Логико-математические методы и их применения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

УДК 519.711

Логико-математические методы и их применения

Левин В. И.

Актуальность. Непрерывная логика (НЛ) вводится как естественное обобщение дискретной логики (ДЛ). При этом большинство законов ДЛ остается в силе и для НЛ. Однако операцию отрицания НЛ нельзя определить так, чтобы она была дополнением, как, например, в двузначной логике, т.е. чтобы выполнялись законы исключенного третьего и противоречия. Поэтому структурно непрерывная логика существенно отличается от двузначной дискретной логики. Это и непрерывность переменных приводит к определенным отличиям НЛ от ДЛ в номенклатуре решаемых задач и методике их решения. Цель статьи - дать подробный обзор теории НЛ, ее истории, методики, результатов и применений в различных областях науки и техники. Метод. Для получения новых результатов в непрерывной логике используют ряд прямых методов: 1) вычисление таблицы значений логического выражения; 2) эквивалентные преобразования логических выражений; 3) сочленение частных логических выражений в общее; 4) расчленение общего логического выражения на несколько частных. Результат. На сегодня НЛ сложилась как самостоятельная научная дисциплина, характер которой определяется потребностями ее гармоничного развития, как математической дисциплины, и потребностями ее многочисленных приложений, охватывающих чуть ли не все области человеческой деятельности: математика (аппроксимация функций, геометрия, теория множеств, теория чисел, интервальный анализ); техника (расчет электрических цепей; синтез функциональных генераторов и АЦП, расчет аналоговых и цифровых устройств, моделирование формы деталей; надежность, диагностика и техническое обслуживание); системы (теория систем обслуживания, распознавание образов и анализ сцен, принятие решений, обработка информации, синхронизация); экономика (дискретная оптимизация, теория расписаний, моделирование экономических систем), биология (моделирование нейронных структур), социология (моделирование динамики поведения коллектива); политология (моделирование динамики общества), история (моделирование потоков исторических событий). Новизна. Во всех вышеперечисленных областях применение НЛ позволило либо впервые получить аналитическое решение задачи, либо прийти к решению, существенно лучшему, чем известные, в отношении обозримости при высокой размерности задачи и/или трудоемкости ее решения.

Ключевые слова: непрерывная логика, законы логики, логическая функция, проблема полноты, применения непрерывной логики.

1. Общее описание непрерывной логики

Пусть С = [А, В] замкнутый интервал с серединой М = (А+В)/2. Основные операции НЛ определяются на С в виде а V Ь = тах( а, Ь) (дизъюнкция),

а л Ь = тт( а, Ь) (конъюнкция) (1)

а = 2М - а (отрицание).

Знак л часто не ставится. Реже в качестве базовых выбирают операции включения а з Ь = (а + Ь) л В, импликации а ^ Ь = а V Ь, эквивалентности

Библиографическая ссылка на статью:

Левин В. И. Логико-математические методы и их применения // Системы управления, связи и безопасности. 2018. № 2. С. 213-244. URL: http://sccs.intelgr.com/archive/2018-02/11-Levin Reference for citation:

Levin V. I. Logical-Mathematical Methods and Their Applications. Systems of Control, Communication and Security, 2018, no. 2, pp. 213-244. Available at: http://sccs.intelgr.com/archive/2018-02/11-Levin (in Russian).

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

(а = Ь) = (а V Ь )(а V Ь), неэквивалентности (а Ф Ь) = аЬ V аЬ, Шеффера а | Ь = аЬ, Веб-ба а X Ь = а V Ь, противоречия (а ф а) = аа , тавтологии (а ф а) = а V а , запрета (а ^ Ь) = аЬ . Алгебры, образуемые множеством С вместе с теми или иными базовыми операциями на нем, называются алгебрами НЛ. Любая функция вида Сп ^ С, в форме суперпозиции конечного числа базовых операций данной алгебры НЛ, примененных к аргументам хь...,хп е С, называется функцией НЛ.

Число функций НЛ конечно, хотя множество всех функций вида Сп ^ С является бесконечным.

Наиболее разработанная алгебра НЛ - квазибулева алгебра

Д = (С;^л,~). (2)

Любая функция НЛ в алгебре (2) на любом наборе аргументов принимает значение одного из аргументов или его отрицания. Поэтому задать такую функцию можно таблицей значений. От табличного можно перейти к аналитическому представлению функции, используя метод сочленения. Обратный переход осуществляется методом расчленения.

Число Р(п) функций НЛ от п аргументов в квазибулевой алгебре растет с увеличением п весьма быстро: Р(0) = 2, Р(1) = 6, Р(2) = 84, Р(3) = 43918 . Для п = 0 эти функции - константы

Уо = А, У1 = В. (3)

Для п = 1 это константы Уо, У1 и еще 4 функции, существенно зависящие от аргумента х

У2 = х, Уз = х, у4 = х V х, У5 = хХ. (4)

Для п = 2 это 2 константы (3), 8 функций (4), зависящих от одного аргумента (х1 или х2), 10 функций, зависящих от двух аргументов

у10 = х1 V ^ у11 = Х1Х2, у12 = (х1 V х2)(х1 V х2Xу13 = х1х2 V Х1x2, у14 = Х1Х2, (5) у15 = Х1 V x2, у16 = Х1 V x2, у17 = Х1 V Х2, у18 = Х1x2, у19 = x1Х2,

и еще 64 функции, зависящие от 2 аргументов, получаемые суперпозицией перечисленных 20 функций, либо составлением таблицы значений функции и последующим переходом к ее аналитическому представлению. Для п = 3 функции НЛ включают все упомянутые выше функции, зависящие не более чем от 2 аргументов, и все функции, существенно зависящие от 3 аргументов. Из последних наиболее употребительны дизъюнкция и конъюнкция

у = Х1 V Х2 V Х3 = тах(х1, Х2, Х3), у = Х1Х2Х3 = тт(х1, Х2, Х3), (6) медиана и ее отрицание (инверсия) у = med(x1

,x2,Х3) = Х1Х2 V Х1Х3 Х2Х3, гп\

у = med(x1

, x2, Х3) = Х1Х2 V Х1Х3 V Х2 Х3,

функции Шеффера и Вебба

у = Х1Х2Х3, у = Х1 V Х2 V Х3 , (8)

элементарные трехместные дизъюнкция и конъюнкция

у = Х1 V Х1 V Х2 V Х2 V Х3 V Х3, у = Х^ХХ2 Х3 Х3 . (9)

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

Остальные функции, существенно зависящие от 3 аргументов, можно получить суперпозицией перечисленных выше функций либо составление таблицы значений и последующим переходом к ее аналитическому представлению. Аналогично строятся множества функции НЛ от большего числа аргументов.

Заметим, что число Р(п) функций НЛ от п аргументов растет при увеличении п гораздо быстрее, чем число Q(n) функций двоичной логики. Например, ОР) = 2, Q(l) = 4, Q(2) = 16, Q(3) = 256. Поэтому изучать свойства функций непрерывной логики путем их перебора, как это делается в двоичной логике, нельзя. Так что ограничиваются изучением типовых функций НЛ.

Основные операции НЛ впервые рассмотрел P. Мак-Нотон. Общее описание непрерывной логики и ее математический аппарат разработали С.А. Гинзбург, В.И. Левин, П.Н. Шимбирев. Обзор соответствующих работ приведен в [1, 2, 4, 6, 7, 9, 11. 12, 14, 21].

2. Законы непрерывной логики

НЛ является непосредственным обобщением ДЛ на случай непрерывного носителя С. Большинство законов ДЛ сохраняется и в НЛ:

а V а = а, аа = а (тавтология), (10)

а V Ь = Ь V а, аЬ = Ьа (переместительный), (11)

(а V Ь) V с = а V (Ь V с), (аЬ)с = а(Ьс) (сочетательный), (12) а(Ь V с) = аЬ V ас, а V Ьс = (а V Ь)(а V с) (распределительный), (13) а V Ь = аЬ, аЬ = а V Ь (де Моргана), (14)

а V аЬ = а, а(а V Ь) = а (поглощение), (15)

а = а (двойное отрицание), (16)

аА = А, аВ = а, а V А = а, а V В = В (действия с константами), (17)

аа(Ь V Ь) = аа, аа V (Ь V Ь) = Ь V Ь (Клини). (18)

Однако законы противоречия и исключенного третьего ДЛ здесь не действуют и заменяются на следующие законы

аа = М - \а - М|, а V а = М + \а - М|. (19)

Так как операции НЛ применяются к непрерывным величинам, естественно их применение совместно с алгебраическими операциями над непрерывными величинами. При комбинировании операций НЛ со сложением и умножением появляются новые законы - распределительный при сочетании дизъюнкции и конъюнкции со сложением

а + (Ь V с) = (а + Ь) V (а + с), а + (Ь л с) = (а + Ь) л (а + с), а - (Ь V с) = (а — Ь) л (а — с), а - (Ь л с) = (а — Ь) V (а — с), и аналогичный закон при сочетании дизъюнкции и конъюнкции с умножением; закон спуска отрицания на слагаемые

а + Ь = а - Ь = Ь - а (21)

и др. Операции НЛ выражаются через алгебраические операции: сложения и умножения, при использовании нелинейных операций - единичной функции

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

М, х > 0

I (х) = \ или модуля х . Так, дизъюнкция и конъюнкция НЛ выражаются

[0, х < 0

в виде

а V Ь = 0,5[а + Ь + \а - Ь|], а л Ь = 0,5[а + Ь - \а - Ь|]. (22)

Возможность выражения операций НЛ через алгебраические операции (см. формулы (1), (22)) означает наличие связей между алгеброй и логикой.

Обобщая ДЛ, сама НЛ есть частный случай дистрибутивной структуры с псевдо-дополнением (то есть с операцией отрицания, которая не есть дополнение, т.к. не выполняются законы исключенного третьего и противоречия). Значения непрерывных переменных НЛ, принадлежащих интервалу [ А, В ], имеют интерпретацию, сходную с ДЛ: граничное значение х = А (х = В) считается мерой истинности абсолютно ложного (абсолютно истинного) высказывания, промежуточные значения х, А < х < В, считаются мерой истинности любого другого высказывания.

Некоторые основные законы НЛ для частного случая С = [0,1] указал Р. Мак-Нотон. В общем виде законы НЛ изучали С.А. Гинзбург, В.И. Левин и Е.И. Беркович. Обзор соответствующих результатов содержится в [1, 2, 4, 6, 9, 14-16, 21].

3. Перечисление и стандартизация непрерывно-логических функций

Наиболее традиционными для логики задачами НЛ являются перечисление всех функций НЛ с данным числом аргументов и представление функций НЛ в стандартной форме.

Перечисление всех функций НЛ в алгебре (2) требует указать для них соответствующие аналитические выражения. Для этого можно использовать 2-х этапную процедуру:

1) перечисление таблиц значений функций (таблицы для всех функций имеет одинаковый порядок следования вариантов упорядочения аргументов Х1,...,хп и их отрицаний Хь...,Хп, отличаясь распределением значений функций, равных х1 или Х между вариантами);

2) переход от таблиц к соответствующим аналитическим выражениям методом сочленения.

Однако такой подход при п > 3 затруднителен. Поэтому на практике ограничиваются определенными классами функций НЛ, которые выделяют по признаку сходства с соответствующими классами функций ДЛ, простоты получения формулы, важности практического применения.

В качестве стандартных форм функции НЛ в алгебре (2) принимают дизъюнктивную и конъюнктивную нормальные формы (ДНФ и КНФ). Они отличаются от аналогичных форм двузначной ДЛ тем, что их элементарные конъюнкции (дизъюнкции) могут вместе с аргументом х1 включать и его отрицание Х (9). Переход от любого аналитического представления функции НЛ к ее ДНФ или КНФ аналогичен соответствующему для функции двузначной ДЛ. Он

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

состоит в случае ДНФ в: 1) спуске отрицаний на более простые выражения согласно законам (14), (16); 2) раскрытии скобок по 1 закону (13), в случае КНФ - в: 1) таком же спуске отрицаний; 2) введении скобок согласно закону (13).

Пример 1. Перейдем от функции НЛ, заданной аналитически, к ее ДНФ.

(xx v XX )x1x = (XX v XX )(X v X) = XX v XXX v XXX v XXX =

— X^X^ v X^X2X^ v X2X^X^ ■

В качестве однозначных стандартных (канонических) форм функций НЛ принимают канонические ДНФ и КНФ. ДНФ однозначно представляет функцию НЛ, если она тупиковая (несократимая) дизъюнкция неразложимых элементарных конъюнкций. В свою очередь, элементарная конъюнкция неразложима в дизъюнкцию конъюнкций, если она фундаментальна, т.е. непротиворечива (не содержит одновременно xi И xi) или противоречива, но содержит все аргументы данной функции, в прямом xi или инверсном xi виде.

Отсюда получаем следующий алгоритм приведения любой ДНФ функции непрерывной логики к канонической ДНФ: 1) выделить в ДНФ все фундаментальные конъюнкции; 2) каждую нефундаментальную конъюнкцию k (она противоречива и содержит не все аргументы функций) представить дизъюнкцией фундаментальных конъюнкций (для чего взять ее конъюнкцию с подходящей дизъюнкцией вида Xj v Xj (что не изменит величины k, содержащей

XjXj < M, ибо Xj v Xj > M) и раскрыть скобки; 3) из каждой пары сравнимых (в

отношении <) конъюнкций ДНФ исключить меньшую.

Только что полученная каноническая ДНФ по смыслу (но не по форме) аналогична совершенной ДНФ булевой функции.

Пример 2. Преобразуем функцию непрерывной логики, заданную в ДНФ, к канонической ДНФ:

y — X2X4 v xxX3X4 v xxX2X3X3. Здесь первые две конъюнкции - фундаментальные. Третья конъюнкция - нефундаментальная, при умножении на х4 v X4 разлагается в

xxX2X3X3X4 v X]X2X2X3X3X4. Полученные две фундаментальные конъюнкции поглощаются первыми двумя фундаментальными конъюнкциями заданной ДНФ функции y. Окончательно, каноническая ДНФ функции y — X2X4 v ххX3X4.

Любая функция НЛ, отличная от фундаментальной конъюнкции, разложима, т.е. класс неразложимых (элементарных) функций НЛ в алгебре (2) состоит из одних фундаментальных конъюнкций.

Вопросами задания и перечисления функций непрерывной логики занимались К.М. Кларк, Д. Дюбуа, А. Прад, А. Кандель, В.И. Левин, М. Мукайдоно, П.Н. Шимбирев (см. обзоры [3, 5, 6, 9, 11-13]). Представление функций НЛ в стандартной форме изучали Ф.П. Препарата, А. Кандель, Д. Дюбуа, А. Прад, В.И. Левин, П.Н. Шимбирев (см. обзоры [3, 6, 9, 11]).

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

4. Минимизация и декомпозиция непрерывно-логических функций

Минимизация функций непрерывной логики преследует ту же цель, что и минимизация функций дискретной логики - приведение функций к форме с минимальным числом вхождений переменных.

В алгебре (2) минимизация функций НЛ разработана лишь для функций, представленных в ДНФ. Ее задача - найти ДНФ с минимальным числом вхождений всех букв х, X. Процедура минимизации аналогична соответствующей для булевых функций:

1) отыскание всех фундаментальных конъюнкций функции НЛ / (они играют роль элементарных конъюнкций СДНФ булевой функции) и представление / в канонической тупиковой форме;

2) отыскание всех простых импликант функции (как обычно, импликан-той функции / считаем элементарную конъюнкцию к, такую, что к < /; если к не поглощается другими импликантами, она называется простой);

3) нахождение минимального покрытия множества фундаментальных конъюнкций множеством простых импликант (например, с помощью импли-кантных таблиц).

Содержание шагов 1, 2 специфично для функций НЛ. О шаге 1 сказано выше. О шаге 2. В его основе лежит понятие консенсуса элементарных конъюнкций к1: если к1 = х^а,к2 = х^Ь, где а,Ь - конъюнкции других букв, то консенсус к1 и к2 это множество таких противоречивых конъюнкций 1) аЬ, (если она противоречива); 2) конъюнкции х1х1аЬ, I = 1, п (если аЬ непротиворечива). Если к1, к2 не представлены в указанном виде ни при каком I, консенсус = 0.

Пример 3. Для элементарных конъюнкций к = ххх3, к2 = Х2х3 консенсус

{х^х2 Х2, х^х3 х3 }.

Для элементарных конъюнкций кх = ххх2х3,к2 = х2х3 консенсус {х^х2 х3х3, х^2 х2, х^х^х2 }. Отыскание всех простых импликант функции НЛ /, представленной в тупиковой ДНФ / = ^ кI, выполняется по такому алгоритму:

1

1) для некоторой пары (к, к) образуется консенсус;

2) к дизъюнкции V к добавляются все конъюнкции, полученные на ша-

1

ге 1;

3) удаляются все конъюнкции ка входящие в другие конъюнкции кЬ (т.е.

ка < кЬ ).

Шаги 1-3 повторяются для новых пар (кг-, к]-) до тех пор, пока выражение

функции / не перестанет изменяться. Окончательное выражение / = vв ка/

честве конъюнкций к^ будет содержать все простые импликанты функции /.

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

В связи с быстрым ростом числа функций НЛ при увеличении числа их аргументов и сложностью их минимизации важное значение имеет задача декомпозиции этих функций.

Декомпозицией функции НЛ /(х),х = (х1,...,хп) называется представление / в виде композиции нескольких функций НЛ с меньшим числом аргументов

f(x) = F[fm (xm),..., f1(xl),xl ], xl œ x, i = 0, m. (23)

Если множества х , I = 0, т не пересекаются, декомпозиция называется разделительной, в противном случае - неразделительной. Представление (23) с т = 1 называется простой декомпозицией. На сегодня известен лишь алгоритм поиска простой декомпозиции функции НЛ в алгебре (2).

Вопросы минимизации и декомпозиции функций НЛ исследовали А. Кан-дель, Д. Дюбуа, А. Прад, П.Н. Шимбирев (см. обзоры [3, 9, 11, 12] ).

5. Анализ и синтез непрерывно-логических функций

Анализ и синтез функций НЛ отличаются от аналогичных задач в ДЛ. Пусть Бх - область значений вектора аргументов х = (х1,...,хп), Б/ - область значений функции НЛ /(х) и имеется взаимно-однозначное соответствие (х е Бх)о(/(х) е Б/). (24)

Анализом функции / называется нахождение в соответствии с (24) области Бх по заданным области Б/- и функции /(х). Синтезом функции /(х)

называется построение по заданным областям Вх и Б/- такой функции НЛ /,

которая реализует соответствие (24). Основные методы анализа разработаны для частных случаев, когда / - многоместная дизъюнкция (конъюнкция), а Б/- -

полуинтервал или интервал. Они основаны на следующих эквивалентностях

и А ^ и А

V xi > a Vi =1

О (xi > a или...или xn > a);

V xi < b Vi=1 J

fn } f n

A xi > a Vi =1

О (xi < b,..., xn < b);

(25)

О (х1 > а,..., хп > а); д х1 < Ь о (х1 < Ь или...или хп < Ь).

V=1 У

В общем случае, при произвольной функции НЛ / и ее области Б / , применяют формальные методы, разбивая Б / на подобласти - полуинтервалы,

решая для каждой соответствующее неравенства (см. § 7) и объединяя результаты. Иногда анализ функции /(х) понимают отыскание по заданным / и областям Бх1,...,Бхп для аргументов х1,...,хп (составляющим в совокупности область Бх) соответствующей области Б / (24). Эта постановка обратна рассматриваемой выше, а ее решение проще. Оно основано на эквивалентностях (а < хх < Ь, с < х2 < й) о (а V с < хх V х2 < Ь V й, ас < ххх2 < Ьй),

(а < х < Ь) о (2М-Ь < х < 2М-а).

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

Задача синтеза функции НЛ в общем случае не имеет единственного решения, а алгоритм ее точного решения неизвестен. Возможный путь таков:

1) отбросить требование х < Вх;

2) выбирать какую-либо типовую функцию / (х);

3) проанализировать /(х) по заданным условиям / е , найти соответ-

тл'

ствующее условие для х: х е бх ;

4) если Бх с Бх, то /(х) - решение задачи. В противном случае - переход к следующей функции / (х) и т.д.

Такой перебор при большом п невозможен, и тогда отказываются от требования х е Бх, получая задачу синтеза: построить по заданной области

функцию /(х), такую, что f (х) е Б^. Но любая (кроме констант) функция НЛ / (х) при подходящем х может принимать любое значение в С. В результате получаем задачу анализа: найти с помощью (24) областьБх по области и выбранной функции.

6. Решение уравнений и неравенств непрерывной логики

Уравнения и неравенства НЛ аналогичны уравнениям и неравенствам ДЛ. Однако методы их решения особые, так как НЛ оперирует непрерывными множествами. Уравнением (неравенством) НЛ называется уравнение (неравенство)

f (а, х (а, х), (27)

где f и ^ - заданные различные функции НЛ, а а = (аь...,а^) - вектор параметров, х = (Х1,..., хп ) - вектор неизвестных. Частным решением уравнения (неравенства) (27) называется любой вектор х, для которого истинно равенство (неравенство) (27). Уравнения и неравенства НЛ классифицируются по числу неизвестных п и по сложности функций НЛ левой и правой частей, представленных в стандартной тупиковой ДНФ. Полное уравнение (неравенство) с 1 неизвестным в стандартной форме

ах V а1 х V Ьхх V с < dx V d1 х V 1хх V е. (28)

Наибольшее число неизвестных и их отрицаний в одной элементарной конъюнкции стандартизированного уравнения (неравенства) называется его порядком I. Для (28) I = 2. Уравнения (неравенства) с I = 1 называются линейными, а с I > 2 - нелинейными. Общий вид линейного уравнения (неравенства) с п неизвестными в стандартной форме

f n

V aixi V i=i

v

f n !_ V ai xi V i=1 J

n

V c <

d у Xy

V

n

n У-

V di xi V i=1 J

ve. (29)

V dгxг V/ =1 )

Уравнения (неравенства) НЛ делятся на содержащие и не содержащие отрицание неизвестных. Основным методом решения уравнений (неравенств) НЛ является последовательное расчленение их правых и левых частей, позволяющее заменить исходное уравнение (неравенство) эквивалентным объединением систем более простых уравнений и неравенств.

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

Пример 4. Рассмотрим уравнение (неравенство) вида (27), в котором последняя операция в левой части - дизъюнкция НЛ

Л (а, Х) V f2 (а, х)<^(а, х).

Используя определение дизъюнкции НЛ, уравнение (неравенство) можно расчленить, представив в виде объединения 2 систем уравнений - неравенств

А(а х) > Л(a, хЛ II ГА(a, х) < Л(а хЛ

А(а х) < ^(a, х) | [ ./2(a, х) < ^(a, х)|.

Здесь каждое полученное уравнение (неравенство) проще исходного, так как в одной части содержит меньше операций. Процесс упрощения можно продолжить расчленением правой части заданного уравнения (неравенства) и т.д. Этот процесс продолжается до получения нерасчленяемых уравнений и неравенств, дающих в совокупности решение заданного уравнения (неравенства).

Случай, когда последняя операция в левой или правой части заданного уравнения (неравенства) есть конъюнкция НЛ, рассматривается аналогично.

Теорию и методы решения уравнений и неравенств НЛ разработал В.И. Левин. Наиболее полные сведения по этому вопросу содержатся в [2]. Обзорные сведения можно также найти в [4-6, 9].

7. Дифференцирование и интегрирование непрерывно-логических функций

Как известно, функции ДЛ зависят от дискретных аргументов и потому не могут дифференцироваться и интегрироваться.

Функции НЛ зависят от непрерывных аргументов и потому могут дифференцироваться и интегрироваться. Трудность дифференцирования функций НЛ в том, что они всегда содержат точки излома, где производная не существует. Назовем функцию НЛ, образованную суперпозицией операций V и л над аргументами хг (и их отрицаниями), функцией 1-го (2-го) рода. Точка х = (хь...,хп) называется полурегулярной у функции 1 -го рода, если она имеет в -окрестность с постоянной упорядоченностью хь..., хп. Точка х = (хь Хь..., хп, Хп ) называется регулярной у функции 2-го рода, если она имеет в -окрестность с постоянной упорядоченностью Х1, Х1,..., хпхп. Для полурегулярности точки х (регулярности точки х ) необходимо и достаточно, чтобы ее координаты были строго упорядочены по величине.

Справедливы следующие теоремы: 1) Любая функция НЛ 1 -го рода имеет в каждой полурегулярной точке единственную производную по любому аргументу со значениями из множества {0,1}; 2) любая функция НЛ 2-го рода имеет в каждой регулярной точке единственную производную по любому аргументу, со значениями из множества {1, -1, 0}; 3) любая функция НЛ / в каждой точке

существования ее производных д//дхг, г = 1, п, имеет не более 1 производной, отличной от 0. Основным методом дифференцирования функций НЛ является их последовательное расчленение с получением совокупности более простых выражений, справедливых в подобластях, и их дифференцированием. При необходимости используются также общие правила дифференциального исчис-

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

ления (производная суммы, произведения и т.д.). Несколько примеров производных от функций НЛ:

хх = 1, (х)'х =-1,(хVх)'х = 1(х-М)-1(М-х),(хх)'х = 1(М-х)-1(х-М),х ФМ; (30)

(х1 v х2)х1 = 1(х1 - х2X (х1х2 )х1 = Кх2 - х1), х1 Ф х2.

Здесь 1(х) - единичная функция. Условие х ф М исключает нерегулярную точку х = М, в которой третья и четвертая производные не существуют. Дифференциальное исчисление в НЛ служит источником новых тождеств (законов). Они появляются, в частности, при дифференцировании законов алгебры НЛ и могут рассматриваться как дифференциально-разностные уравнения, определяющие различные функции НЛ. Например,

(х1 v х2)/х1 + (х1х2)/х1 = 1 (х1 v х2)'х1 ' (х1х2Ух1 = 0. (3 1)

Система из двух дифференциальных уравнений (31) определяет две функции НЛ - дизъюнкцию и конъюнкцию, которые являются решениями системы.

При дифференцировании функций НЛ с большим числом аргументов целесообразно приведение этих функций к стандартным формам, в которых дифференцируемая переменная выделена. От такой формы легко взять производную. Примеры выделенных форм в классе ДНФ:

ах Vй, Ьх Vй. (32)

Их производные

(ах V й)х = 1(ах - й) -1(а - х), ах Ф й, х Ф а;

(Ьх V й)х = 1(Ьх - й) • 1(х - Ь), Ьх Ф й, х Ф Ь.

Для функций НЛ можно определить также производные высших порядков (2-го, 3-го и т.д.). При этом любая функция 1-го рода в каждой полурегулярной точке и любая функция 2-го рода в каждой регулярной точке имеют производные высших порядков и все они равны 0.

Функции НЛ, как функции непрерывных переменных, можно интегрировать. Для этого подынтегральную функцию последовательно расчленяют, получая совокупность более простых выражений, справедливых в своих подобластях, где их интегрируют.

При необходимости используются также обычные правила интегрирования (интеграл от суммы, разбиение интервала интегрирования и т.д.). Получаемые интегралы в силу непрерывности функций НЛ всегда существуют.

Дифференциальное и интегральное исчисление для функций НЛ исследовали Е.И. Беркович и В.И. Левин. Обзор их работ приведен в [12].

8. Проблема полноты в непрерывной логике

В НЛ, как в ДЛ, существует проблема полноты. Система функций НЛ {/,..., /т} называется полной (базисом) в классе Я, если любую функцию из Я можно представить суперпозицией функций Л,..., /т. В отличие от ДЛ, где Я задан, а ищутся базисы, в НЛ обычно задан базис, а отыскивается класс Я . Наиболее известные результаты здесь таковы.

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

1) Система функций ^,л} есть базис для класса Rl тех функций вида

Сп ^ С, которые принимают значение одного из аргументов;

2) Система функций ^,л, } есть базис для класса R2 тех функций вида

Сп ^ С, которые принимают значение одного из аргументов или его отрицания;

3) Системы {х1 Х2} и {Х1 V Х2} являются базисами для класса функций Rl;

4) Системы {Х1Х2, } и {Х1 V Х2, } являются базисами для класса функций R2;

5) Система функций {v,л, =>} есть базис для класса R3 тех функций вида Сп ^ С, которые представимы в виде

п

у = \л V (Ьо + )] л B, (34)

I=1

где Ь0,...,Ьп - целые числа.

Классы функций НЛ R1, R2, Я3 являются различными конечными подмножествами бесконечного множества всех функций НЛ. Математически эти классы достаточно узкие. Однако практически они весьма важны, так как элементарные операции НЛ (дизъюнкция, конъюнкция, и др.) адекватны процессам, происходящим во многих реально существующих системах. Эта адекватность, вместе с полнотой операций непрерывной логики лежит в основе многочисленных применений непрерывной логики к изучению математических, технических, экономических, социальных и других объектов (см. § 3).

Вопросы полноты систем функций НЛ изучали Р. Мак-Нотон, Ф.П. Препарата, В.И. Левин. Обзор соответствующих результатов приведен в [5, 6, 9, 21].

9. Применения непрерывной логики в геометрическом моделировании

НЛ находит многочисленные применения в задачах управления. Эти применения основаны на возможности математического моделирования с помощью НЛ некоторых классов объектов и процессов управления. Простейшим является геометрическое моделирование. С него и начнем изложение.

Для задач управления основной интерес представляет следующая задача геометрического моделирования: для заданной кривой (поверхности, объема), характеризующей объект управления, дать аналитическое представление в виде соответствующего уравнения.

Применение НЛ к решению данной задачи дает возможность аналитического описания сложных изломанных, разрывных и многозначных кривых и поверхностей, областей и их границ, пересечения областей и т.д.

Необходимо отметить, что обычно НЛ требует меньше исходных параметров и приводит к более простому описанию объекта, чем другие методы. Так, изломанную кривую, полученную пересечением прямых у = а1х+Ь1 и у = а2х + Ь2, можно записать аналитически

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

y = (a1 x + (aa2 x + b2), (35)

где операция конъюнкции НЛ л берется для выпуклой кривой, а операция дизъюнкции НЛ v - для вогнутой. Представление (35) даже не требует знания точки пересечения прямых, благодаря чему это представление очень простое. Выражения типа (35) верны также для изломанных кривых, полученных пересечением двух или нескольких кривых.

Для аналитического представления разрывных кривых обозначим v опе-

a

рацию v при a > 0 и операцию л при a < 0; аналогично обозначим л. Тогда,

a

например, простейшую разрывную кривую, описываемую знаковой функцией sign x , можно представить аналитически как

sign х=x < 0 =1 v(-i). (36)

Наиболее просто аналитическое представление области и ее границы для области-полосы. Так, горизонтальная полоса Ъ1 < у < b2 имеет границу, описываемую уравнением НЛ

(y _bi)л(Ъ2 _у) = 0. (37)

При этом вне полосы левая часть (37) отрицательна, а внутри полосы положительна. Поэтому уравнение полосы как области

(у _bi) л(Ъ2 _у)л0 = 0. (38)

Аналогично получаются уравнения области и границ прямоугольника и более сложных фигур как на плоскости, так и в пространстве. Общий прием такого получения следующий. Если область на плоскости определена неравенством f (х, у) < 0, то в терминах НЛ эту область и ее дополнение f (х, у) > 0 можно задать уравнениями

f(x,y) v0 = 0, _Дх,у)л0 = 0. (39)

Таким образом, пересечение двух областей f (х, у) < 0 и ф(х, у) < 0 дается уравнением

[f (х, у) v 0] + [ф(х, у) v 0] = 0, (40)

Часть первой области, находящаяся вне второй, - уравнением

[Ах, у) v 0] + [ф(х, у) л 0] = 0 (41)

и т.д.

Геометрические приложения НЛ изучали С.А. Гинзбург, И.А. Пресс, Е.И. Беркович и В.И. Левин. Обзор соответствующих результатов приведен в [1, 6, 12, 22, 23].

10. Непрерывно-логическая аппроксимация характеристик объектов управления

Пусть некоторая характеристика объекта управления в виде нелинейной функции одной переменной у = f (х) аппроксимируется с заданной точностью кусочно-линейной функцией F(х), состоящей из m отдельных линейных функ-

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

ций-образующих: f1(x),...fm(x). Тогда выпуклую febm (вогнутую fmz) функцию f можно приближенно представить конъюнкцией (дизъюнкцией) НЛ функций-

образующих

т т

/еып(х) « ад = А /¿X), /вог(х)« F(x) = у их). (42)

1=1 1=1

В общем случае, когда f имеет и выпуклые, и вогнутые участки, эти участки разделяются с помощью вспомогательной функции A( x), график которой соединяет точки перегиба кривой f (x), и представление f (x) получается логической суперпозицией функций A( x), F (x) и F( x). Такой принцип аппроксимации функции работает и в случае кусочно-нелинейной аппроксимации. Пусть характеристика объекта управления в виде непрерывной функции двух переменных z = f (x, y) в окрестности точки (x0, y0) аппроксимируется с заданной точностью кусочно-плоской функцией F(x, y), которая состоит из m плоских образующих f1(x, y),..., fm (x, y). Тогда функцию f в окрестности указанной точки можно приближенно представить суперпозицией дизъюнкции и конъюнкции непрерывной логики образующих f ,... , f , причем вид суперпозиции определяется характером точки (x0, y0) - эллиптическая, гиперболическая или параболическая. Так, для эллиптической точки (имеющей вид «холма» или «ямы») и выпуклой febm (вогнутой /вог) в окрестности этой точки функции /

т т

/~п(х,У) - ^(х,у) = л Пх,у), feJx,y) * F{x,у) = vUx,y). (43)

i=1 i=1

Более сложное локальное представление функции f в окрестности гиперболической точки (имеющей вид седла) или параболической точки. Для глобального логического представления f (x, y) в некоторой области последняя разбивается на подобласти, в которых все точки являются однотипными (скажем, эллиптическими), записываются представления функции для каждой отдельной области, затем они соединяются в глобальное представление, с использованием при необходимости (при наличии точек перегиба у f (x, y)) вспомогательных функций A( x, y), имеющих тот же смысл, что и для функции одной переменной. Данный принцип применим и для кусочно-нелинейной аппроксимации f (x, y).

Возможна качественная НЛ-аппроксимация функций, т.е. определение только формы соответствующей кривой, без ее полного вычисления. Для этого достаточно найти отношения значений функций при различных наборах значений аргументов. Так, качественная аппроксимация функции одной переменной f(x) сводится к упорядочению множества ординат (y1,...,yn}, соответствующего выделенному множеству точек аргументов {(x1,y1),...,(xn,yn)}. Это упорядочение в терминах НЛ можно выполнить по рекуррентной формуле

y(1) (n)y„+1, r =

y(r )(n) Уп+1 v y (r"1)(n), r = 2,n; (44)

y(r+1)(n) v Уп+1 , r = 2 n.

y(r )(n + 1) =

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

где у(s)(k) есть s -й в порядке возрастания, элемент к -элементного множества ординат {у1,..., ук }. Сложность такого алгоритма O(n2).

Количественную аппроксимацию функций с помощью НЛ изучали С.А. Гинзбург [1] и И.А. Пресс [23]. Качественная НЛ-аппроксимация разрабатывалась В.И Левиным [6].

11. Непрерывная логика, нечеткие множества и решения в условиях неопределенности

Обычное множество определяют как собрание различающихся элементов. Поэтому любое такое множество A можно задать двоичной функцией принадлежности цА (и), определенном на универсальном множестве U = {и} и равной 1 при и е A и 0 при и £ A. Естественное обобщение обычного множества дает нечеткое множество A. Для него функция принадлежности цА (и) принимает любые значения из отрезка [0,1]. Эти значения характеризуют степень принадлежности элементов и данному множеству A . Нечеткие множества отражают расплывчатый характер зависимостей между объектами, возникающий вследствие неполной информации о них, и имеют важное значение для решения задач управления в условиях неопределенности.

В связи с большей общностью нечетких множеств для них вводятся новые понятия: носитель нечеткого множества A (подмножество U, для элементов и которого цA (и) > 0), высота множества A (величина hA = sup цA (и)), точка

иеи

перехода множества A (элемент и е A, для которого цA (и) = 0,5), нормальное множество A (для него hA = 1), множество а -уровня Aa (обычное множество вида A = {и I Ца (и) ^ а}. В основе применения теории нечетких множеств лежит возможность перенесения на них всех операций и отношений с обычными множествами. Например, отношение включения между нечеткими множествами A и B определяется условием

(A с B) |A (и) < цв (и),и е U. (45)

Операции дополнения A , объединения A ^ B и пересечения A n B нечетких множеств определяются в виде

ЦA (и) = 1 _ ЦA (и) = lA (иХ цAkjB (и) = цA (и) v цB (и\ цAnB (и) = ЦA (и) л ЦB (и) ,(46) где _, v и л - операции отрицания, дизъюнкции и конъюнкции НЛ. Эти операции подчиняются тем же законам, что и соответствующие операции над обычными множествами (коммутативность, ассоциативность, идемпотентность, дистрибутивность пересечения и объединения относительно друг друга, законы двойного дополнения и де Моргана), кроме законов A ^ A = U,A n A = 0, где

0 = U - пустое множество.

Используя базовые операции (46), можно получать новые операции над нечеткими множествами, например, разность и сумму множеств

A _B = A nB,A + B = (A nB) v(A nB), (47)

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

декартово произведение Л1 х...х А множеств А1,..., Ап на соответствующих универсальных множествах и

М-лх.хлп (и1,...,ип) = цл1(и\)л...л Млп (ип). (48)

Используя более общие операции, чем в НЛ, можно получать более общие операции над нечеткими множествами. Так, операция выбора г -го в порядке возрастания элемента множества \а1...ап]( \{а1...ап} ^аг позволяет ввести операцию г -композиции нечетких множеств в виде

г

(г)л & ц п = ц4(и)...Млп(и) ,г = 1 п. (49)

I=1 (г)л,

1=1

Операция г -композиции нечетких множеств сильнее объединения, но слабее пересечения множеств. Она не имеет аналогов среди обычных теоретико-множественных операций.

Приведенные результаты полезны для принятия приближенных решений о значении одних нечетких переменных по известным значениям других, а также для основанного на таких решениях управления в условиях неопределенности. Пусть у = /(х) - обычная функция. Тогда, если известно, что х = а, можно принять решение: у \х=а = / (а).

Пусть теперь у = ¥(х) - нечеткая функция, т.е. нечеткое отношение в ОХ х ОУ, где ОХ и ОУ - оси абсцисс и ординат. Пусть известно нечеткое подмножество Л оси ОХ и надо определить, исходя из Г, соответствующее нечеткое подмножество В оси ОУ. Образуем цилиндрическое нечеткое множество А с основанием А, являющееся аналогом вертикали х = а функции /. Его функция принадлежности запишется в виде

М А (X У) = Мл (х), (50)

где ц¥ - функция принадлежности известного множества А. Далее образуем пересечение полученного множества А с нечеткой функцией ¥. Имеем нечеткое множество А п ¥ - аналог точки пересечения прямой х = а с кривой у = f (х). Функция принадлежности образованного множества

М АпГ (X у) = ц л (х у) л М г (х у) = М л (х) л М г (Х У), (51)

где цГ - функция принадлежности множества ¥. Теперь спроектируем множество Л п Г на ось ОУ. Получим искомое нечеткое подмножество В этой оси. Его функция принадлежности

Мв(у) = V МАпг(х' у) = V [Мл(х) л Мг (х у)]. (52)

х х

Как видно из (52), функция принадлежности искомого нечеткого множества В выражается через заданные функции принадлежности при помощи дизъюнкции и конъюнкции НЛ. Изложенная процедура позволяет принимать приближенные решения о значении нечеткой функции ¥ по известным значениям ее нечетких аргументов х, у,....

и

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

Разработкой теории нечетких множеств применительно к задачам управления занимались многие авторы. Обзор их работ можно найти в [5, 8, 13]. Операция r -композиции нечетких множеств изучена в работе [24].

12. Синтез функциональных генераторов и преобразователей формы информации

НЛ - удобное средство построения функциональных генераторов. Согласно разделу 11 любая нелинейная непрерывная функция одной переменной представима в виде (42) или обобщенно

f(x) = fx),..., fn (x)], (53)

где ft (x) - линейные функции-образующие, а L - набор операций НЛ. Согласно (53) функцию f (x) можно реализовать функциональным генератором из двух последовательных блоков: функционального блока F образующих (вход X, выходы fl5...,fn) и логического блока L (входы fl5...,fn, выход f (x)). Блок F содержит сопротивления и источники, соединенные так, чтобы получить линейные образующие fl5...,fn. Блок L состоит из диодов, соединенных так, чтобы реализовать требуемый в (53) набор операций НЛ. Это блочное построение генераторов остается при переходе к функциям двух и большего числа переменных. Данный подход, ввиду получающихся сложных реализаций, используют только для реализации функций ограниченного числа переменных. Для функций большого числа переменных используют более универсальные методы аппроксимации - интерполяционные полиномы. Для некоторых классов нелинейных функций функциональные генераторы строятся проще, чем описано выше. Таковы кусочно-линейные функции, известные как типовые нелинейности и состоящие из горизонтальных, вертикальных и наклонных линейных участков. Например, функции |x|, c - |x|,signx и многие другие. Эти функции выражаются

через операции НЛ непосредственно (без аппроксимации), так что их реализация особенно проста. Так, |x| = x v|- x|, т.е. реализация модуль-функции |x| выполняется схемой из 2 элементов: инвертора и дизъюнктора НЛ.

НЛ можно применять к проектированию аналого-цифровых преобразователей. При n двоичных разрядах цифрового кода преобразуемой аналоговой величины x имеется N = 2n различных кодов и N -1 эталонных кодов k1,k2,...,kN-1, с которыми нужно сравнить x для нахождения ее кода kx. Поэтому аналого-цифровое преобразование сводится к распознаванию множества ситуаций

x ^ k^ ^ ... ^ _1 — x ^ ^2 ^ ... ^ _1,...,kj ^ ... ^ _1 — x . (54)

Но элементарное неравенство двух величин распознается вычислением дизъюнкции или конъюнкции НЛ. Поэтому подходящей суперпозицией этих операций можно построить функции НЛ, распознающие ситуации (54) и тем самым решающие задачу преобразования x в kx .

Синтез функциональных генераторов с помощью непрерывной логики разрабатывали С.А. Гинзбург [1] и Л.И. Волгин [10,12]. Синтез аналого-

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

цифровых преобразователей с использованием НЛ исследовал П.Н. Шимби-рев [11].

НЛ является удобным средством изучения динамики дискретных автоматов с непрерывным временем - моделей цифровых вычислительных и управляющих устройств. Пусть задан элемент-автомат с двумя двоичными входами хг и х2 и одним двоичным выходом у, реализующий булеву функцию «конъюнкция»: у = х1 & х2, х1, х2 е {0,1}. На входы автомата действуют двоичные процессы

Найдем двоичный процесс у (/) на выходе автомата - реакцию на заданные входные процессы. Обозначим 1(А, В) двоичный процесс в виде импульса в интервале времени (А,В). Реакция автомата равна импульсу 1(а,Ь) при Ь > а и постоянному 0 при Ь < а. Интерпретируем постоянный 0 как импульс с совпадающим началом и концом. Тогда искомая реакция запишется с использованием дизъюнкции НЛ в виде

Аналогично рассчитываются процессы в других простых автоматах (элементах). Схемы сложных автоматов без памяти (без обратных связей) разбивают на последовательные (от входов к выходам) ступени глубиной в один элемент, затем, применяя вход-выходные соотношения элементов, сначала по заданным входным процессам автомата находят процессы на выходах 1-й ступени, по ним - процессы на выходах 2-й ступени и т.д., вплоть до вычисления процессов на выходах всего автомата. Расчеты для автоматов с памятью (с обратными связями) выполняются моделированием циркуляции информации по контурам обратной связи прохождением этой информации через подсхему автомата, не содержащую контуров. Таким образом, динамические процессы в различных автоматах (простых и сложных, с памятью и без памяти) выражаются аналитически в терминах операций НЛ. Этот аппарат позволяет решать и более сложные задачи, например, нахождение формы процессов на входах автомата, при которой процесс на его выходе имеет требуемую форму; построение автомата, преобразующего заданные входные процессы в заданный выходной процесс; расчет динамических процессов на выходе автомата с неопределенными (интервальными) временными параметрами и т.д.

Важное значение имеет динамика автоматов для технической диагностики. Последняя основана на подаче тестовых сигналов на входы устройства, получении его отклика у и сравнении его с откликом у0 исправного устройства (откликами ук при различных неисправностях к). В итоге принимают решение об

13. Непрерывно-логический анализ динамики дискретных автоматов. Динамическая диагностика

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

исправности (неисправности) устройства в целом или же о наличии в нем какой-либо неисправности к. Проблема здесь в том, что многие отказы элементов устройства трудно обнаружимы, так как изменяют его отклик лишь на немногие входные воздействия. Для дискретных устройств, реализующих дискретные автоматы, обычно используют статические тестовые воздействия в виде входных наборов (XI,..., хп). Это позволяет обнаружить и различить лишь часть константных неисправностей устройств, но не динамических неисправностей. Целесообразно расширить тестовые воздействия до динамических, т.е. наборов входных процессов х(г) = [х:(г),..., хп (г)]. В результате становятся обнаружимы-ми и различимыми динамические неисправности устройств и повышается процент обнаружимых и различимых константных неисправностей. Анализ обнаруживающих способностей динамического теста х(г) предполагает вычисление процесса-изменения А5у(г) = у(г) © у5 (г), где у (г) и у5 (г) - процессы на выходе исправного устройства и с неисправностью 5, а © - сумма по модулю 2. Если процесс А 5у(г) = 1 на достаточном интервале времени, то тест х (г) обнаруживает неисправность 5, в противном случае - не обнаруживает. Для вычисления этого процесса строится модель из исправного устройства и устройства с неисправностью 5, соединенных на выходе элементом «сумма по модулю 2», и находится ее отклик на воздействие х (г) - это и будет процесс А 5у(г). Последний выражается через параметры процесса х(г) с помощью операций НЛ. Аналогично анализируется различающая способность динамического теста, здесь вычисляемый процесс - изменение АГ5у(г) = уг (г) © у5 (г). Задача синтеза динамического теста х(г), обнаруживающего данную неисправность 5 (различающего пару неисправностей г, 5), эквивалентна синтезу входных процессов, дающих достаточный по времени единичный интервал в выходном процессе схемы-модели. Так что ее можно решить как задачу нахождения процессов на входах автомата, дающих требуемую форму выходного процесса, в терминах НЛ. Динамическая теория дискретных автоматов на базе НЛ разработана В.И. Левиным [24, 25], а динамическая диагностика - им же совместно с А.М. Андрюшаевым [26].

14. Обработка информации с помощью непрерывно-логических методов

Непрерывная логика - удобное средство синтеза алгоритмов обработки информации: поиска, сортировки, фильтрации и т.д. Пусть дано неупорядоченное множество чисел А = (аь...,ап} и надо найти его г-й в порядке возрастания

элемент аг. Если г = 1 (г = п), то аг есть минимальный (максимальный) элемент, выражаемый через элементы а1,...,ап с помощью конъюнкции (дизъюнкции) непрерывной логики в виде соответствующей функции /Щ, г = 1,2,.... Эта функция указывает, какие из элементов а1,...,ап надо сравнить, какой из сравниваемых элементов выбрать (больший или меньший) и в каком порядке выполнять сравнения, чтобы получить искомый элемент аг. Т.е. функция /Щ, г = 1,2,... задает

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

алгоритм поиска элементов а1,...,ап в неупорядоченном множестве А. Доказано, что поисковая функция fr, является симметрической булевой функцией и в общем случае, для любых г, г = 1, п, выражается суперпозицией двух указанных операций НЛ. Так что любые порядковые элементы аг, г = 1, п неупорядоченного множества А можно находить с помощью алгоритмов последовательного сравнения его элементов. При этом алгоритмы поиска имеют сложность 0(пг), позволяющую поиск элементов с любыми номерами г . Пусть необходимо неупорядоченное множество А = {а1,...,ап} отсортировать, т.е. представить как

упорядоченное множество {а1,...,ап} . Для этого достаточно синтезировать ал-

1 п

горитмы поиска всех порядковых элементов а1,...,ап и соединить их, исключив повторяющиеся участки и, если нужно, упростить, используя подходящие законы НЛ. Наиболее эффективны алгоритмы сортировки с использованием итеративных по п алгоритмов поиска элементов аг, например, алгоритм типа (44) со сложностью 0,5п(п -1), не требующий запоминания промежуточных результатов. Алгоритмы с запоминанием могут иметь и меньшую сложность вплоть до предельной п п. Пусть для повышения надежности аналоговой схемы некоторый ее элемент заменяется группой из п параллельно работающих элементов. При отказе одного из элементов его выходной сигнал становится отличным от сигналов других элементов, что позволяет его отфильтровать. Для этого на выходе группы элементов ставится фильтр (восстанавливающий орган). Функция фильтра подбирается по статистике отказов элементов. При этом оптимальной является некоторая функция вида fr. Она включает только операции конъюнкции и дизъюнкции НЛ. Поэтому фильтр - аналоговая схема из элементов И, ИЛИ. Применение НЛ в обработке информации дано в работах [6, 27].

15. Исследования систем обслуживания

Известны вероятностные системы обслуживания, где заявки поступают в случайные моменты времени и обслуживаются за случайное время. Такие системы изучают с помощью теории вероятностей. Представляют интерес и регулярные системы обслуживания, где заявки поступают в детерминированные моменты времени и обслуживаются за детерминированное время. Простейшая постановка задачи здесь такова. Рассматривается система из М блоков, соединенных в структуру. В систему поступает конечная последовательность работ. Каждая работа состоит из различных операций, выполняемых соответствующими блоками. Различные работы отличаются составом операций и соответственно этому, технологическим маршрутом их прохождения в системе. Задаются режим поступления работ в систему и времена а^ выполнения операций

] в блоках I. Ставятся задачи: расчет характеристик быстродействия и загрузки системы в зависимости от ее структуры (последовательная, параллельная и т.д.), режима работы и матрицы времен операций А

aü

анализ изменения

этих характеристик при варьировании структуры, режима работы системы и

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

матрицы А; синтез оптимального режима подачи работ, обеспечивающего максимум быстродействия (загрузки) системы. Задачи расчета и анализа решаются с помощью НЛ. Так, для последовательной системы время Т выполнения всех работ, являющееся характеристикой быстродействия системы, выражается в виде

Т = ^ 1 ау > (55)

ч q

где ^/ ау - сумма элементов матрицы А, расположенных вдоль 1 -го ступенчатого пути из верхней левой клетки в правую нижнюю, а V - дизъюнкция НЛ. Дизъюнкция НЛ сумм элементов ау в правой части формулы (55) есть числовая характеристика матрицы А , называемая дизъюнктивным логическим определителем (ЛО) AV матрицы А.

Другими словами, характеристика системы Т равна дизъюнктивному ЛО от ее матрицы времен операций А . Далее, загрузка последовательной системы

и T--

моментов начала и окон-

полностью определяется матрицами Т =

чания выполнения работ у блоками г. Эти матрицы выражаются с помощью непрерывной логики в виде

Т = Л*- Л,Т = Л*, (56)

л *

где A =

Av Aij

- матрица, присоединенная к А, ее элемент есть дизъюнктивный ЛО, образованный первыми строками и у первыми столбцами матрицы А . Расчет и анализ с помощью НЛ систем сложной структуры (параллельные, параллельно-последовательные и т.д.) выполняются аналогично. Синтез систем выполняется с использованием результатов их расчета. Пример синтеза последовательной системы см. в § 17.

Проблемы изучения систем обслуживания с помощью НЛ в рассмотренной постановке подробно изучены в [9]. Другие постановки задач, использующие автоматные модели, изложены в [28].

16. Непрерывная логика в дискретной оптимизации и теории расписаний

Характерные задачи дискретной оптимизации, решаемые с помощью непрерывной логики, - это задачи оптимального распределения ограниченных ресурсов между объектами, что естественно, так как операции дизъюнкции и конъюнкции НЛ есть взятие максимума и минимума.

Пусть, например, надо распределить трех кандидатов по трем должностям так, чтобы все должности были заняты, все кандидаты трудоустроены, а суммарная эффективность была максимальной. При этом известны значения а у

эффективности кандидатов г в должностях у. Каждому распределению должностей соответствует своя распределяющая сумма элементов матрицы А = агу включающая ровно один элемент из каждой строки и каждого столбца А . Так

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

что задача сводится к отысканию максимальной распределяющей суммы Л0 элементов матрицы Л. Общее выражение этой суммы в терминах операций НЛ,

дающее алгоритм полного перебора для отыскания Л0:

Л° = (ап + а22 + «33 ) V («11 + «23 + а32 ) V («12 + «21 + а33) V ^

V (^12 + «23 + «31) V («13 + «21 + «32 ) V («13 + «22 + «31 )•

Объединив в (57) 1-ю скобку со 2-й, 3-ю с 4-й, 5-ю с 6-й и вынеся за скобки в каждой паре общее слагаемое, получим выражение алгоритма сокращенного перебора отыскания Л0, в котором на 3 операции меньше

(58)

А° = {ап + [(a22 + «зз) v («23 + «32)]} v («12 + [(«21 + «зз) v («23 + «31)]} v

V {«13 + [(«21 + «32) V («22 + «31 )]}•

Выражение (58) позволяет представить Л0 в обозримой форме. Для этого назовем Л 0 суммирующим ЛО матрицы Л , а ЛО матрицы, полученной вычеркиванием I -й строки и у -го столбца, - логическим дополнением Л0 элемента

«У в ЛО Л0. Тогда (58) есть разложение ЛО Л0 по элементам 1-й строки

3

Л0 = V («1, + Л0 ). (59)

г = 1

Аналогичные (59) разложения верны для любых строки и столбца, они не зависят от размерности Л. Формула (59) дает итеративный по числу должностей (кандидатов) алгоритм решения. Возможны более общие и экономные алгоритмы,

получаемые разложением Л0 по совокупности строк (столбцов).

Другой класс задач оптимизации, решаемых с помощью НЛ, это задачи оптимизации порядка подачи заявок в регулярных системах обслуживания с целью минимизации времени Т (§ 16), известные еще как задачи теории расписаний. Рассмотрим последовательную систему с т блоками, на вход которой поступает п различных работ, каждая из т операций, с матрицей времен операций Л = «у , г = 1, т, у = 1, п. Введем дизъюнктивные ЛО ЛV не только для всей матрицы Л, но и для пар ее соседних столбцов г,у :

V

AVr (i, J )

«si «sJ

«ri «rJ

1 < s < r < m. (60)

Тогда достаточным условием оптимальности порядка работ Р = (г!,...,/, 1п) является выполнение для любой его пары соседних работ (г, у) системы неравенств

а> я * А,^=1 т -ь а> л * и, ^=1 т - ъ- (61)

А1т (и ]) * Ат о, о,

а необходимым условием оптимальности этого порядка - выполнение для любой пары соседних работ (г, у) объединения систем неравенств

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

А12(г,у) < А1^(у,г) или А£з(/,у) < A^VзC/,*■>, к = 1,2, или...

...илиАкт(г,7) < Ак?иО',г), к = 1,т- 1

Построив орграф приоритетов работ, где упорядоченные пары соседних вершин означают пары работ, удовлетворяющие достаточным условиям (61), и найдя гамильтонов путь в графе, получим оптимальную последовательность работ. Ее можно найти также построив орграф приоритетов работ по необходимым условиям (62), найдя все гамильтоновы пути в графе, и взяв путь с минимальным временем Т выполнения всех работ (это время вычисляется согласно (55)).

Применение НЛ к дискретной оптимизации подробно изложено в [9, 22]. Отдельные вопросы изложены в [14-16, 18, 20].

17. Логико-автоматный подход к исследованию надежности систем

Широкий класс задач управления, к которым применимы методы НЛ, решаются весьма эффективно с помощью модели динамики автомата (§ 14). При этом строится модель изучаемой системы в виде динамического автомата, входные процессы которого моделируют заданные величины, выходные процессы - искомые величины, а реализуемые функции - известную зависимость между этими величинами. В итоге решение задачи сводится к отысканию выходных процессов автомата по его входным процессам, с использованием НЛ (§ 14). В качестве первого примера рассмотрим задачу исследования надежности систем.

Рассмотрим систему с N блоками, состояния которых обозначим а1,...,aN. Каждый блок г может находиться в работоспособном (аг = 1) или неработоспособном (аг = 0) состоянии. Система в целом (обозначим ее состояние у) также может находиться в работоспособном (у = 1) или неработоспособном (у = 0) состоянии. Состояние системы в любой момент времени определяется только состояниями блоков. Таким образом, модель надежности системы записывается в виде булевой логической функции

у = /(аь...,а^ . (63)

Согласно (63) ненадежной системе соответствует модель - автомат без памяти, получающий на N входах двоичные процессы а1(г),...,ап(г), моделирующие эволюцию надежности блоков, и выдающий на выходе двоичный процесс у(г) , моделирующий эволюцию надежности системы.

Таким образом, для нахождения надежностного процесса в системе у(г) по известным надежностным процессам в ее блоках надо по входным процессам автомата - модели системы вычислить его выходной процесс. При этом используется методика § 14, и результат выражается в терминах НЛ. Последнее означает, что моменты отказов и восстановлений системы выражаются через аналогичные моменты блоков с помощью операций НЛ. Применение НЛ к изучению надежности описано в [7].

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

18. Логико-автоматное моделирование пространственных сцен и распознавания образов

Еще два класса задач, эффективно решаемых с помощью модели динамики автомата (§ 14) - анализ пространственных сцен и распознавание образов, что является важной частью многих систем управления. Рассмотрим простейшую сцену - на прямой линии, где объектами являются n интервалов (ак ,bk), к = 1,n, а задача состоит в отыскании картины взаиморасположения данных интервалов. Интерпретируем прямую как ось времени. Тогда интервалы на прямой можно интерпретировать как временные. Рассмотрим автомат без памяти с n входами и 1 выходом, на котором реализуется булева логическая

функция fr (симметрическая булева функция индекса r от n переменных). Пусть на к -м входе автомата действует процесс Хк (t) в виде единичного импульса 1(ак ,Ьк) - интервал его действия совпадает с к -м из заданных интервалов сцены. По определению функция f! = 1 только если ровно r ее переменных (безразлично какие) равны 1. Так что процесс на выходе автомата равен 1 только в тех интервалах, в которых ровно r входных процессов (безразлично

каких) равны 1. Т.е. процесс на выходе автомата с функцией fr равен 1 только на тех участках, на которых пересекаются ровно r объектов (интервалов) заданной сцены. Итак, система автоматов с функциями fir, r = 0, n, имеющих каждый n входов с входными процессами хк (t) = 1(ak ,Ьк), к = 1,n, и один выход yr, r = 0, n, полностью моделирует своими выходными процессами y0(t),..., yn (t) искомую картину взаиморасположения интервалов на прямой.

В случае плоской сцены объектами являются прямоугольники на плоскости, задача состоит в отыскании плоской картины их взаиморасположения. Указанная задача решается методом сечений, т.е. разбиением исходной сцены на несколько сцен на прямой с помощью семейства параллельных секущих, решением соответствующих задач и объединением их результатов. Метод сечений позволяет анализировать и сцены более высокой размерности, путем последовательного снижения размерности.

Рассмотрим плоскую фигуру Ф (образ) и систему плоских эталонов, определяющих классы фигур. Ф принадлежит классу K, если она ближе к K -му эталону, чем к другим. Задача распознавания образов - установить, к какому из классов принадлежит Ф. Для решения надо сравнить Ф с каждым эталоном K, получить значения показателя их близости П( K) и отнести Ф к тому классу, для которого П = min. Рассечем Ф и эталон, рассматриваемые в системе координат (х, у), семейством параллельным равноотстоящих прямых вдоль оси х. Каждая прямая i пересекается с Ф несколько раз, каждый раз входя в Ф и выходя из нее. Аналогично пересекается она с эталонами. Так что точкам пересечения прямых i с Ф можно поставить в соответствие двоичные процессы щ (x),

а точкам их пересечения с эталоном - двоичные процессы vt (x). Эти процессы дают полную информацию о Ф и эталоне. Показатели близости Ф и эталона

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

можно представить как булевы логические функции / от щ (х), (х). Например, возможен показатель

П( х) = V щ (х) © у1 (х). (64)

г

Каждой функции / можно поставить в соответствие модель-автомат без памяти, получающих на входах двоичные процессы щ (х), (х), моделирующие Ф и эталон, и выдающий на выходе двоичный процесс П(х), моделирующий показатель близости Ф и эталона. Таким образом, для вычисления показателя близости П заданных фигуры Ф и эталона необходимо по входным процессам автомата-модели изучаемой системы вычислить его выходной процесс, используя при этом методику § 14. Применение НЛ к изучению пространственных сцен описано подробно в [6], а ее применение к распознаванию образов - в [29].

19. Логико-автоматные методы моделирования социальных и экономических систем

Для эффективного управления социальными и экономическими системами необходимы их подходящие математические модели. Одними из таких моделей являются модели динамического автомата, основанные на НЛ (§ 14).

Рассмотрим, например, моделирование поведения социальных групп, состоящих из отдельных индивидуумов. Последние могут находиться в 2 состояниях: работоспособном (т.е. способности взаимодействовать с другими индивидуумами) или неработоспособном. Группа в целом также может находиться в 2 состояниях - работоспособном (пригодность к выполнению группового задания) или неработоспособном. Известна статическая модель группы - зависимость ее состояния от состояний всех индивидуумов в произвольный момент времени г . Задана динамика изменения состояния каждого индивидуума во времени. Требуется определить динамику изменения состояния группы во времени. Поставим в соответствие работоспособному (неработоспособному) состоянию индивидуума и группы значение 1 (0). Тогда динамике изменения состояния г -го индивидуума соответствует двоичный процесс хг (г), хг е {0,1}, а динамике изменения состояния группы - двоичный процесс у (г), у е {0,1}. Заданной статической модели группы соответствует булева логическая функция состояния группы

у = /(х1,...,хп), п - число индивидуумов. (65)

Функция (65) определяет некоторый автомат без памяти - модель динамики группы. На входы автомата-модели поступают процессы хг (г), моделирующие динамику (поведение) отдельных индивидуумов г , а с выхода снимается процесс у (г), моделирующий динамику изменения состояния группы. Таким образом, для решения задачи надо по известным входным процессам автомата вычислить его выходной процесс, используя методы § 14.

Множество практических задач управления персоналом можно описать в такой форме. Имеется п служащих 1-го вида, р служащих 2-го вида,..., 1 служащих к -го вида и М управляющих. Каждый из них может находиться в со-

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

стоянии занятости или незанятости исполнением своих обязанностей. Заданы интервалы времени занятости (незанятости) всех сотрудников. Проводится коллективное мероприятие, в котором должны участвовать все управляющие, а также не менее п' служащих 1-го вида, не менее р' служащих 2-го вида,..., не менее 1' служащих к -го вида (безразлично, кто именно). Требуется найти интервалы, в которых возможно проведение этого мероприятия. Поставим в соответствие состоянию незанятости (занятости) работников значение 1 (0). Тогда заданной динамике изменения состояния г -го служащего 1-го вида соответствует некоторый двоичный процесс хг (г), аналогично, для г -го служащего 2-го вида - двоичный процесс уг (г),..., для I -го служащего к -го вида - двоичный процесс (г), для г -го управляющего - двоичный процесс щ (г). В этих процессах интервалы со значениями 1 - заданные интервалы незанятости служащих и управляющих. Состояние всей системы опишем переменной V, равной 1 в момент г, если в этот момент возможно проведение коллективного мероприятия, и равно 0, если невозможно. Реально V зависит от г, т.е. является некоторым двоичным процессом V (г). Так что задача сводится к нахождению процесса V (г). Для того чтобы в некоторый момент времени могло проводиться коллективное мероприятие, нужно, чтобы в этот момент были незаняты все управляющие, а также п' или п' +1 или ...п служащих 1-го вида, р' или р' +1 или ... р служащих 2-го вида;...; 1' или 1' +1 или ... 1 служащих к -го вида. Отсюда, вводя симметрические булевы функции /Г (§ 15), имеем зависимость неизвестной переменной V от известных хг, у, , щ в виде

V =

( M

& ui V i = 1

&

V (*Ъ->xn)

&

V fp(У1>->Ур)

r = p '

&...&

V fq (z1>...>zq )

r = q '

(66)

Булева логическая функция состояния системы определяет соответствующий автомат без памяти - модель системы. Теперь для решения задачи надо по известным входным процессам автомата-модели щ (г), хг (г), уг (г), (г) вычислить методами § 14 его выходной процесс V(г). Интервалы единичных значений процесса V(г) и будут интервалами времени, в которых возможно проведение коллективного мероприятия. Значительное число других социальных, экономических, политических систем также можно успешно моделировать изложенным методом. Таковы, например, система управления занятостью населения, система объединения потоков политических (исторических и т.д.) событий регионального уровня в аналогичный общегосударственный поток, система нивелирования индивидуальностей и превращения толпы в коллектив и некоторые другие.

Логико-автоматные методы моделирования социальных, экономических, политических и др. систем изложены в [30, 31].

n

r=n

Заключение

Можно ожидать дальнейшего расширения фронта исследований в области непрерывной логики. В теории непрерывной логики основное внимание будет, по-видимому, уделяться разработке различных новых обобщений этой

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

дисциплины, позволяющих расширять возможности НЛ в том или ином направлении. Не будут, вероятно, забыты и традиционные задачи НЛ: перечисление функций непрерывной логики, их представление и минимизация; здесь будут искаться новые, более эффективные решения. Однако, особенно большого продвижения можно ожидать в области применения непрерывной логики. В первую очередь, это относится к исследованию операций, моделированию сложных экономических систем и нейронных структур, описанию и анализу процессов в общественных и гуманитарных науках: социологии, истории и политологии.

Стоит заметить, что кроме изложенной в этой статье НЛ, существует другая бесконечнозначная логика. Это К0 -значная логика Лукасиевича, определенная на отрезке [0,1] и имеющая базисные операции, аналогичные соответствующим в непрерывной логике. Но, как показал P. Мак-Нотон [21], не для всех наборов значений аргументов, для которых определены функции НЛ, определены соответствующие функции логики Лукасиевича. В работах В.И. Левина [2, 3, 6, 7, 9] установлено, что моделирование прикладных систем с помощью НЛ практически требует, чтобы ее операции определялись на отрезке [А, В], где А < 0, В > 1. Таким образом, теоретические и прикладные возможности непрерывной логики шире, чем логики Лукасиевича.

Более подробные сведения по затронутым в данном обзоре вопросам можно найти в обобщающих работах [1-13]. Там же имеется обширная библиография.

Кратко изложим содержание русских работ [1, 2, 4, 6-12]. В работе [1] изложены основы НЛ применительно к задачам аппроксимации функций, синтеза функциональных преобразователей и расчета электрических цепей. В [2, 4] изложена теория НЛ, включая уравнения и неравенства НЛ и их применение к теории автоматов и расчету цифровых устройств. В [6] рассмотрены НЛ, ее обобщения и применения в теории автоматов, обработке информации, теории надежности, принятии решений, оптимизации. В [7] показана адекватность НЛ и задачи анализа надежности систем, и на основе этого построена логическая теория надежности технических систем. В [8] описаны различные нечеткие логики и их применение к принятию решений и оптимизации. В [9] рассмотрен математический аппарат НЛ и ее обобщений и их применение к системам обслуживания, оптимизации, теории расписаний, моделированию экономических систем. В [10] описано одно обобщение НЛ и его применение к расчету и синтезу аналоговых устройств. В [11] разработана теория непрерывной и непрерывно-дискретной логик с использованием теории алгебраических структур, включая вопросы минимизации функций НЛ; показано их применение к синтезу функциональных и аналогово-цифровых преобразователей. В [12] дан обзор основных результатов в области НЛ и ее обобщений, а также их применений в различных областях (математика, экономика, техника, теория систем, биология и др.). Наиболее полное изложение НЛ и ее применений дано в [32, 33].

Настоящая работа продолжает цикл исследований автора по разработке математического аппарата и математических моделей НЛ. От опубликованных ранее

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2G18

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

работ автора [32-34] она отличается изложением большого числа моделей, связанных с применением НЛ в науке, технике, экономике и социологии.

Литература

1. Гинзбург С. А. Математическая непрерывная логика и изображение функций. - М.: Энергия, 1968.

2. Левин В. И. Введение в динамическую теорию конечных автоматов. -Рига: Зинатне, 1975.

3. Kandel A., Lee S. C. Fuzzy Switching and Automata. Theory and Application. - N.Y.: Grain, Russak and Co., 1979.

4. Левин В. И. Динамика логических устройств и систем. - М.: Энергия,

1980.

5. Коффман А. Введение в теорию нечетких множеств. - М.: Радио и связь, 1982.

6. Левин В. И. Бесконечнозначная логика в задачах кибернетики. - М.: Радио и связь, 1982.

7. Левин В. И. Логическая теория надежности сложных систем. - М.: Энергоатомиздат, 1985.

8. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / под ред. Д.А. Поспелова. - М.: Наука, 1986.

9. Левин В. И. Структурно-логические методы исследования сложных систем с применением ЭВМ. - М.: Наука, 1987.

10. Волгин Л. И. Синтез устройств для обработки и преобразования информации в элементном базисе реляторов. - Таллинн: Валгус. 1989.

11. Шимбирев П. Н. Гибридные непрерывно-логические устройства. - М.: Энергоатомиздат, 1990.

12. Волгин Л. И., Левин В. И. Непрерывная логика. Теория и применения. - Таллинн: АН Эстонии. 1990.

13. Прикладные нечеткие системы / под ред. Т. Тэрано, К. Асаи и М. Сугэно. - М.: Мир. 1993.

14. Непрерывная логика и ее применение в технике, экономике и социологии. Тезисы докладов 1 Всероссийской научной конференции / Под ред. В.И. Левина. - Пенза: Изд-во Пензенского дома научно-технической пропаганды, 1994.

15. Непрерывно-логические методы и модели в науке, технике и экономике. Труды международной научно-технической конференции / Под ред. В.И. Левина. - Пенза: Изд-во Приволжского дома знаний, 1995.

16. Непрерывные и смежные логики в технике, экономике и социологии. Материалы международной конференции / Под ред. В.И. Левина. - Пенза: Изд-во Приволжского дома знаний, 1996.

17. Непрерывно-логические системы модели и алгоритмы. Труды международной научно-технической конференции. Т. 2 / Под ред. Л.И. Волгина. - Ульяновск: Изд-во Ульяновского гос. технического ун-та, 1995.

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

18. Непрерывная и смежные логики в информатике, экономике и социологии. Материалы Всероссийской научно-технической конференции / Под ред. В.И. Левина. - Пенза: Изд-во Приволжского дома знаний, 1997.

19. Реляторные и непрерывно-логические сети и модели. Труды международной научно-технической конференции «Нейронные, реляторные и непрерывнологические сети и модели». Т. 2 / Под ред. Л.И. Волгина. -Ульяновск: Изд-во Ульяновского гос. технического ун-та, 1998.

20. Логико-математические методы в технике, экономике и социологии. Материалы международной научно-технической конференции / Под ред. В.И. Левина. - Пенза: Изд-во Приволжского дома знаний, 1998.

21. McNaughton R. A Theorem about Infinite-Valued Sentential Logic // Journal of Symbolic Logic. 1951. Vol. 16. № 1. P. 1-13.

22. Беркович Е. И. Непрерывнозначная логика в задачах микроэлектроники // Повышение конкурентоспособности радиоэлектронной аппаратуры. - Таллинн: Валгус, 1988. - С. 165-201.

23. Пресс И. А. Разработка и исследование пневматических функциональных преобразователей для систем управления в нефтехимии. Диса канд. техн. наук. - М.: Ин-т проблем управления, 1984.

24. Левин В. И. Новое обобщение операций над нечеткими множествами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 1. С. 143-146.

25. Левин В. И. Теория динамических автоматов. - Пенза: Изд-во Пензенского гос. технического ун-та, 1995.

26. Левин В. И. Математические основы диагностики цифровых схем. -Пенза: Изд-во Пензенского гос. технического ун-та, 1994.

27. Золотова Т. М., Кербников Ф. И., Розенблатт М. А. Резервирование аналоговых устройств автоматики. - М.: Энергоатомиздат, 1986.

28. Левин В. И. Автоматные методы исследования систем обслуживания // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1990. № 3. С. 121-133.

29. Левин В. И. Автоматная модель и методы распознавания зрительных образов // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. № 3. С. 101-112.

30. Левин В. И. 1. Динамический автомат как модель поведения социальных групп. 2. Моделирование потока исторических событий методами теории автоматов // Гуманитарные науки и современность. 1997. № 3. С. 227244; 1999. № 5. С. 231-248.

31. Левин В. И. Автоматная модель определения времени проведения коллективных мероприятий // Известия РАН. Теория и системы управления.

1999. № 3. С. 134-139.

32. Левин В. И. Непрерывная логика: история, теория, применения. -Пенза: Изд-во ПГТА, 2008.

33. Левин В. И. Логико-математические методы исследования технических, гуманитарных и социологических систем. - Пенза: Изд-во ПензГТУ, 2014.

34. Левин В. И. Непрерывная логика: основные понятия // Вестник ТГУ.

2000. Т. 5. № 1. С. 91-113.

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

References

1. Ginzburg S. A. Matematicheskaya nepreryvnaya logika i izobrazhenie funkciy [Mathematical Continuous Logic and Outline of Functions]. Moscow, Energiya, 1968.

2. Levin V. I. Vvedenie v dinamicheskuyu teoriyu konechnyh avtomatov [Introduction to Dynamical Theory of Finite Automata]. Riga, Zinatne, 1975. 376 p.

3. Kandel A., Lee S. C. Fuzzy Switching and Automata. Theory and Application. N.Y., Grain, Russak and Co., 1979.

4. Levin V. I. Dinamika logicheskih ustroystv i system [Dynamics of Logical Devices and Systems]. Moscow, Energiya, 1980. 224 p.

5. Kaufmann A. Introduction to the Theory of Fuzzy Subsets. N.-Y., Academic Press, 1975. 416 p.

6. Levin V. I. Beskonechnoznachnaya logika v zadachah kibernetiki [Infinity-Valued Logic in Problems of Cybernetics]. Moscow, Radio i svyaz, 1982.

7. Levin V. I. Logicheskaya teoriya nadezhnosti slozhnyh system [Logical Theory of Reliability of Complex Systems]. Moscow: Energoatomizdat, 1985.

8. Nechetkie mnozhestva v modelyah upravleniya i iskusstvennogo intellekta / ed. by D.A. Pospelov. Moscow, Nauka, 1986.

9. Levin V. I. Strukturno-logicheskie metody issledovaniya slozhnyh sistem s primeneniem EVM [Structural-Logical Methods of Research of Complex Systems Using Computers]. Moscow, Nauka, 1987.

10. Volgin L. I. Sintez ustroystv dlya obrabotki i preobrazovaniya informacii v elementnom bazise relyatorov [Synthesis of Devices for Data Processing and Transforming by Elemental Basis of Relators]. Tallin, Valgus. 1989.

11. Shimbirev P. N. Gibridnye nepreryvno-logicheskie ustroystva [Hybrid Continuous-Logical Devices]. Moscow, Energoatomizdat, 1990.

12. Volgin L. I., Levin V. I. Nepreryvnaya logika. Teoriya i primeneniya [Continuous Logic. Theory and Applications]. Tallin, AN Estonii, 1990.

13. Applied Fuzzy Systems. Ed. by T. Terano, K. Asai and M. Sugeno. N.-Y., Academic Press, 1994. 301 p.

14. Nepreryvnaya logika i ee primenenie v tehnike, ekonomike i sociologii [Continuous Logic and Its Application in Technique, Economy and Sociology] Tezisy dokladov 1 Vserossiyskoy nauchnoy konferencii. Ed. by V.I. Levin. Penza, Izd-vo Penzenskogo doma nauchno-tehnicheskoy propagandy, 1994.

15. Nepreryvno-logicheskie metody i modeli v nauke, tehnike i ekonomike [Continuous-Logical Methods and Models in Science, Technique and Economy]. Trudy mezhdunarodnoy nauchno-tehnicheskoy konferencii. Ed. by V.I. Levin. Penza, Izd-vo Privolzhskogo doma znaniy, 1995.

16. Nepreryvnye i smezhnye logiki v tehnike, ekonomike i sociologii [Continuous and Adjacent Logics in Technique, Economy and Sociology]. Materialy mezhdunarodnoy konferencii. Ed. by V.I. Levin. Penza, Izd-vo Privolzhskogo doma znaniy, 1996.

17. Nepreryvno-logicheskie sistemy, modeli i algoritmy [Continuous-Logical Systems, Models and Algorithms]. Trudy mezhdunarodnoy nauchno-tehnicheskoy

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

konferencii. Ed. by L.I. Volgin. Ulyanovsk, Izd-vo Ulyanovskogo gos. tehnicheskogo un-ta, 1995, Vol. 2.

18. Nepreryvnaya i smezhnye logiki v informatike, ekonomike i sociologii [Continuous and Adjacent Logics in Informatics, Economy and Sociology]. Materialy Vserossiyjskoy nauchno-tehnicheskoy konferencii. Ed. by V.I. Levin. Penza, Izd-vo Privolzhskogo doma znaniy, 1997.

19. Relyatornye i nepreryvno-logicheskie seti i modeli [Relator and Continuous-Logical Nets and Models]. Trudy mezhdunarodnoy nauchno-tehnicheskoy konferencii «Neyronnye, relyatornye i nepreryvnologicheskie seti i modeli». Ed. by L.I. Volgin. Ulyanovsk, Izd-vo Ulyanovskogo gos. tehnicheskogo un-ta, 1998, Vol. 2.

20. Logiko-matematicheskie metody v tehnike, ekonomike i sociologii [Locical-Mathematical Methods in Technique, Economy and Sociology]. Materialy mezhdunarodnoy nauchno-tehnicheskoy konferencii. Ed. by V.I. Levin. Penza, Izd-vo Privolzhskogo doma znaniy, 1998.

21. McNaughton R. A Theorem about Infinite-Valued Sentential Logic. Journal of Symbolic Logic, 1951, vol. 16, no. 1, pp. 1-13.

22. Berkovich E. I. Nepreryvnoznachnaya logika v zadachah mikroelektroniki [Continuous-Valued Logic in Problems of Microelectronics]. Povyhshenie konkurentosposobnosti radioelektronnoy apparatury, 1988, pp. 165-201.

23. Press I. A. Razrabotka i issledovanie pnevmaticheskih funkcionalnyh preobrazovateley dlya sistem upravleniya v neftehimii [Working Out and Research of Pneumatic Transformers for Control Systems in Oil Chemistry]. Moscow, Inst. problem upravleniya, 1984.

24. Levin V. I. A New Generalization of Operations of Fuzzy Sets. Journal of Computer and Systems Sciences International, 2001, vol. 40, no. 1, P. 138-141.

25. Levin V. I. Teoriya dinamicheskikh avtomatov [Theory of Dynamical Automata]. Penza, Izd-vo Penzenskogo Gos. Tech. Univ., 1995. - 408 p.

26. Levin V.I . Matematicheskie osnovy diagnostiki cifrovyh skhem [Mathematical Basis of Diagnostics of Digital Schemes]. Penza, Izd-vo Penzenskogo gos. tehnicheskogo un-ta, 1994.

27. Zolotova T. M., Kerbnikov F. I., Rozenblatt M. A. Rezervirovanie analogovyh ustroystv avtomatiki [Reserving of Analogue Devices of Automatics]. Moscow, Energoatomizdat, 1986.

28. Levin V. I. Automata Methods of Research of Service Systems. Journal of Computer and Systems Science International, 1990, vol. 28, no. 3.

29. Levin V. I. Automata Model and Methods of Recognition of Visual Images. Journal of Computer and Systems Science International, 1991, vol. 29, № 3.

30. Levin V. I. 1. Dinamicheskiy avtomat kak model povedeniya socialnyh grupp. 2. Modelirovanie potoka istoricheskih sobytiy metodami teorii avtomatov [1. Dynamical Automaton as a Model of Behavior of Social Groups. 2. Modeling of Flow of Historical Events by Methods of Automata Theory]. Gumanitarnye nauki i sovremennost. Penza, Izd-vo Penzenskogo gos. un-ta, 1997, vol. 3, pp. 227-244; 1999, vol. 5, pp. 231-248.

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

31. Levin V. I. An Automaton Model of Finding a Possible Time Interval for Collective Activities. Journal of Computer and Systems Science International, 1999, vol. 38, no. 3, pp. 464-468.

32. Levin V. I. Nepreryvnaya logika: istoriya, teoriya, primeneniya [Continuous Logic: History, Theory, Applications]. Penza, Izd-vo PGTA, 2008.

33. Levin V. I. Logiko-matematicheskie metody issledovaniya tehnicheskih, gumanitarnyh i sociologicheskih system [Logical-Mathematical Methods of Research of Technical, Humanitarian and Sociological Systems]. Penza, Izd-vo PenzGTU, 2014.

34. Levin V. I. Nepreryvnaya logika: osnovnye ponyatiya [Continuous Logic: Basic Concepts]. Vestnik TGU, 2000, Vol. 5, Issue 1, pp. 91-113.

Статья поступила: 26 мая 2018 г.

Левин Виталий Ильич - доктор технических наук, профессор, PhD, Full Professor. Заслуженный деятель науки РФ. Пензенский государственный технологический университет. Область научных интересов: логика; математическое моделирование в технике, экономике, социологии, истории; принятие решений; оптимизация; теория автоматов; теория надежности; распознавание; история науки; проблемы образования. E-mail: vilevin@mail.ru

Адрес: 440039, Россия, г. Пенза, пр. Байдукова/ул. Гагарина, д. 1а/11.

UDC 519.711

Logical-Mathematical Methods and Their Applications

V. I. Levin

Relevance. Continuous logic (CL) is introduced as a natural generalization of discrete logic (DL). At the same time, most of the DL laws remain in force for CL. However, the operation of negating in CL can not be defined so that it is a complement, as, for example, in two-valued logic, i.e. that the laws of the excluded third and the contradictions are fulfilled. Therefore, structurally continuous logic essentially differs from two-valued discrete logic. This and the continuity of the variables leads to certain differences between the CL and DL in the nomenclature of the problems being solved and the methods for their solution. The purpose of the article is to give a detailed review of the theory of CL, its history, methods, results and applications in various fields of science and technology. Method. To obtain new results in continuous logic, a number of direct methods are used: 1) calculation of the table of values of the logical expression; 2) equivalent transformations of logical expressions; 3) the articulation of particular logical expressions in general; 4) the partition of the general logical expression into several particular. Result. Today CL has developed as an independent scientific discipline, the nature of which is determined by the needs of its harmonious development as a mathematical discipline and the needs of its numerous applications covering almost all areas of human activity: mathematics (approximation of functions, geometry, set theory, number theory, interval analysis ); technology (calculation of electrical circuits, synthesis offunctional generators and ADCs, calculation of analog and digital devices, modeling of the shape of details, reliability, diagnostics and maintenance); systems (theory of service systems, pattern recognition and scene analysis, decision-making, data processing, synchronization); economics (discrete optimization, scheduling theory, modeling of economic systems), biology (modeling of neural structures), sociology (modeling the dynamics of the behavior of the collective); political science (modeling of the dy-

Системы управления,связи и безопасности № 2. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

namics of society), history (modeling the flow of historical events). Novelty. In all of the above areas, the use of CL allowed either for the first time to obtain an analytical solution to the problem, or to arrive at a solution significantly better than the known ones with respect to visibility under high dimensionality of the problem and / or the laboriousness of its solution.

Keywords: continuous logic, laws of logic, logical function, completeness problem, applications of continuous logic.

Information about Author

Vitaly Ilich Levin - Doctor of Technical Sciences, Full Professor. Honoured Scientist of Russia. Penza State Technological University. Field of Research: logic; mathematical modeling in technics, economics, sociology, history; decision making, optimization, recognition, automata theory, reliability theory, history of science, problems of education. E-mail: vilevin@mail.ru

Address: Russia, 440039, Penza, pr. Baydukova / Gagarin st., 1a/11.