CC BY
20
УДК 539.3:534.1
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО УСТРОЙСТВА НАКОПЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ КИНЕМАТИЧЕСКОМ И СИЛОВОМ ВОЗБУЖДЕНИИ КОЛЕБАНИЙ
© 2014 г. Ле Ван Зыонг
Ле Ван Зыонг - аспирант, кафедра «Теоретическая и прикладная механика», Донской государственный технический университет. Тел. +7-951-518-56-66. E-mail: leduong 145@ gmail.com
Le Van Duong - post-graduate student, department «Theoretical and practical Mechanics», Don State Technical University. Ph. +7-951-518-56-66. E-mail: leduong145@gmail.com
Рассматривается пьезоэлектрический генератор, являющийся главным элементом устройства накопления энергии, имеющий конструкцию биморфа с двумя тонкими, симметрично расположенными пьезоактивными слоями и дисковидным центральным несущим слоем. Пьезоэлектрический генератор моделируется в рамках линейной теории электроупругости. Основным инструментом исследования являются осесимметричные конечно-элементные модели, реализованные в пакете ANSYS. Рассматривается два способа возбуждения колебаний (кинематический и силовой). В первом устройство, кон-сольно закрепленное по внешнему радиусу, совершает гармонические установившиеся вертикальные колебания вместе с некоторой подвижной системой, во втором на него в вертикальном направлении действует гармоническая внешняя сила. Рассмотрены также случаи, когда выходной электрод свободен или подключен к внешней электрической цепи с активным сопротивлением. С помощью расчетов в пакете ANSYS изучаются вопросы зависимости первых собственных частот, выходного потенциала и мощности от геометрических параметров, сочетания материалов элементов устройства и величины активного сопротивления, и осуществляется выбор рациональных значений. Численно исследованы два случая колебаний на первой резонансной частоте и в низкочастотной области на частоте, значительно меньшей частоты первого резонанса.
Ключевые слова: МКЭ; накопление энергии; пьезоэлектрик; оптимизация; биморф; низкочастотная область; резонансная частота.
In this paper, we consider the piezoelectric generator as the main element of energy storage device having a bimorph structure with two thin symmetrically-arranged piezoactive layers and a discoid central support layer. Piezoelectric generator is modeled by the linear theory of electroelasticity. The main tool of the study is the axisymmetric finite element model implemented in the package ANSYS. We consider two ways to vibrational excitation (kinematic and force) in the first device, cantilevered fixed at the outer radius, performs harmonic vertical stationary oscillation together with a moving-contact assembly, in the second, harmonic external force acts in the vertical direction. By calculations in the package ANSYS, we resolve problem of dependence of first natural frequencies and output potential on geometric parameters and material combinations of device elements, and the choice of rational values. We numerically studied two cases: vibrations at the resonance frequency in the low frequency region and vibrations in the low frequency region at the frequency which is much smaller frequency of the first resonance.
Keywords: FEM; energy storage; piezoelectric; optimization; bimorph; low-frequency region; resonant frequency.
Введение
Помимо «мощных» источников энергии человечество окружает большое количество источников сопутствующей рассеянной энергии. Одним из таких источников являются механические колебания, окружающие нас повсюду: колебания рельсов при движении поезда, взаимодействие подошвы ботинок идущего человека с землей, сила биения сердца - все это можно использовать для получения электрической энергии, востребованной в нашей повседневной жизни. Такие маломощные источники энергии могут быть востребованы в различных областях: от военных, биомедицинских технологий и быстроразвивающейся
наноинженерии до бытовых потребностей, таких как подзарядка портативных гаджетов при ходьбе.
Одним из видов устройств, собирающих рассеянную энергию, являются так называемые «Пьезоэлектрическое устройство накопления энергии» - устройства, собирающие электрическую энергию с массива пьезоэлементов, преобразующих механическую энергию в электрическую и накапливающие ее. В последнее время пьезоэлектрические устройства накопления энергии широко изучаются, например в [1 - 9].
Во многих пьезоэлектрических устройствах накопления энергии широко применяются изгибные ПЭГ биморфного типа. Эти ПЭГ имеют различную конст-
рукцию: обычно это две одинаковые жестко соединенные пьезопластины, поляризованные по толщине; контур ПЭГ либо свободно оперт, либо жестко закреплен. Расчет таких ПЭГ можно выполнять по приближенным одномерным моделям [3] или более точно с помощью метода конечных элементов [4].
Расчет энергетических характеристик ПЭГ (с одной пьезопластиной) выполнен в статье [5] на основе приближенной одномерной модели. Краткие результаты, полученные для ПЭГ с двумя пьезопластинами на основе одномерной модели, приведены в докладе [6]. В работе [7] представлены аналитические уравнения для оптимизации радиуса ПЭГ при ограничениях на соотношения толщин. В точной постановке подобные ПЭГ не анализировались ввиду невозможности решения возникающих при этом задач существующими аналитическими методами. Решение этих задач в трехмерной постановке без упрощающих гипотез, связанных с геометрией устройства, возможно с помощью метода конечных элементов. В работе [8] с использованием метода конечных элементов анализируется двумерная модель с учетом двух компонент смещения (осевого и радиального) и двух компонент электрического поля.
В настоящей работе изучается устройство би-морфного типа, имеющее конструкцию круглой пластины, где активный элемент состоит из двух пьезоэлектрических слоев в форме колец. Схема такого
устройства представлены на рис. 1 а. Рассматриваемый ПЭГ состоит из тонкой армирующей металлической круглой пластины 2, вклеенной между двумя одинаковыми кольцевыми пьезокерамическими пластинами 1, поляризованными по толщине, имеют соответствующие размеры: толщина tp и внешний радиус гр. Толщина и радиус тонкой армирующей металлической круглой пластины 2 - ts и соответственно, гт, hm - соответственно радиус и высота инерционного элемента 3, который в данной модели жестко связан с пластиной 2. Металлическая пластина, радиус которой больше внешнего радиуса пьезоэле-ментов, защемлена по внешней цилиндрической поверхности.
Рассматриваемая задача решается при условии, что на размеры устройства (рис. 1 а) наложены ограничения (которые могут быть связаны с конструктивными соображениями): размеры пластины г5 х ts = = 40 х 0,1 мм.
В работе изучается влияние размерных параметров устройства гт, hm, гр, tp, 10, и материала тонкой армирующей металлической круглой пластины на эффективную работу устройства, т.е. исследование заключается в определении рациональных геометрических размеров конструкции, когда выходное напряжение V или мощность Ш достигают максимума. Моделирование проводится в конечно-элементном пакете ANSYS.
1 2 3
u(t)
y(t)
2 1
uy = 0
ux = 0
Uy X
Рис. 1. Общая структура ПЭГ биморфного типа (а) и устройство при включении его на конечную нагрузку с параллельными соединениями пьезопластины (б): 1 - пьезоэлемент; 2 - пластина; 3 - инерционная масса
(в и г пояснены в тексте)
R
н
б
а
3
2
3
1
в
г
Континуальные постановки задач электроупругости
Пьезоэлектрическое устройство накопления энергии представляет собой составное упругое и электроупругое тело, которое совершает малые колебания в подвижной системе координат. Прямолинейное вертикальное движение этой системы (рис. 1) задается законом у (Г) или вызвано действием силы F(t), в соответствии с которыми движется цилиндрическая поверхность армирующей пластины. В этих условия достаточно адекватной математической моделью функционирования устройства является начально-краевая задача линейной теории электроупругости [10].
Рассмотрим некоторый пьезопреобразователь О , представленный набором областей О - = О рк;
к = 1,2,...,Ыр ; - = к со свойствами пьезоэлектрических материалов и набором областей О- = Оет; т = 1,2,...,Ые; - = Ыр + т со свойствами упругих
материалов. Будем считать, что физико-механические процессы, происходящие в средах Орк и Оет, можно
адекватно описать в рамках теорий пьезоэлектричества (электроупругости) и упругости.
Для пьезоэлектрических сред О- = Орк предположим, что выполняются следующие полевые уравнения и определяющие соотношения:
р pk u+а dj р ju - Vo=fj; vd = о:
(1)
о = cE (e + E) - eT. E ; D + qd D = e. (e + qdE) + э*E , (2)
£ = (Vu + VuT )/2; E = -Уф,
(3)
где р(х) - плотность материала; и(х, t) - вектор-функция перемещений; о - тензор механических напряжений; f - вектор плотности массовых сил; D - трехмерный вектор индукции электрического поля; сЕ - тензор четвертого ранга упругих модулей,
измеренных при постоянном электрическом поле; е- - тензор пьезомодулей третьего ранга; £ - тензор
деформаций; Е - трехмерный вектор напряженности электрического поля; ф( х, Г) - функция электрического потенциала; э- тензор второго ранга диэлектрических проницаемостей, измеренных при постоянной деформации; а-, р^-, да - неотрицательные коэффициенты демпфирования [10], а остальные обозначения стандартны для теории электроупругости, за исключением дополнительного индекса «-», указывающего на принадлежность к среде О - с номером
Для сред О - = Оет с чисто упругими свойствами
будем учитывать только механические поля, для которых примем аналогичные (1) - (3) полевые уравнения и определяющие соотношения в пренебрежении электрическими полями и эффектами пьезоэлектрической связности.
К уравнениям (1) - (3) добавляются механические и электрические граничные условия, а также начальные условия в случае нестационарной задачи, среди которых отметим условие на электроде 8е который связан с электрической цепью устройства накопления энергии.
| Опй8 = I, (4)
где I - ток в цепи, который в случае свободного электрода равен нулю.
В работе рассматриваются случаи свободного электрода и подключения к электрической цепи с активным сопротивлением.
Конечно-элементное моделирование
Геометрия исследуемого устройства (рис. 1), внешнее воздействие и условия закрепления осесим-метричны, поэтому в дальнейшем вместо трехмерной задачи рассматривается осесимметричная. На рис. 1 в и г представлены половины осевых сечений рассматриваемых устройств. В работе рассматривается пьезоэлектрическое устройство накопления энергии для двух моделей с разными условиями закрепления и механического воздействия. В первой модели (рис. 1 в) цилиндрическая поверхность пластины закреплена в подвижной системе и совершает вертикальные колебания вместе с ней, во второй на этой поверхности задаются условия гладкого контакта (рис. 1 г) и действие вертикальной силы по внешнему радиусу. Внешние плоские поверхности пьезокерамических пластин объединены в один электрод, на котором задается дополнительное условие (4) и с которого снимается выходной электрический потенциал. На внутренних электродах потенциал равен нулю.
В пакете ANSYS построены конечно-элементные модели рассматриваемых устройств с использованием осесимметричных конечных элементов PLANE13 и PLANE42.
ПЭГ для первой модели (рис. 1 в) совершает малые колебания в подвижной системе координат, движение которой задается движением поверхностью, к которой прикрепляется внешняя цилиндрическая поверхность устройства, закон ее движения имеет вид
У = Уое '('2^», во второй модели основание устройства может свободно перемещаться по вертикали и закреплено в горизонтальном направлении (рис. 1 г). Колебания вызываются действием силы
F = F0e-г(2л/», где у0 - амплитудное колебание (у0 = 0,1 мм); Fo -амплитудная внешняя сила =1 Н); / - частота вынужденных колебаний, Гц.
В конструкции использовались следующие материалы: пьезоэлемент - пьезокерамика Р2Т-4; элемент инерционный - вольфрам; тонкая армирующая металлическая круглая пластина - стеклопластик, дюраль или сталь. Значения электроупругих модулей
керамики Р2Т-4 использованы из справочной литературы [11] и приведены в табл. 1. Характеристики конструкционных материалов даны в табл. 2, е0 = 8,85 х10~12 Ф/м, плотность р = 7,5 х103 кг/м3.
Таблица 1
Материальные константы пьезокерамики PZT-4
CE, ГПа C2 , ГПа C3 , ГПа C^j, ГПа C44, ГПа
139 77,8 77,4 115 25,6
e31, Кл/м2 e33, Кл/м2 e15, Кл/м2 811 / 80 833 / 80
-5,2 15,1 12,7 730 635
Параметры а, р, характеризующие диссипацию энергии в уравнениях (1), (2), соответствуют добротности пьезокерамики Q = 10 и вычисляются в соответствии с [10].
Упругие свойства изотропных материалов задаются с помощью модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона V.
Таблица 2
Характеристики конструкционных материалов
Материал Плотность р (кг/м3) Модуль Юнга E (ГПа) Коэффициент Пуассона v
Стеклопластик 2500 70 0,25
Дюраль 2700 74 0,34
Сталь 7800 210 0,3
Вольфрам 19350 400 0,28
С помощью разработанных конечно-элементных моделей в ANSYS решаются задачи гармонического и модального анализа.
Оптимизация конструкции на основе серии численных расчетов
1. Модель с кинематическим возбуждением колебаний
Анализ выходного напряжения. Рассматривается первая модель (рис. 1 в), для которой осуществляется выбор рациональных значений параметров гт, hm, гр, tp, 10 (материал подложки - сталь), для которых выходное напряжение V на верхнем свободном электроде при колебаниях на первой резонансной частоте достигает максимума.
В начале исследуется зависимость выходного напряжения V от размера 10 - зазора между инерционной массой и пьезоэлектрическим слоем в случае, когда значения параметров устройства гт, hm, гр, tp, и 4 постоянны. Расчеты показывают, что значение выходного потенциала уменьшается с ростом 10, поэтому с учетом технологических особенностей далее в расчетах выбирается минимальный его размер, который составят 10 = 0,1 мм.
Далее рассматривается влияние размеров гт, hm, гр, ^ на первую собственную резонансную частоту ^ и амплитудные значения выходного потенциала V при
колебаниях на этих частотах. Зависимости от радиуса пьезоэлемента гр, изменяющегося в интервале 1Н39 мм, и толщины пьезоэлемента tp, изменяющейся в интервале 0,1 ^ 0,2 мм, приведены на рис. 2 а, б (высота и радиус инерционного элемента постоянны и равны соответственно hm = 5 мм, гт = 5 мм). Анализ этих зависимостей показывает, что значение собственной частоты повышается с ростом радиуса гр и толщины tp пьезоэлемента. При этом значение электрического потенциала возрастает с увеличением толщины пьезо-элемента tp и достигает максимума при гр = 32 мм и tp = 0,2 мм.
На рис. 2 в и г представлены аналогичные зависимости собственной частоты и выходного потенциала от высоты hm (1^40 мм) и радиуса инерционной массы Тщ (1^28 мм). При постоянных значениях гр = 32 мм и tp = 0,2 мм.
По данным, представленным на рис. 2 а - г, могут быть выбраны параметры устройства тр, ^ и hm, тщ, эффективно работающего в частотных диапазонах 63^200 и 31^287 Гц соответственно.
Анализ выходной мощности. Энергетической характеристикой ПЭГ, включенного в электрическую цепь с активным сопротивлением RН (рис. 1 б), может служит выходная электрическая мощность W = V2/RН. Далее исследуется зависимость W от радиуса инерционной массы тщ и сопротивления активной нагрузки Rн при постоянных значениях тр = 32 мм; ts = 0,1 мм; tp = 0,2 мм; 10 = 0,1 мм; hm = 5 мм (материал подложки - сталь).
На рис. 3 показаны зависимости выходного напряжения (рис. 3 а) и мощности (рис. 3 б) на резонансных частотах, когда радиус инерционной массы Тщ изменялся в интервале 1^31 мм, а сопротивление активной нагрузки - в интервале 1^100 кОм.
Результаты, представленные на рис. 3, позволяют при указанных ограничениях на размеры (тр = 32 мм; ts = 0,1 мм; tp = 0,2 мм; 10 = 0,1 мм; hm = 5 мм) в зависимости от величины активного сопротивления внешней электрической цепи выбрать оптимальный радиус инерционной массы тт. С учетом зависимости резонансной частоты от высоты инерционной массы (рис. 2 г) устройство может быть настроено на требуемую частоту внешнего воздействия.
2. Сравнительный анализ двух моделей
Дадим сравнительный анализ ПЭГ для двух моделей с разными условиями закрепления и механического воздействия, представленных на рис. 1 в и г. Определим влияние материала подложки (дюраль, сталь и стеклопластик) и ее толщины на резонансные частоты и выходной потенциал. При этом материал инерционного элемента - вольфрам. В качестве геометрических размеров конструкции взяты 10 = 0,1 мм; т„, = 5 мм; hm = 5 мм; тр = 32 мм; tp = 0,2 мм; г = 40 мм. На рис. 4 отражены зависимости резонансной частоты ^ и выходного потенциала V от толщины ts, изменяющейся в интервале 0,05 ^ 0,25 мм, для двух моделей.
hm, мм
Рис. 2. Зависимостии Vот радиуса гр и толщины ^ пьезоэлемента: а, в - собственная частота;
б, г - электрический потенциал
Выходное напряжение, В 15СК.
30
а б
Рис. 3. Выходные напряжения (а) и выходные электрические мощности (б)
Результаты, представленные на рис. 4, позволяют выбрать толщину и материал подложки в зависимости от частоты вынужденных колебаний для эффективной работы устройства.
3. Колебания на частоте, значительно меньшей частоты первого резонанса
Важной областью внешнего воздействия является низкочастотный диапазон 1-10 Гц (например, для движения человека [10]). Конструирование ПЭГ с собственной частотой в этом диапазоне наталктивает-ся на ряд трудностей, связанных с размерами элементов или значением инерционной массы. Поэтому далее исследуется работа устройства на нерезонансной частоте, например / = 5 Гц.
На рис. 5 а, б представлены зависимости выходного напряжения и выходной электрической мощности от радиуса инерционной массы гт, изменяющегося в интервале 3 ^ 26 мм; и сопротивления нагрузки Ян, 1 кОм ^ 1 МОм для первой модели. Значения 10 = = 0,1 мм; hm = 5 мм; гр = 32 мм; tp = 0,2 мм; г = 40 мм; ts = 0,1 мм; и материал подложки - сталь.
На рис. 5 в, г показаны зависимости выходного напряжения от толщины подложки ts, изменяющейся в интервале 0,05^0,25 мм, в случае свободного электрода для двух моделей. Значения 10 = 0,1 мм; hm = 5 мм; гт = 5 мм; гр = 32 мм; tp = 0,2 мм; = 40 мм.
в
г
350 зоо 250 г-::; 150 10i
Я
[—I
—1 - Сталь ~ 2 - Стеклопластик ....... 3 - Дюраль
0.05
0.1
О 15
ts, мм а
150
100
m
50
0.05
0.1
0.15
ts, мм
0 2
0 2
0.25
—1 - Сталь —*— 2 - Стеклопластик ------- 3 - Дюраль
—уг—^РГ ■ ¿¿^
О 25
700 650 600 550
U iü':
450 400
—f - Сталь * 2 - Стеклопластик . ------- 3-Дюраль
m
0.05
0.15
ts, мм
0.25
- Сталь
2 - Стеклопластик
3 - Дюраль
0.15
ts, мм
025
Рис. 4. Зависимости резонансной частоты^ и выходного потенциала V от толщины 4: а и в - для первой модели; б, г - для второй модели
Выходное напряжение, В
m
О 3 5
—»— 1-Сталь • 2 - Стеклопластик ......... 3-Дюраль
0.15
ts, мм
Выходная мощность, Вт
-А
х 10
о 6
б
5.5 5 4 5 4
m
з г.5 2
—е— 1 - Сталь * 2 -Стеклопластик ....... 3 - Дюраль
0 15
ts, мм
Рис. 5. Зависимости выходного напряжения (а, в, г) и выходных электрических мощностей (б) от тщ а, б и в - для первой модели; г - для второй модели
б
в
г
а
в
г
Результаты, отраженные на рис. 5, показывают, что значения выходного потенциала и электрической мощности W при колебаниях на нерезонансной частоте / = 5 Гц значительно меньше соответствующих величин в случае резонанса, тем не менее эти результаты позволяют выбрать оптимальные размеры инерционной массы при заданном сопротивлении внешней цепи.
Вывод
В работе исследована эффективность устройства накопления энергии при колебании на первой резонансной частоте и в низкочастотной области на частоте, значительно меньшей частоты первого резонанса, в зависимости от его геометрических характеристик и материалов в условиях некоторых ограничений на размеры устройства. Проведенное в работе конечно-элементное моделирование в пакете ANSYS устройства накопления энергии на основе пьезоэлектрической керамики позволяет выбрать рациональные размеры элементов для достижения наибольшей эффективности. При этом рассмотрены два способа возбуждения колебаний: в первом осуществляется кинематическое воздействие, во втором силовое. В обоих случаях в работе сформулированы рекомендации конструктору для выбора материала подложки, массы инерционного элемента и оптимальных размеров при принятых ограничениях. Разработанное программное обеспечение в пакете ANSYS позволяет применить его для оптимизационных расчетов по всем параметрам.
Поступила в редакцию
Литературы
1. Priya S., Inman D.J. Energy harvesting technologies // Springer Science+Business Media, LLC. 2009. 522 p.
2. S. Priya D. J. Inman. Energy harvesting technologies // Springer Science+Business Media, LLC. 2009. 522 p.
3. Скребнев Г.К. Комбинированные гидроакустические приемники. СПб., 1997. 200 с.
4. Ивина Н.Ф., Балабаев С.М. Анализ собственных колебаний круглых биморфных пьезокерамических пластин произвольных размеров. I. Свободно опертая пьезопла-стина // Дефектоскопия. 2001. Вып. 8. С. 37 - 44.
5. Антоняк Ю.Т., Вассергисер М.Е. Расчет характеристик изгибного пьезоэлектрического преобразователя мембранного типа // Акустический журн. 1982. Т. 28, вып. 3. С. 294 - 302.
6. Вассергисер М.Е. Оценка предельных значений характеристик дисковых изгибных преобразователей // Докл. X Всесоюз. акуст. конф. / Акуст. ин-т, М., 1983. С. 46 - 49.
7. Yanagisawa T., Nakagawa Y. Determination of optimum dimension for unimorph type piezoelectric loudspeaker // Trans. Inst. Electron. Informat. Commun. Eng. A. J. 1993. Vol. 76. P. 1261 - 1269.
8. Dobrucki A.B., Pruchnicki P. Theory of piezoelectric axisymmetric bimorph // Sens. Actuators A 58. 1997. Р. 203 - 212.
9. Kulah H., Najafi K. Energy Scavenging From Low-Frequency Vibrations by Using Frequency Up-Conversion for Wireless Sensor Applications // IEEE Sensors. 2008. Vol. 3, Mar. P. 193 - 268.
10. Белоконь А.В., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. Новые схемы конечно-элементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66, № 3, С. 491 -501.
11. Berlincourt D.A., Curran D.R., Jaffe H. Physical acoustics // Principles and methods. 1964. Vol. 1, pt A. Methods and devices. New York, London, P. 169 - 270.
11 марта 2014 г.
