О задачах вычисления объёмов многогранников с данным комбинаторным строением и длинами рёбер в курсе геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17) 2009

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 13 (17) 2009

УДК 514.113

о ЗАДАЧАХ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБЪЁМОВ МНОГОГРАННИКОВ С ДАННЫМ КОМБИНАТОРНЫМ СТРОЕНИЕМ И ДЛИНАМИ РЁБЕР

В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

© Ю. М. ГОРШКОВА Московский университет геодезии и картографии e-mail: rigiksuper@yandex.ru

Горшкова Ю. М. - О задачах вычисления объёмов многогранников с данным комбинаторным строением и длинами рёбер в курсе геометрии // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2009. № 13 (17). С. 58-65. - В статье рассматривается задача вычисления объёма многогранника по его комбинаторному строению и длинам рёбер. Предложен алгоритм вычисления объёма многогранника, основанный на разбиении многогранника на тетраэдры и суммировании объёмов тетраэдров. По ходу вычислений возникает необходимость вычисления длин рёбер тетраэдров, что связано с численным решением довольно сложных систем нелинейных уравнений. Численное решение этих систем уравнений для некоторых классов многогранников проведено в пакете Mathematica.

Ключевые слова: многогранник, выпуклый многогранник, объём, трёхмерное пространство, комбинаторное строение, формула-программа, тетраэдр, четырёхугольная пирамида, трехгранная призма, развёртка многогранника, графы, плоская диаграмма многогранника, рёбра многогранников, грани многогранника, диагонали основания пирамиды, плоский многоугольник, геометрические преобразования, многогранника конгруэнтны.

Gorshkova U. M. - About the tasks of calculation volumes of polyhedra with given combinatorial structure and edge lengths in the course of geometry // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2009. № 13 (17). P. 58-65. -

In the article we calculate volumes of polyhedra with given combinatorial structure and edge lengths. An algorithm of such a calculation is presented. It is based on the idea of splitting a polyhedron into tetrahedra. To perform this deed, one has to find edge lengths of tetrahedral, which, in turn, requires a solution of system of nonlinear equations. It has been done for several concrete polyhedrons by using “Mathematica”.

Keywords: polyhedron, convex polyhedron, volume, three-dimensional space, combinatory structure, the formula-program, tetrahedron, quadrangular pyramid, trihedral prism, development of a polyhedron, the column, the flat diagramme of a polyhedron, edge of polyhedrons, sides of a polyhedron, a diagonal of the basis of a pyramid, a flat polygon, geometrical transformations.

МАТЕРИАЛ И МЕТОДИКА

Многогранники представляют собой довольно содержательный предмет исследования. Многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются из определённых результатов для многогранников. Это касается, в частности, определения объёмов тел и площадей поверхностей.

Изучение многогранников занимает видное место в школьной и вузовской геометрии. Эта тема имеет также большое методическое значение. Так, в процессе изготовления моделей многогранников развивается абстрактное мышление, и закрепляются теоретические знания и навыки. Важная характеристика геометрической структуры -это объём. Объёмы геометрических тел являются источниками геометрической теории измерения величин и служат действенным инструментом для решения геометрических задач.

Компьютер является неотъемлемой частью повышения мотивации и активности учащихся.

Программное обеспечение позволяет не только облегчить процесс преподавания и обучения, но и позволяет выводить определённые формулы - программы для тех или иных задач в геометрии. Компьютерные математические программы позволяют выводить математику на новый уровень исследований. использование современных

информационных технологий стимулирует решение насущных нерешённых проблем в геометрии и математике в целом.

В статье рассматривается задача о вычислении объёмов выпуклых многогранников по их комбинаторному строению и длинам рёбер с применением компьютерных технологий.

Как известно, многогранником в трехмерном пространстве называется совокупность конечного числа плоских многоугольников (лежащих в трехмерном пространстве), такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть сторона другого, причем, только одного, называемого смежным с первым по этой стороне. Эти многоугольники называются гранями, а их стороны - рёбрами, вершины - вершины многогранника [1].

При этом из каждой грани многогранника можно дойти до любой другой грани, многократно переходя от одной грани к смежной с ней грани [3].

Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый многогранник делит пространство на две части - внешнюю и внутреннюю. Объёмом многогранника называется объём его внутренней части [1].

комбинаторное строение многогранника представляет собой множество вершин многогранника с указанием, - какие пары вершин являются ребрами, и какие наборы ребер определяют грани [2].

Если задан многогранник в трехмерном пространстве, то его комбинаторное строение определено естественным способом. Разумеется, существуют различные многогранники с одним и тем же комбинаторным строением.

комбинаторное строение удобно задавать с помощью, так называемой плоской диаграммы многогранника.

Трансформируем заданный выпуклый многогранник таким образом, чтобы одна из его граней стала много больше остальных (предполагается, что при трансформации вершины переходят в вершины, ребра в ребра, грани в грани). Спроектируем многогранник на плоскость большой грани. В результате получим на плоскости большой многоугольник, разбитый на многоугольники, порожденными проекциями остальных граней. Такой плоский граф называется плоской диаграммой многогранника [1]. Один и тот же многогранник может характеризоваться различными плоскими диаграммами в зависимости от того, какую его грань объявить большой.

Примеры:

Плоские диаграммы тетраэдра, четырехугольной пирамиды, куба, трехгранной призмы и других многогранников с различными вариантами плоских диаграмм.

В настоящей статье мы опишем подход к вычислению объема многогранника, если известны его комбинаторное строение и длины рёбер. Для некоторых многогранников будет указан алгоритм и программа для решения поставленной задачи.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрим сначала задачу о вычислении объём тетраэдра по его сторонам (однозначно задаются комбинаторное строение и плоская диаграмма тетраэдра).

Пусть дан тетраэдр с известными длинами рёбер: а,Ь,сДе,£

Требуется вычислить объём тетраэдра.

Существует формула, выражающая объём тетраэдра через заданные длины рёбер (формула Юнгиуса) [2]: V(a,b,c,d,e,f) = (1/12) х (a2xd2x(b2+e2+c2+f'2-a2-d2)+b2xe2x(c2+f'2+a2+d2-b2-e2)+

(1)

+c2xf2x(a2+d2+b2+e2-c2-f2)-(bxcxd)2-(cxaxe)2-(axbxf)2-(d2xe2xf2)2)1/2 ,

где а=АО, Ь=ВО, с=СО, d=AB, е=ВС, f=CA - длины рёбер тетраэдра.

Мы предлагаем новый подход к вычислению объёмов некоторых многогранников по их комбинаторному строению и заданным рёбрам.

С

Плоская диаграмма тетраэдра

Основная идея этого подхода заключается в следующем:

Если многогранник можно разбить на несколько тетраэдров, то объём всего такого многогранника можно получить из суммы объёмов тетраэдров входящих в состав исходного многогранника, а их объёмы в свою очередь вычислим по формуле (1). Разбиение многогранника и получение в его составе нескольких тетраэдров возможно путём разбиения граней данного многогранника диагоналями, которые и будут входить в состав рёбер этих тетраэдров. Тогда, вычислив диагонали граней основного многогранника, можно будет воспользоваться формулой (1) для нахождения объёма тетраэдров, на которые разбили данный многогранник. А для того, чтобы вычислить диагонали необходимо составить систему уравнений, неизвестными в которой будут эти диагонали. Что касается самой системы уравнений, то ее вычисление является для каждого многогранника индивидуальной проблемой. Желательно, чтобы количество неизвестных было по возможности небольшим.

Решив систему, получим диагонали, и, значит, вычислим объёмы тетраэдров. Сумма объёмов рассматриваемых тетраэдров будет представлять объём всего многогранника.

Обычно система уравнений бывает столь сложной, что не допускает аналитического решения. Тем не менее, ее можно решить численно. Компьютерная система МаШетайса обладает замечательным свойством: с ее помощью можно численно решать весьма сложные системы уравнений.

Приведем примеры многогранников, для вычисления объемов которых не требуется вводить дополнительных диагоналей граней.

Рассмотрим плоскую диаграмму тетраэдра:

Возьмём один треугольник в этой диаграмме и разобьём его на 3 треугольника.

Любой из 5 получившихся треугольников можно разбить ещё на 3 треугольника. Таким образом, к одной из треугольных граней тетраэдра можно присоединить другую треугольную грань другого тетраэдра и так можно присоединять другие тетраэдры. В результате получим огромное количество различных многогранников, которые представляют собой совокупность тетраэдров с известными длинами рёбер.

Но полученные из этих многогранников новые многогранники изобразить весьма трудно, но их объёмы можно вычислить.

Итак, если объём тетраэдра с данными длинами рёбер можно вычислить, воспользовавшись формулой (1), то объёмы многогранников, составленных из тетраэдров с известными длинами рёбер тоже можно вычислить без труда.

Когда будем знать, как можно по данным длинам рёбер вычислять треугольную призму или четырёхугольную пирамиду, то аналогично можно к их треугольным граням присоединить либо тетраэдры или другие треугольные призмы, четырёхугольные пирамиды. Но вычисления объёма треугольной призмы и четырёхугольной пирамиды находиться в стадии разработки.

Такое множество многогранников, полученных подобным присоединением, будем называть вычисляемые объёмы многогранников (В.О.)

Но существуют такие многогранники, которые разбить на тетраэдры с заданными известными ребрами невозможно. Тогда можно предложить такой подход. иногда удаётся разбить исследуемый многогранник на два многогранника, у которых известны все ребра, за исключением небольшого количества (обозначим их х,у,г...). Эти неизвестные ребра представляют собой длины диагоналей граней многогранника. При этом возникают уравнения относительно этих неизвестных.

В некоторых случаях эти уравнения можно решить с помощью компьютера. После чего объём данного многогранника может быть вычислен как сумма объёмов двух многогранников (более простых, чем исходный).

Самое трудное на этом пути это удачно выбрать диагонали - неизвестные, построить систему уравнений такую, которая под силу компьютерной программе. Разумеется, важно уметь построить программу решения системы уравнений.

Покажем на примере вычисления объёма четырёхугольной пирамиды SABCD с определённым комбинаторным строением и заданными рёбрами способ разбиения многогранника на тетраэдры.

Итак, разобьём основание ABCD (произвольный четырёхугольник) пирамиды двумя диагоналями АС=у, BD=x.

Следует заметить, что четырёхугольная пирамида подверглась делению на 4 тетраэдра: SABC, SCDA, SBCD, SDAB.

8

Объём каждого из них по их рёбрам можно вычислить, используя формулу (1). Затем суммируя некоторые два соответствующих тетраэдра SABC и SCDA, SBCD и SDAB, которые расположены по разные стороны относительно любой диагонали получим объём всей четырёхугольной пирамиды.

Но первоначально не известны длины диагоналей, которыми проводилось разбиение основания. Этот факт немного затрудняет процесс вычисления объёма тетраэдра через длины рёбер. Но вычислить их возможно. Если получим значения длин диагоналей основания четырёхугольной пирамиды, которые входят в список рёбер тетраэдров, получившихся после разбиения исходной пирамиды, то вычислим и объём самой четырёхугольной пирамиды.

Итак, рассмотрим основание пирамиды, которое представляет собой спроецированный тетраэдр на плоскость основания исходной пирамиды.

Тогда объём тетраэдра V(DABC)=0.

Четырёхугольник, который является основанием исходной пирамиды, представляет сумму соответствующих пар треугольников, полученных в результате разбиения основания диагоналями, а значит, четырёхугольную пирамиду можно представить как сумму двух соответствующих тетраэдров с соответствующими основаниями из этих треугольников:

V(SABC)+V(SCDA)=V(SBCD)+V(SDAB)

В итоге можно составить систему уравнений, в процессе решения которых получим значения длин диагоналей основания четырёхугольной пирамиды (значения неизвестных рёбер тетраэдров, которые получились из четырёхугольной пирамиды после разбиения её диагоналями) и вычислим объём исходной пирамиды.

Для упрощения процесса нахождения длин диагоналей и объёма четырёхугольной пирамиды вычисления проведём в системе МаШетайса.

Составим программу по вычислению объёма четырёхугольной пирамиды через известные длины рёбер:

На первом шаге задаём значение рёбер пирамиды, включая диагонали основания:

а={1,1,1,1,1,1,1,1,у,х>;

для пирамиды, у которой все рёбра одинаковые вычислять объём можно, но не столь интересно. Поэтому рассмотрим различные варианты значений длин рёбер четырёхугольной пирамиды, используя случайную величину Random[].

Вычислим объём для четырёхугольной пирамиды, если изменим значения длин рёбер, например на 0.1 из списка d:

0.1xRandom[].

Зададим произвольный набор значений рёбер четырёхугольной пирамиды:

d=TaЫe[If[i<9,d[[i]]+0.1*Random[],d[[i]]],{i,10}]

Укажем формулу вычисления объёма тетраэдров входящих в состав четырёхугольной пирамиды, которые получили в результате разбиения исходной пирамиды диагоналями в основании:

При этом в формуле вместо а,Ь,сДе,к укажем соответствующие рёбра пирамиды стоящие на соответствующих местах из списка d.

далее спрограммируем полученные в процессе рассуждений выведенные уравнения:

V(DABC)=0, V(SABC)+V(SCDA)=V(SBCD)+V(SDAB) на язык МоОетайса-.

уу=^о1уе[{у^[[4]]^[[10]]^[[3]]^[[2]]^[[9]]^[[1]]]=0,

V[d[[4]],d[[10]],d[[8]],d[[6]],d[[5]],d[[1]]]

+V[d[[2]],d[[10]],d[[6]],d[[8]],d[[7]],d[[3]]]

^[[3]М[9]М[7]М[5]М[8]М[4]]]

■У^[[1]]^[[9]]^[[7]]^[[5]]^[[8]]^[[4]]]=0},{х,у}]

В итоге получаем список значений длин диагоналей основания пирамиды (х,у). Этот список с вариантами значений длин диагоналей можно представить в виде множества чисел:

гг={х,у}/.уу

Но не все полученные варианты диагоналей будут подходить для решения задачи.

По теореме Коши: два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если между их гранями, рёбрами и вершинами имеется сохраняющее инцидентность взаимно однозначное соответствие, причём соответствующие грани многогранников конгруэнтны [1].

Иначе говоря, грани многогранника вместе с правилом склейки полностью определяют выпуклый многогранник.

Определим значения длин диагоналей из полученного множества вариантов длин диагоналей для выпуклого многогранника:

Select[zz,Im[#[[1]]]==0&&Im[#[[2]]]==0&&Conjugate[#[[1]]]>0&& Conjugate[#[[2]]]>0&]

И получаем конкретное значение длин диагоналей.

А значит, можно вычислить объёмы соответствующих тетраэдров V(SABC) и V(SCDA) или V(SBCD) и V(SDAB)по формуле (1), затем получить объём всей четырёхугольной пирамиды как сумму соответствующих тетраэдров V(SABC)+V(SCDA) или V(SBCD)+V(SDAB).

Представленная формула - программа универсальна тем, что получен алгоритм вычисления четырёхугольной пирамиды через заданные длины рёбер. Тогда данный вывод можно использовать при нахождении объёма многогранников, которые можно разбивать не только на тетраэдры, но и на четырёхугольные пирамиды или совместно на тетраэдры и четырёхугольные пирамиды. Таким образом, получаем новый класс выпуклых многогранников, которые возможно трудно изобразить, но можно вычислить объём всего многогранника и показать его комбинаторное строение.

Но полученную формулу - программу можно немного упростить, если рассуждения по её выводу провести несколько иначе:

Рассмотрим четырёхугольную пирамиду SABCD с заданным комбинаторным строением и заданными длинами рёбер. Вычислим её объём.

Четырёхугольная пирамида

Разобьем основание пирамиды ABCD одной диагональю BD на два тетраэдра: SABD и SBCD.

Пусть BD=x.

По формуле (1) вычислим объёмы тетраэдров V(SABD) и V(SBCD), суммируем результаты. Полученная сумма будет являться объёмом четырёхугольной пирамиды. Но возникает проблема в нахождении диагонали BD.

Объём одной треугольной пирамиды SABD может быть получен из произведения 1/3 площади основания пирамиды ABD и высоты Н [1]:

V=(1/3)xSxH (2)

Аналогично объём находиться для другой треугольной пирамиды SBCD с основанием BCD и той же высотой Н.

Заметим, что высота одна и та же для обеих треугольных пирамид.

Значит по формуле (2) можно составить уравнение с одной неизвестной х:

3xV(SABD)xS(ABD)=3xV(SBCD)xS(BCD)

В результате получим значение длины диагонали. Вычислим V(SABD) и V(SBCD) по формуле (1). Объём четырёхугольной пирамиды, как и в предыдущем рассуждении, получим из суммы соответствующих тетраэдров лежащих по разные стороны диагонали BD.

Для более упрощённого решения произведём вычисления также в системе МоЛвтойсо: а={1.1,0.9,1,1,1,1,1,1,х,у|

V[a_,b_,c_,d_,e_,k_]:=1/12*(aЛ2*dЛ2*(bЛ2+eЛ2+cЛ2+kЛ2-aЛ2-dЛ2)+bЛ2*eЛ2*(cЛ2+kЛ2+aЛ2+dЛ2-bЛ2-eЛ2)+

cA2*kA2*(aA2+dA2+bA2+eA2-cA2-kA2)-(b*c*d)A2-(c*a*e)A2-(a*b*k)A2-(d*e*k)A2)A(1/2);

yy=NSolve[{V[d[[4]],d[[10]],d[[3]],d[[2]],d[[9]],d[[1]]]=0,

V[d[[4]],d[[10]],d[[8]],d[[6]],d[[5]],d[[1]]]+V[d[[2]],d[[10]],d[[6]],d[[8]],d[[7]],d[[3]]]

-V[d[[3]],d[[9]],d[[7]],d[[5]],d[[8]],d[[4]]]-V[d[[1]],d[[9]],d[[7]],d[[5]],d[[8]],d[[4]]]=0},{x,y}]

{{х™-1.45504,у™1.37256},{х™1.45504,у™-1.37256},{х™-0.44518, у™0.461119}, {х™0.44518,у™-0.461119}...........}

zz={x,y}/.yy

{{-1.45504,1.37256}, {1.45504,-1.37256}, {-0.44518,0.461119}, {0.44518,-0.461119}..}

Select[zz,Im[#[[1]]]==0&&Im[#[[2]]]==0&&Conjugate[#[[1]]]>0&& Conjugate[#[[2]]]>0&]

{{1.45504,1.37256},{0.44518,0.461119}}

х=1.45504;

у=1.37256;

V[d[[4]],d[[10]],d[[8]],d[[6]],d[[5]],d[[1]]]+ V[d[[2]],d[[10]],d[[6]],d[[8]],d[[7]],d[[3]]]

0.239474

х=0.44518;

у=0.461119;

V[d[[4]],d[[10]],d[[8]],d[[6]],d[[5]],d[[1]]]+ V[d[[2]],d[[10]],d[[6]],d[[8]],d[[7]],d[[3]]]

0.124056

Итак, объём четырёхугольной пирамиды с данным набором рёбер равен 0.124056 ОБСУЖДЕНИЕ

Произведённое разбиение четырёхугольной пирамиды на тетраэдры в процессе нахождения объёма пирамиды позволяет расширить у учащихся представление о многогранниках, рассматривать различные способы изготовления моделей многогранников из развёрток. присоединить к одной из боковых треугольных граней четырёхугольной пирамиды тетраэдр.

выводы

Составленная в статье формула - программа предлагает вычислить объём любой произвольной четырёхугольной пирамиды с любым набором длин рёбер, что обычным способом вычисления без компьютерных технологий оказалось бы весьма трудоёмким и сложным. Открывает возможность вычисления объёма нового класса многогранников, полученных из четырёхугольной пирамиды и одного или нескольких тетраэдров, нескольких четырёхугольных пирамид присоединённых четырёхугольными основаниями. Предлагает новые возможности для работы с многогранниками.

Задача на вычисление объёма многогранников играла важную роль в работе И.Х. Сабитова. Представленный в статье подход к вычислению многогранников по их комбинаторному строению и заданным длинам рёбер полезно использовать на уроках в школьном курсе при изучении стереометрии, на факульта-

тивных занятиях и в изучении геометрии в вузе на практических и семинарных занятиях с применением компьютерных технологий.

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Моденов П. С. , Пархоменко А. С. Геометрические преобразования. М.: Издательство МГУ, 1961. С 210-214.

2. Погорелов А. В. Геометрия для педвузов. М.: «Просвещение», 1983. C 52-87.

3. Сабитов И. Х. Объёмы многогранников. М.: МЦНМО, 2002. С 12-15.