-{DR-V)2]=4kHDRV,

или

'Hx' = Cr "V " ' отн,x

н = Hy V ' отн,y

_ H/ _ 0

(9)

¿=1

kH - коэффициент сопротивления воздуха вращению винтов.

Q

QR+V

ОЯ-У 1

Рис. 3. Схематическое изображение действия силы сопротивления воздуха вращению винта

После подстановки (5)-(9) в (3) получаем уравнение движения центра масс БПЛА в неподвижной системе координат:

Vx - Hx 0 Fx

m Vy = C - Hy - 0 - Fy

V/ Uz + Dz Pz Fz

(10)

Уравнение движения для угловых перемещений платформы:

J — + raxJra = Q + G + B , (11)

dt

в котором 3 - матрица главных моментов инерции БПЛА относительно осей х,у,2 платформы:

J =

Jx

0 0

0

J

y

0J

ю - вектор угловых скоростей вращения платформы относительно осей хур.

га x" гаФ ф

га = га y = га0 = 0

га z _ гау > _

Td га - -

J--+ га x J га - изменение момента количества

dt

движения платформы:

d га - -J--+ га x J га =

dt

Jx to x i j к 1

•S3 + га y гaz

_ Jz to z _ Jx га x Jy га y Jz га z J

(12)

откуда

d га - -

J--+ га x J га =

dt

Jx гах + (Jz - Jy)гаугаz = Jy гаy + (Jx - Jz ) гаХгаz Jz to z + (Jy - Jx ) га yга x

Jx <»9 + (Jz - Jy ) га0гау = Jy га0 + (Jx - Jz ) гафгау

Jz гау + (Jy - Jx ) га0гаФ В силу X-компоновки платформы (рис. 1) Jy=Jx. Определим моменты сил в уравнении (11). Q - вращающие моменты относительно осей x,y,z, обусловленные несовпадением частот вращения Qb.--.Q4 винтов и соответственно сил тяги иь....и4:

kuR2 • i cos(45°)'(- ++q2 - Q4 )

0

"Qx i

Q = Qy =

Qz

kHR3 • (- Qf + Q2 - Q2 + Q21

(13)

I - расстояние от центра масс платформы до оси каждого винта (длина несущей балки). Выражение для компоненты Qz получено из рис. 4.

I

kH(QR)

R 2

kH(QR)

Рис. 4. Схема возникновения момента Qz

Из геометрических соотношений, показанных на рис. 4, следует:

' R)-kH(QR)2ii -f

Qz(i,...,4) = kH (QR)2 [l + R) - кн (QR)2 [I - R) =

= кн (QR)2 • R = kHR3Q2.

О - вектор гироскопических и реактивного моментов, возникающих относительно осей х,у и х соответственно:

Gx' J ИМ (-^1 +^2 -^3 + P4) • ®0

G = Gy = J ИМ (P1 -P2 + P3 -^4) • Юф , (15)

Gz _ J ИМ (-P1 + P 2 - P 3 + P 4 )

в котором ^-йм^ - момент инерции вращающихся частей исполнительного механизма, приведенный к оси двигателя.

В - опрокидывающий момент, возникающий из-за несовпадения точки приложения силы сопротивления воздуха поступательному перемещению платформы и её центра масс (рис. 5):

ОО 21 ОО

H+F

J}

h

► V

Центр масс

Рис. 5. Схема возникновения опрокидывающего момента B

B =

" Bx'

B, =

y

0

'К + fy )•h'

-Hx + Fx )• h 0

(16)

где компоненты вектора F в осях x,y определяются из соотношения

" Fx' "Fx '

fy = C Fy

_ Fz _ _ Fz _

Результирующее уравнение движения БПЛА в угловых координатах принимает вид:

J

Ю ф 0 - Ю0 ЮФ

to 0 = - 0 ЮФ • J • Ю0

Ю0 - Юф 0

Qx Gx Bx

+ Qy + Gy + by

Qz Gz 0

(17)

Таким образом, в полном виде уравнения (10) и (17) описывают движение центра масс и вращение платформы вокруг собственных осей рассматриваемого типа БПЛА с учётом аэродинамических эффектов, порождающих:

вектор дополнительной силы тяги, возникающей при обтекании платформы воздухом в плоскости винтов;

вектор сил сопротивления воздуха перемещению корпуса БПЛА;

вектор сил сопротивления воздуха вращению винтов;

вектор опрокидывающего момента, возникающего из-за несовпадения точки приложения силы сопротивления воздуха поступательному перемещению платформы и её центра масс.

Учёт указанных эффектов позволяет повысить адекватность модели и качество проектирования соответствующих систем управления БПЛА.

Литература

1. Змеу, К.В. Моделирование динамики сложного механического объекта [Текст] / К.В. Змеу, М.Н. Невмер-жицкий, Б.С. Ноткин // Вестник Инженерной школы Дальневосточного федерального университета. - 2013. -№ 4(17). - С. 82-89.

2. Peña, M. Identification of an Unstable Nonlinear System: Quadrotor [Text] / M. Peña, A. Luna, C. Ro driguez // International Journal of Mechanical, Aerospace, Industrial and Mechatronics Engineering. - 2014. - Vol. 8, №. 2. - P. 307315.

3. Rodic, A. Modeling and simulation of quad-rotor dynamics and spatial navigation [Text] / A. Rodic, G. Mester // Intelligent Systems and Informatics (SISY 2011): IEEE 9th International Symposium. - Subotica, 2011. - P. 23-28.

4. Синтез системы управления квадрокоптером с использованием упрощённой математической модели [Текст] / А.А. Пыркин, Т.А. Мальцева, Д.В. Лабадин и др. // Известия вузов. Сер. Приборостроение. - 2013. - Т. 56, № 4. -С. 47-51.

5. Ситников, Д.В. Система управления движением мультикоптера [Текст] / Д.В. Ситников, В.А. Бурьян, Г.С. Русских // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. - 2012. - № 5. - С. 33-37.

6. Simple GUI Wireless Controller of Quadcopter [Text] / D. Hanafi, M. Qetkeaw, R. Ghazali et al. // International Journal of Communications, Network and System Sciences. - 2013. - Vol. 6, № 1. - P. 52-59.

Воронежский государственный технический университет

+

MATHEMATICAL MODEL OF UNMANNED AERIAL VEHICLE IN CONDITIONS OF MOVEMENT WITH DISTURBING INFLUENCES

E.M. Vasiljev, N.O. Melnic

The article deals with the problem of constructing a mathematical model of an unmanned aerial vehicle, taking into account the actual aerodynamic effects associated with its motion in open space and impede the stabilization device as a control object. The relations defining vectors of forces and torques arising from these effects and their consideration to construct a complete model of the motion of the machine

Key words: unmanned aerial vehicle, dynamic model, disturbing influences