Дифференциальные инварианты кривых на двумерных многообразиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.75

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ КРИВЫХ НА ДВУМЕРНЫХ

МНОГООБРАЗИЯХ

© И.С. СТРЕЛЬЦОВА Астраханский Государственный Университет, кафедра математического анализа e-mail: strelzova_i@mail.ru

Стрельцова И. С. — Дифференциальные инварианты кривых на двумерных многообразиях // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 226—234. — В работе предлагается метод классификации кривых на двумерных многообразиях, на которых действует связная группа Ли. Указан общий способ вычисления алгебр дифференциальных инвариантов. Результаты проиллюстрированы на кривых в геометрии Евклида и Минковского.

Ключевые слова: джеты, дифференциальные инварианты, инвариантные дифференцирования

Streltsova I. S. — Differential invariants of curves on two-dimensional manifolds // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 226—234. — This paper is devoted to the classification problem for curves on two-dimensional manifolds. We suppose that Lie group acts on the manifold. The general method for calculation of algebras of differential invariants is presented. As an example we consider curves on Euclid and Minkowski plane.

Keywords: jets, differential invariants, invariant derivatives

Введение

В Эрлангенской программе [3] Феликс Клейн предложил единый подход к описанию различных геометрий. Согласно этой программе, одной из основных задач геометрии является построение инвариантов геометрических объектов относительно действия группы, определяющей эту геометрию. Этот подход во многом опирается на идеи Софуса Ли, который ввел в геометрию непрерывные группы преобразований, известные сейчас как группы Ли. В частности, при рассмотрении классификационных задач и проблем эквивалентности в дифференциальной геометрии следует рассматривать дифференциальные инварианты относительно действия (псевдо)групп Ли. При этом проблема эквивалентности геометрических объектов сводится к нахождению полной системы скалярных дифференциальных инвариантов.

Понятие дифференциального инварианта, наряду с понятием инвариантного дифференцирования, является ключевым в современной геометрии. Трактовка дифференциального инварианта к-го порядка как функции на пространстве к-джетов сечений соответствующего расслоения позволила эффективно с ними оперировать, а с помощью инвариантного дифференцирования из уже известных дифференциальных инвариантов можно получать новые.

Дифференциальные инварианты относительно некоторой группы Ли порождают дифференциальные уравнения, для которых эта группа является группой симметрий. Это позволяет применить к таким уравнениям известные методы интегрирования и, в частности, теорему Ли-Бьянки [5].

В зависимости от типа геометрии, порядки первых нетривиальных дифференциальных инвариантов могут быть различны. Например, в пространстве R3, снабженном евклидовой метрикой, полной системой дифференциальных инвариантов кривой являются её кривизна и кручение, которые представляют собой инварианты второго и третьего порядка соответственно. Первый дифференциальный инвариант кривой относительно проективных преобразований имеет седьмой порядок.

Заметим, что скалярные дифференциальные инварианты, то есть инварианты, принимающие числовые значения, — единственный тип инвариантов, компоненты которых не меняются при замене координат. По этой причине скалярные дифференциальные инварианты эффективно используются при решении проблем эквивалентности, которую можно рассматривать как проблему построения полной системы скалярных дифференциальных инвариантов.

Вопрос локальной эквивалентности двух кривых решается следующим образом [1]. Пусть s — натуральный параметр кривой и k = k(s) - ее кривизна. Тогда эта функция однозначно определяет кривую с точностью до движения плоскости.

Однако этот критерий эквивалентности кривых имеет один недостаток: для того, чтобы записать натуральное уравнение кривой, необходимо задать натуральный параметр. То есть, в том числе, указать, какая точка кривой отвечает нулевому значению этого параметра. Но натуральный параметр не может быть выбран однозначно: он определен с точностью до преобразования сдвига:

s ^ s + const.

Поэтому практическая ценность этого метода не велика. Мы предлагаем другой, более конструктивный, метод решения проблемы эквивалентности.

1. Расслоения кривых

Рассмотрим тривиальное расслоение п : M ^ R, где тотальное пространство M — двумерное гладкое многообразие. Пусть x — координата на базе расслоения и x,y — локальные координаты на M, то есть п : (x, у) ^ у. Кривую на M мы будем рассматривать как локальное сечение расслоения п:

sf : R D I ^ M, sf : x ^ (x, f (x)),

где f — некоторая гладкая (класса Cто) функция на открытом интервале I С R. Расслоение п будем называть расслоением кривых.

Джет k-го порядка сечения sf в точке a G I будем обозначать [f]Jj. Пространство k-джетов сечений расслоения п обозначим Jk(п). Пусть x, yo,..., yk — стандартные локальные координаты на Jк(п), то есть

x([f]£) = a,yo([f]S) = f (a), yi([f]2) = f'(a), .. .,yk([f]£) = f (k)(a).

Отображение

[f]k : I ^ Jk(п), [f]k : a ^ [f]J

будем называть k-джетом кривой sf. График этого отображения rfk) = [f]k(I) является одномерным гладким подмногообразием многообразия J^п). Мы будем называть его k-джетом кривой sf.

Дифференциальные 1-формы

Wj = dyi-i - yidx (i = 1,..., k)

определяют на пространстве Jк(п) двумерное распределение Картана С(к) [2]:

к

С(к) : 7к(п) э а ^ С(к)(а) = р| кег^іа С Та(7к(п)).

І=1

Кривая Г^к) является интегральной кривой распределения Картана.

Пусть X — векторное поле на М. Функция Н = ^о(Х) называется производящей функцией, отвечающей векторному полю X [5]. Для векторного поля

д д

X = А(ж,уо) дХ + В(х,уо) д^. (!)

производящая функция Н = В — Ауі.

Геометрический смысл производящей функции состоит в следующем [5]. Пусть — преобразование сдвига вдоль векторного поля X от і = 0 до і и Г^ = Г^о) — график 0-джета кривой . Тогда локально и для малых значений і имеет место равенство

^(Г/) = Г^*(/),

где

^*(/) = / + іН|г/ + о(і).

Здесь о(і) — бесконечно малая более высокого порядка, чем і и Н|г/ — ограничение функции Н на кривую. Пусть

^ : (х,У) 1—► (X(ж уо^ У(х,уо))

— диффеоморфизм пространства ^(п). Его продолжение в пространство к-джетов ^к(п) имеет вид:

/ \

^(к) :(ж,у,уі ...,ук) — и,У, Ц,..., Ц .

V /

Здесь —-----оператор полного дифференцирования по переменной ж:

аж

а д д д

3“ = я + у1 я---+ • • • + ук д-----+ • • • ,

аж дж дуо дук-і

ак

а —;-----к-я степень этого оператора.

йжк

Всякое векторное поле X, определенное на пространстве ^(п), можно однозначно продолжить в пространство Jк(п). Укажем как осуществляется это продолжение.

Пусть {<£>(} — локальная группа сдвигов вдоль векторного поля X. Пусть {^к)} — поднятие преобразований этой группы в пространство Jк (п). Векторное поле на пространстве Jк (п), сдвиги вдоль траекторий которого порождают локальную группу преобразований {<^>[к)}, называется поднятием векторного поля X в пространство Jк (п) и обозначается X(к).

Укажем вид продолженного векторного поля (1) в координатах [2]:

.к) д йН д йкН д / д д д \

X = Ня--------+ 7Т" я---+ ••• + 7ТТ я---+ А( я—+ уія------+ ••• + ук+ія— I.

дуо аж дуі ажк дук \дж дуі дук /

В частности,

X(1) = X + — уі^ .

у аж аж у

Под бесконечным продолжением векторного поля X мы понимаем формальное дифференцирование

вида

X(то) = Я + А-^,

аж

где

д йН д

«Л = Н ^—+ ~г~ т.------+ ■

ду аж ду1

Н д

+ йжк дуй +

— эволюционное дифференцирование [2].

Оператор полного дифференцирования, ограниченный на пространство к-джетов кривых, представляет собой векторное поле, сдвиги вдоль которого переводят интегральные кривые распределения Картана в себя. Эволюционное дифференцирование, напротив, тасует их, то есть одну интегральную кривую переводит в другую [5].

Заметим, что оператор X(то), ограниченный на пространство к-джетов кривых, совпадает с оператором X(к).

Пусть О — связная группа Ли, действующая на гладком многообразии М и 0 — соответствующая ей алгебра Ли. Их продолжения в пространство к-джетов кривых будем обозначать О(к) и соответственно. Символом мы обозначим бесконечное продолжение алгебры Ли 0.

Две кривые ву и вд мы будем называть О-эквивалентными, если они принадлежат одной орбите группы Ли О.

Пусть группа Ли О п-мерна, и Хх,...,Х„ — векторные поля, образующие базис алгебры Ли 0. Пусть Н1,..., Нп — производящие функции, отвечающие этим векторным полям.

Пусть а € I — фиксированная точка на базе расслоения п и пусть N(к)(а) — слой расслоения п^. Этот слой является гладким многообразием, и функции уо, у1,..., у^ можно выбрать в качестве локальных координат на нем. Пусть ву — кривая и Г^ — к-джет этой кривой. Тогда [/]^ € N(к)(а). Для краткости эволюционные дифференцирования «л будем обозначать « (г = 1,..., п).

Далее мы полагаем, что размерность линейной оболочки векторов 51|[/]к,... |[/]к не зависит от

точки а. Размерность этой линейной оболочки мы будем называть размерностью орбиты кривой в^ . Размерность орбиты кривой можно вычислить следующим образом.

Составим матрицу размером т х (к +1)

/

П(к)

Н1

У Нп

йН1

йж

аНП

йж

Н1 \

йжк

Нп

(2)

Орбита кривой порождается ее сдвигами вдоль эволюционных дифференцирований «1,..., . По-

этому размерность О-орбиты кривой ву в пространстве 3к (п) равна рангу матрицы Н(к), ограниченной на эту кривую. Орбиту кривой будем называть неособой, если этот ранг равен п и особой в противном случае.

2. Дифференциальные инварианты кривых

Пусть ву — кривая и 3 — гладкая функция на пространстве 3к(п). Ограничение функции 3 на график Г^ будем называть значением функции 3 на кривой в^ и обозначать

(к) .

Заметим, что 3(/) — функция на базе расслоения п, то есть функция от одной переменной ж. Функция 3 € Сто(3к(п)) называется дифференциальным инвариантом порядка < к кривой относительно группы Ли О, если она сохраняется под действием к-го продолжения группы Ли О, то есть

Г

для любого преобразования ^ € О.

Будем говорить, что дифференциальные инварианты 31,..., 3Я порядка < к образуют функциональный базис в алгебре дифференциальных инвариантов кривых порядка < к в некоторой открытой области О С 3к(п), если выполнены следующие условия:

• функции З1,..., 38 функционально независимы в области О, то есть й31 Л ... Л й3я = 0;

• любой дифференциальный инвариант порядка < к, является функцией от 31,..., 38 в этой окрестности.

Число в мы будем называть размерностью алгебры дифференциальных инвариантов порядка < к.

Размерность алгебры дифференциальных инвариантов порядка < к совпадает с коразмерностью орбиты кривой общего положения в пространстве 3к (п).

Для нахождения дифференциальных инвариантов удобно использовать алгебру Ли 0, отвечающую группе Ли О. Следующая теорема [1] указывает путь вычисления дифференциальных инвариантов.

Теорема 1. Функция 3 € Сто(3к(п)) является скалярным дифференциальным инвариантом группы Ли О тогда и только тогда, когда

X (к)(3) = 0

для любого векторного поля X € 0•

Совокупность скалярных дифференциальных инвариантов порядка < к образует подалгебру Ак в алгебре Сто(3к(п)) [1].

Введем понятие инвариантного дифференцирования, которое мы будем использовать для получения дифференциальных инвариантов [6].

Дифференцирование V на 3то(п) будем называть инвариантным дифференцированием группы Ли

О или 0-инвариантным дифференцированием если оно коммутирует с любым продолжением любого векторного поля X € 0.

Способ вычисления инвариантных дифференцирований указан в работе В.В. Лычагина [6]. Инвариантное дифференцирование позволяет строить дифференциальные инварианты из уже известных. Действительно, пусть, например, 3 — дифференциальный инвариант и V — инвариантное дифференцирование. Тогда

X (то)^(3)) = V(X (то)(3)) = 0

для любого векторного поля X(то) € 0(то). Таким образом, функция V(J) является дифференциальным инвариантом. Инвариантное дифференцирование определено с точностью до умножения на константу.

Заметим, что иногда инвариантное дифференцирование не продуцирует новых дифференциальных инвариантов.

3. Инварианты кривых в геометриях Евклида и Минковского

Пусть М — плоскость с метрикой

йв2 = йу2 + £Йж2.

Здесь £ = ±1. При £ = 1 — это плоскость Евклида, а при £ = —1 — плоскость Минковского.

Движения плоскости образуют метрическую группу Ли От. Базис алгебры Ли 0т, отвечающей этой группе, образован следующими векторными полями:

у = д ^ = д 7 = д д X = Я-, ^ = Я-, ^ = жя £у1^~.

дж ду ду дж

Структура алгебры Ли 0т приведена в следующей таблице:

[Т, -] X У 2

X 0 0 У

У 0 0 —X

2 —У X 0

Как известно, первый дифференциальный инвариант кривой относительно группы От — это кривизна кривой, являющаяся инвариантом второго порядка:

у2

3

т

2

1

1у2 + £|

Определение. Функция 3™(/) называется кривизной кривой ву. Теорема 2. Дифференциальный оператор

ж-7 1 а

V т -

л/|у2 + £ 1 йж

является инвариантным дифференцированием группы движений От.

Для доказательства этой теоремы достаточно применить методику вычисления инвариантных дифференцирований, предложенную в [6].

Найдем алгебру скалярных дифференциальных инвариантов кривых относительно группы От. Используем инвариантное дифференцирование Vm, чтобы построить дифференциальные инварианты высших порядков:

3зт = Vm(J2n),...,Jkm = Vm(Jkml),....

Инвариант третьего порядка имеет вид:

уз(у2 + £) — Зу1у2

т

33 (у2 + £)3 .

Теорема 3. Функции 3™, 3™,.. ., 3™ образуют функциональный базис в алгебре дифференциальных инвариантов кривых порядка < к относительно метрической группы Ли От.

Доказательство. Подсчет размерности алгебры дифференциальных инвариантов группы От показывает, что не существует дифференциальных инвариантов первого порядка и существует ровно к — 1 дифференциальных инвариантов порядка не выше к (к > 2).

В самом деле, размерность орбиты общего положения продолжения в пространство 2-джетов группы Ли От равна трем, а размерность самого пространства 32(п) равна четырем. Поэтому существует только один дифференциальный инвариант второго порядка.

При повышении порядка джетов на единицу размерность орбиты группы От не меняется, а размерность пространства джетов увеличивается на единицу. Поэтому каждый раз при переходе от пространства (к — 1)-джетов к пространству к-джетов возникает только один новый дифференциальный инвариант, который имеет порядок к. Но так как инвариант 3к получается из инварианта 3к-1 применением к последнему инвариантного дифференцирования Vm, то 3к и есть этот новый инвариант. Теорема доказана. □

4. Локальная эквивалентность кривых

Кривая ву, для которой дифференциал кривизны невырожден в каждой точке этой кривой, то есть й3™(/) = 0, будем называть От-регулярной.

Для От-регулярной кривой ву функцию 32т(/) можно принять за новый параметр на кривой. Тогда ограничение дифференциального инварианта 3^ на кривую в у может быть представлено в виде некоторой функции от этого параметра:

33т(/) = Фу (3т(/)).

Рассмотрим сначала кривые в геометрии Евклида.

Кривые в геометрии Евклида. Следующая теорема дает критерий эквивалентности кривых в геометрии Евклида.

Теорема 4. Пусть на двух От-регулярных кривых в у и вд на плоскости Евклида функции Фу и Фд не обращаются в нуль. Кривые ву и вд От-эквивалентны тогда и только тогда, когда Фу = Фд.

Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Пусть для кривых ву и вд выполняется условие Фу = Фу = Ф.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка

От действует транзитивно. Таким образом, с помощью подходящего преобразования ^ из этой группы Ли можно добиться того, чтобы ао = 6о. Таким образом, без ограничения общности мы можем считать, что функции у>*(/) и д, будучи решениями дифференциального уравнения (4), имеют одинаковые начальные данные. В силу теоремы единственности решений для обыкновенного дифференциального уравнения (4) функции / и д совпадают в достаточно малой окрестности точки а.

Таким образом, с помощью преобразования из группы Ли От кривая в у может быть (локально)

переведена в кривую вд. □

Теорема эквивалентности, аналогичная сформулированной выше, имеет место и в случае, когда функция Ф обращается в нуль. Допустим, что уравнение определяет в пространстве N(2)(а) гиперповерхность и эта гиперповерхность разделяет пространство 32 (п) на компоненты связности. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Пусть на двух От-регулярных кривых ву и вд на плоскости Евклида Фу = Фд = Ф и

гиперповерхность Ф = 0 разделяет пространство 32(п) на компоненты связности. Кривые ву и вд От-

эквивалентны тогда и только тогда, когда кривые Гу2) и Г^2) лежат в одной компоненте связности.

^зт = ад"),

(3)

определяющее гиперповерхность Е в пространстве 33(п). Так как функции у = /(ж) и у = д(ж) являются решениями этого дифференциального уравнения, то кривые Гу3) и Г^3) лежат на этой гиперповерхности. Запишем уравнение (3) в координатах и разрешим его относительно старшей производной:

Уз

(1+ у2 )3Ф + Зу|уі

1 + У2

(4)

Покажем, что, по крайней мере локально, кривую Г^3) движением можно перевести в кривую Г^3).

(3) (3)

Выберем на каждой кривой точки: ао Є Г^ и бо Є Гд . Без ограничения общности можно считать,

что ж(ао) = ж(6о) = а. Рассмотрим пространство N(2)(а) С 32(п). Это пространство является простран-

ством начальных данных для уравнения (4).

Матрица Н(2) ( см. (2)) имеет вид:

Ее определитель равен

Н(2) = Зуіу| - уз(1 + у2).

Ограничивая его на уравнение (4), находим:

Из условий теоремы следует, что det Н(2) |е =0 и, следовательно, на пространстве N(2) (а) группа Ли

Кривые в геометрии Минковского. Формулировка теоремы об эквивалентности кривых в геометрии Минковского отличается от аналогичной теоремы в геометрии Евклида.

Пусть, как и выше, для кривых ву и вд выполняется условие Фу = Фу = Ф и функция Ф не обращается в нуль.

Обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка

Гиперплоскости ух = ±1 являются особыми орбитами группы Ли Ст, которые разделяют гиперповерхность Е на три компоненты связности:

На каждой из этих компонент группа Ли От действует транзитивно, а на всей гиперповерхности

Мы приходим к следующей теореме эквивалентности кривых в геометрии Минковского:

Теорема 6. Пусть на двух О "-регулярных кривых ву и вд на плоскости Минковского выполнены следующие условия:

1. функции Фу и Фд не обращаются в нуль;

2. кривые ву и принадлежат одной компоненте связности, то есть либо /', д' < -1, либо —1 <

= Ф№т),

определяющее гиперповерхность Е в пространстве 33(п). Как и выше, поднятия Гу3) и Г^3) этих кривых в пространство 33(п) лежат на этой гиперповерхности. Заметим, однако, что в этом случае уравнение не всегда может быть разрешено относительно производной: для этого необходимо, чтобы функция у2 — 1 не обращалась в нуль на кривой.

Допустим, что это условие выполнено. Тогда имеем:

Уз

(у2 — 1)3Ф + Зу|уі у2 — 1

(6)

(3) (3)

Выберем на каждой кривой точки: ао € Гу и 6о € Гд . Без ограничения общности можно считать, что ж(ао) = ж(Ьо) = а. Рассмотрим пространство N(2)(а) С 32(п).

Матрица Н(2) имеет вид:

—у2

0

—уз 0

Ее определитель равен

1) уі < —1, 2) — 1 <уі < 1, 3)1 <уі.

Е — нет.

/', д' < 1, либо 1 < /',д'.

Кривые ву и вд О "-эквивалентны тогда и только тогда, когда Фу = Фд.

Рис. 1: Деление кривых на классы эквивалентности на плоскости Минковского.

Геометрический смысл разделения кривых на плоскости Минковского на классы эквивалентности состоит в следующем.

С каждой точкой M свяжем две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через эту точку и образующие с осью x углы П и -П соответственно (см. Рис.1). К первому классу эквивалентности (yi < -1) относятся кривые sf, такие, что //(x) < -1 (картинка слева). Ко второму классу эквивалентности (-1 < yi < 1) относятся кривые sf, такие, что -1 < //(x) < 1 (картинка в центре). К третьему классу эквивалентности (yi > 1) относятся кривые sf, такие, что //(x) > 1 (картинка справа).

Деление кривых в геометрии Минковского на классы эквивалентности хорошо известно в специальной теории относительности: это кривые кривые вещественной длины и кривые мнимой длины [4]. Построенные нами прямые на рисунке известны в этой теории как “световой конус”.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексеевский Д. В., Виноградов А. М., Лычагин В. В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии// Итоги науки и техники. Серия “Современные проблемы математики. Фундаментальные направления”. М.: ВИНИТИ, 1988. T. 28. 297 с.

2. Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: “Наука”, 198б. ЗЗб с.

3. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований (“Эрлангенская программа”)// В кн. А.П. Норден: Об основаниях геометрии. 1872. С. З99-4З4.

4. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: “Наука”, 19б4. бб4 С.

5. Kushner A.G., Lychagin V.V., Rubtsov V. N. Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 101. Cambridge: Cambridge University Press. 2007. ххіі+496 P.

6. Lychagin V. V. Feedback Equivalence of 1-dimensional Control Systems of the 1-st Order// Гєомєтрія, топологія та їх застосування. Збірник Праць Ін-ту математики НАН України. 2009. Т. б. № 2. С. 288-З02.

7. Стрельцова И. С. R-конформные инварианты кривых// Изв. ВУЗов. Математика. 2009. № 5. С. 78-81.