CC BY
68
ИЗВЕСТИЯ
IZVESTIA
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO
PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA
IMENI V.G. BELINSKOGO
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
ПГПУ
PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
№26 2011
УДК: 519.711
e-mail: levin@pgta.ru
Левин В. И. — Логическое моделирование надежности систем управления. I // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 568—577. — Описаны дискретная двузначная и непрерывная логики, служащие математическим аппаратом для моделирования соответственно статики и динамики надежности систем управления.
Ключевые слова: система, надежность, логическое моделирование
Levin V. I. — Logical Modeling of Reliability of Control Systems // Izv. Penz. gos. pedagog. univ.
im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 568-577. — The discrete two-valued and continuous-valued logics which serve as mathematical tool for modeling accordingly statics and dynamics of reliability of control systems are described.
Keywords: system, reliability, log^l modeling
При проектировании различных технических систем, в том числе, систем управления, их обычно рассчитывают на надежность. Имеется обширная литература, указывающая, как рассчитать нужную вероятностную характеристику (показатель) надежности системы по аналогичным характеристикам ее элементов. В качестве таких характеристик обычно выбирают среднее время Тср безотказной работы или вероятность Р(і) безотказной работы за время і. Однако, вероятностные характеристики - не первичные величины, а результат их усреднения. Поэтому вероятностный расчет надежности системы по природе не элементарен и для сколько-нибудь сложных систем может быть сопряжен с большими трудностями. Далее, вероятностные характеристики надежности элементов не всегда определимы из-за большой трудоемкости необходимых статистических испытаний. Наконец, разработка новых систем может требовать рассмотрения все новых вероятностных характеристик надежности. В этих условиях представляется целесообразным построение такой теории и методов расчета надежности систем, где оперируют первичными (не выводимыми из других) величинами, относящимися к надежности системы и ее элементов, и устанавливают связь между ними. Действительно, при таком подходе расчет надежности систем становится элементарным, что должно расширить класс рассчитываемых систем. Далее, отпадает необходимость в специальном изучении конкретных характеристик надежности систем, так как их всегда можно выразить через указанные первичные величины. Наконец, естественно ожидать, что опытное определение первичных характеристик надежности элементов проще, чем вероятностных.
1. ВВЕДЕНИЕ
В предлагаемой в данной работе теории первичными нами считаются последовательные моменты Ь отказов и восстановлений блоков (элементов) и аналогичные моменты Тк для системы в целом, а задача состоит в отыскании зависимостей Тк = /к (¿¿) между ними. Эта теория обладает всеми указанными выше достоинствами. В то же время: 1) набор функций {/} является наиболее полной качественной информацией о влиянии надежностей блоков на надежность системы, так как по нему можно количественно предсказать надежностное поведение системы при любых значениях надежности ее блоков (в частности, вычислить те или иные характеристики надежности системы); 2) можно в отсутствие числовых данных
о надежности блоков сравнивать надежность систем: равнонадежным системам соответствуют одинаковые наборы {/}, более надежной системе соответствует увеличение значений /к,выражающих моменты отказов, и уменьшение значений /к, выражающих моменты восстановлений; 3) можно изучать не только обычные модели, в которых надежностное состояние системы в любой момент времени полностью определяется надежностными состояниями блоков в тот же момент, но и модели с запоминанием предыдущих состояний; 4) зная набор функций {/к} системы, можно, наблюдая состояния ее блоков, прогнозировать индивидуальное надежностное поведение системы и на основе этого организовать ее рациональное техническое обслуживание.
В качестве модели надежности системы в работе был выбран динамический автомат, на входы которого подаются надежностные процессы в блоках (импульс процесса определяет интервал работоспособности блока, пауза - интервал неработоспособности), а с выхода снимается аналогичный процесс для системы в целом. При этом оказалось, что функции влияния /к всегда выражаются суперпозицией операций непрерывной логики, а это дает возможность применения логической теории надежности. Эта теория, помимо ее важного самостоятельного значения (см. выше), полезна и для традиционной вероятностной теории надежности, ибо, устанавливая логическую связь между первичными надежностными характеристиками системы и ее блоков, она облегчает расчет и компьютерное моделирование вероятностных характеристик надежности сложных систем, сводя его к уже известной задаче - отысканию (моделированию) распределения детерминированных функций /к(Ь^ от случайных аргументов Ь*. Автоматная модель и логические методы излагаемой теории облегчают ее изучение студентами, а также ее усвоение инженерами-автоматчиками и вычислителями.
2. ДВУЗНАЧНАЯ ДИСКРЕТНАЯ ЛОГИКА
Описываемая ниже двузначная логика используется для математического моделирования статики надежности технических систем. Рассмотрим множество из двух элементов {0,1}. Введем над ним следующие логические операции:
конъюнкцию
дизъюнкцию
отрицание
у = хі Л Х2
у = хі V Х2
У = х
1Х
1, если Х1 = Х2 = 1;
0 в остальных случаях,
0, если Х1 = Х2 = 0;
1 в остальных случаях,
1 , если Х = 0;
0, если х =1.
(1)
(2)
(3)
Назовем булевой функцией произвольную функцию, которая, как и ее аргументы, принимает значения из множества {0, 1}. Ясно, что двухместные функции - конъюнкция (1) и дизъюнкция (2) и одноместная функция - отрицание (3) являются некоторыми простейшими булевыми функциями. Более сложными
являются п-местные булевы функции конъюнкции
П ) 1, если Х1 = ... = хп = 1;
у = Х1 Л ... Л Хп = Л XI = < (4)
*=1 I 0 в остальных случаях,
дизъюнкции
п I 0, если Х1 = ... = Хп = 0;
у = Х1 V ... V Хп = V XI = < (5)
*=1 11 в остальных случаях.
В выражениях (1), (4) знак Л обычно опускается, если нет опасности спутать конъюнкцию с другими операциями. Функции (1) и (2) являются частными случаями (4) и (5) при п = 2.Еще более сложными булевыми функциями являются элементарная п-местная конъюнкция
у = Х1 Л Х2 Л ... Хп (иначе Х1Х2 ... Хп) (6)
и элементарная п-местная дизъюнкция
у = Х1 V Х2 V ...Хп. (7)
Здесь Хг есть хг либо Х*.Например: у = Х1Х2Х3, у = Х1 V Х2.
Наиболее сложными булевыми функциями являются дизъюнкция элементарных конъюнкций -дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) и конъюнкция элементарных дизъюнкций - конъюнктивная нормальная форма (КНФ). Булевы функции (1)-(7) - частные случаи как ДНФ, так и КНФ. Оказывается, что и произвольная булева функция может быть представлена и в ДНФ, и в КНФ.
Первичное задание булевой функции у = /(х1, ...,Хп) обычно состоит в перечислении тех наборов аргументов (х1, ..., Хп), на которых у =1 (единичные наборы),либо тех наборов, на которых у = 0 (нулевые наборы).От задания перечислением единичных наборов можно перейти к заданию перечислением нулевых наборов и обратно - ведь нулевые наборы - это все наборы, не являющиеся единичными, а единичные — это все наборы, не являющиеся нулевыми.
Для представления функции / в ДНФ удобно исходить из ее задания перечислением единичных наборов. При этом f записывается в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций, каждая из них обращается в 1 на каком-то одном единичном наборе.
Пример 1. Функция у = /(Х1,Х2) равна 1 на наборах 01 и 10. Записать ее в ДНФ. Видим, что на наборе 01 обращается в единицу элементарная конъюнкция Х1Х2, а на наборе 10 - конъюнкция Х1Х2. Поэтому получаем у = Х1Х2 V Х1Х2.
Для представления функции f в КНФ удобно исходить из ее задания перечислением нулевых наборов. При этом / записывается в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций, каждая из которых обращается в нуль на каком-то одном нулевом наборе.
Пример 2. Функция у = /(х1, Х2, хз) равна 0 на наборах 000 и 111. Так как на наборе 000 обращается в 0 элементарная дизъюнкция Х1 V Х2 V хз, а на наборе 111 - дизъюнкция Х1 V Х2 V Хз, имеем у = (х1 V Х2 V хз)(Х1 V Х2 V Хз).
От представления булевой функции в ДНФ легко перейти к ее представлению в КНФ и обратно. В первом случае совершается прямой переход: ДНФ функции ^ представление функции перечислением единичных наборов ^ представление функции перечислением нулевых наборов ^ КНФ функции; во втором случае - обратный переход.
Пример 3. Задана ДНФ функции из примера 1: у = Х1Х2 VxlX2. Найти эквивалентное представление функции в виде КНФ. Из ДНФ функции хорошо видно, что ее единичные наборы - 01 и 10. Значит, нулевые наборы - 00 и 11, откуда КНФ функции у = (х1 V Х2)(Х1 V Х2).
Логические операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания подчиняются следующим законам:
тавтологии
переместительному
сочетательному
распределительному
отрицания (де Моргана)
поглощения
двойного отрицания,
склеивания
ортогонализации
х V у = у V х, ху = ух;
(х V у) V г = х V (у V г) = х V у V г, (ху)г = х(уг) = хуг; х(у V г) = ху V хг, х V уг = (х V у)(х V г);
х V у = ху, ху = х V у
х V ху = х, х(х V у) = х
х V х = 1, хх = 0;
х V ху = х V у.
(8)
(9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
При помощи законов (8)—(16) осуществляется эквивалентное преобразование логических выражений, задающих булевы функции, с целью упрощения этих выражений. Множество всех булевых функций, совместно с операциями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, подчиняющимися законам (8)-(16), называется булевой алгеброй.
Пример 4. Привести к минимальному виду выражение у = Х1Х3Х4 V Vx2xзx4 V Х2Х3Х5 V Х1Х3Х4 V Х2Х3Х5.
Объединим первую конъюнкцию с четвертой, а третью - с пятой. Вынеся за скобки в каждой из пар конъюнкций общую букву и учтя закон (15), получим у = Х1Х4 V Х2Х5 V Х2Х3Х4. Дальнейшее упрощение полученного выражения в классе ДНФ невозможно; но оно станет возможным, если допустить другие формы выражения у.Например, объединив в последнем выражении первую конъюнкцию с третьей и вынеся за скобки Х4, получим у = (х^х2х3)х4VX2X5. Аналогичный результат получается при объединении второй конъюнкции с третьей.
Используя эквивалентные преобразования, можно любое логическое выражение преобразовать в ДНФ или КНФ.
3. НЕПРЕРЫВНАЯ ЛОГИКА
Описываемая непрерывная логика используется для математического моделирования динамики надежности технических систем. Рассмотрим бесконечное непрерывное множество точек С = [А, В] -отрезок прямой А, В.Введем над С логические операции: конъюнкцию
у = Х1 Л Х2 = шш(х1, Х2),
дизъюнкцию
у = хі V х2 = тах(хі, х2)
(17)
(18)
и отрицание
у = х = А + В — х. (19)
Операции (17)—(19) обобщают операции (1)-(3) и переходят в них в частном случае, когда множество
С = {0,1}.
Назовем произвольную функцию, которая, как и ее аргументы, принимает значения из множества С и может быть представлена в виде суперпозиции логических операций (17)—(19) функцией непрерывной логики (НЛ). Двухместные функции конъюнкция (17) и дизъюнкция (18) и одноместная функция -отрицание (19) - простейшие функции НЛ. Более сложные функции: п-местная конъюнкция
у = х 1 Л ... Л хп = Л х* = шт(х 1,..., хп) (20)
г= 1
и п-местная дизъюнкция
у = х1 V ... V хп = V х* = тах(х1,..., хп) (21)
г=1
Еще более сложны элементарная п-местная конъюнкция
у = х1х1х2х2...х„х„ (22)
и элементарная п-местная дизъюнкция
у = х1 V х1 V х2 V х2 V ... V хп V хп. (23)
В выражениях (22), (23) некоторые буквы с отрицаниями могут отсутствовать. Например, у = х1х2х2
или у = х1 V х1 V х2. Как видим, в отличие от двузначной логики в НЛ элементарные конъюнкции и
дизъюнкции могут вместе с буквой х* содержать и ее отрицание х*.
Наиболее сложные функции НЛ - ДНФ, т.е. дизъюнкция элементарных конъюнкций, и КНФ, т.е. конъюнкция элементарных дизъюнкций. Они включают в себя как частные случаи функции (17)-(23).
Всякая функция НЛ у = /(х1,...,хп) на произвольном наборе аргументов (х1,...,хп) принимает значение одного из аргументов х* или его отрицания х*.Это следует из того, что элементарные логические операции (17)—(19), суперпозицией которых является выражение у = f(х1,...,хп), всегда имеют своим результатом одну из переменных, участвующих в операции, или ее отрицание.
Первичное задание функции НЛ у = /(х1,...,хп) может состоять в перечислении всех вариантов упорядочения аргументов х1,...,хп с указанием для каждого варианта того аргумента х* или его отрицания х*, чье значение принимает функция. От первичного задания функции НЛ легко перейти к ее аналитическому представлению с помощью суперпозиции логических операций (17)—(19). Методику этого перехода поясним на следующем примере.
Таблица 1
Упорядочение Значение Упорядочение Значение
аргументов функции аргументов функции
х ІЛ х ьо Л х СО хз х Л з х Л сч х хз
сч н Л со н Л н хз сч х Л х Л з х X 1
со н Л н Л н хз х Л сч х Л з х Х2
Пример 5. Функция НЛ от трех переменных задана табл. 1. Найти аналитическое представление функции.
х1 при х1 < х2 и хз < х1;
Согласно табл. 1 у = \ х2 при х2 < х1 и хз < х2;
хз при хз > х1х2.
Используем конъюнкцию НЛ и объединим первые две строки выписанного выражения в одну
У
Х1Х2 при хз Л Х1Х2; Х3 при хз > хіХ2.
Объединяя далее обе строки в одну с помощью операции дизъюнкции НЛ, находим искомое представление: у = х1х2 V хз.
Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания НЛ подчиняются большинству законов, которым подчиняются аналогичные операции двузначной логики, а именно: законам тавтологии (8), переместительному (9), сочетательному (10), распределительному (11), отрицания (12), поглощения (13), двойного отрицания (14).
Однако законы склеивания и ортогонализации НЛ оказываются более сложными, чем их аналоги в двузначной логике:
При помощи перечисленных законов выражения функций НЛ могут подвергаться эквивалентным преобразованиям в целях их упрощения. Множество всех функций НЛ, рассматриваемых совместно с операциями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания НЛ, подчиняющимися законам (8)—(14), (24), (25), называется алгеброй НЛ.
Произвольная функция НЛ может быть представлена в любой из двух стандартных форм - ДНФ и КНФ. Для такого представления удобно исходить из задания функции в аналитической форме. Переход от такой формы к ДНФ состоит в последовательном выполнении двух чередующихся операций: 1) спуск отрицаний с более сложных выражений на менее сложные части по законам отрицания (12), (14); 2) раскрытие скобок согласно первому распределительному закону (11).
Пример 6. Привести к ДНФ функцию НЛ у = (х1х2 V х2хз)х1х4. Так, согласно (12), (14), х1х4 = х1 V х4. Подставив это в выражение у и раскрыв скобки по (11), при упрощении имеем у = (х1х2 V х2хз)(х1 V х4) = х1х2 V х1х2хз V VXlX2X4 V х2хзх4 = х1х2 V х1х2хз V х2хзх4.
Переход от произвольной аналитической формы записи функций НЛ к КНФ состоит в последовательном выполнении двух чередующихся операций: 1) спуск отрицаний с более сложных выражений на их менее сложные части по законам отрицания (12) (14); 2) введение скобок согласно второму распределительному закону (11).
Пример 7. Привести к КНФ функцию НЛ из примера 6. Имеем по второму закону (11) х1х2 Vх2хз = (х1х2 V х2)(х1х2 V хз) = (х1 V х2)(х2 V х2)(х1 V хз)(х2 V хз). Учитывая найденное в примере 6 выражение х1х4, получим окончательно у = (х1 V х2)(х2 V х2)(х1 V хз)(х2 V хз)(х1 V х4).
4. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА НЕПРЕРЫВНОЙ ЛОГИКИ
Описываемые ниже уравнения и неравенства НЛ используются для синтеза надежностных процессов в технических системах.
Уравнением НЛ называется уравнение вида
где / и ^ - заданные функции НЛ; а1,..., а& - известные, х1,...,хп - неизвестные (искомые) аргументы. Любой набор (х1, ...,хп), для которого равенство (26) обращается в тождество, называется частным решением уравнения (26). Совокупность всех частных решений уравнения называется общим решением. Аналогично уравнению вводится неравенство НЛ
х V х = М + |х — М|; хх = М — |х — М|; х V Ху = (х V у)(М + |х — М|),
(24)
(25)
где М = (А + В)/2.
/ (а1 , ...,а& , Х1 , ..., ХП) 9^(а1 , ...,а& , Х1, ..., хп),
(26)
/...,а^ ,x1, ..., хп) < ^(а1, ...,ak,x1, ..., хп)
(27)
Можно также рассматривать системы уравнений и неравенств НЛ. Основным методом решения уравнений и неравенств НЛ является последовательное расчленение левых и правых частей, основанное на определении операций НЛ и позволяющее заменять исходное уравнение или неравенство эквивалентным объединением систем из более простых уравнений и неравенств. Решение системы уравнений и неравенств НЛ получается как пересечение решений входящих в нее уравнений (неравенств). Поясним сказанное.
Пусть обе части уравнения (26) представлены в ДНФ. Тогда в обеих частях последней операцией может быть только конъюнкция и дизъюнкция. Пусть в левой части последняя операция - дизъюнкция. В этом случае можно записать:
Л(а,ж) V /2(а,ж) = у>(а,ж), (28)
где а = (ai,. .., а^) - вектор параметров; ж = (xi,. .., жп) - вектор неизвестных.
Согласно определению дизъюнкции НЛ уравнение (28) эквивалентно объединению двух систем уравнений и неравенств:
( f1(a,x) > f2(a,x) U /" fi(а,ж) </2(а,ж) (29)
V f1(a,x)= <£(а,ж) J/ V f2(a,x) = ^(а,ж) j)
Расчленение левой части исходного уравнения (28) привело к тому, что каждое уравнение или неравенство в (29) стало проще, чем уравнение (28) (содержит меньше операций). Этот процесс упрощения теперь может быть продолжен путем расчленения правой части (28) и т.д.
Пример 8. Решить уравнение аж = 6. Это уравнение путем расчленения левой части превращаем в объединение систем (ж > а = 6) U (ж = 6 < а). Решение: ж = 6 при а > 6 и ж > 6 при а = 6 (существует только при а > 6).
Пример 9. Решить неравенство аж > 6. Расчленение левой части дает объединение систем (ж > а >
6) U (6 < ж < а).Отсюда решение: ж > 6 (решение существует при а > 6).
Пример 10. Решить неравенство аж < 6. Из расчленения левой части следует (ж > а < 6) U (ж < а, 6).
Решение таково: ж G [а, 6] при а < 6 и ж < 6 при а > 6 (существует всегда).
Пример 11. Решить уравнение с V ж = 6. Расчленение левой части дает объединение систем (6 = ж >
с) U (6 = с > ж).Решение: ж = 6 при 6 > с и ж < 6 при 6 = с (существует при 6 > с).
5. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСЧЕТЫ В НЕПРЕРЫВНОЙ ЛОГИКЕ
На практике возникает необходимость изучения функций НЛ, аргументы которых - случайные величины. Этим занимается вероятностная НЛ. Ее задача - отыскание распределений и моментов функций НЛ, аргументы которых распределены по известным законам.
1. Пусть, например, функция НЛ имеет вид конъюнкции
П
у = А ж*, (30)
i=1
а ее аргументы ж* есть независимые случайные величины с функциями распределения Fxi (ж) = P(ж* <
ж), где P - символ вероятности, и плотностями вероятности (ж) = dxFxi(ж). Тогда случайна также
величина у с некоторой функцией распределения Fy(ж). Найдем (ж). По определению конъюнкции НЛ
(20) у = min ж*. Поэтому у > ж только в случае, если ж1 > ж, ...,жп > ж. Отсюда (ж) = P (у < ж) = i
n n n
1 - P(у > ж) = 1 - П P(ж* > ж) = =1 - П [1 - P(ж* < ж)] = 1 - П [1 - Fxi (ж)].
i=1 г=1 г=1
Таким образом,
n
Fy (ж) = 1 - П [1 - Fxi (ж)]. (31)
Дифференцируя по ж, найдем плотность вероятности у:
П
£у (ж) = ^ 5Х- (ж) П [1 - (ж)]. (32)
5 = 1 ¿=5
Для одинаково распределенных аргументов жг, * = 1,..., п,
^(ж) = 1 - [1 - Р(ж)]п, (33)
£у(ж) = п0(ж)[1 - Р(34) где Р(ж) и $(ж) - соответственно функция распределения и плотность вероятности аргумента.
2. Рассмотрим функцию НЛ - дизъюнкцию
П
у = V ж* (35)
¿=1
с прежними (см. п. 1) случайными аргументами ж*. Так как по определению дизъюнкции (21) у = тахж*,
г
то у < ж только при ж1 < ж, ...,жп <ж. Отсюда функция распределения величины у
(ж) = П ^(ж), (36)
г=1
а ее плотность вероятности
£у(ж) = 53(ж)П (ж). (37)
5=1 ¿=5
Для одинаково распределенных аргументов жг, * = 1,..., п
Ру (ж) = [Р (ж)]п, (38)
£у(ж) = п5(ж)[^(ж)]”-1 (39)
3. Рассмотрим функцию НЛ в виде ДНФ без общих аргументов в различных конъюнкциях. Все аргументы - независимые случайные величины. Распределение такой функции можно найти, используя формулы распределения конъюнкции (п. 1) и дизъюнкции (п. 2).
Пример 12. Функция НЛ такова: Б = ж1ж2 V жзж4. Аргументы жг независимы, распределены по одному и тому же закону с функцией распределения Р(ж) и плотностью вероятности $(ж). Найти распределение Б.
Согласно формулам (33), (34) конъюнкции ж1ж2 и жзж4 имеют одинаковые функцию распределения
-Р(ж) = 1 — [1 — Р(ж)]2 = Р(ж)[2 — Р(ж)] и плотность вероятности $(ж) = 2$(ж)[1 — Р(ж)]. Таким образом,
величина Б по формулам (38), (39) имеет функцию распределения
(ж) = Я (ж) = Р 2(ж)[2 — Р (ж)]2
и плотность вероятности
50 (ж) = 2</(ж)#(ж) = 4#(ж)Р (ж)[1 — Р (ж)][2 — Р (ж)].
4. Для отыскания распределения функции НЛ общего вида используется метод расчленения (см. § 4).
Пример 13. Функция НЛ имеет вид: у = ж1ж2 V ж1жз V ж2жз (функция-ме-диана, принимает значение средней из переменных ж1,ж2,жз). Аргументы жг зависимы и распределены с совместной плотностью вероятности
^(ж!,ж2,жз) при ж1 < ж2 < жз;
^(ж1,ж2,жз) = ^ ^(ж1,ж2,жз) при жз < ж2 < ж1;
0 в остальных случаях.
Найдем функцию распределения (ж) величины у. Расчленим событие (у < ж): (у < ж) = (ж1 < ж2 <
жз, ж2 < ж) и (ж1 < жз < ж2, жз < ж) и (жз < ж1 < ж2ж1 < ж) и и(ж2 < ж1 < жз, ж1 < ж) и (ж2 <
жз < ж1, жз < ж) и (жз < ж2 < жь ж2 < ж). Отсюда с учетом заданной совместной плотности вероятности аргументов функции f (•) имеем (ж) = Р(у < ж) = 51 (ж1, ж2, жз)йж1^ж2^жз +
ж1 < ж2 < жз ж2 < ж
Л7 52(ж1, ж2жз)^ж1^ж2^жз и для получения явного выражения (ж) остается задать явные вы-
жз < ж2 < ж1 ж2 < ж
ражения функций д1^) и д2(0 и проинтегрировать.
Другой универсальный прием для нахождения распределения основан на методе Монте-Карло, т.е. 1) генерировании N независимых наборов случайных аргументов ж1 , ...,жп заданной функции НЛ у = /(ж1, ...,жп) в соответствии с заданным распределением этих аргументов; 2) подсчете для каждого набора (ж1, ...,жп) соответствующего значения функции у; 3) подсчете частоты попадания значений у в различные подобласти области ее определения, что дает оценку распределения у.Этот прием, в отличие от предыдущего, применим к весьма сложным функциям НЛ. Однако его погрешность мала лишь при больших N.
5. Как следует из пп. 1, 2, для некоторых отдельных классов функций НЛ у = f (ж1, ...,жп) вероятностное распределение значений у можно найти, минуя аналитическое представление функции - базируясь только на ее содержательном смысле. Рассмотрим более сложный пример таких функций - порядковую г-функцию
ж1
ХГ =
(г)
(40)
ж„
со случайными независимыми элементами ж*, распределенными по одному и тому же закону с функцией распределения Р(ж) и плотностью вероятности д(ж). Найдем плотность вероятности дП(ж) величины Х^.
Расположим элементы ЛО (40) в порядке неубывания: ж(1) < ж(2)... < ж(п). По определению ХП = ж(г). Значит, среди п элементов жг имеется г — 1 не больших ХП и п — г не меньших ХП. Найдем вероятность дП(ж)¿ж того, что значение ХП находится в интервале (ж, ж + ¿ж). Ясно, что
дП (ж)йж = ВДРз, (41)
где Р1 = пд(ж)йж - вероятность, что какой-либо из п элементов жг находится в интервале (ж, ж + ¿ж); Р2 = СП-1^г-1(ж) - вероятность, что из оставшихся п— 1 элементов жг ровно г — 1 каких-то элементов находятся
в интервале (—то,ж); Рз = [1 — Р(ж)]п-г - вероятность, что оставшиеся п — г элементов жг находятся в
интервале (ж + ¿ж, то). Подставив Рг в (41), имеем
дП (ж) = пСП111^г-1(ж)д(ж)[1 — Р (ж)]п-. (42)
Из (42) при г =1 и г = п как частные случаи следуют ранее полученные выражения (34) и (39) плотности вероятности функций НЛ: конъюнкции и дизъюнкции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ллойд Д. К., Липов М. Надежность: организация, исследования, методы, математический аппарат. М.: Советское радио, 1964. 350 с.
2. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. М.: Советское радио, 1969. 410 с.
3. Райншке К. Модели надежности и чувствительности систем. М.: Мир, 1979. - 454 с.
4. Левин Б. Р. Теория надежности радиотехнических систем. М.: Советское радио, 1978. 264 с.
5. Поспелов Д. А. Логические методы анализа и синтеза схем. М.: Энергия, 1974. 350 с.
6. Левин В. И. Бесконечнозначная логика в задачах кибернетики. М.: Советское радио, 1982. 176 с.
