Конечно-разностная аппроксимация системы уравнений переноса печатной краски в процессе листовой офсетной печати Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

УДК 532.529: 655.225

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА ПЕЧАТНОЙ КРАСКИ В ПРОЦЕССЕ ЛИСТОВОЙ ОФСЕТНОЙ ПЕЧАТИ

© 2013 г. Л.Г. Варепо, А.В. Паничкин, В.И. Бобров

Варепо Лариса Григорьевна - кандидат технических наук, доцент, докторант, кафедра технологии печатных и послепечатных процессов, Московский государственный университет печати, ул. Прянишникова, 2а, г. Москва, 127550; Омский государственный технический университет, пр. Мира, 11, г. Омск, 644050, е-mail: larisavarepo@yandex.ru.

Varepo Larisa Grigorievna - Candidate of Technical Science, Associate Professor, Doctoral Student, Department of Technology Printing and Finishing Processes, Moscow State University of Printing, Pryanishnikov St., 2a, Moscow, 127550; Omsk State Technical University, Mir Ave, 11, Omsk, 644050, e-mail: larisavarepo@yandex.ru

Паничкин Алексей Васильевич - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Омский филиал Института математики СО РАН им. С.Л. Соболева, ул. Певцова, 13, г. Омск, 644043, е-mail: panich@ofim.oscsbras.ru.

Бобров Владимир Иванович - доктор технических наук, профессор, Московский государственный университет печати, ул. Прянишникова, 2а, г. Москва, 127550.

Panichkin Alexey Vasilyevich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Senior Scientific Researcher, Omsk Branch of the Institute of mathematics of the SB RAS S.L. Sobolev, Pevtsov St., 13, Omsk, 644043, e-mail: pa-nich@ofim.oscsbras.ru.

Bobrov Vladimir Ivanovich - Doctor of Technical Science, Professor, Moscow State University of Printing, Pryanish-nikov St., 2a, Moscow, 127550.

Использована конечно-разностная аппроксимация системы уравнений Навье-Стокса для моделирования процесса переноса печатной краски (вязкой несжимаемой жидкости) между вращающимися цилиндрами печатного аппарата листовой офсетной машины с использованием расчета движения криволинейных границ жидкости, как свободных, так и граничащих с цилиндрами. Программная реализация разработанного алгоритма для численного моделирования позволяет получить количественную оценку коэффициента расщепления красочного слоя на выходе из зоны печатного контакта для конкретно заданных компонентов печатной системы «машина - печатная краска - запечатываемый материал», что позволит прогнозировать расход краски для печати, толщину красочного слоя на оттиске и качество печатного оттиска.

Ключевые слова: конечно-разностная аппроксимация, вязкая несжимаемая жидкость, печатный аппарат, запечатываемый материал, зона печатного контакта.

In this paper used the finite-difference approximation of the system of Navier-Stokes equations for simulation of the process of the transfer of ink (viscous incompressible fluids) between rotating cylinders of the printing machine of sheet offset machines with the use of calculating the motion of curvilinear boundaries of the liquid, both free and borders with cylinders. The program realization of the developed algorithm for numerical modeling provides a quantitative assessment of the coefficient of the splitting of the paint layer on the exit from the zone of the printing of contact for specifically defined components of the printing system «machine - printing ink - printed material» which will allow to predict consum p-tion of inks for printing.

Keywords: finite difference approximation, viscous incompressible fluid, printing machine, printed material, zone of the print contact.

Постановка задачи

Печатный аппарат - основной узел печатной машины, включающий формный цилиндр (носитель печатной формы), офсетный цилиндр (красконесущая резинотканевая поверхность с изображением формы) и печатный цилиндр (красковоспринимающая поверхность - носитель бумаги. Служит опорой для создания давления, необходимого для перехода печатной краски в процессе печатания с красконесущей поверхности на запечатываемый материал). В печатном аппарате создаются условия для переноса некоторого количества краски с печатающих элементов формы под действием давления на запечатываемый материал и проводки листа бумаги или бумажного полотна через зону печатного контакта (рис. 1).

Большой вклад в исследование проблемы механики печатного контакта внесли труды отечественных ученых: К.В. Тира, Л.К. Белозерского, А.А. Тюрина, Я.И. Чехмана. Динамические исследования различных узлов печатных машин были проведены в работах Б.И. Климова, В.Н. Румянцева, В.П. Митрофанова, В.А. Перова и других. Физическими явлениями в зоне печатного контакта занимались П.А. Попрядухин, А.Н. Раскин, В.И. Ромейков, Г.А. Алексеев, С.М. Ярема и другие ученые.

В упрощенном виде перенос краски в офсетном способе может быть описан как повторяющийся сдвиг краски под давлением в зоне контакта с последующим процессом расщепления, который в общем случае приводит к неравномерному распределению краски на обеих поверхностях, образующихся в результате разрыва красочного слоя.

Представляют интерес результаты визуализации процесса офсетной печати, иллюстрирующие передачу печатной краски на запечатываемый материал с помощью различных методов [1, 2]. Данные исследования дают в большей мере качественную оценку наблюдаемых явлений.

Рис. 1. Зона печатного контакта между резинотканевым полотном, листом запечатываемого материала и печатным цилиндром: 1 - офсетный цилиндр; 2 - резинотканевое полотно; 3 - печатная краска перед ее разделением; 4 - зона образования утолщения; 5 - лист бумаги; 6 - зона разделения слоя; 7 - печатный цилиндр; 8 - ширина зоны печатного контакта; 9 - угол отрыва листа; 10 - захват печатного цилиндра

Вопрос количественной оценки переноса печатной краски с красконесущей поверхности офсетного цилиндра на печатный цилиндр с красковоспринимаю-щей поверхностью на выходе из зоны печатного контакта до сих пор полностью не решен. Поэтому изучение механики печатного контакта процесса офсетной печати, одной из задач которой является разработка математической модели переноса краски в зоне печатного контакта и графическое представление процесса на основе современных средств визуализации, не теряет своей актуальности и представляет как научный, так и практический интерес.

Методы решения

Конечно-разностные методы решения делятся на методы, использующие процедуру коррекции давления, и методы, основанные на принципе расщепления неизвестных. В численном алгоритме остановимся на первом подходе.

Метод конечных разностей предполагает дискретизацию дифференциальных уравнений на прямоугольных координатных сетках, т.е. на сетках, элементарные ячейки которых представляют собой прямоугольники для двух измерений или параллелепипеды для трех [3].

Рассмотрим случай декартовой системы координат с прямоугольной расчетной областью определения (плоский случай). Для численного моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости (печатной краски) между вращающимися цилиндрами печатного аппарата воспользуемся дифференциальными уравнениями Навье-Стокса [4]:

— + (V, V) V + — УР = уУ2V + X, V, ю, g), (1)

д р

р(У- V) = 0 , (2)

где V - скорость; P - давление; р - плотность жидкости; t - время; х= (х,у^) - координата точки в евклидовом пространстве; V - оператор градиента; V2 -оператор Лапласа; v - кинематическая вязкость; ю -вектор угловой скорости вращения; g - ускорение поля тяготения; Р - составляющие ускорений от внешних сил.

Для этого уравнение (2), обычно используемое для определения поля давления, необходимо дополнить дР

эволюционным членом — в следующем виде:

St

SP

s„ — + V- V = 0,

p et

(3)

где е > 0 - параметр, оптимально выбираемый при

численных расчетах для сходимости решения и приближения уравнения (3) к уравнению (2); V=(и,v); u,v - компоненты скорости.

Для численного решения уравнений (1), (3) с какими-либо граничными и начальными условиями первоначально зададим область определения W прямоугольной формы. Затем построим регулярную сетку с применением конечно-разностных аппроксимаций для дифференциальных операторов на компактном шаблоне (рис. 2) в окрестности (/',/)-узла, имеющего координаты (х,у/) с равномерными шагами кх и Ну (Ых, Ыу - количество узлов по координатам х и у).

у n+1 у n+1/2

= Л (v"+1/2 - Vn )+ л Vn -Гpn+1 + Fn, (4) Л2 (V n+1 - Vn) , (5)

где

Л = -u

A1 + Д_! *

2 h

+v.

x 9 , Л 2 = -v

x h2 2

A + A_ 2 h

■+y„

ДД

(6)

2h„

hX ;

, ДД ,

2 + v- 2 2

h 2

(8)

rpn+1 =

( Д + Д

2h

h2

1 pn+1 x P

o(h

л A, + A_

2.p n+1

2h„

6

h2 i \ - -f pyy + O(h4)

(9)

для которого аппроксимация третьих производных по х и у от давления Р"+ и Р"+ берется со вторым порядком на компактном шаблоне после проведения замены

P =-2(u u + u v + u v + v v ) - P . (10)

XXX \ X XX y XX yx x y yxl yyx' VAVV

P =-2(uu + uv + u v + vv )-P , (11)

yyy У x xy yxy yyx y yy' xxy' V-1--1-/

V' Vl ij = (ui+1. j+1 + 4ui+1. j + ui+1. j-1 - ui-1. j+1 - 4ui-1.j - ui-1. j-1)/(12hx ) + +(vi+1 j+1 + 4vi. j+1 + vi-1.j+1- vi+1. j-1- 4vi. j-1-

-v-1 ,.-1)/(12Ay) + O(h4 + h4)

Рис. 2. Сеточный шаблон для расчета скоростей и давления

Для расчета в уравнениях (1) конвективно-диффузионных членов возьмем схему стабилизирующей

поправки [5] с итерационным шагом по времени т:

уп+1/2 _уп

* икх ,ик * чку

= ^*к(-х-), гу = —*аК-*-) ; (7)

2 2^ 2 2у

п - номер итерации.

Операторы (6) берутся с коэффициентами (7) для

повышения устойчивости численного расчета. При

этом оператор Л можно рассматривать в виде как

суммы операторов Л + Л, так и + Л°2

,а Д1 + Д 1 Д1Д 1

ЛО = _и—1-— + 1 •

1 2ИХ

Л0 = _у Д 2 + Д

(12)

/=1,..., Ых,- 1; у=1,..., Щ - 1. В (10) и (11) все частные производные от скоростей и давления по координатам х и у могут быть аппроксимированы со вторым порядком на заданном компактном шаблоне, т.е. трехточечном шаблоне в каждом пространственном направлении. Заменим

производные вида ихх,ух,уух,руух на следующие конечно-разностные аналоги:

ихх \у= (и+1,у _ 2и у + и_ 1}) /(ИХ) + 0(кХ),

^х Ъ = )/(2Их) + 0(Их2),

^ = (^+и+1 _У+1,]_1 _У_1,у+1 + ^_1,у_1)/(ИхИу ) + 0(И2Х + К) , Руух \у = (р+1,У+1 _2р+1,у + р+1,у_ 1 _Р_1,у+1 +

+ 2р_1,у _ Р_1,1) /(2кхк2у) + 0(И2 + К).

Аналогично могут быть представлены и остальные производные первого, второго и третьего порядков.

Уравнение (3) после замены частной производной по времени от давления на конечно-разностную представим в виде

pn+1.k+1 _pn+1.k

+ V-V n+u = 0.

(13)

где Д1, , Д2, Д2 - операторы сдвига функции на шаг сетки вверх или вниз по осям х и у.

Использование (8) вместо (4) для оператора Л изменяет характеристики устойчивости схемы стабилизирующей поправки, переводя ее из абсолютно устойчивой в условно устойчивую.

Если аппроксимация в этих операторах составляет

порядок, не превышающий второй (0(Н\ + И2у)), то

аппроксимацию градиента давления (ГР"+1 в (4)) и дивергенции скорости в (3) можно реализовать с четвертым порядком:

в котором дивергенция скорости заменяется по (12).

Для расчета давления около твердых границ можно применить стационарные части уравнения (3) со вторым порядком аппроксимации вблизи границ в дополнительных узлах на расстоянии полшага от стенок. Для этого используются аналоги условия Тома для производных от компонент скорости и значений их в следующем виде:

(—) =

(¿к2 U j

u1.j u0.j

h

= (3u0 + 6u1 -u2 )/8. (14)

Для компонент скорости около твердых границ ставится условие непротекания и прилипания, т.е. скорость жидкости совпадает со скоростью движения твердой границы, если задано ее перемещение в данной системе координат.

Для полной сходимости решения разностного аналога уравнения (13) к решению разностного аналога уравнения (2) требуется, чтобы на каждой (п+1)-й итерации по времени производилось установление давления по (13) и поправки уп+1А по (4) и (5) отдельным итерационным процессом с к = 0, 1,..., Щх (Щу), что является достаточным при оптимальном выборе параметра ер, значение которого в большей степени зависит от величин кх, ку и в меньшей - от числа Рей-нольдса (Кв=ЬиЬ, где Ь - характерный размер области; и - характерная скорость движения жидкости). При этом расчет по данному алгоритму можно проводить до какого-то заданного времени моделирования Т=И% где N - общее число итераций, п е [0, Щ].

т

т

2

h

y

S

p

т

v

1/2

+

Конечно-разностная схема около движущихся свободных границ

Рассмотрим граничные условия в декартовой системе координат Оху и в фиксированной равномерной сетке для двухмерной прямоугольной области определения.

Введем локальную нумерацию узлов около произвольного расчетного узла (х^уу), попадающего в приграничную область: узлу в центре присвоим номер 0; узлу, смещенному относительно нулевого на шаг вперед вдоль i-й координаты, - к=1; смещенному на шаг назад - к=2 (рис. 3). И так далее с нумерацией от 1 до 8 всех прилегающих узлов к узлу (хвуу).

Рис. 3. Сеточный шаблон с дополнительными узлами для определения положения подвижной границы жидкости в окрестности расчетного (',/')-узла

Расчет движения свободной границы, проходящей в какой-либо момент времени в непосредственной близости от расчетного узла с номером к=0 по узлам 36, 02, 04, 17, которые в свою очередь расположены на соответствующих узловых линиях, будет осуществляться по этим узловым линиям со скоростями, определенными на данный момент в прилегающих узлах расчетной области.

Для данного случая компоненты скорости в узле с номером к=0 и,, V, будут использованы для перемещения узлов с номерами 02 и 04 соответственно за момент времени ^+1= т(п+1) для определения координат по формулам:

Х02(^+1)= Х02(О д//ду+0,5(тУу)2 д 2/1/д у2,

у04(г"+1)=уы(<*) д Л/ д х+0,5(тиу)2 д 2/2/ д х2, (15)

где /1(у) и/2(х) - параболические интерполяции свободной границы к узлам по осям х, у. Слагаемые с первыми и вторыми производными после замены на конечно-разностные соотношения на расчетной сетке отражают движение свободной границы с учетом ее кривизны.

Расчет перемещения граничных узлов с номерами 36 и 17 должен быть произведен по узловым линиям от других ближайших к этим узлам расчетных узлов с номерами 3 и 1. По аналогичным формулам (15) получается сдвиг этих узлов по фиксированной расчетной сетке со скоростями и,у+1 и vi+1,j .

Расчет компонентов скорости и,, V, и давления Р, может быть произведен по расчетным формулам (4) -(14) во всех расчетных узлах на компактных шаблонах, т.е. на девяти узлах с номерами к от 0 до 8, как показано на рис. 2 и 3. При этом около границ значения компонент скорости переносятся на граничные узлы из близлежащих расчетных узлов, а давление в граничных узлах задается равным внешним значениям. При малых скоростях движения границ в атмосферном воздухе оно приравнивается к атмосферному РаШ.

Практическая реализация метода решения и обсуждение результатов

Реализация используемого подхода выполнена с помощью разработанного алгоритма численного решения уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости на конечно-разностных сетках [6, 7]. Программная реализация данного алгоритма позволяет провести расчет переноса краски при офсетном печатании с поверхности красконесущего цилиндра на цилиндр с красковоспринимающей поверхностью. Численные решения на сетке 80*80 при числах Кв < 0,1 приведены при угловой скорости т = 10 с-1 и т = 20 с-1. Начальные размеры области жидкости: дЬ = 20 мкм, дБ = 1^2 мкм, г1 =г2= 0,13 м. Для численного моделирования выберем материалы с различными характеристиками поверхности и структуры (табл. 1). Результаты расчетов и графической визуализации представлены в табл. 1, 2.

Таблица 1

Результаты численного моделирования переноса печатной краски на выходе из зоны контакта. Угловая скорость вращения: 10 с-1 - числитель, 20 с-1 - знаменатель

Запечатываемый материал Шероховатость поверхности (Ra), мкм Средний радиус пор, нм Количество краски, проникшей в структуру бумаги, % Количество краски, закрепившееся на поверхности бумаги, % Суммарное количество краски на оттиске на выходе из зоны контакта, %

Бумага с тиснением поверхности 3,32 701 25,62 25,84 38,59 37,48 64,21 63,32

Чистоцеллюлозная бумага без тиснения 2,31 600 25,21 26,45 37,52 30,09 62,73 56,54

Бумага с мелованным слоем поверхности 0,392 71 3,54 3,65 51,97 50,17 55,51 53,82

Таблица 2

Графическая визуализация процесса расщепления печатной краски на выходе из зоны печатного контакта

Бумага с тиснением поверхности

Бумага без тиснения

Бумага с мелованным покрытием

1 - количество краски после расщепления красочного слоя, оставшееся на офсетном цилиндре; 2 - на поверхности запечатываемого материала; 3 - в структуре бумаги в результате впитывания в поры_

Графическая визуализация моделирования процесса перехода печатной краски с офсетного цилиндра на запечатываемый материал наглядно демонстрирует процесс взаимодействия печатной краски с запечатываемой поверхностью, в частности область проникновения печатной краски в пористую структуру запечатываемого материала за счет впитывания связующего печатной краски; отражает изменения, которые происходят в красочном слое в различные периоды времени и дает наглядное представление о процессе последующего расщепления красочного слоя на выходе из зоны печатного контакта.

Анализ результатов численного моделирования показал, что с повышением скорости печати общее количество краски, перешедшей на запечатываемый материал, снижается; увеличение скорости печати более 10 с-1 неэффективно.

С ростом пористости запечатываемого материала увеличивается количество краски, впитавшейся в его структуру, что наглядно отражает область 3 графической визуализации процесса (табл. 2). Численное моделирование процесса на выходе из зоны печатного контакта показало, что количество краски, оставшееся на офсетном цилиндре после расщепления (табл. 2, область 1), менее 50 % и для различных запечатываемых материалов зависит от многих факторов, в частности, показателей структуры, микрогеометрии поверхности, характера отделки поверхности и состава запечатываемого материала.

Следует отметить, что прямой зависимости между количеством краски, находящейся непосредственно на поверхности запечатываемого пористого материала (табл. 2, область 2), и шероховатостью его поверхности не наблюдается; данная зависимость прослеживается только в частном случае рассмотрения конкретной группы бумаг, например, с сильно развитой степенью рельефа ее поверхности. В случае печати оттиска на мелованной бумаге (картоне) ввиду малой пористости материала основная часть краски остается на поверхности бумаги (картона), и лишь очень незначительная часть связующего краски проникает внутрь ее структуры; результаты, полученные с помощью конечно-разностных методов решения, хоро-

шо согласуются с данными экспериментальных исследований границы раздела печатная краска - запечатываемый материал методом сканирующей электронной микроскопии с предварительной операцией cross-section и EDS-анализа [8].

Выводы

Решена задача количественной оценки коэффициента расщепления красочного слоя на выходе из зоны печатного контакта печатного аппарата листовой печатной машины. Решение отличается от ранее известных тем, что при моделировании учтены параметры не только красочной системы, но и запечатываемого материала, в частности, его пористость и микрогеометрия поверхности.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что разработанная и программно реализованная модель процесса переноса краски в красочной системе в зоне контакта адекватно имитирует работу красочной системы печатной машины, расширяет теоретические представления о механике печатного контакта и является эффективным инструментом для проведения систематического численного эксперимента.

Моделирование переноса краски на запечатываемый материал для конкретно заданных компонентов печатной системы «машина - печатная краска - запечатываемый материал» позволит прогнозировать расход краски для печати, толщину красочного слоя на оттиске, качество печатного оттиска, что представляет практическую значимость данной разработки.

Литература

1. Ozaki Y., M. Kimura M. Visualisation of printing of ink vehicle on paper surfaces by a SEM technique // Appita. 2000. № 3. P. 216 - 219.

2. Koivula H., Preston J.S., HeardP.J., Toivakka M. Visualisation of the distribution of offset ink components printed onto coated paper // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. 2008. Vol. 317, is. 1-3. P. 557 - 567.

3. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1977. 656 с.

4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М., 1970. 904 с.

5. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, 1967. 196 с.

6. Варепо Л.Г., Паничкин А.В. Программный продукт для графического представления результатов расчета течения вязкой несжимаемой жидкости в двумерной области определения : свидетельство о гос. регистрации программ для ЭВМ № 2011613775 от 13.05.2011. М., ФСИСПТ, 2011.

7. Варепо Л.Г., Паничкин А.В. Программный продукт для численного моделирования течения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами между вращающимися цилиндрами : свидетельство о гос. регистрации программ для ЭВМ № 2011613372 от 29.04.2011. М., ФСИСПТ, 2011.

8. Варепо Л.Г. Изучение поперечного среза запечатанного материала методом растровой электронной микроскопии // Изв. вузов. Проблемы полиграфии и издательского дела. 2011. № 1. С. 3 - 11.

Поступила в редакцию_24 декабря 2012 г.