К вопросу о математическом моделировании режимов непрерывного подбрасывания щетки в контактных взаимодействиях с коллектором Текст научной статьи по специальности «Медицинские технологии»

Оригинальная статья / Original article

УДК 629.4; 621.534; 62.752

http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-1 -10-22

К ВОПРОСУ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ РЕЖИМОВ НЕПРЕРЫВНОГО ПОДБРАСЫВАНИЯ ЩЕТКИ В КОНТАКТНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ С КОЛЛЕКТОРОМ

1 9

© А.В. Елисеев', А.И. Орленко2

1Иркутский государственный университет путей сообщения, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.

2Красноярский институт железнодорожного транспорта - филиал Иркутского государственного университета путей сообщения,

Российская Федерация, 660028, г. Красноярск, ул. Ладо Кецховели, 89.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Данное исследование связано с разработкой теоретических основ динамики контактной группы элементов коллекторно-щеточного узла. Рассматриваются динамические взаимодействия щетки с коллектором в условиях вибрационного нагружения со стороны корпуса тягового электродвигателя. МЕТОДЫ. Особенностью исследования является учет возможности нарушения неудерживающего контакта «щетка - коллектор» в результате вибрационных воздействий внутренних и внешних силовых факторов. Предлагается метод построения математических моделей на основе использования обобщенной функции зазора, представляющий аналитический аппарат учета неудерживающих связей. Построение математической модели предполагает на первичном этапе допустимость сведения расчетной схемы к взаимодействию материальной частицы с вибрирующей поверхностью в гравитационном поле. В рамках рассматриваемой модели учитываются нестандартные силовые факторы путем введения дополнительной квазипостоянной силы, приложенной к щетке. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Показано воздействие силовых факторов на режимы непрерывного подбрасывания щетки. Сформулированы аналитические условия, отражающие особенности взаимодействия щетки на интервале подъема и падения на поверхность коллектора. Представлены результаты численного моделирования силовых факторов для режимов периодического нарушения контакта с непрерывным подбрасыванием щетки. ВЫВОДЫ. Разработанная математическая модель взаимодействия элементов коллекторно-щеточного узла с использованием функции зазора позволяет учитывать возможности нарушения контакта в сложных формах взаимодействия щетки с коллектором и может быть использована для создания устройств регулирования режимов контактирования щетки с поверхностью коллектора.

Ключевые слова: коллекторно-щеточный узел, тяговый двигатель, неудерживающие связи, нарушение контакта, функция зазора, непрерывное подбрасывание.

Формат цитирования: Елисеев А.В., Орленко А.И. К вопросу о математическом моделировании режимов непрерывного подбрасывания щетки в контактных взаимодействиях с коллектором // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 1. С. 10-22. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-1-10-22

ON MATHEMATICAL MODELING OF BRUSH CONTINUOUS GAP-FORMING MODES IN CONTACT INTERACTIONS WITH COMMUTATOR A.V. Eliseev, A.I. Orlenko

Irkutsk State Transport University,

15 Chernyshevsky St., Irkutsk 664074, Russian Federation

Krasnoyarsk Institute of Railway Transport - branch of Irkutsk State Transport University, 89 Lado Ketskhoveli St., Krasnoyarsk 660028, Russian Federation

ABSTRACT. PURPOSE. The study deals with the development of the theoretical bases of the dynamics of commutator contact group elements. The dynamic interaction of the brush and commutator in the conditions of vibration loading of the traction motor body is discussed. METHODS. The feature of the study is consideration of a possible loss of the unilateral brush-commutator contact as a result of vibration effects of internal and external forces. The method of mathematical model construction based on the use of the generalized function of the gap and considering unilateral constraints is pro-

1

Елисеев Андрей Владимирович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования, e-mail: eavsh@ya.ru

Andrey V. Eliseev, Candidate of Technical Sciences, Senior Researcher of the Scientific and Education Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: eavsh@ya.ru

2Орленко Алексей Иванович, кандидат технических наук, доцент, директор, e-mail: Orlenko_AI@krsk.irgups.ru Aleksei I. Orlenko, Candidate of technical sciences, Associate Professor, CEO, e-mail: orlenko_ai@krsk.irgups.ru

©

posed. The first stage of mathematical model construction allows for the possibility of computational scheme reduction to material particle interaction with a vibrating surface in the gravitational field. The model under investigation takes into account non-standard force factors through the introduction of the additional semi-permanent force applied to the brush. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. The impact of force factors on continuous gap-forming modes of brushes is shown. The analytical conditions reflecting the interaction features of the brush in the interval of rise and fall on the commutator surface are formulated. The results of numerical simulation of force factors for periodic losses of contact with continuous brush tossing are presented. CONCLUSIONS. The developed mathematical model of the commutator element interaction using the function of gap allows to take into account the possibility of contact loss in the complex forms of brush and commutator interactions and can find application in the development of control devices of brush and commutator surface contact modes.

Keywords: commutator, traction motor, unilateral constraints, loss of contact, gap function, continuous tossing

For citation: Eliseev A.V., Orlenko A.I. On mathematical modeling of brush continuous gap-forming modes in contact interactions with commutator. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 1, pp. 10-22. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2018-1-10-22

Введение

Вибрационное взаимодействие твердых тел с поверхностями разнообразно по своим формам и широко применяется в динамике технологических машин [1-5]. Теория вибрационных процессов получает свое развитие в частности в процессе моделирования взаимодействия рабочих сред с исполнительными органами транспортных и производственных машинных агрегатов, что отражено в публикациях [6-10].

Все возрастающие сегодня требования к увеличению объемов грузоперевозок и скорости движения электропоездов ставят задачу обеспечения надежности работы элементов тягового электродвигателя электровоза в режимах интенсивного вибрационного нагружения. Решения этой задачи представлены в работах по динамике коллекторно-щеточного узла (КЩУ) и устойчивости процессов токосъема [11-14].

Эффективность работы КЩУ определяется вибрационными режимами внешних силовых воздействий в сочетании с такими внутренними факторами, как условия взаимодействия щеток с поверхностью коллектора [15-21]. Неудерживающий характер динамического взаимодействия элементов КЩУ определяется формой поверхности коллектора и пространственной конфигурацией щеточных контактов, обеспечиваемых прижимными механизмами, что требует детализированного отражения в особенностях построения математической модели взаимодействия элементов

соответствующей механической колебательной системы, допускающей возможность нарушения контактов [22, 23].

Особая роль неудерживающих связей, способных формировать периодический отрыв элементов, отмечена в работах [8, 24], где для оценки особенностей динамики механических систем с учетом неудерживающих связей разработка математических моделей ведется на основе использования функции зазора. Неудержи-вающие взаимодействия элементов механических колебательных систем на примере модельных задач с реализацией периодических режимов нарушения контакта рассмотрены в публикациях [24-27]. В динамике КЩУ большое значение имеют особенности учета сил трения на динамическое состояние щетки [19].

Вместе с тем методы разработки математических моделей, учитывающих неудерживающий характер взаимодействия элементов, недостаточно детально отражают влияние сил трения щетки в ее вертикальном движении о стенки гнезда щеткодержателя на длительность нарушения контакта в режимах непрерывного подбрасывания.

В настоящей статье рассматривается подход к определению динамических характеристик элементов КЩУ в зависимости от нестандартных силовых факторов на основе математической модели с учетом неудерживающих связей.

Основные положения. Постановка задачи исследования

Взаимодействие щетки с поверхностью коллектора на предварительном этапе исследования для отражения существенных особенностей динамических характеристик может быть представлено моделью неудерживающего контактирования вертикально движущейся материальной частицы с вибрирующей горизонтальной опорной поверхностью [28]. Неровности поверхности коллектора в процессе взаимодействия со щеткой аппроксимируются гармонической функцией с фиксированной амплитудой А и частотой с. В точечном контакте поверхность коллектора представляет собой горизонтальную поверхность, совершающую вертикальные гармонические колебания. Характер контактирования щетки с учетом пространственной ориентации прижимного устройства и особенности силового воздействия со стороны корпуса тягового электродвигателя, в рамках модели взаимодействия материальной частицы с вибрирующей поверхностью, представлен двумя силовыми факторами: силой веса и дополнительной силой. Авторами под дополнительной силой понимается сила трения щетки о стенки гнезда щеткодержателя и силовое воздействие со стороны пружины прижимного элемента, представляющие собой постоянные величины, которые, однако, могут быть различными в зависимости от фазового состояния. Так, в интервале времени вертикального подъема щетки в фазе отрыва дополнительная сила может принимать одно

значение - значение /, а в фазе опускания щетки на поверхность - другое - значение /2.

Рассмотрение различных параметров амплитуды А, частоты с и силовых факторов с учетом неудерживающего характера связей между щеткой и поверхностью коллектора предполагает возможность нарушения контакта с формированием ряда фазовых состояний. Контакт щетки

с коллектором в предположении, что контактная реакция положительна, задает фазу пролеживания, из которой возможен переход в критическое фазовое состояние, характеризуемое нулевой контактной реакцией. В свою очередь из критического фазового состояния возможен переход в отрывную фазу, характеризующуюся положительной величиной зазора - расстоянием между щеткой в свободном движении и поверхностью коллектора.

Наличие гравитационных сил и дополнительных силовых факторов приводит, при выполнении определенных соотношений, к удару щетки о поверхность коллектора в некоторый момент времени, отражающий завершение фазы свободного движения. Полагается, что реализуется абсолютно неупругий удар с тем условием, что в момент касания щетки и коллектора скорость щетки приравнивается к скорости поверхности коллектора.

На рис. 1 представлены принципиальные и расчетные схемы состояния щетки во взаимодействии с коллектором в фазе отрыва и в группе фазовых состояний, объединяющих фазу пролеживания, граничную фазу нулевой реакции в контакте и фазу удара. Чередование представленных фазовых состояний определяет форму движения щетки во взаимодействии с поверхностью коллектора.

Сочетание силовых факторов, действующих на щетку, и учет неудерживаю-щего взаимодействия с поверхностью коллектора, форма движения которого характеризуется амплитудой и частотой, способны приводить к реализации режимов с периодическим отрывом [8].

Задача исследования заключается в разработке метода определения влияния динамических характеристик, отражающих особенности конфигурации дополнительных сил, на характеристики режимов движения щетки во взаимодействии с коллектором с учетом неудерживающих связей.

c

d

Рис. 1. Фазы взаимодействия щетки с коллектором: принципиальная (а) и расчетная (b) схемы фазы контакта; принципиальная (с) и расчетная (d) схемы фазы свободного движения Fig. 1. Brush and commutator interaction phases: schematic diagram (a), computational scheme (b) of the phase contact; schematic diagram (c), computational scheme (d) of the free motion phase

Математическая модель взаимодействия щетки с коллектором. Введение обобщенной функции зазора

Математическая модель взаимодействия щетки с коллектором в рамках задачи оценки характеристик динамических режимов с отрывом формируется на основе последовательной детализации представлений об особенностях движения щетки с учетом неудерживающих связей. На начальном этапе исследования строится модель свободного движения щетки в отрыве от поверхности коллектора с учетом только сил тяжести при условии, что в начальный момент времени щетка находится в принудительном контакте с поверх-

ностью коллектора. Для учета форм отрывов щетки вводится понятие обобщенной формы свободного движения щетки. Сравнение обобщенной формы свободного движения щетки с формой движения коллектора приводит к аналогичному понятию для учета зазора - обобщенной функции зазора, которая используется для определения критерия отрыва в аналитическом виде. Учет силовых факторов реализуется путем введения коэффициентов, отражающих связь силы веса с дополнительными постоянными силам, действующими на

щетку в процессе чередования фазовых состояний.

Модель свободного движения щетки основана на предположении о возможности построения формы движения щетки из точек ее принудительного контакта с поверхностью коллектора для произвольных моментов времени. Формы свободного движения щетки определяются из множества дифференциальных уравнений с учетом начальных условий, характеризующих принудительный контакт в момент времени :

d2 XH (t, t0) dt2 дХн (t, to)

d t

= -g, t ^ to

dH (t)

d t

(1)

XH (^ OL = H(OL

Здесь обобщенная форма движения щетки Хн представляет собой семейство

форм свободных движений с начальными условиями, заданными поверхностью коллектора, вертикальное движение которой аппроксимируется гармонической функцией Н (?) = А$то(.

Сравнение полученной на основе решения системы (1) обобщенной формы свободного движения щетки с формой движения поверхности Н(?) позволяет локализовать точку отрыва щетки от поверхности коллектора.

Величина превышения формой свободного движения щетки поверхности коллектора представляет собой зазор, формальное рассмотрение которого как разницы между обобщенной формой свободного движения и поверхности коллектора приводит к понятию обобщенной функции зазора:

RH(t,t0) = Хн(t,t0) -H(t),

(2)

где Хд (?, ?0) - семейство форм свободного движения щетки при условии принудительного контакта в момент ? = ?0; Н(?) - фор-

ма вертикального движения поверхности коллектора.

Задача выбора формы отрыва из семейства возможных форм свободного движения щетки может быть сведена к задаче определения формы обобщенного зазора, принимающего положительное значение после отрыва на основе дифференциального критерия, представленного в работе [8]. В частности, использование дифференциального критерия для гармонической формы вертикального движения поверхности коллектора показывает возможность реализации двух различных типов отрыва щетки от коллектора. Отрыв щетки, осуществляющийся в процессе перехода фазы пролеживания в граничную фазу нулевой контактной реакции, может быть определен из условий положительности третьей производной функции зазора [27]:

rh (t, Ol t=io = а 4(Mo)L =0,

11=1o

4(Mo)L =o,

1I=¿0

RH(t,t0) I >0,

(3)

где дифференцирование проводится по переменной ?.

Наряду с этим в рамках рассматриваемой модели возможен вариант отрыва щетки от поверхности коллектора только на основе характеристик принудительного контакта, если выполнены условия:

RH (^ Olt=0 = 0,

RH(t,t0) I >0.

(4)

Дифференциальный критерий для определения точек отрыва может быть использован в качестве классификационного признака точек отрыва на основе порядка производной, принимающей положительные значения после предыдущих нулевых

<

производных. Так, условие (4) определяет точки отрыва второго порядка, а условие (3) - точки отрыва третьего порядка.

В работе [8] показано, что учет порядка точки отрыва создает предпосылки к разработке теории траекторных режимов периодического нарушения контакта.

Существенным фактором в формировании локальных особенностей нарушения контакта щетки с поверхностью, распространяющимся на характеристики ре-

жимов с периодическим отрывом, являются силовые воздействия на щетку, проявляющие себя в ряде случаев как дополнительные постоянные силы. В рамках оценки эффективности работы КЩУ интерес представляет влияние дополнительных сил на длительность нарушения контакта между щеткой и поверхностью коллектора. Детали исследования представлены в работах [8, 27].

Длительность нарушения контакта в зависимости от конфигурации дополнительных сил. Прямая задача

Рассмотрим длительность нарушения контакта в режиме непрерывного подбрасывания щетки в предположении, что сила после переключения изменяется в а

раз. Полагается, что конфигурация сил /1 и

/2 определяется выражением /2 -а^ для

некоторого конфигурационного параметра а, принимающего значение, отражающее особенность взаимодействия щетки со средой, в общем случае произвольное вещественное число.

Вариант а> 1 означает, что при опускании щетки в гнезде коллектора дополнительная сила, сонаправленная с силой веса, увеличивается. При фиксированном конфигурационном параметре а длительность нарушения контакта в зависимости от дополнительной силы /1 имеет аналитическое выражение:

mg

а

< f < -mg + mAo .

(6)

Если Ас2- g > 0, то для конфигурационного параметра а> 1 рассматриваемый диапазон сил не пуст. Если же Ас2 - ^ < 0, то необходимо рассматривать а в диапазоне

1 < а < ■

g

g - Äo

(7)

Вариант 0<а< 1 означает, что в процессе опускания щетки дополнительная сила ослабевает по сравнению с силой, возникающей в процессе подъема после отрыва. Одновременный учет условия конечности длительности нарушения контакта и условия нарушения контакта приводит к выражению

AT =

f f 1

1+ mg

i af1

1 1 mg J

Л

Aо

g (1 f

1 о

mg

-mg < f < -mg + mÄo2.

(8)

. (5)

Так как а> 1, то при условии конечного времени нарушения контакта и реализации отрыва имеется диапазон сил, формирующих фазу нарушения контакта конечной длительности:

Вариант а< 0 отражает эффект смены направления действия дополнительной силы в момент достижения щеткой максимальной высоты подлета. Совместное выполнение условия конечности длительности нарушения контакта и условия нарушения контакта можно представить в виде интервала для дополнительной силы:

у mg

-mg < f <--^.

а

(9)

Для рассматриваемого варианта конфигурационного параметра условие (9) задает непустое множество дополнительных сил, действующих на щетку в процессе отрыва на стадии подъема. Следует отметить, что по мере приближения дополнительной силы к граничным точкам интервал (9) - время нарушения контакта щетки с поверхностью коллектора, может достигать неограниченно больших значений.

Когда величина дополнительной силы принимает критическое значение /0 = ш(Ла>2 -то длительность наруше-

ния контакта сокращается до нуля. Если для некоторого конфигурационного параметра значение критической силы /0 превышает максимальное значение диапазона конечной длительности нарушения контакта

mg

а

< m(Aa> - g)

(10)

то соответствующие графики длительностей нарушения контакта принимают вид кривых, приведенных на рис. 2 (кривые представлены для различных параметров а).

.05- ;

1Ю4 (4) (3)

-=-0 rjfi -4-Г 1> a P \

H &m-0.01

j T (1) \

i i i i J I-~^

0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Force F. N,

Рис. 2. Длительность нарушения контакта для конфигурационного параметра а< 0;

A = 0,0002 м; с = 100 Гц; m = 0,02 кг; 1 - график подлета для варианта, когда переключения не происходит и сила сохраняет интенсивность в течение всего периода движения щетки; 2 - величина силы подавления подбрасывания; 3 - график для параметра а = -0,2; 4 - график для параметра а = -1; 5 - график времени подлета при отсутствии дополнительных сил Fig. 2. Contact loss duration for the configuration parameter а< 0 ; A = 0.0002 m; с = 100 Hz; m = 0.02 kg; 1 - curve of gap duration for the variant when switching does not occur and the intensity of force remains unchanged throughout the whole period of brush motion; 2 - gap suppression force magnitude; 3 - curve for the parameter а = -0.2 ; 4 - curve for the parameter а = —1; 5 - curve of gap duration in the absence of additional forces

Конфигурация сил, обеспечивающая фиксированное время нарушения контакта.

Обратная задача

Рассмотрим сочетание дополнительных сил, обеспечивающих фиксированную длительность нарушения контакта щетки с поверхностью коллектора.

Для определения конфигурации сил, при которых длительность нарушения контакта составляет величину Т0, рассматривается уравнение относительно /, /, выступающих в роли искомых неизвестных:

(

1 -

mg

V

А

mg

\

Aa

g (l

Ä mg

a

= To. (11)

Для разрешимости уравнения (11) необходимо выполнение условия

1 +

А

mg _

T

-L П

1 +

mg

-1 > o. (12)

Aa

g (1 -Ä)

a

mg

Можно показать, что дополнительная сила / должна лежать в интервале

mg +

1

T0 a +1

mAa2 < f < -mg + mAa2. (13)

При выполнении для силы / условий (13) искомая дополнительная сила однозначно представляется в виде дробно-рациональной функции.

Рассмотрим вариант независимых

значений / и /2. Полагается, что на щетку, взаимодействующую с поверхностью коллектора, действуют дополнительные

силы /1 и /2 на интервале движения щетки

вверх после отрыва и на интервале движения щетки вниз после отрыва соответственно, и эти силы независимы.

Рассмотрим плоскость YOX с декартовой системой координат (рис. 3). Каждой

точке Р = (/, /2) плоскости YOX ставится в

соответствие режим непрерывного подбрасывания щетки с учетом дополнительных сил /, /. Положительному значению соответствует дополнительная сила, направленная в сторону силы тяжести. Аналогично, отрицательному значению соответствует сила, направленная в противоположную сторону к силе тяжести. На плоскости рассматривается область, ограниченная двумя отрезками - СЕ и РО, параллельными оси ординат. Внутри обозначенной области, определяющей множество конфигураций дополнительных сил, реализуется периодическое нарушение контакта щетки с поверхностью коллектора.

На рис. 3 данное конфигурационное множество обозначено ЕСРО. По мере приближения к границе области СЕ и СР длительность нарушения контакта щетки с коллектором неограниченно возрастает. По мере приближения к границе РО длительность нарушения контакта убывает до нуля. Если точка силовой конфигурации Р лежит вне данной области, то щетка находится либо в зоне невозможности нарушения контакта с поверхностью коллектора, то есть правее прямой РО, либо в области бесконечной длительности нарушения контакта, то есть или левее прямой ЕС, или ниже прямой СР и одновременно левее прямой РО. Область периодического нарушения контакта условно можно разделить на подобласти в зависимости от рассматриваемых режимов.

Области внутри треугольников ОУО и ОВС определяют конфигурацию дополнительных сил, обладающих тем свойством, что на интервале опускания щетки в режиме с непрерывным подбрасыванием интенсивность силы, сохраняя свое направление, возрастает по сравнению с силой, действующей на интервале подъема щетки (на рис. 3 данная область обозначена цифрой II).

Рис. 3. Множество режимов отрыва с фиксированной длительностью подлета: С - точка с координатами (-mg, -mg); F - точка с координатами (-mg+mAa2,-mg). Линии (1)-(10) - линии уровня для длительности подлета (с) щетки соответственно равного значениям: 0,0001; 0,0002; 0,0004; 0,0008; 0,0016;...; 0,0512 Fig. 3. Set of loss contact modes with the fixed gap duration: С - point with coordinates (-mg, -mg), F - point with coordinates (-mg+mAa2,-mg). Curves (1)-(10) are the lines of the level for brush gap duration (c) equal to the values 0.0001, 0.0002, 0.0004, 0.0008, 0.0016,...; 0.0512 respectively

Область внутри треугольников CAO и ODX определяет конфигурацию сил, интенсивность которых понижается в результате смены направления щетки в фазе отрыва от поверхности (на рис. 3 данная область обозначена цифрой I).

Область внутри прямоугольников AOYE и BOXD, обозначенная на рис. 3 цифрой III, определяет конфигурацию сил, меняющих свое направление в результате смены направления щеткой движения в фазе отрыва. Множество режимов, для которых дополнительная сила при смене направления сохраняет свой модуль, обозначено на рис. 3 отрезком PQ. В концах отрезка, а именно в точках P и Q, создаются условия реализации режима с наруше-

нием контакта «бесконечной» продолжительности. Для такого режима можно найти сочетание сил, которые минимизируют высоту подлета щетки при условии, что точка Р лежит правее точки 0. Это условие равносильно неравенству mg <-mg + шА<х>2. При дальнейшем движении вдоль прямой Р0 происходит переход взаимодействия в безвозвратный режим отрыва щетки.

При более детализированном рассмотрении коллекторно-щеточного узла можно отметить, что щетка, имея неудер-живающие связи, взаимодействует не только с поверхностью коллектора, но и с элементами щеткодержателя, в частности, с пружиной, которая в свою очередь обладает определенными массоинерционными

свойствами. При таком подходе динамика взаимодействия элементов КЩУ усложняется из-за возможностей влияния второй неудерживающей связи.

Представленные варианты режимов

позволяют рассматривать дополнительную силу как фактор возможного регулирования динамического состояния контактного взаимодействия щетки с поверхностью коллектора.

Выводы

На основании проведенных исследований можно сделать ряд выводов:

1. Авторами разработана новая математическая модель взаимодействия элементов коллекторно-щеточного узла, которая позволяет учитывать возможности нарушения контакта в сложных формах взаимодействия щетки с коллектором.

2. Предложена периодизация контактного взаимодействия, представленная различными фазовыми состояниями: фазой пролеживания, граничным состоянием контакта, фазой отрыва, фазой соударения с поверхностью.

3. Введено новое понятие в виде обобщенной функции зазора, которая предопределяет детализацию представлений о различных формах нарушения контакта и может задавать классификацион-

ный признак на основе дифференциального критерия отрыва.

4. Показано, что дополнительная сила, отражающая особенности сил трения и воздействие со стороны прижимного устройства, представляет собой существенный фактор, определяющий длительность нарушения контакта щетки с поверхностью коллектора, и оказывает воздействие на особенности формирования режимов с непрерывным подбрасыванием.

5. Аналитический результат решения обратной задачи по определению дополнительных сил, обеспечивающих фиксированную длительность нарушения контакта, может быть использован для разработки устройств регулирования режимов контактирования щетки с поверхностью коллектора.

Библиографический список

1. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of Vibration Protection. Springer International Publishing. Switzerland, 2016. 708 p.

2. Rocard Y. General Dynamics of Vibrations. Paris: Masson, 1949. 458 p

3. Clarence W. de Silva. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000. 957 p.

4. Harris С.М. Crede C. E. Shock and Vibration Handbook. New York: McGraw - Hill Book Со, 2002. 1457 p.

5. Front Matter, In Power Electronics Handbook (Fourth Edition), edited by Muhammad H. Rashid, ButterworthHeinemann, 2018. 1510 p.

6. Блехман И.И. Теория вибрационных процессов и устройств. Вибрационная механика и вибрационная техника. СПб.: ИД «Руда и металлы», 2013. 640 с.

7. Пановко Г.Я. Динамика вибрационных технологических процессов: монография. М.: Изд-во Института компьютерных технологий, 2006. 176 с.

8. Елисеев А.В., Сельвинский В.В., Елисеев С.В. Динамика вибрационных взаимодействий элементов технологических систем с учетом неудержива-ющих связей: монография. Новосибирск: Наука, 2015. 332 с.

9. Копылов Ю.Р. Динамика процессов виброударно-

го упрочнения: монография Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2011. 568 с.

10. Гончаревич И.Ф., Фролов. К.В. Теория вибрационной техники. М.: Наука, 1981. 320 с.

11. Бочаров В.И., Захаров В.И., Коломейцев Л.Ф. и др. Тяговые электродвигатели электровозов; под ред. В.Г. Щербакова. Новочеркасск: Агентство «Наутилус», 1998. 672 с.

12. Орленко А.И., Петров М.Н., Терегулов О.А. Комплексная диагностика тягового электродвигателя электровоза: монография. Красноярск: Изд-во ООО «Поликом», 2016. 218 с.

13. Орленко А.И., Петров М.Н., Терегулов О.А. Исследование повреждений подвижного состава железной дороги сибирского региона: монография. Красноярск: Изд-во КрИЖТ ИрГУПС, 2016. 198 с.

14. Шантаренко С.Г., Кузнецов В.Ф., Пономарев Е.В., Тараненко В.А. Повышение качества токосъема в контакте «щетка-коллектор» тягового электродвигателя электровоза 2ЭС6 // Омский научный вестник. 2016. № 5 (149). С. 77-80.

15. Авилов В.Д. Оптимизация коммутационного процесса в коллекторных электрических машинах постоянного тока: монография. Омск: Изд-во ОмГУПС, 2013. 356 с.

16. Авилов В.Д. Влияние соотношения воздушных зазоров в магнитной цепи дополнительных полюсов тяговых и других электрических машин на условия коммутации // Пути повышения энергетической эффективности магистральных электровозов: межвуз. сб. науч. тр. Омск: Изд-во ОмИИТ, 1984. С. 55-61.

17. Авилов В.Д., Харламов В.В., Нехаев В.А., Шко-дун П.К. Влияние динамического взаимодействия железнодорожного пути и локомотива на качество функционирования тягового электродвигателя // Ресурсосберегающие технологии на железнодорожном транспорте: материалы Всерос. науч.-техн. конф. с междунар. участием (Красноярск, 19-21 мая 2005 г.). Красноярск: Гротеск, 2005. С. 433-438.

18. Авилов В.Д., Харламов В.В., Грязнов П.А., Сергеев Р.В. Перспектива повышения качества работы коллекторно-щеточного узла машин постоянного тока // Исследование процессов взаимодействия объектов железнодорожного транспорта с окружающей средой: сб. ст. по результатам выполнения программы фундаментальных и поисковых научно-исследовательских работ за 1997 год. Омск: Изд-во ОмГУПС, 1997. С. 55-61.

19. Харламов В.В. Методы и средства диагностирования технического состояния коллекторно-щеточного узла тяговых электродвигателей и других коллекторных машин постоянного тока: монография Омск: Изд-во ОмГУПС, 2002. 233 с.

20. Харламов В.В., Безбородов Ю.Я., Козлов В.Н. Диагностика состояния коллекторно-щеточного узла машин постоянного тока Коммутация в тяговых электродвигателях // Коммутация в тяговых электродвигателях и других коллекторных машинах: межвуз. темат. сб. науч. тр. Омск: Изд-во ОмИИТ, 1985. С. 44-47.

21. Карасев М.Ф., Беляев В.П., Козлов В.Н., Трушков А.М., Авилов В.Д., Елисеев С.В. Оптимальная коммутация машин переменного тока: монография. М.:

Транспорт, 1967. 180 c.

22. Елисеев С.В., Лоткин О.И. Условия существования и нарушения контакта для систем с неудержи-вающими связями // Труды ОМИИТа. 1966. Вып. 69. С. 93-99.

23. Елисеев С.В., Марков К.К. Некоторые вопросы динамики колебательного процесса при неудержи-вающих связях // Механика и процессы управления: сб. ст. Иркутск: Изд-во ИПИ, 1971. С. 71-83.

24. Eliseev A.V., Artyunin A.I., Eliseev S.V. Generalized gap function in the dynamic interaction problems of elements of vibrational technological machines with "not holding" ties // Vibroengineering Procedia. Kaunas, Lithuania. October 2016. Vol. 8. Р. 495-500.

25. Eliseev A.V., Artyunin A.I., Sigachev N.P., Sitov I.S. Unilateral constraints in vibrating technological processes: mathematical models, features of interaction of elements // The fifth International Symposium on Innovation and Sustainability of Modern Railway (ISMR'2016). Nanchang, China, October 20-21, 2016. Р. 261-269.

26. Eliseev A.V., Sitov I.S. Model problems of dynamics of mechanical vibration systems with unilateral constraints // Proceedings of the fourth international symposium on innovation & Sustainability of modern railway (ISMR'2014). Irkutsk: Publishing by Irkutsk State Transport University, 2014. Р. 181-185.

27. Ситов И.С., Елисеев А.В. Теоретические основы процессов взаимодействия материальной частицы с вибрирующей поверхностью с неудерживающими связями // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 4 (16). С. 19-29.

28. Елисеев А.В. Особенности взаимодействия материальной частицы с вибрирующей поверхностью в зависимости от дополнительной силы с неудержи-вающей связью // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2013. № 3. С. 9-15.

References

1. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of Vibration Protection. Springer International Publishing. Switzerland, 2016, 708 p.

2. Rocard Y. General Dynamics of Vibrations. Paris: Masson, 1949, 458 p

3. Clarence W. de Silva. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000, 957 p.

4. Harris C.M. Crede C. E. Shock and Vibration Handbook. New York: McGraw - Hill Book Co, 2002, 1457 p.

5. Front Matter, In Power Electronics Handbook (Fourth Edition), edited by Muhammad H. Rashid, ButterworthHeinemann, 2018, 1510 p.

6. Blekhman I.I. Teoriya vibratsionnykh protsessov i ustroistv. Vibratsionnaya mekhanika i vibratsionnaya tekhnika [Theory of vibrational processes and devices. Vibrational mechanics and vibration equipment]. Sankt-Peterburg: Ruda i metally Publ., 2013, 640 p. (In Russian)

7. Panovko G.Ya. Dinamika vibratsionnykh tekhnolog-icheskikh protsessov [Dynamics of vibrational technological processes]. Moscow: Institut komp'yuternykh tekhnologii Publ., 2006, 176 p. (In Russian)

8. Eliseev A.V., Sel'vinskii V.V., Eliseev S.V. Dinamika vibratsionnykh vzaimodeistvii elementov tekhnolog-icheskikh sistem s uchetom neuderzhivayushchikh svyazei [Dynamics of vibratory interactions of technological system elements with account of unilateral constraints]. Novosibirsk: Nauka Publ., 2015, 332 p. (In Russian)

9. Kopylov Yu.R. Dinamika protsessov vibroudarnogo uprochneniya [Dynamics of shock vibrating strengthening] Voronezh: Nauchnaya kniga Publ., 2011, 568 p. (In Russian)

10. Goncharevich I.F., Frolov. K.V. Teoriya vibratsion-noi tekhniki [Theory of vibratory technology] Moscow: Nauka Publ., 1981, 320 p. (In Russian)

11. Bocharov V.I., Zakharov V.I., Kolomeitsev L.F. i dr.

Tyagovye elektrodvigateli elektrovozov [Traction motors of electric locomotives]. Pod red. V.G. Shcherbakova. Novocherkassk: Agentstvo "Nautilus" Publ., 1998, 672 p. (In Russian)

12. Orlenko A.I., Petrov M.N., Teregulov O.A. Kom-pleksnaya diagnostika tyagovogo elektrodvigatelya el-ektrovoza [Integrated diagnostics of electric locomotive traction motor]. Krasnoyarsk: OOO "Polikom" Publ., 2016, 218 p. (In Russian)

13. Orlenko A.I., Petrov M.N., Teregulov O.A. Issledo-vanie povrezhdenii podvizhnogo sostava zheleznoi dorogi sibirskogo regiona [Damage investigation of Siberian railway rolling stock]. Krasnoyarsk: KrIZhT Ir-GUPS Publ., 2016, 198 p. (In Russian)

14. Shantarenko S.G., Kuznetsov V.F., Ponomarev E.V., Taranenko V.A. Improving quality of current collection in touch "brush-collector" 2ES6 electric traction motor. Omskii nauchnyi vestnik [Omsk Scientific Bulletin]. 2016, no. 5 (149), pp. 77-80. (In Russian)

15. Avilov V.D. Optimizatsiya kommutatsionnogo protsessa v kollektornykh elektricheskikh mashinakh postoyannogo toka [Optimization of switching in DC electrocommutators]. Omsk: OmGUPS Publ., 2013, 356 p. (In Russian)

16. Avilov V.D. Vliyanie sootnosheniya vozdushnykh zazorov v magnitnoi tsepi dopolnitel'nykh polyusov tya-govykh i drugikh elektricheskikh mashin na usloviya kommutatsii [Influence of air gap ratio in the magnetic circuit of additional poles of traction and other electric machines on commutation conditions]. Puti povysheni-ya energeticheskoi effektivnosti magistral'nykh elektrovozov: mezhvuzovskii sbornik nauchnykh trudov [Ways to improve the energy efficiency of mainline electric locomotives: interuniversity collection of scientific papers]. Omsk: OmIIT Publ., 1984, pp. 55-61. (In Russian)

17. Avilov V.D., Kharlamov V.V., Nekhaev V.A., Shko-dun P.K. Vliyanie dinamicheskogo vzaimodeistviya zheleznodorozhnogo puti i lokomotiva na kachestvo funktsionirovaniya tyagovogo elektrodvigatelya [Effect of railway track and locomotive dynamic interaction on traction motor operation quality/ Materialy Vserossiiskoi nauchno-tekhnicheskoi konferentsii s mezhdunarodnym uchastiem "Resursosberegayushchie tekhnologii na zheleznodorozhnom transporte" [Materials of all-Russian scientific and technical conference with international participation "Resource-saving technologies on railway transport]. Krasnoyarsk: Grotesk Publ., 2005, pp. 433-438. (In Russian

18. Avilov V.D., Kharlamov V.V., Gryaznov P.A., Ser-geev R.V. Perspektiva povysheniya kachestva raboty kollektorno-shchetochnogo uzla mashin postoyannogo toka [The prospects of improving operation efficiency of DC brush-commutator unit]. Issledovanie protsessov vzaimodeistviya ob"ektov zheleznodorozhnogo transporta s okruzhayushchei sredoi: sbornik statei po rezu-l'tatam vypolneniya programmy fundamental'nykh i poiskovykh nauchno-issledovatel'skikh rabot za 1997 god [Study of railway transport interaction with the environment: collection of articles on the outcomes of the

program of fundamental and exploratory researches for 1997]. Omsk: OmGUPS Publ., 1997, pp. 55-61. (In Russian)

19. Kharlamov V.V. Metody i sredstva diagnostirovaniya tekhnicheskogo sostoyaniya kollektorno-shchetochnogo uzla tyagovykh elektrodvigatelei i drugikh kollektornykh mashin postoyannogo toka [Methods and tools for diagnosing the technical condition of the brush-commutator unit of traction electric motors and other DC commutator machines]. Omsk: OmGUPS Publ., 2002, 233 p. (In Russian)

20. Kharlamov V.V., Bezborodov Yu.Ya., Kozlov V.N. Diagnostika sostoyaniya kollektorno-shchetochnogo uzla mashin postoyannogo toka. Kommutatsiya v tyagovykh elektrodvigatelyakh [Diagnostics of the brush-commutator unit of DC machines. Commutation in traction motors]. Kommutatsiya v tyagovykh elektrodvigatelyakh i drugikh kollektornykh mashinakh: mezhvuzovskii tematicheskii sbornik nauchnykh trudov [Switching in traction motors and other commutators: interuniversity thematic collection of scientific works]. Omsk: OmIIT Publ., 1985, pp. 44-47. (In Russian)

21. Karasev M.F., Belyaev V.P., Kozlov V.N., Trushkov A.M., Avilov V.D., Eliseev S.V. Optimal'naya kommutatsiya mashin peremennogo toka [Optimal commutation of AC machines]. Moscow: Transport Publ., 1967, 180 p. (In Russian)

22. Eliseev S.V., Lotkin O.I. Conditions for the existence and loss of contact for the systems with unilateral constraints. Trudy OMIITa [Proceedings of Omsk Institute of Railway Engineers]. 1966, issue 69, pp. 93-99. (In Russian)

23. Eliseev S.V., Markov K.K. Nekotorye voprosy dina-miki kolebatel'nogo protsessa pri neuderzhivayushchikh svyazyakh [Some problems of oscillatory process dynamics at unilateral constraints]. Mekhanika i protsessy upravleniya: sbornik statei [Mechanics and Control Processes: Collection of articles]. Irkutsk: IPI Publ., 1971, pp. 71-83. (In Russian)

24. Eliseev A.V., Artyunin A.I., Eliseev S.V. Generalized gap function in the dynamic interaction problems of elements of vibrational technological machines with "not holding" ties. Vibroengineering Procedia. Kaunas, Lithuania. October 2016. Vol. 8, pp. 495-500.

25. Eliseev A.V., Artyunin A.I., Sigachev N.P., Sitov I.S. Unilateral constraints in vibrating technological processes: mathematical models, features of interaction of elements. The fifth International Symposium on Innovation and Sustainability of Modern Railway (ISMR'2016). Nanchang, China, October 20-21, 2016, pp. 261-269.

26. Eliseev A.V., Sitov I.S. Model problems of dynamics of mechanical vibration systems with unilateral constraints. Proceedings of the fourth international symposium on innovation & Sustainability of modern railway (ISMR'2014). Irkutsk: Publishing by Irkutsk State Transport University, 2014, pp. 181-185.

27. Sitov I.S., Eliseev A.V. Theoretical bases of processes of interaction of a material particle with a vibrating surface with "not-holding" ties. Sistemy. Metody. Tekhnologii [Systems. Methods. Technologies]. 2012,

no. 4 (16), pp. 19-29. (In Russian) 28. Eliseev A.V. Features of the interaction of material particles with a vibrating surface depending on the additional force with "not-holding" ties. Mezhdunarndnyi

zhurnal prikladnykh i fundamental'nykh issledovanii [International journal of applied and fundamental research]. 2013, no. 3, pp. 9-15. (In Russian)

Критерии авторства

Авторы заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.

Authorship criteria

The authors declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and bear equal responsibility for plagiarism.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interest

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.

Статья поступила 20.11.2017 г.

The article was received 20 November 2017