Исследование совместного влияния быстрых и медленных замираний полезного и мешающего сигналов в случае распределения Рэлея и Гамма-распределения на качество приема полезного сигнала Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИССЛЕДОВАНИЕ СОВМЕСТНОГО ВЛИЯНИЯ БЫСТРЫХ И МЕДЛЕННЫХ ЗАМИРАНИЙ ПОЛЕЗНОГО И МЕШАЮЩЕГО СИГНАЛОВ В СЛУЧАЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЭЛЕЯ И ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА КАЧЕСТВО ПРИЕМА

ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА

Шолохов Иван Дмитриевич,

инженер по радиолокации, радионавигации и связи, ФГУП НИИР, Москва, Россия, Sholohov@niir.ru

Ключевые слова: дифференциальный закон распределения, интегральный закон распределения, полезный сигнал, мешающий сигнал, отношение мощностей, защитное отношение, отношение множителей ослабления, процент времени, Гамма-распределение, распределение Рэлея, Гамма-функция, G-функция Мейера.

В данной работе для исследования совместного влияния быстрых и медленных замираний полезного и мешающего сигналов на качество приема полезного сигнала применяется критерий защитного отношения, где допустимость воздействия мешающего сигнала на качество приема полезного сигнала ограничивается величиной максимально допустимого процента времени, в течение которого отношение мощностей полезного и мешающего сигналов на входе приемной антенны полезной системы не превышает заданное минимально допустимое отношение мощностей полезного и мешающего сигналов на входе приемной антенны полезной системы. При превышении значения максимально допустимого процента времени значением реального процента времени полагают, что условия электромагнитной совместимости рассматриваемых систем не выполняются.

Целью работы, в соответствии с критерием защитного отношения, являлось получение интегрального закона распределения отношения мощностей полезного и мешающего сигналов на входе приемной антенны полезной системы для определения выполнения или не выполнения условий электромагнитной совместимости с учетом заданных дифференциальных законов распределения множителей ослабления быстрых и медленных замираний полезного и мешающего сигналов.

Предполагалось, что множители ослабления быстрых замираний сигналов описываются распределением Рэлея, а множители ослабления медленных замираний сигналов описываются часто встречающимся в метровом и дециметровом диапазоне радиочастот Гамма-распределением. Получено:

• Интегральный закон распределения отношения мощностей полезного и мешающего сигналов на входе приемной антенны полезной системы в рассматриваемом случае;

• Семейство графических зависимостей полученного интегрального закона распределения при различных значениях параметров Гамма-распределений множителей ослабления медленных замираний полезного и мешающего сигналов.

Сравнение значений реального процента времени полученного интегрального закона распределения, в течение которого не превышается минимально допустимое значение отношения мощностей полезного и мешающего сигналов на входе приемной антенны полезной системы, с максимально допустимым процентом времени позволяет сделать заключение о наличии или отсутствии электромагнитной совместимости в рассматриваемом случае.

Для цитирования:

Шолохов И.Д. Исследование совместного влияния быстрых и медленных замираний полезного и мешающего сигналов в случае распределения Рэлея и гамма-распределения на качество приема полезного сигнала // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. -2016. - Том 10. - №7. - С. 13-22.

For citation:

Sholokhov I.D. The study of combined impact of fast and slow fadings of useful and interfering signals in the case of Rayleigh distribution and gamma distribution on the quality of the useful signal reception. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.7, рр. 13-22. (in Russian)

Введение

Реальная работа радиосистем может сопровождаться воздействием мешающих сигналов на приемник полезных сигналов. Качество приема полезного сигнала зависит от отношения мощностей полезного и мешающего сигналов на входе приемной антенны полезной системы в реальных условиях, Из-за случайных изменений условий распространения полезного и мешающего сигналов мощности полезного и мешающего сигналов будут являться случайными функциями времени, а отношение мощностей одного полезного и одного (двух) мешающего сигналов представляет собой случайный процесс:

(1)

ит

где - напряжение полезного сигнала па входе приемника полезной системы в реальных условиях; £/, [/] — суммарное напряжение нескольких мешающих сигналов на входе приемника в реальных условиях.

При работе систем в метровом и дециметровом диапазоне частот изменение уровней полезного и мешающего сигналов можно считать статистически независимыми, так как условия распространения полезного и мешающего сигналов сильно отличаются ввиду различных трасс распространения [I |.

Представляя мощности сигналов как произведение мощности сигнала в условиях свободного пространства и квадрата множителя ослабления результирующих замираний сигнала, получаем:

• Общее выражения для нахождения мощности полезного сигнала:

Ц»[']=Сок=1Ы']' <2>

где ,„[,] - множитель ослабления результирующих замираний полезного сигнала в реальных условиях; ¿/0[/*„=1] -

мощность полезного сигнала на входе приемника полезной системы в условиях свободного пространства.

• Общее выражение для нахождения мощности первого мешающего сигнала:

О)

где г[/] - множитель ослабления результирующих замираний первого мешающего сигнала в реальных условиях; ил[г = |] - мощность первого мешающего сигнала на входе приемника полезной системы в условиях свободного пространства.

• Общее выражение для нахождения мощности второго мешающего сигнала:

и2[1Ьи2[гг = Ш (4)

где /•,[/] - множитель ослабления результирующих замираний второго мешающего сигнала в реальных условиях; (У, [г, = 1] — мощность второго мешающего сигнала на входе приемника полезной системы в условиях свободного пространства.

Также при работе систем в метровом и дециметровом диапазоне чаете л' множители ослабления результирующих замираний сигналов можно представить как произведения двух случайных независимых величин (произведение множителей ослабления быстрых и медленных замираний сигналов):

• Общее выражение для нахождения множителя ослабления результирующих замираний полезного сигнала:

'■Л'НД'КН (5)

где £0[/1 - множитель ослабления быстрых замираний полезного сигнала в реальных условиях; - множитель

ослабления медленных замираний полезного сигнала в реальных условиях;

• Общее выражение для нахождения множителя ослабления результирующих замираний мешающего сигнала:

г^/ЬМ'Ы']. (6)

где &[/] - множитель ослабления быстрых замираний первого мешающего сигнала в реальных условиях; т^] - множитель ослабления медленных замираний первого мешающего сигнала в реальных условиях,

• Общее выражение для нахождения множителя ослабления результирующих замираний второго мешающего сигнала:

г2[<1 =М'кИ- О)

где £,[/] - множитель ослабления быстрых замираний второго мешающего сигнала в реальных условиях; т2[(] - множитель ослабления медленных замираний второго мешающего сигнала в реальных условиях.

Основной причиной быстрых замираний сигналов является многолучевой характер распространения радиосигналов, а причиной медленных замираний сингалов являются медленные изменения состояния различных частей тропосферы и условий экранирования на трассе распространения.

В случае применения широко используемого на практике Критерия защитного отношения [2| допустимость воздействия мешающего сигнала на качество приема полезного сигнала ограничивается величиной максимально допустимого процента времени, в течение которого отношение мощностей одного полезного и одного (двух) мешающего сигналов может превосходить заданное минимально допустимое отношение мощностей одного полезного и одного (двух) мешающего сигналов:

г=фи<е:;]<7г> <8>

где - минимально допустимое отношение мощностей

одного полезного и одного (двух) мешающего сигналов на входе приемника полезной системы; Т^ — максимально

допустимый процент времени.

При превышении значения максимально допустимого процента времени значением реального процента времени полагают, что условия электромагнитной совместимости рассматриваемых систем не выполняются.

Целью данной работы являлось получение интегрального закона распределения отношения мощностей одного полезного и одного (двух) мешающего сигналов для определения выполнения или не выполнения условий электромагнитной совместимости (8) с учетом заданных дифференциальных законов распределения множителей ослабления быстрых и медленных замираний полезного и мешающего (мешающих) сигналов:

(9)

ФгМеИ^г;]-

Частный случай одного полезного и одного мешающего сигналов. Предполагая, что множители ослабления медленных замираний сигналов описываются Гамма-распределением [3], а множители ослабления быстрых зам и-

Т-Сотт Том 10. #7-20 16

рании сигналов описываются часто встречающимся в метровом и дециметровом диапазоне частот распределением Рэлея [1], получаем:

• Дифференциальный закон распределения множителя ослабления быстрых замираний полезного сигнала:

r[íü=%xp

А

2 а:

(10)

где (т(| - параметр распределения Рэлея множителя ослабления быстрых замираний полезного сигнала;

• Дифференциальный закон распределения множителя ослабления медленных замираний полезного сигнала:

w[mu]=iV

ro i / \ V1 ехр го

А. . AAL

(И)

где к„ - параметр Гамма-распределения множителя ослабления медленных замираний полезного сигнала; вп — параметр Гамма-распределения множителя ослабления медленных замираний полезного сигнала;

■ Дифференциальный закон распределения множителя ослабления быстрых замираний первого мешающего сигнала:

Иф,] = 4ехр

от

2а:

(12)

где ет - параметр распределения Рэлея множителя ослабления быстрых замираний первого мешающего сигнала;

• Дифференциальный закон распределения множителя ослабления медленных замираний первого мешающего сигнала:

W[m,] = W

]

б,'1

Г[к,

м

ехр

Щ

b,0.

(13)

егХФиУй-

к к 2 ' 2

1

2'2

i г

ч К

(14)

* Дифференциальный закон распределения множителя ослабления результирующих замираний перового мешающего сигнала: 3

3.0

Iíl !íl 2 ' 2

Г 1

2 2

г,

8a-0f

(15)

Далее, подставляя полученные дифференциальные законы распределения множителя ослабления результирующих замираний полезного (14) и мешающего (15) сигналов в полученное общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения отношения множителей ослабления результирующих замираний одного полезного и одного мешающего сигналов [4], при использовании общего выражения для нахождения определенного интеграла содержащего G-функпию Мейера [5], получаем дифференциальный закон распределения отношения множителей ослабления результирующих замираний одного полезного и одного мешающего сигналов

W[q]=

2к"+к' 'g,fl, кг[Цг[к^А

f -< 3,3

к,

(16)

2 '2 2 ' 2

к кЛ I 2 ' 2 2 ' 2

Подставляя полученный дифференциальный закон распределения отношения множителей ослабления результирующих замираний одного полезного и одного мешающего сигналов (16) в полученное общее выражение для нахождения интегрального закона распределения отношения множителей ослабления результирующих замираний одного полезного и одного мешающего сигналов [4], при использовании общего выражения для нахождения первообразной от О-функции Мейера [5], получаем интегральный закон распределения отношения множителей ослабления результирующих замираний одного полезного и одного мешающего сигналов:

2vv 2

где кл - параметр Гамма-распределения множителя ослабления медленных замираний первого мешающего сигнала; -параметр Гамма-распределения множителя ослабления медленных замираний первого мешающего сигнала.

Далее, подставляя полученные дифференциальные законы распределения множителя ослабления быстрых и медленных замираний одного полезного и одного мешающего сигналов (10) - (13) в полученное общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения множителя ослабления результирующих замираний одного полезного и одного мешающего сигналов [4], при использовании основных свойств О-функции Мейера и общее выражение для нахождения определенного интеграла содержащего С-функцию Мейера [5], получаем:

■ Дифференциальный закон распределения множителя ослабления результирующих замираний полезного сигнала: 3 к°~2

J-_Al I —к \ 2 2 ' 2 '

1 ^ ■ к..

—h-2

«7Гб,

'тШ

(17)

2 ' 2 ' 2

На основании полученного интегрального закона распределения отношения множителей ослабления результирующих замираний одного полезного и одного мешающего сигналов (17) в качестве примера получено семейство графических зависимостей (рис. 1) при различных параметрах дифференциальных законов распределения множителей ослабления быстрых и медленных замираний полезного и мешающего сигналов.

k=k'=l/2

Рис. 1. Вид интегрального закона распределения отношения множителей ослабления результирующих замираний одного полезного и одного мешающего сигналов при различных значениях параметров Гамма-рас преде лений множителей ослабления медленных замираний полезного и метающего сигналов

T-Comm Vol. 10. #7-2016

Общий случай одного полезного и двух мешающих сигналов. На основании полученного общего выражения для нахождения отношения множителей ослабления результирующих замираний одного полезного и двух мешающих сигналов (1) найдем общее выражение для нахождения интегрального закона распределения отношения множителей ослабления результирующих замираний одного полезного и двух мешающих сигналов (9), учитывая полученные общие выражения для нахождения множителей ослабления результирующих замираний полезного (5) и мешающих (6) - (7) сигналов.

Пусть иа вход приемной антенны полезной системы поступают один полезный и два мешающих сигналы (рис. 2).

• Угол между векторами напряжений первого и второго мешающего сигналов равен 90 градусов:

сов[«]=0; (20)

• Угол между векторами напряжений первого и второго мешающего сигналов неравен 90 градусов (для простоты вычислений рассмотрим случаи, когда угол между векторами напряжений первого и второго мешающего сигналов равен 0 и 180 градусов):

«и[а] = ±1. (21)

Общий случай 90 градусов. Пусть угол между векторами напряжений двух мешающих сигналов равен 90 градусов (рис. 3).

Рис. 2. Вид комплексной огибающей суммы двух мешающих сигналов под произвольным углом

Тогда суммарное напряжение двух мешающих сигналов будет иметь следующий вид:

и1 И = и[/] + и] [,]+2и, [ф'2 [*Ы«ИЬ (18)

где [/,[/] - напряжение первого мешающего сигнала на входе приемника полезной системы в реальных условиях; £/2[*] -напряжение второго мешающего сигнала на входе приемника полезной системы в реальных условиях; «[?] - угол между векторами напряжений первою и второго мешающею сигналов.

Для получения общего выражения для нахождения дифференциального закона распределения удвоенного произведения напряжений первого и второго мешающих сигналов па косинус угла между ними, необходимого для нахождения общего выражения для нахождения интегрального закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов, воспользуемся следующим общим выражением для нахождения дифференциального закона распределения линейного преобразования случайной величины [б]:

2со5[а]

Из полученного общего выражения для нахождения дифференциального закона распределения произведения напряжений первого и второго мешающих сигналов (19) следует два случая:

Рис. 3. Вид комплексной огибающей суммы двух мешающих сигналов под углом 90 градусов

Тогда, подставляя полученное значение косинуса между векторами напряжений двух мешающих сигналов (20) в общее выражение для нахождения суммарного напряжения двух мешающих сигналов (18), получаем выражение для нахождения суммарного напряжение двух мешающих сигналов в рассматриваемом случае:

иМ'Ь^И+сда (22)

Далее, подставляя полученное выражение для нахождения суммарного напряжения двух мешающих сигналов (22) в общее выражение для нахождения отношения мощностей одного полезного и нескольких мешающих сигналов (1), получаем выражение для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов в рассматриваемом случае:

О М=__■ (23)

Далее, подставляя полученные общие выражения для нахождения напряжений полезного (2) и мешающих (3) — (4) сигналов в общее выражение для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (23), получаем общее выражение для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов в следующем виде:

0 Г.1 _ К к - 1Ш2 (24)

Далее, разделив числитель и знаменатель полученного общего выражения для нахождения отношения мощностей

Т-Сотт Том 10. #7-2016

одного полезного и двух мешающих сигналов (24) на мощность полезного сигнала, получаем общее выражение для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов в следующем виде:

1 , (25)

<2<М=

цЬ-'Ш' .Г^Ь-'Ы']

Дня упрощения вида полученного общею выражения для нахождения отношения мощностей одного полезною и двух мешающих сигналов (25) введем следующую замену переменной:

• Общее выражение для нахождения первого отношения множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов:

• Общее выражение для нахождения второго отношения множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов:

(27)

Чг

• Общее выражение для нахождения первого отношения напряжений одного мешающего и одного полезного сигналов на входе приемника полезной системы в условиях

А,=-

У,

щ к = О

(28)

• Общее выражение для нахождения второго отношения напряжений одного мешающего и одного полезного сигналов на входе приемника полезной системы в условиях в условиях свободного пространства:

Л^Ч^А. (29)

и„[гй =1

Тогда, подставляя полученные общие выражения для нахождения первого (26) и второго (27) отношения множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов и полученные общие выражения для нахождения первого (28) и второго (29) отношения напряжений одного мешающего и одного полезного Сигналов в условиях свободного пространства в полученное выражение для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (25), получаем общее выражение для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов в следующем виде:

пМ._!_■ (30)

На основании полученного общего выражения для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (30) найдем общее выражение для нахождения интегрального закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов.

Подставляя общие выражения для нахождения дифференциальных законов распределения первого и второго отношения множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов в общее выражение дня нахождения дифференциального закона распределения монотонного преобразования случайной величины [6], получаем следующие общие выражения:

• Общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения первого отношения квадрата множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов:

<31>

• Общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения второго отношения квадрата множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов:

ИЙ-^Ы* (32)

2 Яг

Далее, подставляя полученные общие выражения для нахождения дифференциальных законов распределения квадрата первого (31) и второго (32) отношения множителей ослабления результирующих замираний одного полезного и одного мешающего сигналов в общее выражение для нахождения дифференциального закона линейного преобразования случайной величины [6], получаем следующие общие выражения:

• Общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения первого отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов:

л\

• Общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения второго отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов:

Далее, подставляя полученные общие выражения для нахождения дифференциальных законов распределения первого (33) и второго (34) отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов в общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения суммы двух случайных величин [6]. получаем следующее общее выражения для нахождения дифференциального закона распределения суммы первого и второго отношений мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов:

оо

+4я}]= И4я2>+4я1У4яМ4М4<&\-(35)

о

Далее, подставляя полученное общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения суммы первого и второго отношений мощностей одного метающего и одного полезного сигналов (35) в общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения монотонного преобразования случайной величины [6], получаем следующее общее выражение для нахождения общего дифференциального закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов:

IV

1

Наконец, подставляя полученное общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (36) в общее выражение для нахождения интегрального закона распределения случайной величины [6],

получаем следующее общее выражение для нахождения интегрального закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов:

уС^Я

- HNJJJ

¡w

i

i

з[«М

Sl[z[t]

Рис. 4. Вид комплексной огибающей суммы двух мешающих сигналов под углом 0 градусов

(37)

+ + Alq;

Общий случай 0 и 180 градусов. Пусть угол между векторами напряжений двух мешающих сигналов равен 0 (рис. 3) и 180 градусов (рис. 4).

ЦЖ Т. (39)

Далее, подставляя полученные общие выражения для нахождения напряжений полезного (2) и мешающих (3) - (4) сигналов в полученное выражения для нахождения отношения мощностей Одного полезного и двух мешающих сигналов (39), получаем следующий вид полученного выражения для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов:

йо.1М И

1_г.

(40)

Рис. 5. Вид комплексной огибающем суммы двух мешающих сигналов под углом 180 градусов

Тогда, подставляя полученное значение косинуса угла между векторами напряжений двух мешающих сигналов (21) в общее выражение для нахождения суммарного напряжения двух мешающих сигналов (18), получаем суммарное напряжение двух мешающих сигналов в рассматриваемом случае:

иЛ<Г=№?иМ2' <38>

Далее, подставляя полученное суммарное напряжение двух мешающих сигналов (38) в полученное общее выражение для нахождения отношения мощностей одного полезного и нескольких мешающих сигналов (1), получаем выражение для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов в рассматриваемом случае:

Разделив числитель и знаменатель полученного выражения для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (40) на мощность полезного сигнала (2), получаем следующий вид полученного выражения для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов:

Q ^ =_1_. (41)

Подставляя полученные общие выражения для нахождения первого (26) и второго (27) отношения множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и Одного полезного сигналов и полученные общие выражения для нахождения первого (28) и второго (29) отношения напряжений одного мешающего и одного полезного сигналов в условиях свободного пространства в полученное выражение для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (41), получаем следующий вид полученного выражения для нахождения Отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов:

О Г/1 =_!_■ (42)

На основании полученного выражения для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (42) найдем общее выражение для нахождения интегральною закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов.

Подставляя полученные общие выражения для нахождения дифференциальных законов распределения множителей ослабления результирующих замираний одного полезного и одного мешающего сигналов в общее выражения для нахождения дифференциального закона распределения произведения двух случайных независимых величин [6J, получаем общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения произведения первого и второго отношения множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов:

W[qtq,}=\\

IV

А). (43)

Ь 1

Далее, подставляя полученное общее выражение дня нахождения дифференциального закона распределения произведения первого и второго отношения множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов (43) в общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения линейного преобразования случайной величины [6], получаем общее

T-Comm Том 10. #7-20 16

выражение для нахождения дифференциального закона распределения удвоенного произведения первого и второго отношения напряжений одного мешающего и одного полезного сигналов:

(ф —

е

1

[АЧх^АгЧг)2

(47)

* ФЛлМ ° А

'2

к ' 2

2

I I

2'г

т

2Л2

; (48)

I 2*0+М

-Ц.з

2 2

'2 Т

А 2

2'

1 ' 2

1

'2

.(49)

Далее, подставляя полученное общее выражение для па-хождения дифференциального закона распределения суммы первого и второго отношений мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов (35) и полученное общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения удвоенного произведения первого и второго отношения напряжений одного мешающего и одного полезного сигналов (44) в общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения суммы двух случайных независимых величин |6}, получаем общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения отношений мощностей двух мешающих и одного полезного сигналов:

* )']= * ЛгЧг ±2А, АгЧ)Чг ] * (45>

в

Далее, подставляя полученное общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения суммы первого и второго отношений мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов (45) в общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения монотонного преобразования случайной величины [6], получаем общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов:

Ш Т.-={^*АгЯг)*п\Ад^АгЯгУ\ <46>

+ А1Я1) _

Далее, подставляя полученное общее выражения для нахождения дифференциального закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (46) в общее выражение для нахождения интегрального закона распределения случайной величины [6], получаем общее выражение для нахождения интегрального закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов:

>ук>п

_ - тш

^»щ- к

где сг, - параметр распределения Релея множителя ослабле-

ния быстрых замираний второго мешающего сигнала; к, -параметр Гамма-распределения множителя ослабления медленных замираний второго мешающего сигнала; в-, - параметр Гамма-распределения множителя ослабления медленных замираний второго мешающего сигнала.

Подставляя полученные дифференциальные законы распределения первого (48) и второго (49) отношения множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов в полученные общие выражения для нахождения дифференциальных законов распределения первого и второго отношения квадрата множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов при использовании базовых свойств С-фупкции Мейера [5], получаем:

• Дифференциальный закон распределения первого отношения квадрата множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов:

1 2к°+к<~2 аЖ

о /-аз ¡2~°3.3

2 2' 2 ' 2 2 2

аЖ

; (50)

• Дифференциальный закон распределения второго отношения квадрата множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сиг-палов:

2 2' 2 2 2

а\в\

А;

■ (51)

Частный случай одного полезного и двух мешающих сигналов. В соответствии с полученным дифференциальным законом распределения отношения множителей ослаблений результирующих замираний одного полезного и одного мешающего сигналов (16), получаем:

• Дифференциальный закон распределения первого отношения множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов:

Далее, подставляя полученные дифференциальные законы распределения первого (48) и второго (49) отношения квадрата множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов в полученные общие выражения для нахождения дифференциальных законов распределения первого (33) и второго (34) отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов, получаем:

• Дифференциальный закон распределения первого отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов:

Ф^ЫА2

^Амз

.Г- я Г[А'„]г[А,КЯ| "

___!_

2 2' 2 '

¿-¿Л-Ц» 2 2 2

Ш

(52)

• Дифференциальный закон распределения второго отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов:

• Дифференциальный закон распределения второго отношения множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов:

А* ж [\кй]г\к,)„1в1

о17 о

___I__^ _|

2 2 2

Ь-ЛД-,,0 2 2 2

«Ж А\ч\

а\в\

4

Далее, раскладывая полученный дифференциальный закон распределения первого отношения мощностей одного Мешающего и одного полезного сигналов (52) в ряд Тейлора [5], получаем дифференциального закона распределения первого отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов в следующем виде:

2к0+кг 2

ж г[кл)г[к{} А; а;0;

(54)

г [1 г! \

* с

3J

к \ к

2 2 2

^ л г*

—■----г,—-1 - г,О

2 2 2

<>№ A\q\

H4V +4<ilh

1

21к0+к,+к2-Л

1

(55)

г-О F.

«Ж

т

*С,

(1.(1

2 2 2 2 2 2

1

2 2 2

т

аЩ А*

"Ж

ir r[kt)\- Г[к,}г[кг] А;Al а}В\а\в\

(56)

Г!

«Ж

А <т О

(57)

1 к к к I к

2 2 2 2 2 2

к, I t,

+ - + + + -1.0

а:в; Л;

Частный случай 90 градусов. Подставляя полученный дифференциальный закон распределения суммы первого и второго отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов (58) в полученное общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (36), получаем дифференциальный закон распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов: 1

W

A-q-+A\q\

(59)

Подставляя полученные дифференциальные законы распределения первою (54) и второго (53) отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов в полученное общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения суммы первого и второго отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов (35) при использовании общего выражения для нахождения определенного интеграла содержащего (_>-функцию Мейера [5], получаем дифференциальный закон распределения суммы первого и второго отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов:

2 2 2

Дзя упрощения записи полученного дифференциального закона распределения суммы первого и второго отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов (55) введем следующую замену переменной:

I ,

Далее, подставляя полученное отношение мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (30) в полученный дифференциальный закон распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (59), получаем конечный вид дифференциального закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов:

(60)

^vy - ■ I Lr J

r=0

Наконец, подставляя полученный дифференциальный закон распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (60) в полученное общее выражение для нахождения интегрального закона распределения (37) отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов, получаем интегральный закон распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигнале®:

■шУ1Нл[гу (61)

г=0 -г-1

Частный случай 0 it ISO градусов. Подставляя полученные дифференциальные законы распределения первого (48) и второго (49) отношения множителей ослабления результирующих замираний ОДНОГО мешающего и одного полезного сигналов в полученное общее выражение для нахождения дифференциального закон распределения произведения первого и второго отношения множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов (43) при использовании общего выражения для нахождения определенного интеграла содержащего G-функшпо Мейера [5], получаем дифференциальный закон распределения удвоенного произведения первого и второго отношения напряжений одного мешающего и одного полезного сигналов:

ffteb- 2- - - - - - 0 0 * <62>

fJetZ ] = ci И •

*2 г%1г[*.№

2 2 2 2 2 2 Тогда подставляя полученную замену переменной (56) и (57) в полученный дифференциальный закон распределения суммы первого и второго отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов (55), получаем дифференциальный закон распределения суммы первого и второго отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов в следующем виде:

w[A?q? +Alq\]= C.^UV + Ач\) " .И' (58)

г-О

к,

'У

2*2'

1 к.

.к Л 2 ' 2 к, 1 1

(тгв, а2в.

ЛЯхЧг)2

к

2 '2 2 ' 2' 2 '2 2/2 Далее, подставляя подученный дифференциальный закон распределения произведения первого и второго отношения множителей ослабления результирующих замираний одного мешающего и одного полезного сигналов (62) в полученное общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения удвоенного произведения первого и второго отношения напряжений одного мешающего и одного по-

T-Comm Том 10. #7-20 16

W

лсзного сигналов (44), получаем дифференциальный закон распределения удвоенного произведения первого и второго отношения напряжений одного мешающего и одного полезного сигналов:

]

,2к„+к.+к7-4

1 о~в:

я2 Г^И^И^]^ ахвхагв2

II кп 1 к» I

(63)

2 2 4 1

2 2 к

<*ж

ЬМгЯхЯг?

4А?А?

.(64)

Далее, подставляя полученный дифференциальный закон распределения суммы первою и второго отношения мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов (64) и полученный дифференциальный закон распределения удвоенною произведения первого и второго отношений напряжений одного мешающего и одного полезного сигналов (63) в полученное общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения отношения мощностей двух мешающих и одного полезного сигналов при использовании общего выражения для нахождения определенного интеграла содержащего О-функцию Мейера [5], получаем дифференциальный закон распределения отношения мощностей двух мешающих и одного полезного сигналов:

Ф^НЧ 2......А * (65)

тс Г^ф,]/^,]/^ а^а2в.

I-г

А'; А; аЩа\в\

* Г

* Г

* Г

г-1+2-к,,

2

г-г+1

г-1+Ъ-К

г-1 + 2 +к.

2

1—г—к,

РИ^)

ИМ

2

1—г+\

г-1+\+к,

¡-г-к, +1

-г+ к„

1-г + ка -1

1

22ка+к,+к2-А

1

2

г - г

(66)

(67)

* Г

* Л

г-1 + 2-кп

2

г-г + 1

Г

г-1 + 2+к.

2

-г-к,

' г -1 + 3 ' Ч-г-1"

/ Г 1

2 2

2

1-Г + Г

Г

г-1 + \+к,

¡-г-к, +1

1-г + кл

/ - г + к0 -1

'Ч) 1 *У) 2 '2 2 ' 2

Аз. А 2 *2 2 ' 2' 2 ' 2 2'2

Далее, раскладывая полученный дифференциальный закон распределения суммы первого и второго отношений мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов (58) ПО формуле бинома Ньютона, получаем следующий вид дифференциального закона распределения суммы первого и второго отношений мощностей одного мешающего и одного полезного сигналов:

Тогда, подставляя полученную замену переменной (66) и (67) в полученный дифференциальный закон распределения отношения мощностей двух мешающих и одного полезного сигналов (65), получаем дифференциальный закон распределении отношения мощностей двух мешающих и одного полезного сигналов в следующем виде:

г-О 1-1)

Далее, подставляя полученный дифференциальный закон распределения отношения мощностей двух мешающих и одного полезного сигналов (68) в полученное общее выражение для нахождения дифференциального закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (47), получаем дифференциальный закон распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов:

' 1=с2£1>Г (Л* (69>

IV

(А,д, + А2д2)2

Далее, подставляя полученное общее выражение для нахождения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (42) в полученный дифференциальный закон распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (69), получаем конечный вид полученного дифференциального закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов:

Г'О («О

Наконец, подставляя полученный дифференциальные законы распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (70) и (71) в полученное общее выражение для нахождения интегрального закона распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов (47), получаем литоральный закон распределения отношения мощностей одного полезного и двух мешающих сигналов:

(егГ

2 ] I. 2

Дгя упрощения записи полученного дифференциального закона распределения отношения мощностей двух мешающих и одного полезного сигналов (65) введем следующую замену переменной:

) ] = Сг £ £ (- М'

(72)

(73)

21-1

Заключение

Сравнение значения реального процента времени, рассчитанного на основании полученных интегральных законов распределения отношения мощностей одного полезного и одного (двух) мешающего сигналов (17), (61), (72) и (73) в течение которых отношение мощностей одного полезного и одного (двух) мешающего сигналов не превосходит заданное

минимально допустимое отношение мощностей одного полезного и одного (двух) мешающего сигналов, позволяет сделать заключение о выполнении или не выполнении условий электромагнитной совместимости в рассматриваемом случае.

Литература

1. Быковский М.А. Основы управления использование радиочастотного спектра. — Т. 2. Обеспечение электромагнитной совместимости радиосистем. — М.: Красанд, 2012.- 554 с.

2. Пустовоитов Е.Л. Метод анализа влияния мешающего радиосигнала на приемник цифровой системы радиосвязи при известных законах распределения быстрых и медленных замираний полезного и мешающего радиосигналов. - Т-Сошт: Телекоммуникации и транспорт. - 2014. - № 8. - С. 79-82.

3. Евстратов А.Г., Пустовоитов Е.Л. Расчет влияния мешающего радиосигнала на приемник цифровой системы радиосвязи при известных законах распределения быстрых и медленных замираний полезного и мешающего радиосигналов. - T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2014. - № 5. - С. 50-55.

4. Шолохов И.Д., Пустовоитов Е.Л. Исследование совместного влияния замираний полезного и мешающего сигналов а случае лог-нормального распределения па качество приема полезного сигнала -T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - № 5. - С. 50-55.

5, Meijer С.S. Multiplikationstheoreme fur die Function G™"M* -

Proceedings of the section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetensc happen, - 1941. - № 44. - С. 1062-1070.

6, Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.: Радио и связь, 1966. -656 с.

THE STUDY OF COMBINED IMPACT OF FAST AND SLOW FADINGS OF USEFUL AND INTERFERING SIGNALS IN THE CASE OF RAYLEIGH DISTRIBUTION AND GAMMA DISTRIBUTION ON THE QUALITY OF THE USEFUL SIGNAL RECEPTION

Ivan D. Sholokhov, Federal State Unitary Enterprise Radio Research and Development Institute (NIIR), engineer on radio-location, navigation and communication, Moscow, Russia, Sholohov@niir.ru

Abstract

In this study for investigating the joint effect of the fast and slow fading of the useful and interfering signals on the reception quality of the useful signal is applied criterion of the protective ratio where admissibility effects of the interfering signal on the reception quality of the useful signal is limited to the maximum allowable percentage of time during which the power ratio of the useful and interfering signal at the input of the receiving antenna of the useful system is not exceeds the predetermined minimum allowable power ratio of the useful and interfering signals at the input of the receiving antenna of the useful system. Exceeding the maximum allowable percentage of time the value of real-time percentage believe that the electromagnetic compatibility conditions of the systems under consideration are not fulfilled. The aim of this study, in accordance with the criterion of the protection ratio, was to obtain the integral distribution law of the power ratio of the useful and interfering signals at the input of the receiving antenna of the useful system for determining the fulfillment or nonfulfillment of the electromagnetic compatibility conditions with the defined differential distribution laws of the attenuation factors of the fast and slow fading of the useful and interfering signals.

It was assumed that the attenuation factors of the fast fading of the signals are described by Rayleigh distribution and the attenuation factors of the slow fading of the signals are described by commonly encountered in VHF and UHF radio frequency Gamma distribution. We obtain:

• The integral distribution law of the power ratio of the useful and interfering signals at the input of the receiving antenna of the useful system in the this case;

• The family plots of the obtained integral distribution law for different values of the parameters of the gamma distribution of the attenuation factors of the slow fading of the useful and interfering signals.

Comparison of the real percentage of time of obtained integral distribution law, for which does not exceed the minimum allowable value of the power ratio of the useful and interfering signals at the input of the receiving antenna of the useful system with the maximum allowable percentage of time leads to the conclusion about the presence or absence of electromagnetic compatibility in this case.

Keywords: the differential distribution law, the integral distribution law, the useful signal, the interfering signal, the power ratio, the protection ratio, the ratio of the attenuation factor, the percentage of time, Gamma distribution, Rayleigh distribution, Gamma function, Meijer G-function.

References

1. Bykhovsky M.A. (ed.) (2012) Fundamentals of radio spectrum management. Moscow: KRASAND. (in Russian)

2. Pustovoitov E.L. (2014) Method of calculation the impact of interfering signal on a digital system receiver based on the known distributions of rapid and slow fadings of useful and interfering signals / T-Comm. Vol. 8. No. 8. Pp.79-82. (in Russian)

3. Evstratov A.G., Pustovoitov E.L. (2014) Analysis of interfering signal impact on a digital system receiver in case of given set of signal and interference fadings distributions / T-Comm. Vol. 8. No. 5. Pp.50-55. (in Russian)

4. Sholokhov I.D., Pustovoitov E.L. (2016) The study of combined impact of fadings of useful and interfering signals in the case of log-normal distribution on the quality of the useful signal reception / T-Comm. Vol. 8. No. 5. Pp.50-55. (in Russian)

5. Meijer C.S. (1941) Multiplication theorems for function Gpqn [z] / Proceedings of the section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen. 44. Pp. 1062-1070.

6. Levin B.R. (1966) Theoretical foundations of statistical radio. 3rd Ed. Moscow: Radio and communication. (in Russian)