Классификация кривых на плоскости Лобачевского Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА

№ 194

УДК 514.75

КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО

И.С. СТРЕЛЬЦОВА

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

В работе приводится решение задачи локальной эквивалентности кривых на плоскости Лобачевского относительно группы движений. Для этого построена алгебра дифференциальных инвариантов кривых.

Ключевые слова: дифференциальные инварианты, инвариантные дифференцирования, алгебра инвариантов, группы Ли.

1. Собственные движения плоскости Лобачевского

Мы будем рассматривать модель Пуанкаре плоскости Лобачевского - полуплоскость

М = Я+2 = {(х, у) е Я21 у > 0},

снабженную метрикой

_ ёх2 2 йу2

^=_уг~ •

Собственные движения полуплоскости Я+ порождают группу Ли, которую мы обозначим Оь. Базис соответствующей алгебры Ли Оь имеет вид

x = —;

эх

т^ 1 Г 2 2 ^ э э

7 = 2 (х - у) эх + * эу;

ээ Н = х—2 у—.

эх эу

2. Размерность алгебры дифференциальных инвариантов

Пусть Jk(р) - пространство к-джетов расслоения кривых [2] и х,у0,у1?...,ук - локальные канонические координаты на нем.

Производящие функции [4] этих векторных полей имеют вид

кх =-уркг = хуо 2у-(уо2-х2),кн = уо -ху1

соответственно.

Функция J на пространстве к -джетов называется дифференциальным инвариантом порядка к группы Ли Оь, если р*(J) = J для любого преобразования ре Оь [1].

Теорема 1. Размерность алгебры дифференциальных инвариантов порядка к относительно группы Ли Оь равна к -1.

Доказательство. Для доказательства используем идеи работы [5]. Зафиксируем некоторую точку а(ах, ау) на М и найдем алгебру Оа. Найдем векторное поле 2 е Оа такое, что точка а

является для него особой. Так как векторное поле 2 е Оа, то оно имеет вид

2 = аХ 2(7 2 уН

для некоторых постоянных а, у.

84

И.С. Стрельцова

1 э э

То есть 7 = (ух + -(рх2-ру02) + а)— + (уу0 +рху0)—.

2 Эх Эу0

Так как точка а - особая, то должны выполняться равенства

1 2 2 Гах + ^(Рах -Рау ) + а = 0; уау + рахау,

откуда находим

2 , 2 ах + а

а=р—2^; у=-Ьа*

Ь - произвольный параметр, который мы положим равным единице. Тогда получаем, что

22 ах + ау

7 = —-+ У - аН.

2 х

Производящая функция этого векторного поля равна

= 2 (-(х - ах)2 + уо2 - ау2) у1 + (х - ах )уо •

Учитывая, что в точке а х = ах, у0 = ау, получаем

N(2) n <*) (а) = (0, а у (1 + у2), (1 + у2 + а у) у + 2ауу1у2).

Так как ау > 0, то ранг этой матрицы равен 1. Поэтому и коразмерности орбиты в J2(Я) равны 1.

Для произвольного к ранг матрицы N(к) также равен 1, а размерность многообразия N(к)(а) равна к. Поэтому в размерности к существуют к -1 дифференциальных инварианта порядка < к. Поэтому всякий раз при переходе от пространства (к -1) -джетов к пространству к -джетов возникает только один новый дифференциальный инвариант, который имеет порядок к. Теорема доказана.

3. Кривизна кривой на плоскости Лобачевского

Из теоремы 1 следует, что первый нетривиальный дифференциальный инвариант имеет порядок два. Найдем его. Продолжим векторные поля X, У, Н в J2(Я)

X(2) = —;

Эх

т.(2) 1 ( 2 2 л э э ( 2 л э , 3 ~ \э

У = - [ х - уо ) эх + ху0 + I уо + уо у1 ) ЭУ + (у! + у! + 3 уо у у 2 - ху2) Эу ;

тт(т) Э Э Э

Н(2) = х— + у0--у2-.

02

Эх эуо эу2

Пусть J е С¥ (J2(Я)) - искомый дифференциальный инвариант. Решая систему дифференциальных уравнений

X (2)( J) = 0, У (2)( J) = 0, Н(2)^) = 0,

мы находим, что

J = F

(у 2 уо + у!+1 л

( у2+1)1

где F - произвольная гладкая функция от одной переменной.

Таким образом, в качестве базисного дифференциального инварианта второго порядка можно выбрать функцию

г _ у2уо + у2 + 1

(У2 + 1)1

которую будем называть кривизной Лобачевского.

Функцию )2 (/) будем называть кривизной кривой . Аналогичное выражение дифференциального инварианта найдено в [3].

4. Инвариантное дифференцирование и алгебра дифференциальных инвариантов Теорема 2. Оператор

v:

(1)

Уо

й

является инвариантным дифференцированием группы движений О. Доказательство.

Продолжения векторных полей Х,У,И в пространство 1-джетов имеют следующий вид

X(1) _—; Эх

К1) _ 1 г„2 ,.2 1 э , _ э , (^ , ^ 1 э 2

У(1) _ " [ х - Уо2 ) эХ + ХУо эу + I Уо + Уо У1 ) ^

И(1) _ х^- + .

эх

ЭУо

Поэтому функция 1 _ 1( х, у0, у1) должна удовлетворять следующей системе уравнений [6]

э1_ 0;

Эх

Э1

Э1

Эх

ЭУо

э1

-[х' - Уо2 + хУо^ + ( Уо + У2 Уо Ь--х - У Уо )_ 0;

э1

эУ1

э1

х--+ у0--1 _ 0.

эх эуо

Ее общее решение имеет вид

1_

СУо

где С - произвольная постоянная. Теорема доказана.

Инвариант третьего порядка получим, применяя к инварианту Т2 оператор V

Т _ Уо2(УзУ2 - 3У22У1 + Уз) )3 _ (У12 +1)3 . Укажем также вид дифференциального инварианта четвертого порядка в координатах

л _

2

Уо л - (2 Уз У15 + Уо У4 У14 - 6 У22 У14 + 4 Уз У3 -10 Уо У2 Уз У3 +

.2 1 2

1+У12

2 Уо У 4. +УоУ4 - 3УоУ23)-

2 2 3 2 2

+2 Уо У4 У1 +15 Уо У У2 - 6 У У2 -10 Уо У У2 Уз + 2 У Уз +

86

И. С. Стрельцова

С учетом теоремы 1 мы получаем следующее описание алгебры дифференциальных инвариантов.

Теорема 3. Функции J2,J3,...,Jk,... образуют полную систему локальных дифференциальных инвариантов кривой относительно группы Ли собственных движений на плоскости Лобачевского.

5. Эквивалентность кривых

Будем рассматривать регулярные кривые, т.е. такие, дифференциал кривизны которых невырожден (/) Ф 0 .

Итак, пусть - регулярная кривая на плоскости. Тогда функцию J2(/) можно принять за новый параметр на кривой, и ограничение дифференциального инварианта J3 на кривую может быть представлено в виде некоторой функции от этого параметра

Jз(f) = Ф , (J2(f)). (2)

Теорема 4. Пусть на двух регулярных кривых и на плоскости Лобачевского выполнены следующие условия: функции Ф^ и Ф не обращаются в нуль.

Кривые 8^ и 8& эквивалентны относительно движений плоскости Лобачевского тогда и только тогда, когда Ф° Ф .

Доказательство. Пусть для кривых 8^ и 8& выполняется условие Фf ° Ф ° Ф. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка

л =Ф(л), (3)

определяющее гиперповерхность Е в пространстве J3 (Я). Так как функции у = f (х) и

(3)

и 8

у = g(х) являются решениями этого дифференциального уравнения, то поднятия 8

этих кривых в пространство J3 (Я) лежат на этой гиперповерхности.

Запишем уравнение (3) в координатах и разрешим его относительно старшей производной

(3)

у3 =

1

уо2( у2+1)

ф

I V

уо У 2 + у2 +1

1 3

(у2 +1)3

(у,2 +1)3 + 3 уо2 уу

(4)

Выберем на каждой кривой точки а0 е 8(3) и Ь0 е 8^. Без ограничения общности можно

считать, что х(а0) = х(Ь0) = а . Рассмотрим пространство N (2)(а) с J 2( Я). Матрица N(2) имеет вид 12ри6р1

(

-у, у2 -у3

N(2) = хуо -у,А уо - ху, + у,( х + уо у,) - у 2 А - ху2 + у, (у,2 + 3уо у2 +1) + у3 А

V уо - хУ,

ху2

~У 2 -хУ3

где А = !(х2 -у^). Ее определитель равен

(2)

ёе! N (2) = у2(-3 у, у2 + у3(1 + у,2)).

Ограничивая его на уравнение (4), находим

ёе! n(2) |е = (1 + у,2)3Ф

уо у 2 + у,2 +1

1 3

. (у,2+^ .

Из условий теоремы следует, что ёе! N(2) |Е Ф 0 и, следовательно, группа Ли движений на

)

пространстве N(2)(а) действует транзитивно. Таким образом, с помощью подходящего преобразования ф из этой группы Ли можно добиться того, чтобы а0 _ Ь0. Таким образом, без ограничения общности мы можем считать, что функции ф* (/) и g, будучи решениями дифференциального уравнения (4), имеют одинаковые начальные данные. В силу теоремы единственности решений дифференциальных уравнений (по крайней мере локально) функции / и g совпадают. Таким образом, с помощью подходящего движения кривая может быть (локально) переведена в кривую ^. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии // Итоги науки и техники, серия Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.

- М.: ВИНИТИ, 1988. - Т. 28.

2. Стрельцова И.С. Дифференциальные инварианты кривых на двумерных многообразиях // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. - 2011. - Т. 6. - С. 209-217.

3. Фукс Б.А. Неевклидова геометрия в теории конформных и псевдоконформных отображений / Б. А. Фукс.

- М.-Л.: ГТТИ, 1951.

4. Kushner A.G., Lychagin V.V., Rubtsov V.N. Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge: Cambridge University Press. 2007. - Т. 101.

5. Lychagin V.V. Dimension formulae for algebra of differential invariants // Геометрия в Кисловодске - 2010: тезисы докладов междунар. конф. - Кисловодск, 2010. - С. 49.

6. Lychagin V.V. Feedback Equivalence of 1 -dimensional Control Systems of the 1 -st Order // Геометрiя, топо-лопя та !х застосування: збiрник праць 1н-ту математики НАН Украши. - 2009. - Т. 6. - С. 288-302.

CLASSIFICATION OF CURVES ON THE LOBACHEVSKY PLANE

Streltsova I.S.

We solve the problem of local classification on the Lobachevsky plane. We construct the algebra of differential invariant of curve.

Key words: differential invariants, invariant differentiations, algebra of invariants, Lie groups.

Сведения об авторе

Стрельцова Ирина Станиславовна, окончила Астраханский государственный университет (2003), ассистент кафедры высшей математики АГУ, автор 19 научных работ, область научных интересов -дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения.