CC BY
52
УДК 371.3
Ю. М. Горшкова
КОМПЬТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБУЧЕНИИ СТАРШЕКЛАССНИКОВ РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Аннотация. В статье исследуется задача вычисления объема многогранника по его комбинаторному строению и длинам ребер. Предложен алгоритм вычисления объема многогранника, основанный на разбиении многогранника на тетраэдры и суммировании объемов тетраэдров. По ходу вычислений возникает необходимость вычисления длин ребер тетраэдров, что связано с численным решением довольно сложных систем нелинейных уравнений. Численное решение этих систем уравнений для некоторых классов многогранников проведено в пакете Mathematica.
Ключевые слова: многогранник, объем многогранника, компьютерные технологии.
Abstract. In the article we calculate volumes of polyhedra with given combinatorial structure and edge lengths. An algorithm of such a calculation is presented. It is based on the idea of splitting a polyhedron into tetrahedra. To perform this deed, one has to find edge lengths of tetrahedral, which, in turn, requires a solution of system of nonlinear equations. It has been done for several concrete polyhedrons by using “Mathematica”.
Keywords: polyhendron, convex polyhendron, computer technology
Многогранники представляют собой объемный и достаточно содержательный предмет исследования. Многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются из определенных результатов для многогранников. Это касается, в частности, определения объемов тел и площадей поверхностей. Изучение многогранников занимает видное место в школьной и вузовской геометрии. Эта тема имеет также большое методическое значение. Так, в процессе изготовления моделей многогранников развивается абстрактное мышление и закрепляются теоретические знания и навыки. Важная характеристика геометрической структуры - это объем. Объемы геометрических тел являются источниками геометрической теории измерения величин и служат действенным инструментом для развития пространственного и логического мышления старшеклассников [1]. Компьютерные технологии в обучении составляют неотъемлемую часть повышения мотивации и активности учащихся. Программное обеспечение позволяет не только облегчить процесс преподавания и обучения, но и позволяет выводить определенные формулы-программы для тех или иных задач в геометрии. Компьютерные математические программы позволяют выводить процесс обучения математике на новый более современный уровень. Использование современных информационных технологий стимулирует решение насущных нерешенных проблем в геометрии и математике в целом [2, с. 12-27].
В работе исследуется задача о вычислении объемов выпуклых многогранников по их комбинаторному строению и длинам ребер с применением компьютерных технологий. Как известно, многогранником в трехмерном пространстве называется совокупность конечного числа плоских много-
угольников (лежащих в трехмерном пространстве), такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть сторона другого, причем только одного, называемого смежным с первым по этой стороне. Эти многоугольники называются гранями, а их стороны - ребрами, вершины - вершины многогранника. При этом из каждой грани многогранника можно дойти до любой другой грани, многократно переходя от одной грани к смежной с ней грани [2]. Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Комбинаторное строение многогранника представляет собой множество вершин многогранника с указанием, какие пары вершин являются ребрами и какие наборы ребер определяют грани [3, с. 52-87]. Если задан многогранник в трехмерном пространстве, то его комбинаторное строение определено естественным способом. Разумеется, существуют различные многогранники с одним и тем же комбинаторным строением. Комбинаторное строение удобно задавать с помощью так называемой плоской диаграммы многогранника. Трансформируем заданный выпуклый многогранник таким образом, чтобы одна из его граней стала много больше остальных (предполагается, что при трансформации вершины переходят в вершины, ребра в ребра, грани в грани). Спроектируем многогранник на плоскость большой грани. В результате получим на плоскости большой многоугольник, разбитый на многоугольники, порожденные проекциями остальных граней. Такой плоский граф называется плоской диаграммой многогранника. Один и тот же многогранник может характеризоваться различными плоскими диаграммами в зависимости от того, какую его грань объявить большой.
В настоящей статье мы опишем подход к вычислению объема многогранника, если известны его комбинаторное строение и длины ребер. Для некоторых многогранников будет указан алгоритм и программа для решения поставленной задачи. Рассмотрим сначала задачу о вычислении объема тетраэдра по его сторонам (однозначно задаются комбинаторное строение и плоская диаграмма тетраэдра).
Пусть дан тетраэдр с известными длинами ребер: a, Ь, c, d, e, f. Требуется вычислить объем тетраэдра. Существует формула, выражающая объем тетраэдра через заданные длины ребер (формула Юнгиуса) [2]:
где a = AO, Ь = BO, c = CO, d = AB, e = BC,/ = CA - длины ребер тетраэдра.
Мы предлагаем новый подход к обучению старшеклассников вычислению объемов некоторых многогранников по их комбинаторному строению и заданным ребрам. Основная идея этого подхода заключается в следующем. Если многогранник можно разбить на несколько тетраэдров, то объем всего такого многогранника можно получить из суммы объемов тетраэдров, входящих в состав исходного многогранника, а их объемы в свою очередь вы-
(1)
числим по формуле (1). Разбиение многогранника и получение в его составе нескольких тетраэдров возможно путем разбиения граней данного многогранника диагоналями, которые и будут входить в состав ребер этих тетраэдров. Тогда, вычислив диагонали граней основного многогранника, можно будет воспользоваться формулой (1) для нахождения объема тетраэдров, на которые разбили данный многогранник. А для того чтобы вычислить диагонали, необходимо составить систему уравнений, неизвестными в которой будут эти диагонали. Что касается самой системы уравнений, то ее вычисление является для каждого многогранника индивидуальной проблемой. Желательно, чтобы количество неизвестных было по возможности небольшим. Решив систему, получим диагонали и, значит, вычислим объемы тетраэдров. Сумма объемов рассматриваемых тетраэдров будет представлять объем всего многогранника. Обычно система уравнений бывает столь сложной, что не допускает аналитического решения. Тем не менее ее можно решить численно. Компьютерная система МаШешайса обладает замечательным свойством: с ее помощью можно численно решать весьма сложные системы уравнений. Приведем примеры многогранников, для вычисления объемов которых не требуется вводить дополнительных диагоналей граней.
Рассмотрим плоскую диаграмму тетраэдра (рис. 1).
Рис. 1. Плоская диаграмма тетраэдра
Возьмем один треугольник в этой диаграмме и разобьем его на три треугольника. Любой из пяти получившихся треугольников можно разбить еще на три треугольника. Таким образом, к одной из треугольных граней тетраэдра можно присоединить другую треугольную грань другого тетраэдра, и так можно присоединять другие тетраэдры. В результате получим огромное количество различных многогранников, которые представляют собой совокупность тетраэдров с известными длинами ребер. Но полученные из этих многогранников новые многогранники изобразить весьма трудно, но их объемы можно вычислить. Итак, если объем тетраэдра с данными длинами ребер можно вычислить, воспользовавшись формулой (1), то объемы многогранников, составленных из тетраэдров с известными длинами ребер тоже можно вычислить без труда. Когда будем знать, как можно по данным длинам ребер вычислять треугольную призму или четырехугольную пирамиду, то аналогично можно к их треугольным граням присоединить либо тетраэдры или другие треугольные призмы, четырехугольные пирамиды. Но вычисления объема треугольной призмы и четырехугольной пирамиды находятся в стадии разработки. Такое множество многогранников, полученных подобным присоединением, будем называть «вычисляемые объемы многогранников» (В.О.). Но существуют такие многогранники, которые разбить на тетраэдры с заданными известными ребрами невозможно. Тогда можно предложить такой
подход. Иногда удается разбить исследуемый многогранник на два многогранника, у которых известны все ребра, за исключением небольшого количества (обозначим их х, у, г, ...). Эти неизвестные ребра представляют собой длины диагоналей граней многогранника. При этом возникают уравнения относительно этих неизвестных. В некоторых случаях эти уравнения можно решить с помощью компьютера. После чего объем данного многогранника может быть вычислен как сумма объемов двух многогранников (более простых, чем исходный). Самое трудное на этом пути - это удачно выбрать диагонали - неизвестные, построить систему уравнений такую, которая под силу компьютерной программе. Разумеется, важно уметь построить программу решения системы уравнений. Покажем на примере вычисления объема четырехугольной пирамиды БЛВСО с определенным комбинаторным строением и заданными ребрами способ разбиения многогранника на тетраэдры. Итак, разобьем основание ЛВСО (произвольный четырехугольник) пирамиды двумя диагоналями ЛС = у, ВО = х. Следует заметить, что четырехугольная пирамида подверглась делению на четыре тетраэдра: БЛВС, БСОЛ,
Объем каждого из них по их ребрам можно вычислить, используя формулу (1). Затем суммируя некоторых два соответствующих тетраэдра БЛВС и БСБЛ, БВСБ и ББЛВ, которые расположены по разные стороны относительно любой диагонали, получим объем всей четырехугольной пирамиды. Но первоначально не известны длины диагоналей, которыми проводилось разбиение основания. Этот факт немного затрудняет процесс вычисления объема тетраэдра через длины ребер. Но вычислить их возможно. Если получим значения длин диагоналей основания четырехугольной пирамиды, которые входят в список ребер тетраэдров, получившихся после разбиения исходной пирамиды, то вычислим и объем самой четырехугольной пирамиды.
Итак, рассмотрим основание пирамиды, которое представляет собой спроецированный тетраэдр на плоскость основания исходной пирамиды.
Тогда объем тетраэдра У(БЛВС) = 0.
Четырехугольник, который является основанием исходной пирамиды, представляет сумму соответствующих пар треугольников, полученных в результате разбиения основания диагоналями, а значит, четырехугольную пирамиду можно представить как сумму двух соответствующих тетраэдров с соответствующими основаниями из этих треугольников:
БВСБ, ББЛВ (рис. 2).
А
С
В
Рис. 2. Четырехугольная пирамида
У(БЛВС) + Г(ЯСПЛ) = ЩВС£>) + К(ЖЛВ).
В итоге можно составить систему уравнений, в процессе решения которых получим значения длин диагоналей основания четырехугольной пирамиды (значения неизвестных ребер тетраэдров, которые получились из четырехугольной пирамиды после разбиения ее диагоналями) и вычислим объем исходной пирамиды. Для упрощения процесса нахождения длин диагоналей и объема четырехугольной пирамиды вычисления проведем в системе МаїЬетайса.
Составим программу по вычислению объема четырехугольной пирамиды через известные длины ребер.
На первом шаге задаем значение ребер пирамиды, включая диагонали основания:
d = и,^,^,^,^^} .
Для пирамиды, у которой все ребра одинаковые, вычислять объем можно, но не столь интересно. Поэтому рассмотрим различные варианты значений длин ребер четырехугольной пирамиды, используя случайную величину Random[].
Вычислим объем для четырехугольной пирамиды, если изменим значения длин ребер, например, на 0,1 из списка d:
0.1*Random[].
Зададим произвольный набор значений ребер четырехугольной пирамиды:
d=Table[If[i<9,d[[i]]+0.1*Random[],d[[i]]],{i,10}].
Укажем формулу вычисления объема тетраэдров, входящих в состав четырехугольной пирамиды, которые получились в результате разбиения исходной пирамиды диагоналями в основании.
При этом в формуле вместо а, Ь, с, С, е, к укажем соответствующие ребра пирамиды, стоящие на соответствующих местах из списка d.
Далее спрограммируем полученные в процессе рассуждений выведенные уравнения:
УфЛВС) = 0, У(БЛВС) + У(БСПЛ) = У(ЖС£>) + У(ЖЛВ) на язык МаїЬетайса:
yy=NSolve[{V[d[[4]],d[[10]],d[[3]],
d[[2]],d[[9]],d[[1]]]=0,V[d[[4]],d[[10]],
d[[8]],d[[6]],d[[5]],d[[1]]]+V[d[[2]],d[[10]],
d[[6]],d[[8]],d[[7]],d[[3]]]-V[d[[3]],d[[9]],
d[[7]],d[[5]],d[[8]],d[[4]]]-V[d[[1]],d[[9]],
d[[7]],d[[5]],d[[8]],d[[4]]]=0},{x,y}]
В итоге получаем список значений длин диагоналей основания пирамиды (х, у). Этот список с вариантами значений длин диагоналей можно представить в виде множества чисел:
zz={x,y}/.yy
Но не все полученные варианты диагоналей будут подходить для решения задачи. По теореме Коши: два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если между их гранями, ребрами и вершинами имеется сохра-
няющее инцидентность взаимно однозначное соответствие, причем соответствующие грани многогранников конгруэнтны. Иначе говоря, грани многогранника вместе с правилом склейки полностью определяют выпуклый многогранник. Определим значения длин диагоналей из полученного множества вариантов длин диагоналей для выпуклого многогранника:
Select[zz,Im[#[[1Ш==0&&Im[#[[2Ш==
0&&Conjugate[#[[1]]]>0&& Conjugate[#[[2]]]>0&]
И получаем конкретное значение длин диагоналей.
А значит, можно вычислить объемы соответствующих тетраэдров У(БЛБС) и У(8СОЛ) или У(8БСП) и У(БОЛБ) по формуле (1), затем получить объем всей четырехугольной пирамиды как сумму соответствующих тетраэдров:
У(БЛБС) + У(БСОЛ) или У(ЖСО) + У(ЖЛБ).
Представленная формула-программа универсальна тем, что получен алгоритм вычисления четырехугольной пирамиды через заданные длины ребер. Тогда данный вывод можно использовать при нахождении объема многогранников, которые можно разбивать не только на тетраэдры, но и на четырехугольные пирамиды или совместно на тетраэдры и четырехугольные пирамиды. Таким образом, получаем новый класс выпуклых многогранников, которые, возможно, трудно изобразить, но можно вычислить объем всего многогранника и показать его комбинаторное строение. Но полученную формулу-программу можно немного упростить, если рассуждения по ее выводу провести несколько иначе.
Рассмотрим четырехугольную пирамиду БЛБСБ (рис. 3) с заданным комбинаторным строением и заданными длинами ребер. Вычислим ее объем.
£
Рис. 3. Четырехугольная пирамида
Разобьем основание пирамиды ЛБСБ одной диагональю ББ на два тетраэдра: БЛББ и ББСБ. Пусть ББ = х. По формуле (1) вычислим объемы тетраэдров У(БЛБП) и У(ББСП), суммируем результаты. Полученная сумма будет являться объемом четырехугольной пирамиды. Но возникает проблема в нахождении диагонали БО. Объем одной треугольной пирамиды БЛББ может быть получен из произведения 1/3 площади основания пирамиды ЛББ и высоты Н [1]:
V = (1/3) йсн н. (2)
Аналогично объем находится для другой треугольной пирамиды SBCD с основанием BCD и той же высотой Н. Заметим, что высота одна и та же для обеих треугольных пирамид. Значит по формуле (2) можно составить уравнение с одной неизвестной х: 3V(SABD) S(ABD) = 3 (SBCD) S(BCD). В результате получим значение длины диагонали. Вычислим V(SABD) и V(SBCD) по формуле (1). Объем четырехугольной пирамиды, как и в предыдущем рассуждении, получим из суммы соответствующих тетраэдров, лежащих по разные стороны диагонали BD.
Для более упрощенного решения произведем вычисления также в системе Mathematica:
V[a_,b_,c_,d_,e_,k_]:=1/12*(aA2*dA2*(bA2+eA2+cA2+
kA2-aA2-dA2)+bA2*eA2*(cA2+kA2+aA2+dA2-bA2-eA2)+
cA2*kA2*(aA2+dA2+bA2+eA2-cA2-kA2)-(b*c*d)A2-
(c*a*e)A2-(a*b*k)A2-(d*e*k)A2)A(1/2);
yy=NSolve[{V[d[[4]],d[[10]],d[[3]],d[[2]],d[[9]], d[[1]]]=0, V[d[[4]],d[[10]],d[[8]],d[[6]],d[[5]], d[[1]]]+V[d[[2]],d[[10]],d[[6]],d[[8]],d[[7]], d[[3]]]-V[d[[3]],d[[9]],d[[7]],d[[5]],d[[8]],d[[4]]]-V[d[[1]],d[[9]],d[[7]],d[[5]],d[[8]],d[[4]]]=0},{x,y}]
zz={x,y}/.yy
Select[zz,Im[#[[1]]]==0&&Im[#[[2]]]== 0&&Conjugate[#[[1]]]>0&& Conjugate[#[[2]]]>0&]
V[d[[4]],d[[10]],d[[8]],d[[6]],d[[5]],d[[1]]]+
V[d[[2]],d[[10]],d[[6]],d[[8]],d[[7]],d[[3]]]
0.124056
Итак, объем четырехугольной пирамиды с данным набором ребер равен
0,124056. Произведенное разбиение четырехугольной пирамиды на тетраэдры в процессе нахождения объема пирамиды позволяет расширить у учащихся представление о многогранниках, рассматривать различные способы изготовления моделей многогранников из разверток: присоединить к одной из боковых треугольных граней четырехугольной пирамиды тетраэдр.
Составленная в статье формула-программа позволяет находить объем любой произвольной четырехугольной пирамиды с любым набором длин ребер, что обычным способом вычисления без компьютерных технологий оказалось бы весьма трудоемко и сложно; открывает возможность вычисления объема нового класса многогранников, полученных из четырехугольной пирамиды и одного или нескольких тетраэдров, нескольких четырехугольных пирамид, присоединенных четырехугольными основаниями. Предлагает новые возможности для работы с многогранниками.
Задача на вычисления объема многогранников играла важную роль в работе И. Х. Сабитова. Представленный в статье подход к вычислению многогранников по их комбинаторному строению и заданным длинам ребер по-
лезно использовать на уроках в школьном курсе при изучении стереометрии, на факультативных занятиях и в изучении геометрии в вузе на практических и семинарных занятиях с применением компьютерных технологий.
Список литературы
1. Дорофеев, С. Н. Основы подготовки будущих учителей математики к творческой деятельности : моногр. / С. Н. Дорофеев. - Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2002. - 218 с.
2. Сабитов, И. Х. Объемы многогранников / И. Х. Сабитов. - М. : МЦНМО,
2002.
3. Погорелов, А. В. Геометрия для педвузов / А. В. Погорелов. - М. : Просвещение, 1983.
Горшкова Юлия Михайловна ассистент, кафедра высшей математики, Московский университет геодезии и картографии
E-mail: rigiksuper@yandex.ru
Gorshkova Yuliya Mikhaylovna Assistant, sub-department of higher mathematics, Moscow University of land surveying and cartography
УДК 371.3 Горшкова, Ю. М.
Компьтерные технологии в обучении старшеклассников решению некоторых геометрических задач / Ю. М. Горшкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Гуманитарные науки. - 2010. -№ 3 (15). - С. 142-149.
