CC BY
59
УДК 539.214, 539.374, 539.52
Критерии идентификации вихревых структур в деформируемом твердом теле
В.В. Кибиткин, А.И. Солодушкин, B.C. Плешанов, Н.В. Чертова
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Рассмотрены алгоритмы автоматической идентификации вихревых структур, возникающих в деформируемом твердом теле. Исходные векторные поля смещений, характеризующие формоизменение твердого тела, регистрируются методом корреляции цифровых изображений. В качестве критериев идентификации вихрей предложено использовать циркуляцию и функционал, связанный с ортогональностью вектора и его радиус-вектора. Рассмотрено их применение на примере модельных векторных полей с вихрями ротационного и безротационного типов. Работа алгоритмов показана на примере поля смещений, характеризующего течение материала сварного соединения стали 10Г2С. Продемонстрирована роль конечных размеров скользящего окна. Предложены дополнительные критерии, помогающие выделить вихревые структуры.
Ключевые слова: вихревая структура, векторное поле, метод корреляции цифровых изображений, функционал, циркуляция, завихренность
Identification criteria for vortex structures in a deformed solid
VV. Kibitkin, A.I. Solodushkin, V.S. Pleshanov, and N.V. Chertova
Institute of Strength Physics and Materials Science, SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
The paper considers algorithms of automatic identification of vortex structures arising in a deformed solid. The initial vector fields characterizing the deformation of a solid are obtained by the digital image correlation method. Circulation and a functional related to vector and radius vector orthogonality are proposed for use as vortex identification criteria. The application of these criteria is considered on the example of model vector fields with rotational and irrotational vortices. The operation of the algorithms is exemplified by displacement fields for material flow in a steel 10G2S weld. The role of finite sizes of a sliding window is demonstrated. Additional criteria to assist vortex structure identification are proposed.
Keywords: vortex structure, vector field, digital image correlation method, functional, circulation, vorticity
1. Введение
Поведение материала в условиях механического нагружения на макроуровне описывается уравнениями механики деформируемого твердого тела в терминах поля векторов смещений, тензоров напряжений и деформаций. Однако для многих современных задач в рамках данного подхода не удается найти решения, что обусловлено исходными допущениями теории. В традиционной модели механики деформируемого твердого тела материал принимается сплошным, однородным и изотропным, для которого выполняется закон парности касательных напряжений, т.е. отсутствуют моментные напряжения, не учитываются вращения структурных элементов и др. [1]. Точность расчетов для ряда практических случаев оказывается вполне приемлемой, но при
этом некоторые физико-механические эффекты затруднительно или невозможно смоделировать и/или предсказать.
Был разработан ряд альтернативных подходов, в которых делаются попытки так или иначе учесть структуру деформируемого твердого тела [2-15]. Авторы [16-20] особую роль уделяют вихревым структурам, образующимся в материале. Хотя деформируемое твердое тело отличается от жидкости или газа, в нем также существует внутреннее трение и его поведение подобно движению вязкой жидкости, которое невозможно без образования вихрей [21].
В настоящее время установлено, что на микроуровне процесс деформации развивается не только путем трансляционных сдвигов кристаллической решетки, но
© Кибиткин В.В., Солодушкин А.И., Плешанов B.C., Чертова Н.В., 2013
и сопровождается переориентацией отдельных ее областей, которая может быть измерена с помощью электронной микроскопии. Поворот одной части кристалла относительно другой связан со скачком средних сдвиговых напряжений и локальных поворотов при переходе через плоскость дислокационного скопления [22].
На мезомасштабном уровне предполагается, что в планарной подсистеме (внутренние границы раздела и поверхностные слои) возникают нелинейные потоки локальных ротационных структурных превращений, несмотря на то что кристаллическая подсистема остается еще упругонагруженной [15].
Техника измерения вихревых структур различной природы на разных масштабах активно развивается. Так, винтовые дислокации при взаимодействии со световым потоком вызывают образование оптических вихрей [23], а вихревые лазерные поля позволяют исследовать турбулентность атмосферы [24]. В гидрофизике и гидродинамике при исследовании течений, струй, вихрей, турбулентности применяют оптические, акустические и контактные методы. В силу сложности пространственной структуры эффективным является одновременное их использование, а также в сочетании с разными методами визуализации как рефрактометрических (интерференционного, голографического, теневого, цветного теневого, простого теневого), так и более простых — подкраски, водородных пузырьков, плот-ностных меток [25, 26]. Композиционные карты термических структур поверхности моря позволяют успешно идентифицировать вихри воды [27]. Один из современных методов определения поля скоростей жидкости или газа — метод треков — основан на цифровой трассер-ной визуализации с помощью стереосистемы PIV (particle image velocimetry) [28].
В зависимости от объекта, его масштаба и метода измерения векторных полей разрабатываются соответствующие алгоритмы обработки данных.
Настоящая работа посвящена разработке алгоритмов, позволяющих идентифицировать вихревые структуры на основе векторного поля (поля векторов смещений), полученного методом корреляции цифровых изображений.
2. Техника измерения векторных полей
Метод корреляции цифровых изображений был предложен сравнительно недавно [29-31]. Он позволяет с хорошей точностью и разрешающей способностью измерять поле векторов смещений и вычислять скорости смещений и характеристики деформации. Формирование единого векторного поля путем сшивки отдельных полей смещений или изображений дает возможность производить измерения в масштабе всего образца [32-34]. Принцип работы данного метода заключается в следующем. В процессе исследований производится съемка изображений интересуемой области образца и
их запись на жесткий диск компьютера. Затем производятся механическое воздействие на материал и повторная съемка поверхности в той же области. Компьютерная обработка этих файлов позволяет рассчитать (измерить) искомое поле векторов смещений (векторное поле) и компоненты тензора деформации между двумя моментами времени нагружения.
Соответствующий измерительный комплекс включает в себя микроскоп, цифровую камеру, устройство компенсации поворотов образца как целого, компьютер и программное обеспечение. Структурная схема комплекса и программное обеспечение были разработаны в ИФПМ СО РАН более 15 лет тому назад. С тех пор метод измерений подвергался существенной доработке и накоплен значительный опыт в проведении эксперимента [16, 17, 35-38]. Технические характеристики комплекса зависят от качества применяемого оборудования, программного обеспечения и оптического увеличения. Так, для камеры с матрицей 1280x1024 при варьировании оптического увеличения в диапазоне х50.. .х500 можно измерять амплитуды смещений в пределах 2.. .20 мкм с абсолютной погрешностью порядка ±(1.0.. .0.2) мкм, плотность векторов смещений составит (2 • 103).(2 • 105) векторов/мм2. Особенностью данного метода является то, что значения как смещений, так и координат точки, в которых они измерены, задаются в дискретной форме — в пикселах. При корректных условиях измерений, когда минимизирована методическая погрешность, абсолютная погрешность измерения длины отдельного вектора смещения обычно находится на уровне ±(1-2) пиксела.
В процессе эксперимента возникает необходимость удовлетворить ряду противоречивых требований. Временной промежуток между двумя кадрами желательно минимизировать, чтобы повысить точность определения скорости течения, но при этом уменьшается средняя длина вектора смещения и возрастает погрешность измерения. Для снижения абсолютной погрешности следует стремиться использовать объективы с большим оптическим увеличением, однако при этом уменьшается пространственная область измерения. Для получения детальной информации о процессе деформации и разрушения необходимо увеличивать количество кадров в каждый фиксированный момент времени (момент съемки), а время на весь эксперимент, как правило, ограничено. При работе в ручном режиме суммарное количество кадров обычно не превышает сотни.
Метод корреляции цифровых изображений при исследовании процессов деформации и разрушения деформируемого твердого тела дает возможность измерять векторное поле лишь на поверхности материала, что соответствует плоскому случаю. Однако это не означает, что ничего нельзя сказать о процессах, протекающих в объеме. Во-первых, из условия сохранения объема е хх + е уу + е = 0 можно получить значение анти-
плоскостной компоненты деформации. Во-вторых, измерение векторных полей на четырех или шести гранях образца, имеющего форму параллелепипеда, позволяет приблизительно понять развитие пластического течения в объеме материала, а для монокристалла даже оценить роль кристаллической структуры.
После формирования единого векторного поля путем сшивки отдельных полей смещений или изображений размер исследуемой области может составлять единицы-десятки квадратных миллиметров. Поле смещений, полученное из 20 отдельных изображений, при пространственном периоде Т = 10 пикселов будет содержать приблизительно 2 • 105 векторов, поэтому идентифицировать вихревые структуры вручную затруднительно.
3. Выбор критериев определения вихревых структур
Среди величин, которые могут быть построены из заданного в эйлеровых координатах поля смещений и^^, z, 0, важную роль играет аксиальный вектор ю^,у, z, ^, который служит количественной мерой завихренности. Он вводится по формуле ю = rot(V) и называется вектором вихря или завихренностью. Введение этой дифференциальной характеристики позволяет, согласно теореме Гельмгольца, полностью описать движение точек деформируемого тела в терминах векторов
V и ю: движение элемента среды состоит из поступательного движения вместе с центром, деформации этого элемента и его вращения с некоторой угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр.
Как известно, движение называется безвихревым или потенциальным, если ю = 0, в противном случае имеет место вихревое движение. Вихревой линией называется линия, касательная к которой в каждой точке направлена по вектору вихря. Совокупность вихревых линий, проходящих через замкнутую кривую, образует вихревую трубку. Поток вектора вихря, проходящий через любое сечение вихревой трубки, одинаков. Он называется интенсивностью вихревой трубки и определяется циркуляцией скорости Г по произвольному контуру L, однократно охватывающему вихревую трубку [39]. Циркуляция рассчитывается по формуле
Г = <[ Vdl = || 5. (1)
Ь 5
В плоском случае
дVv/ дх — дVx| ду
ю2 = У1 2 х' У. (2)
Однако аксиальный вектор не всегда пригоден для идентификации вихря. Возможны случаи, когда элементы среды испытывают локальную деформацию (например поворот оси деформации), а не вращение. Подобное, в частности, имеет место при плоском сдвиговом движении типа Vx = у, Vy = 0, Vz = 0 [40]. Здесь завих-
ренность ю2 отлична от нуля, хотя каждый элемент движется продольно с разной скоростью. С другой стороны, существуют безротационные вихри, для которых завихренность в любой точке, кроме центральной, равна нулю [41]. При этом выполняется условие Vq = = Г/(2nr), где Vq — тангенциальная скорость; Г — циркуляция.
Завихренность ю2 характеризует вращение в некоторой точке, в то время как вихревая структура может занимать некоторую область, которая включает в себя достаточно большое количество точек и соответствующих векторов R X R >> 1, где R — размер данной области. С этой точки зрения циркуляция как интегральная характеристика вихревых структур является более информативной. Она, в отличие от завихренности, не зависит от выбора системы координат и нелокальна. В гидродинамике, аэродинамике, теории солитонов, метеорологии описаны вихревые структуры различных типов, а циркуляция характеризует их интенсивность.
Вихрем будем считать такой характер плоского течения, когда циркуляция по замкнутому контуру отлична от нуля, а вектор смещения ортогонален своему радиус-вектору, проведенному из его центра. Математически эти требования эквивалентны условиям
Г(х, у) Ф 0, Fn(x, y) = 0, (3)
где Fn — функционал, удовлетворяющий условию ортогональности вектора и его радиус-вектора.
В общем трехмерном случае вихри могут иметь самую причудливую форму [42]. Рассмотрим работу исследуемых критериев на модельных вихрях (рис. 1) для двух крайних случаев — ротационного (V = юг eQ, ю = const Ф 0) и безротационного (V = Г/(2nr) eQ) течений на плоскости [43]. Первый вихрь подобен повороту твердого тела как целого. Вихрь, соответствующий второму случаю, рассматривается в электродинамике (магнитное поле проводника с током), гидродинамике. Такой вихрь в литературе называют изолированным вихрем или изолированной вихревой нитью.
В численном эксперименте векторные поля V(x, y) = = Vx (x, у) ex + Vy (x, y) ey задавали размером M X M, а размер вихря — R X R. Вне вихря (|x| > R, |y| > R) значения поля смещений полагали равными нулю для проверки работы алгоритмов в приграничной к вихрю области.
Рассмотрим в качестве критерия вихревого течения циркуляцию. Вихрь имеет конечные размеры, поэтому размер контура интегрирования Rd X Rd при поиске (сканировании) в пределах всего векторного поля должен удовлетворять условию 0 << Rd < Rmjn. Это означает, что количество векторов на контуре должно быть достаточно большим, а размер самого контура должен быть меньше размера минимального вихря Rmjn. В декартовой системе координат удобнее иметь дело с контуром прямоугольной формы. Для расчета прост-
Рис. 1. Bha ротационного (а) и безротационного (б) векторных полей. M = 21, R = 17
ранственного распределения циркуляции воспользуемся методом скользящего окна, где роль окна играет сам контур.
Исходное векторное поле разбивали на участки размером Rd х Rd, которые располагались друг от друга на расстоянии задаваемого пространственного периода Т = 1. Сканируя по исследуемой области контуром и вычисляя для каждого такого участка циркуляцию, получим ее пространственное распределение. При этом векторное поле контура заменяли другим векторным полем так, что вместо двух ближайших точек вводили новую точку. Этой точке присваивали значения продольных и поперечных смещений, равные средним арифметическим значениям соответствующих смещений этих ближайших двух. Благодаря такому усреднению при вычислениях значения циркуляции, взятые по общим сторонам контуров, при суммировании уничтожатся благодаря противоположному направлению обхода. Фиксированный размер контура ограничивает размер области поиска. Если на границу контура попадала точка сингулярности (центр вихря), то для такого положения скользящего окна циркуляция не рассчитывалась. Формально значения циркуляции, рассчитанные в каждом текущем положении при сканировании, можно считать функционалом Рс (Рс = Г).
На рис. 2 видно, что значения функционала Рс для первого (ротационного) вихря положительны и остаются неизменными при фиксированном размере контура в пределах области его существования. На рис. 2, в, г на оси абсцисс показаны дискретные значения п, отражающие значения координаты на оси, проходящей через центр вихря. Для второго (безротационного) вихря циркуляция также положительна, но только в случае, если центр вихря при сканировании оказывается внутри контура скользящего окна. В противном случае она с точностью до погрешности равна нулю, не считая об-
ласти на оси изолированного вихря, где имеет место сингулярность.
Если область окна наряду с нулевыми значениями векторного поля у границы захватывает часть области вихря, то имеет место переходный процесс. Если размер окна достаточно мал, так что его векторное поле у границы оказывается равным нулю, то и функционал обращается в нуль. Границы этого переходного процесса определяются соотношением размеров скользящего окна и вихря.
Поведение циркуляции на рис. 2 обусловлено пространственным характером тангенциального вектора
Vq (r). При r = const и Vq (r) = const из (1) можно получить, что Г = Vq (r)L, где L — длина всего контура (L = 2nr). Для безротационного вихря (свободное вращение) Г&ее = (Г/(2nr))(2nr) = Г, для ротационного Гг = (юг )(2nr) = 2юS, где S — площадь контура. Последнее соотношение отражает теорему Стокса:
f V dl = JJ rotV d S.
L S
Результаты, представленные на рис. 2, г, иллюстрируют, что для безротационного вихря с помощью циркуляции можно найти координаты центра вихря и его размеры. Действительно, если векторное поле содержит такой вихрь, то после сканирования скользящим окном область с вихрем будет характеризоваться постоянным значением циркуляции, если центр вихря находится внутри контура интегрирования (окна). Если центр вихря не попадает в скользящее окно, то циркуляция равна нулю. Отрицательные значения циркуляции для приведенного на рис. 2, г вихря, вращающегося против часовой стрелки, обусловлены численной реализацией метода. Уменьшая размер скользящего окна, можно локализовать и сам центр.
Центр ротационного вихря можно найти, накладывая дополнительные условия, например радиальной
104
Рис. 2. Пространственное распределение циркуляции для ротационного (а, в) и безротационного (б, г) вихрей и их сечения (в, г): а, б — Rd = 7; в, г — Rd = 7 (1), 25(2), 51 (3), 71 (4), 155 (5), 171 (6); М = 300, Я = 240, ю = 2, Г = 1 при вариации размера контура
симметрии. Для данного типа вихря вид векторного поля смещений и положение центра зависят от постоянной составляющей [32].
Таким образом, циркуляция позволяет определять области, охваченные вихревым движением, центр вихря и его характер.
Согласно определению вихря в качестве другого критерия вихревого течения можно использовать условие, что вектор смещения нормален своему радиус-вектору, проведенному из центра вихря. Поэтому для любого вектора, принадлежащего вихрю, должно выполняться условие равенства нулю скалярного произведения этого вектора и его радиус-вектора:
хих + уиу = (4)
что демонстрирует рис. 3: tg 0 = - их/иу = у/х.
Как и ранее, разобьем всю исследуемую область с глобальной системой координат (X, У) на участки размером Rd х Rd, а в пределах каждого участка введем локальную систему координат (X\ У'). На основании (4)
можно ввести функционал Гп, рассчитываемый в пределах каждого скользящего окна, для каждого его текущего положения с индексами (і, у) в глобальной системе координат:
Рис. 3. Элемент векторного поля в декартовой системе координат
Рис. 4. Пространственное распределение функционала ^п для ротационного (а, в) и безротационного (б, г) вихрей и их сечения (в, г) при вариации размера окна Rd: а, б — Rd = 51; в, г — Rd = 7 (1), 25(2), 51 (3), 71 (4), 155 (5), 171 (6); М = 300, Я = 240, ю = 2, Г = 1
Rd Rd
Рп ;,/ = ЕЕ [/их1 / (I, /') + IЫУ; j (1 , /)].
(5)
; =1 /'=1
Текущие индексы (/', /) относятся к локальной системе координат и играют роль координат радиус-вектора г. В области, где выполняется условие (4), значения данного функционала должны быть равны нулю или с учетом погрешности измерений стремиться к нулю. В дальнейшем будем называть этот функционал нормальным.
Как и ранее, сканируя по исследуемой области скользящим окном и вычисляя значения нормального функционала (5), получим, что в пределах вихря независимо от типа функционал равен нулю (рис. 4). Отличные от нуля значения ^ на границах вихря обусловлены переходным процессом, связанным с конечным размером скользящего окна. Для безротационного вихря ненулевые значения вблизи центра обусловлены влиянием сингулярности и с ростом размера скользящего окна быстро возрастают.
Легко показать, что данный функционал не зависит от постоянной составляющей векторного поля. При анализе данных эксперимента может потребоваться логарифмический масштаб, поэтому можно использовать также модуль данного функционала. Если направление вращения вихря изменит знак, то изменит знак и функционал.
Если размер окна при поиске выбирать слишком малым (Rd - 3), то погрешность расчета функционала будет неприемлемо высокой вследствие дискретного характера данных и влияния абсолютной погрешности измерений. Однако при значительном размере окна векторы, не принадлежащие вихрю, будут влиять на погрешность оценки размеров вихря. При этом можно также пропустить области с вихрями сравнительно малого размера. Поэтому при анализе векторного поля следует рассчитать пространственные распределения нормального функционала при нескольких размерах скользящего окна, начиная с минимально допустимого. Таким образом, нормальный функционал позволяет для любо-
Рис. 5. Пространственное распределение завихренности для ротационного (а) и безротационного (б) вихрей при разных размерах скользящего окна Rd = 7 (1), 25(2), 51 (3), 71 (4), 155 (5), 171 (б); M = 300, R = 240, ю = 2, Г = 1
го векторного поля выделять поля, для которых выполняется условие ортогональности.
В качестве критерия вихревой структуры можно рассматривать аксиальный вектор ю2. Определим его аналитические значения для двух типов вихрей. Согласно рис. 3 можно записать:
- ux/u = sin Q = y/r, uyju = cos Q = x/r,
l~2 2"
u =V ux + uy .
Здесь u = |u| — длина вектора. Для безротационного вихря:
Ux = (С r)(- y/r) = -cy/ r 2
Uy = (c/r)(xfr) = cx/r 2, где c = Г/(2п). Подставляя ux и uy в (2) и выполнив алгебраические преобразования, получим, что для свободного вращения
ю*ее = 0.
Аксиальный вектор равен нулю везде, кроме центра.
Выполнив аналогичные действия, можно увидеть, что для ротационного вихря Ux = u(r)(-y/r) = uy = (юr)(x/r) = юx, ю^ = ю.
Такой вид вихря соответствует случаю вращения тела как целого.
Рассмотрим применимость данного критерия на примере векторных полей заданных моделей вихрей (рис. 1). Каждое значение ю2 в текущей точке определяли методом скользящего окна, рассчитывая компоненты тензора дисторсии как градиенты смещений методом наименьших квадратов. При расчете производных необходимо устремлять к минимуму размер окна. Размер окна Rd ограничен погрешностью измерений,
которая зависит от скорости деформации материала и применяемого оптического увеличения. Если средняя длина векторов находится на уровне абсолютной погрешности, то в эксперименте следует применять большее оптическое увеличение и брать больший промежуток времени между двумя кадрами. Значения ю2 не зависят от постоянной составляющей векторного поля.
Видно, что несмотря на численную реализацию нахождения аксиального вектора для ротационного вихря значения завихренности совпадают с аналитическим значением (рис. 5, а). Погрешность расчета на границе вихря обусловлена выбором размера скользящего окна Rd.
Для безротационного вихря (рис. 5, б) значения ю2, как и задано, равны нулю в области заданного поля скоростей, за исключением сингулярной точки. Этот пример также подтверждает важность корректного выбора размера скользящего окна. На границе вихря высокие значения аксиального вектора обусловлены переходным процессом. Следует отметить, что для данной характеристики вихревой структуры, в отличие от циркуляции, где с особой точкой связаны четыре расчетных точки, не учитывается область размером Rd X Rd.
4. Анализ экспериментальных данных с точки зрения вихревых структур
Рассмотрим применение данных функционалов на практике. Векторное поле (рис. 6, а) было получено при исследовании механизма деформации и разрушения сварного соединения стали 10Г2С в условиях повторностатической усталости. Сварное соединение изготавливали встык из пластин толщиной 8 мм с односторонней V-образной разделкой кромок по импульсно-дуговой технологии в среде защитного газа. Плоский образец с размерами рабочей части 80x4.0x0.65 мм и поперечным швом был вырезан электроэрозионным методом из корневой зоны шва. Испытания сварных соедине-
1 мм I----------1
их, иу, мкм
у, со2, 10 1/цикл
Рис. 6. Вид исходного векторного поля (а), пространственное распределение продольных ых (х) (у = 0.4 (1), 2.0 (2), 3.7 мм (3)) и поперечных Ыу(х) (у = 0.4 (4), 2.0 (5), 3.7 мм (6)) смещений (б), главного пластического сдвига у(х) и завихренности ю2(х) вдоль средней линии (в). N = 15, ДN = 5, Т = 0.11 мм, ЗТВ — зона термического влияния
ний проводили по схеме одноосного циклического растяжения при нагрузке а = 150± 150 МПа с начала нагружения вплоть до разрушения.
Изображения поверхности, полученные с помощью микроскопа АхюуеЛ 25СА (х50), преобразовывались камерой УЕС-535 (2136х 1602 пикселов, формат данных 8 бит) и записывались в компьютер. Эти изображения фиксировали в области «шов - зона термического влияния - основной металл» с перекрытием ~12 % от размера кадра. Перед построением единого поля смещений изображения предварительно сшивали.
При расчете компонент тензора дисторсии в каждой точке производили сглаживание исходных данных методом скользящего среднего, а при сканировании сколь-
¥г, 103 мкм2
4-
3-
2
1
0
-1-
-2-
-3
ДА 1 0
^ 3
Ш/чЭ
Основной металл У ЗТВ Шов
зящим окном усредняли значения массивов ых (х, у), ыу (х, у) методом наименьших квадратов. Размеры скользящего окна составляли 0.17x0.83 мм. Вследствие конечного размера окна размер области, для которой рассчитываются значения деформации, несколько уменьшался.
Видно (рис. 6, б), что продольные и поперечные смещения нелинейно изменяются вдоль и поперек образца, что отражает сложный пространственно-неоднородный характер пластического течения. Данное поле смещений наблюдали на стадии деформационного упрочнения, когда с увеличением числа циклов нагружения скорости смещений уменьшаются. Постоянный вектор выбирали таким образом, чтобы его значения были
106 мкм2
0 2 4 6 8 10 12 X, мм 0 2 4 6 8 10 12 X, мм
Рис. 7. Пространственное распределение циркуляции (а) и нормального функционала (б), у = 0.4 (1), 2.0 (2), 3.7 мм (3)
а
Рис. 8. Пространственные зависимости критериев п и ц. Размеры контура 1.8X2.4 мм, у = 0.4 (1), 2.0 (2), 3.7 мм (3)
равны нулю в центральной части образца. Средние амплитуды смещений значительно превышают уровень абсолютной погрешности.
В основном металле и шве (рис. 6, в) деформация приблизительно постоянна и сравнительно не велика по отношению к деформации в двух полосах локализованной пластической деформации при x1 = 6 мм, x2 = = 8 мм. В данный момент времени эти полосы, наблюдаемые на границе «основной металл - зона термического влияния» и в самой зоне термического влияния, движутся навстречу друг другу. Отличные от нуля значения завихренности ю2 отражают ротационный характер течения. В области основного металла наблюдается вращение отдельных участков поверхности против часовой стрелки, а в зоне термического влияния и шве это течение изменяет знак.
При расчете функционалов Fc, Fn (рис. 7) размеры контура принимали равными Rdx X Rdy = 1.8 X 0.24 мм. Видно, что пространственное распределение циркуляции подобно распределению завихренности, что отражает их взаимосвязь через теорему Стокса.
Согласно рис. 7, а, можно предположить, что вблизи границ раздела «основной металл - зона термического влияния» и «зона термического влияния - шов» существуют вихри противоположного знака. Отдельные нулевые значения циркуляции наблюдаются в зоне термического влияния и области шва.
Вихревые структуры, наблюдаемые в эксперименте, не всегда строго соответствуют условию ортогональности, которое характеризует форму вихря. С учетом того что при измерениях всегда имеется некоторая погрешность, условия (3) следует скорректировать:
\Fc(x, y)\^ maX ^, y) ^ °. (6)
Для одновременного удовлетворения условиям (6) и для точного и быстрого обнаружения таких идеальных вихрей можно применить критерий, связанный с отношением этих функционалов:
П(x y) = Fc(x y)/Fn(x y)-
В этом случае условия (6) будут эквивалентны
|n(x, y)| ^ max. (7)
На основании рис. 7 можно построить зависимости П(x, y = const). Сравнительно высокие значения данного критерия (рис. 8, а) соответствуют областям, где x1 = = 2.5 мм, в средней части зоны термического влияния (x2 = 7.5 мм) и на границе «зона термического влияния - шов» при x1 = 10.5 мм по всей ширине образца. При автоматической идентификации вихревых структур полезно знать относительное количество векторов ц+, направление которых совпадает с направлением вращения вихря:
Ц+ =n+/n,
где n+ — количество векторов на контуре, совпадающих с направлением вихря; n — суммарное количество векторов на контуре. Данный параметр (рис. 8, б) реагирует на области с вихревыми структурами и имеет экстремальные (максимальные при вращении против часовой стрелки) значения вблизи центра вихрей. Значение ц = 0.5 отражает симметричный характер сдвигов, поскольку ось образца жестко фиксирована.
В области основного металла при 0 мм < x < 5 мм векторное поле можно характеризовать схемой «сдвиг + поворот» (рис. 9, а). Сдвиг обусловлен действием максимальных касательных напряжений, а поворот — неоднородностью пластического течения. Активное вращение точек поверхности в данной области происходит против часовой стрелки — это определяет высокие положительные значения циркуляции (рис. 7, а) и завихренности (рис. 6, б). Вихрь имеет эллиптическую форму, поэтому значения нормального функционала в данной области сравнительно высоки.
В рассматриваемой области зоны термического влияния (6 мм < x < 8 мм) векторное поле в целом имеет характер «шейки» с неодинаковой скоростью сдвигов (рис. 9, б), которая обусловлена градиентным характе-
Рис. 9. Векторные поля, измеренные в различных областях сварного соединения: основной металл 2 мм < х < 4 мм (а), зона термического влияния 6 мм < х < 8 мм (б), граница «зона термического влияния - шов» 10 мм < х < 12 мм (в), шов 12 мм < х < <14 мм (г). Т = 0.067 мм
ром физико-механических свойств. В центре данной шейки регистрируется пластическое течение вихревого типа с вращением по часовой стрелке (рис. 7, 8). Видно также, что значения нормального функционала сравнительно невысоки (рис. 7, б), что говорит о симметричном характере данного вихря, а высокая завихренность (рис. 6, в) свидетельствует о существовании вихревой структуры, близкой к идеальной.
На границе «шов - зона термического влияния» значения критерия П очень высоки, но это обусловлено не столько циркуляцией (или завихренностью), сколько низкими значениями нормального функционала. В данной ситуации критерий п не работает, что подтверждается полученным полем смещений, которое имеет характер сдвига (рис. 9, в).
Пластическое течение в шве (рис. 9, г) представляет собой типичную «шейку», которую нельзя считать вихрем. Здесь значения циркуляции и завихренности близки к нулю (рис. 6, в, 7, а), а значения нормального функционала сравнительно высоки (рис. 7, б). Данный тип течения возникает обычно в пластичном материале в условиях одноосного растяжения как результат двух последовательных сдвигов по сопряженным направлениям максимальных касательных напряжений.
Внешнее отличие векторных полей (рис. 9) от исходного единого поля (рис. 6, а) обусловлено влиянием постоянных составляющих для каждой области и пространственным периодом.
5. Заключение
В предлагаемой работе рассмотрены возможные критерии идентификации вихревых структур по измеренным полям векторов смещений методом корреляции цифровых изображений. Критерии, основанные на вычислении циркуляции и завихренности, хорошо известны в гидродинамике и теории деформируемого твердого тела. Предложен критерий, связанный с ортогональностью вектора смещения и радиус-вектора. Совокупное использование этих критериев позволяет обнаружить вихревые структуры, определить их тип и геометрию, сравнить с известными. Рассмотрен дополнительный критерий, учитывающий направление вектора.
Полученные в работе результаты имеют общий характер и могут найти применение в механике деформируемого твердого тела, физике конденсированного состояния, гидродинамике, механике жидкости и др.
Литература
1. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. -М.: Наука, 1975. - Т. 1. - 832 с.
2. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des Corps Deformables. - Paris: A. Hermann et fils, 1909. - 226 p.
3. Попов В.Л. Взаимосвязь упругопластического континуума и конти-
нуума Коссера // Изв. вузов. Физика. - 1994. - № 4. - С. 37-43.
4. Онами М., Ивасимидзу С., Гэнт К. и др. Введение в микромеханику / Под ред. М. Онами. - М.: Металлургия, 1987. - 280 с.
5. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости
сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. - 1960. -Т. 11. - № 7. - С. 1399-1409.
6. Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметричес-
кой упругости. Учет «внутреннего» вращения // ФТТ. - 1963. -Т. 5. - № 9. - С. 2591-2598.
7. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости. Равновесие изотропного тела // ФТТ. - 1964. -Т. 6. - № 9. - С. 2689-2699.
8. Эринген А.К. Теория микрополярной упругости // Разрушение. -М.: Мир, 1975. - Т. 2. - С. 646-751.
9. Миндлин Р.Д. Микроструктура в линейной упругости // Механика. - 1964. - Т. 86. - № 4. - С. 129-160.
10. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Связь калибровочной модели упругопластической среды с теорией Миндлина // Изв. вузов. Физика. -1994. - № 42. - С. 44-48.
11. Чертова Н.В. Единый подход к моделям сред со структурой и сред с дефектами в рамках калибровочного формализма: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Томск: ИФПМ СО РАН, 1995. - 140 с.
12. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 328 с.
13. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Деформируемое твердое тело как нелинейная иерархически организованная система // Физ. мезо-мех. - 2011. - Т. 14. - № 3. - С. 7-26.
14. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Физическая мезомеханика и неравновесная термодинамика как методологическая основа наноматериаловедения // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 4. - С. 7-26.
15. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Панин А.В. Нелинейные волновые процессы в деформируемом твердом теле как в иерархически организованной системе // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - № 1. -С. 7-22.
16. Плешанов В.С., Панин В.Е., Буркова С.П., Наркевич Н.А. Поворотная мода деформации как основа для выбора критерия оптимизации термической обработки сварных соединений высокоазотистой стали // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 4. - С. 97-104.
17. Panin V.E., Pleshanov VS., Kobzeva S.A., Burkova S.P. Relaxation mechanism of rotational type in fracture of weld joints for austenic steels // Theor. Appl. Fract. Mech. - 1998. - V 29. - P. 99-102.
18. Панин В.Е., Елсукова Т.Ф., Попкова Ю.Ф. Стадийность многоуровневого развития усталостных трещин как нелинейного авто-волнового процесса поворотного типа // Физ. мезомех. - 2010. -Т. 13. - № 6. - С. 13-25.
19. Смолин А.Ю., Роман Н.В., Добрынин С.А., Псахъе С.Г. О вращательном движении в методе подвижных клеточных автоматов // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 2. - С. 17-22.
20. Елсукова Т. Ф., Панин В.Е. Влияние масштабных уровней поворотных мод пластического течения на сопротивление деформации поликристаллов // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 3. - С. 5-13.
21. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. - М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1955. - 519 с.
22. Borisova S.D., Naumov I.I. Dislocation pileups: topological features of stresses and strains // Theor. Appl. Frart. Mech. - 2001. - V. 35. -No. 3. - P. 237-242.
23. Гринъ Л.Е., Короленко П.В., ФедотовН.Н. О генерации лазерных пучков с винтовой структурой волнового фронта // Оптика и спектроскопия. - 1992. - Т. 73. - № 5. - С. 1007-1010.
24. Короленко П.В. Оптические вихри // Соросовский образовательный журнал. - 1998. - № 6. - С. 94-99.
25. Методы гидрофизических исследований. Волны и вихри / Под ред. А.А. Гапонова-Грехова, С.А. Христиановича. - Горький: ИПФ АН СССР, 1987. - 381 с.
26. Аксенов В.П., Измайлов И.В., Канев Ф.Ю., Пойзнер Б.Н. Определение топологического заряда оптического вихря по измерениям интенсивности сигнала на выходе интерферометра. Принципы и
моделирование // Оптика атмосферы и океана. - 2010. - Т. 29. -№ 11. - С. 1036-1041.
27. Алексанин А.И., Загуменнов А.А. Автоматическое выделение вихрей океана и расчет их формы // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. - 2008. - Т. 5. - № 2. -С. 17-21.
28. НаумовИ.В., РахмановВ.А., ОкуловВ.Л., Велте К.М., Майер К.Е., Миккелъсен Р. Ф. Диагностика течения за моделью ротора трехлопастной турбины // Теплофизика и аэромеханика. - 2012. - Т. 19. -№ 3. - С. 267-278.
29. Peters W.H., Ranson W.F. Digital imaging technique in experimental stress analysis // Opt. Eng. - 1982. - V 21. - P. 427-431.
30. Sun Z., Lyons J.S., McNeill S.R. Measuring microscopic deformation with digital image correlation // Opt. Laser. Eng. - 1997. - V. 27. -P. 409-428.
31. Sutton M.A., Orteu J.-J., Schreier H. Image Correlation for Shape, Motion and Deformation Measurements: Basic Concepts, Theory and Applications. - N.Y.: Springer, 2009. - 364 p.
32. КибиткинВ.В., Солодушкин А.И., ПлешановВ.С. Формирование единого поля смещений путем объединения векторных полей при измерении деформации материалов // Дефектоскопия. - 2011. -№ 1. - С. 84-97.
33. Солодушкин А.И., Кибиткин В.В., Плешанов В.С. Модифицированный алгоритм расчета поля векторов смещений для оценки деформации // Изв. ТПУ - 2011. - Т. 318. - № 5. - С. 48-51.
34. Кибиткин В.В., Солодушкин А.И., Плешанов В.С., Лыгчагин Д.В. Формирование единого изображения поверхности материала для измерения поля смещений и деформации // Автометрия. - 2011. -Т. 47. - № 4. - С. 83-90.
35. Плешанов В.С., Кибиткин В.В., Панин В.Е. Экспериментальная оценка типа разрушения и характеристик трещиностойкости поликристаллов оптико-телевизионным методом на мезоуровне при циклическом нагружении // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 4. -С. 87-90.
36. Плешанов В.С., Кибиткин В.В., Панин В.Е. Особенности деформационных мезоструктур и фрагментация поликристаллов с макроконцентраторами напряжений при статическом и повторно-статическом растяжении // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2001. - Т. 67. - № 6. - С. 48-50.
37. ПлешановВ.С., Панин В.Е., Кибиткин В.В., Лебедева Н.А. Эволюция мезоструктуры и кинетика накопления усталостных повреждений в сварных соединениях конструкционной стали в условиях, близких к плоскому напряженному состоянию // Физ. мезомех. -2001. - Т. 4. - № 6. - С. 105-117.
38. Любутин П.С., Панин С.В., Сапожников С.В., Сыгрямкин В.И. Программа построения векторов смещений и оценки деформаций поверхностей твердых тел / Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2004612276. Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 06.10.2004.
39. Физическая энциклопедия / Под ред. А.М. Прохорова. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - Т. 1. - 704 с.
40. Мелешко В.В., Константинов М.Ю. Динамика вихревых структур. - Киев, 1993. - 280 с.
41. RossiM. On Vortices and Vortical Layers: An Overview // Vortex Structure and Dynamics / Ed. by A. Maurel, P. Petitjeans. - Berlin: Springer, 2000. - 320 p.
42. Алъбом течений жидкости и газа / Под ред. М. Ван-Дайка. - М.: Мир, 1986. - 184 с.
43. Vortex // Wikipedia. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Vortex (дата обращения: 19.11.2012).
Поступила в редакцию 19.11.2012 г.
Сведения об авторах
Кибиткин Владимир Васильевич, к.т.н., снс ИФПМ СО РАН, vvk@ispms.tsc.ru Солодушкин Андрей Иванович, мнс ИФПМ СО РАН, s.ai@sibmail.com Плешанов Василий Сергеевич, д.т.н., доц., уч. секр. ИФПМ СО РАН, vsp@ispms.tsc.ru Чертова Надежда Васильевна, д.ф.м.-н., снс ИФПМ СО РАН, chertova@ispms.tsc.ru
