Исследование эффективности и динамики проектнопроизводственных процессов в авиастроении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.015

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ И ДИНАМИКИ ПРОЕКТНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В АВИАСТРОЕНИИ

© 2010 С.Ф. Тлустенко , А.А.Коптев

1 Самарский государственный аэрокосмический университет 2 Завод "Контактор", Ульяновск

Поступила в редакцию 28.04.2010

В статье рассмотрены вопросы постановки задач проектирования технологических процессов агре-гатно-сборочного производства, методологии их оптимизации по критериям эффективности. Предложен метод исследования устойчивости стационарных состояний интегрированной проектно-про-изводственной системы.

Ключевые слова: структурные компоненты, устойчивость, стационарность, траектория, модели, показатели.

В статье ставится проблема теоретического описания процессов сборки, возникновения и характера влияния возмущающих факторов на течение процессов и образование новых структур в исходной активной среде. В таких системах наряду с чисто динамическими процессами большую роль играют процессы управления, связанные с рассмотрением множества показателей связей {а}, зависимостей между ними, разбиением исходного множества {а} показателей на уровни, а также их содержательной классификации и введения определяющих эти классы понятий. Каждому уровню соответствуют свои способы определения показателей эффективности.

Актуальность исследований связана с направленностью на идентификацию технологической системы по ее формализованному описанию с целью построения эффективных алгоритмов производственных процессов, обеспечивающих стационарность и устойчивость производства. Целью исследований является построение такой математической модели изготовления продукции в агрегатно-сборочном производстве предприятия авиационной промышленнсти, которой соответствовали бы системы дифференциальных уравнений, позволяющие учитывать все допустимые возмущения в виде параметров или функций, а результаты их решений позволяли сформировать информационную базу системы поддержки принятия решений при выборе проектов эффективных производственных потоков и систем их преобразований.

Постановку задачи выбора оптимальной модели и структуры технологической системы(ТС) сборки агрегата самолета выполняем, принимая во внимание сложность разработки структуры

Тлустенко Станислав Федорович, кандидат технических наук, доцент. E-mail: titan250@mail.ru. Коптев Андрей Анатольевич, индустриальный директор

для относительно детерминированных и стохас-тичных систем в реальном производстве, а перед формализованной постановкой задачи уточним ее содержательную формулировку.

Каждый ТП можно охарактеризовать набором приписываемых ему структурных компонентов для моделирования текущего режима, а также весовы-ми характеристиками относительной важности этих компонентов в множестве структур моделей, например , в виде ориентированного графа производственной системы при расчете текущего режима функционирования.

Задача может быть решена в рамках предлагаемого способа формального выбора требуемого подмножества из фиксированного множества допустимых вариантов.

Пусть задано конечное множество структурных компонентов В={В1,...,Бт}, И,т, включающее непересекающиеся подмножества Б^^,...,^}, конечное множество режимов а1с.=Х^1с,1), 1 = 1,ш, j = 1,п, с = 1,к, трактуются как значения с-го элемента структурного компонента Б1 вектор-строки в режиме функционирования I представленном вектор-столбцом. Каждому элементу подмножества Б1 множества структурных компонентов Б приписывается весовая оценка ш°1с, ю01=(ю°11,...,ю01к), определяющая важность элемента ^ для формирования структуры модели ТС.

Пусть 1\ — столбец с номером j матрицы А(1). Выделим в матрице А(1) какие-либо Ь строк и пусть множество МЬ. — логически упорядоченный набор из Ь элементов а1Ь. матрицы А(1), стоящих на пересечении каждой из выбранных строк с .-м столбцом МЬ11={а11.,_,а1Ь1}, Ь<к. Функ-

ции Р^М^.), которые определены для всех 1,п на всевозможных упорядоченных наборах МЬ элементов, дают интегральную оценку Ь-го варианта 1-го структурного компонента.

Следовательно, область определения Мь.,-наборы значений подмножеств подмножества структурных компонентов Di на j а Fbij — оценка этих наборов. Следовательно, индекс b в функции Fbij будет определять количество возможных вариантов набора элементов (подмножеств) для каждого подмножества Di структурных компонентов при lj.

Функции Fbij будем считать монотонными: с увеличением мощности подмножеств значение Fbij не убывает. Определены и имеются наборы чисел P.., i=1,m, j=1,n, используемые при задании ограничений снизу на значения Fbij, а также заданы числа A,icr, c=r, i=1,m, c,r=1,k, характеризующие возможную корреляцию между отдельными элементами в подмножествах Di при L.

Из множества D структурных компонентов для каждого подмножества Di при 1. из b вариантов необходимо выбрать подмножество Sopij ={di1j dibj} таким образом, чтобы была удовлетворена система неравенств вида

max Fb ^ M) = min ^ ) )) > р

i = 1, m , j = 1, n

Такой подход позволяет показатели оптимальности р. интерпретировать как уровни обеспечения значений критериев оптимизации для заданных условий разработки проекта технологической системы. Каждой из поставленных целей соответствует своя функция Fbij и свой уровень критериев Р.. Чем ниже уровень критериев, тем с меньшими затратами средств дос-тигается реализация проекта при определенных условиях производства.

Сложность любой системы обусловлена числом ее компонент и способом их взаимосвязи. Такая сложность относится к реализации системы. Исходя из вышеприведенных рассуждений, определим ТС как множество разнородных взаимодействующих единиц, в число которых включены проектная Х и производственная Y системы, образующие динамическую систему, описываемую двумя связанными автономными нелинейными уравнениями (автономность означает, что время не входит в качестве свободного параметра):

= fi( X, Y, u)

dt

dY_ dt

= f2( X ,Y, /)

(1)

(2)

Система эволюционирует в двухмерном пространстве состояний переменных Х, У. В каждой точке траектории, заданной выбором конкрет-

ных начальных условий Х(0)=Х10, Y(0)= Y, наклон определяется величиной

(3)

^=А

ах / .

Особые точки (стационарное состояние) на траектории - это точки, в которых ^=0 и ^=0, т.е. не определена касательная. С другой стороны, замкнутые траектории, соответствующие периодическому режиму, имеют основной период, определяемый по формуле

ах

(4)

T =

Л( х, у,

Исследуем устойчивость стационарных состояний, вводя малые возмущения х(1) от положения равновесия, а именно возмущения, удовлетворяющие ограничениям

x(t) =

y(t) =

X - X(Г)| << £ У - У (Г )| << V

где е, V - положительные числа, задаваемые исходя из обеспечения стационарного режима.

Для данного стационарного состояния мы разлагаем правые нелинейные части динамических уравнений в ряд Тейлора относительно стационарного значения отдельной переменной и, если функции £ достаточно гладкие, удерживаем в разложении только линейные члены.

Мы получаем:

dx(t) = (X - X */ fi

dt

dX

X=X *

dy(t) = (Y - Y *Jf dt

(5)

(6)

Y =Y *

(свободный член разложения Тейлора равен нулю). f (X \ Y \ u) = 0,

так как

dX dt

= 0 и

dY* dt

= 0

На функциональном уровне сложность определяется многообразием технологических действий в системе.

Рассмотрим задачу проектирования производственных процессов, связанной с необходимостью определения степени приоритетов весовых коэффициентов потоков в дугах графа системы как модели по условиям качества выполняемых сборочных операций. Например, трудоемкость сборочных операций Х или реализации сборочных процессов в систему поступают различные ресурсы Б от управляющей структуры Х. Производственная система У полученные ресурсы от Х преобразует на производстве в реальные агрегаты самолета. Следовательно,

производственная структура У должна обладать такими свойствами, которые обеспечивают выполнение проектных решений ТС с заданными показателями эффективности и качества. Для обеспечения жизнедеятельности в нее поступают денежные средства Б финансово-кредитных структур, которые суммируясь с оборотными фондами и оборотными средствами проектной структуры Х, увеличивают сумму денежных средств этой структуры (Х растет на Б). Производственная структураУ получает средстваот Х на постановку производства изделий (авиационной техники). Наконец, производственная структура У, вступая в контакт с рынком авиационной техники (заказы - денежные средства на производство изделий В) создает эту технику (рис. 1).

Такая схема применима к процессам производства в условиях возможной неоднозначности производственной ситуации.

Обозначим переменные состояния Х. и У. при ъ., ъ. через

(

Л

V 1 Уz=х.

= Ьу

(7)

где

К

^=Е ь

Лг 1=1 '

1121

или х=Ах.

Выбирая возмущения хг (г) линейную систему

(8)

получаем

(9)

Х, = V Ь]г]

1 1 г] ]

] =1

или в матричной форме Хъ = Аъ.

Требование нетривиальности решений [ъ^) ?0] приводит в нашем случае к характеристическому уравнению

Ь11 -Х

Ь12 Ь22 -Х

= 0

(10)

или

(Ьи - Х) ■ (Ь22 - Х) - Ь12-Ь21 = 0; (11)

Х2 - (Ьи Ь22) ■ Х + (ЬИЬ22 - Ь12-Ь21 ) = 0, (12) которое можно представить в виде

Х2 - кЯ + г = о. (13)

В общем случае мы получим Х = (Х'+. Х'').

Возникающее стационарное состояние неустойчиво, если Ие{ л,}<0 при 1 =1 и 1=2. Если Х'1= Х'2=0 и Х''=0, мы имеем режим на границе области устойчивости, или нейтральную устойчивость; иначе говоря, система совершает периодическое движение с частотой Х'' по замкнутой траектории вокруг стационарного состояния, причем радиус траектории может быть малым но зависящим от начальных и граничных условий. Число возможных состояний системы может достаточно большим для всех возможных случаев в зависимости от параметров к и у, поэтому проведем исследование реальной системы (рис. 1)

Функционирование должно протекать следующим образом:

Б + X —^ тХ , (14)

X + У-

X + в-

пУ,

->с + в,

-у параметр, характеризующий взаимодействие и описывающий степень воздействия переменной Х. на переменную У. , причем в общем случае Ь.= Ьт Равенство Ь. =0 может ука-

.. .. ..

зывать на отсутствие переменной Х. в многочлене £. Элементы Ь. образуют так называемую матрицу взаимодействия В.

Линеаризованная система дифференциальных уравнений с возмущениями х. (1) в качестве неизвестных функций имеет теперь вид

(15)

(16)

где к1, к2, к3 - константы скоростей реализации проектов.

Соответствующие дифференциальные уравнения относительно Х и У могут быть выведены непосредственно на основе подсчета приращений и убылей материально-финансовых средств и числа реализованных проектов. Например, Х возрастает со скоростью к1БХ и убывает со скоростью к2ХУ, поэтому

ЛХ йг

= к1 БХ - к 2 ХУ.

(17)

С другой стороны, У возрастает со скоростью к2ХУ и убывает со скоростью к2ВУ, поэтому

ЛУ

-= к2 ХУ - к3 ВУ

йг 2 3 •

(18)

Нелинейные правые части - многочлены -имеют вид:

£1 = к1БХ - к2ХУ и £2 = к2ХУ - к3ВУ. Параметры к1, к2, к3, Б, В являются управляющими параметрами, заменяющими в формальных

Восстановление ресурсов

Рис. 1. Схема взаимодействия ТС сборки агрегата с ИППС

Ь

21

уравнениях динамической системы - параметр ц.

Определим стационарные состояния. Решая систему уравнений ^=0, ^=0, мы находим два вещественных решения

X * = ^

* _ К D

K2 К 2

X!!* _ 0, У11* _ 0.

(19)

(20)

которые представлены на рис. 2.

Исследуем каждое из них на устойчивость.

КОНКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВНИЙ В ОПЕРАЦИЯХ СБОРКИ

Стационарное состояние I. Требуется вычислить собственные значения матрицы В линеаризованной системы, что сводится к вычислению коэффициентов Ь... Получаем

Ьц _

К _

_ о

_ к

Ь12 _

Ь22 _

^ _ &з В дУ). 3

(дк дУ

(21)

_0

где звездочка означает, что численные значения производных следует брать при

X * _ &В

К

У * _

К

1 , 1

22

Из характеристического уравнения (13) находим

А_±л/КК3оВ. (22)

Это означает, что стационарное состояние 1 нейтрально устойчиво и, когда система под действием слабого возмущения покидает это состояние, она переходит на периодическую траекторию, размеры которой определяются величиной возмущения, и описывает ее с циклической частотой, равной X _ ±л1~к!к3оВ (двигаясь в пространстве состояний, где значения переменных растут от начала, всегда по часовой стрелке).

V

V,

—, ^Нейтральная Г Л устойчивость

Седло X

Рис. 2. Устойчивые режимы модели ИППС

Стационарное состояние II. Производя анализ, аналогичный проделанному выше, но вычисляя теперь значения производных в точке Х* =0, У* =0, получаем

Ьи _ & А

Ьп _ 0

Ь21 _ 0 Ь22 _ -КзВ (23)

Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид

(К1Б - X)- (К3В + Х)=0 (24)

и собственные значения оказываются равными Х1 = К1Б >0 и Х2 = - К3В <0.

Стационарное состояние (0,0) неустойчиво.

Так как рассматриваемая система функционирует в пространстве состояний переменных Х,У, то замкнутые траектории, соответствующие периодическому режиму, имеют основной период, определяемый по формуле

" /(X, У, к1, к2, к3, А, В). (44)

При этом к1, к2, к3, Б, В учитывают скорости протекания реальных процессов в системе и показатели, характеризующие систему, которые разбиваются в нашей системе на два уровня (проектный и производственный).

Отметим, что одним из эффективных методов в исследовании многокомпонентных производственных систем является интегральный метод в решении задач факторного анализа.

Развитие интегрированных проектно-произ-водственных систем (ИППС) при разработке ТС представляет собой многофакторный процесс. В то же время организационная структура производственной системы, представляющая собой сложноорганизованную иерархию, определяет свойства функциональных элементов, упорядоченным образом связанных друг с другом , а изучение соотношений между этими элементами, составляет основу исследования операций.

Например, если Q является семейством всех независимых множеств графа G, то число

а [О ] _ тах |Б | является числом

х е а

независимости графа G, а множество Б | , на котором этот максимум достигается, становится наибольшим независимым множеством.

Такие соотношения подмножеств графа системы должны поддерживаться моделями проверок системы при неизвестном распределении времени ее безотказной работы . Известно только значение Р - квантиля ^ функции ир) _ Р) , а также максимально возможное время работы системы Р. Предположим, что мы исследуем фактор - интенсивность отказов:

X (и) _ [Б(и + А ) - Б(и) ]/О(и) , где

*

G(u)=1 - F(u), u > 0, А > 0 - неубывающая функция, найдем минимальную стратегию проверок Р'' такую что

L'' = L(P' ',F'') = min L(P, F'') = min max L(P, F),

P P F

где L - функция издержек, трудоемкости процесса. Считаем что проверки в автоматизированных линиях сборки мгновенны, а проверка в момент Т обязательна. Если отказ прозошел до момента Т, то издержки равны C+Rt, т - время от момента отказа до его обнаружения.

Стратегию проверок ищем в виде

Р={0=т0 <...<tN+i где t (i=1, ...,N; i=m+1) - моменты проверок, а в моменты tm+1=tp проверка может не проводиться. Предположение о том, что А=1, Т=1 не ограничивает общности решения. А - стоимость одной проверки.

Также имеем в этом случае:

L = A XG(ti) +R

]TG(t1)(t1+1-t1) -j G(t) • d(t)

+ C • F(T).

При этом оптимальная стратегия от С -сложности компонент ТС не зависит. Следовательно, в результате практического решения такой задачи факторного анализ можно выделить три основных подхода к задаче повышения устойчивости и надежности ТС:

1) Физический - внедрение более совершенных с большим средним временем безотказной работы компонент системы;

2) Структурный - разработка методов и способов синтеза системы ТП и алгоритмов ее функционирования, в сочетании с требуемым техническими средствами;

3) Функциональный - проектирование эффективной системы управления с учетом реальной производственной среды.

Решение задачи представим также примерами компоновки системы с точки зрения структуры и ее функций в виде двух схем (рис. 3):

Соответственно надежность определяется:

И =А1 А2 (2 - А1)(2 - А2); Иь =А1 А2 (2 - А1 А,).

Тогда надежности двух схем при нагруженном резерве выражаются через надежность элементов

А1 и А2 , где А1 и А2 - функции времени, а из неравенства (1 - А1 )( 1 - А2) > 0 получим, > Иб, где равенство возможно только при абсолютной надежности компонент ТС.

Следовательно, в графе системы сборки вводится два или более вариантов весов качества системы ТП, а плотность соответствующего подграфа определяется как фактическое максимальное число вершин графа. Тогда кликовое число графа как плотность вероятности состояния ТС в производственном потоке определяется степенью связности его вершин. Для снижения объема вычислений в этом случае применим систематический метод перебора, снижающий объем вычислении, и не требующий запоминания генерируемых независимых соответствует максимальной связанности его вершин. С другой стороны, степень независимости системы снижается в связи с увеличением числа компонент, обеспечивающих высокую функциональность и качество ТС. В целом при нахождении всех максимальных независимых множеств графа по исследуемым факторам с наибольшим числом вершин (порядка 20) предлагается использование метода последовательного перебора независимых множеств с одновременной проверкой каждого множества на максимальность значения исследуемого фактора путем добавления к исследуемому множеству дополнительной, не принадлежащей ему вершины и выяснения условий сохранения независимости с последующим запоминанием текущих максимальных множеств., полученных ранее, и становятся не максимальными на данном этапе решения. множеств с целью проверки их на максимальность допустим, способом сравнения с ранее сформулированными множествами.

Предлагаемый подход позволяет определить методику обеспечения устойчивости системы сборки по доминирующим критериям оптимизации производственных схем с учетом требований по качеству сборок и ритмичности поставок комплектующих. Для практического применения методики применимы соответствующие алгоритмы:

- алгоритм решения задач об оптимальном начальном запасе и графиках поставок по критерию минимума среднего запаса;

Рис. 3. Две схемы структурных соединений компонент рабочих мест исполнителей

- алгоритм определения практического приближения к оптимальному управлению по математическому моделированию и способами управления технологическими системами.

Проблема управления системой сборки в данной постановке занимает важное место в теории автоматического управления процессами на производстве. Она обеспечивает реализацию концепции упреждающего управления ,которая основана на том, что значение управления в текущий момент времени Ь менее подвержено действию различного рода возмущений, если найдено с учетом знания будущего поведения системы на интервале времени (г, г + к) длины к > 0. Применительно к дискретной системе с интервальными коэффициентами концепция требует прогнозирования состояния сборочного пространства на несколько тактов времени вперед, т.е. представления его в виде линейной комбинации неопределенных векторов. Если потребовать, чтобы линейная комбинация совпадала с положением равновесия, то естественно приходим к необходимости решения линейного алгебраического уравнения с интервальными оценками коэффициентов. В данном случае используется понятие частного решения в пределах возможности универсальных решений интервальных задач. Оно позволяет найти стабилизирующее управление в виде линейной функции текущих координат потоков сборки, оценить степень близости решения дискретной системы к положению равновесия, получить условия на интервальные коэффициенты, гарантиру-ющие притяжение траекторий замкнутой системы к положению равновесия.

возможность мониторинга сборочного производства в непрерывном режиме. Предлагаемая методика расчета параметров устойчивости и стационарности системы позволяет в процессе проектирования операций сборки прогнозировать возможные критические состояния производства с большой вероятностью роста интенсивности отклонений. Способ выбора моделей ТС с введением и ранжированием весовых характеристик дуг графа как моделей общей системы позволяет проводить необходимую в производственных условиях работу по перераспределению потоков в системе для обеспечения устойчивых состояний отдельных рабочих мест исполнителей в допустимых режимах работы, освоения других изделий и более совершенных технологий, например, GPPM. Предлагаемый подход связан с решением задач контроля сборочных процессов и получения количественных и качественных оценок их эффективности. В этом случае обеспечивается планомерное наращивание показателя прироста качества и стоимости создаваемого изделия при расходе некоторых ограниченных ресурсов. Установлены основные предпосылки обеспечения устойчивости ТС, базирующиеся на аппарате математического моделирования и решения адекватных систем линейных и дифференциальных уравнений, что позволяет представлять текущую информацию в общей информационной системе предприятия в цифровом виде для обработке в автоматизированной системе проектирования и управления производством.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предлагаемая методика выбора модели ТС, методов ее оптимизации и определение стационарных устойчивых состояний позволяет при удовлетворении заданным и начальным граничным условиям вычислять такие параметры производственных процессов, которые соответствуют устойчивости функционирования агрегатно-сборочного производства. Обеспечивается также

1. Крон Г. Тензорный анализ сетей. М.: Советское радио, 1978. 720 с.

2. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы. М.: Инфра-М; Форум,2007,464 с.

3. Лазарсон Э.В. Теория и методы решения многовариантных неформализованных задач выбора. Моногр. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. 270 с.

4. Белковский С.В. Низамутдинов О.Б. Постановка задачи синтеза оптимальной структуры распределенных АСУТП // Теоретические и прикладные аспекты информационных технологий: Сб. научн. тр., Пермь: НИИУМС, 2002.

STUDY OF THE EFFICIENCY AND DYNAMICS OF DESIGN PRODUCTION PROCESSES IN THE AIRCRAFT INDUSTRY

© 2010 S.F. Tlustenko1, A.A. Koptev2

1 Samara State Aerospace University 2 "Kontactor" Plant, Ulyanovsk

The article discusses tasking design process-aggregate assembly plant, the methodology of optimization of the efficiency criteria. A method for studying the stability of stationary states of the integrated design and manufacturing system.

Keywords: structural components, stability, stationarity, a trajectory model, parameters.

Stanislav Tlustenko, Candidate of Technics, Associate Professor. E-mail: titan250@mail.ru. Andrey Koptev, Industrial Director.