CC BY
37
Шаг 7. По данному о, выбор центра Xf+i очередного стробирующего окна осуществляется рекуррентным образом по формуле (6):
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Holt M.D. Low-power - low-cost undersea telemetry system // Proc. of MTS/IEEE Oceans. 2005. - C. 1-6.
2. Liptser R.Sh. About confidence probability maximization by incomplete data // Кибернетика.
- Киев, 1966. - № 1. - С. 83-86.
. . ., . . .
Рубинович Евгений Яковлевич - Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова Российской Академии наук; e-mail: rubinvch@ipu.rssi.ru; 117997, г. Москва, ул. Профсоюзная, 65; тел.: 84953349111; зам.
; . . .; .
Rubinovich Evgeny Yakovlevich - Trapeznikov Institute of Control Sciences, Russian Academy of Sciences; e-mail: rubinvch@ipu.rssi.ru; 65, Profsoyuznaya street; Moscow, 117997, Russia; phone: +74953349111; the deputy director on R&D; dr. of eng. sc.; professor.
УДК 681.513
B.X. Пшихопов, М.Ю. Медведев, Б.В. Гуренко, А А. Мазалов
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ОДНОГО КЛАССА С ОБЕСПЕЧЕНИЕМ МАКСИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ*
Рассматривается алгоритм прямого адаптивного управления нелинейными объектами специального вида. Алгоритм обеспечивает максимальную область асимптотической устойчивости замкнутой системы при заданных ограничениях на управляющие воздействия. Для синтеза системы управления используется принцип максимума Понтрягина. Устойчивость замкнутой системы доказана посредством найденной функции Ляпунова для рассматриваемого класса нелинейных объектов. Приведены результаты численного , .
Прямое адаптивное управление; принцип максимума.
V.Kh. Pshikhopov, M.Yu. Medvedev, B.V. Gurenko, A.A. Mazalov
ADAPTIVE CONTROL OF A CLASS OF NONLINEAR OBJECTS FOR ASSURING MAXIMUM OF STABILITY DEGREE.
This paper presents algorithm of direct adaptive control for a class of nonlinear objects. The algorithm ensures maximal area of the system stability if the control is bounded. Control design method is based on the principle of maximum. Stability of the designed closed-loop system is proved by functions of Lyapunov method. Computer modeling results confirm theory.
Direct adaptive control; principle of maximum.
* Работа выполнена в рамках гранта Президента РФ НШ-1557.2012.10 для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации.
Введение. Проблема адаптивного управлен ия активно исследуется на протяжении нескольких десятков лет [1, 2]. Однако в нелинейной постановке удается получить решение только для частных классов объектов. На практике наиболее широко используются беспоисковые адаптивные системы [2]. В рамках данного подхода возможно построение прямого и непрямого адаптивного управления, однако последнее строится из предположения о выполнении теоремы разделения, в силу чего его применение для нелинейных систем не гарантирует в общем случае асимптотической устойчивости. В этой связи более перспективным представляется прямое адаптивное управление. В основу предлагаемого метода положен метод структурного синтеза Л.М. Бойчука [3, 4], компилированный позднее в терминах синергетики в работе [5]. В иностранной литературе также принято ссылаться на компиляцию [6]. Данный метод успешно развивается и в настоящее время. На его основе реализовано ряд эффективных методов синтеза управлений подвижными объектами [7] и синтеза адаптивных систем [8, 9].
В настоящей статье на основе принципа максимума [10] развиваются методы синтеза адаптивных систем управления, представленные в [11-14].
Постановка задачи. Пусть объект управления пр едставлен в следующем виде:
х = / (х,а,и,т), (1)
где х - вектор переменных состояния; а - вектор параметров; и - вектор управляющих воздействий; т - вектор внешних возмущающих воздействий;
f (х,а,и,т) - непрерывная дифференцируемая функция.
(1) -
:
х = f0 (х, а, и, т)+ у,
У = g(x )
где f0(,а,и,т) - функциональный вектор, описывающий номинальную динамику объекта (1); у - вектор дополнительных переменных; ^(х) - выбираемая в процедуре синтеза функция.
(1) -
х 0
многообразия
у/(х ) = 0. (3)
(3) -
вое движение вдоль этого многообразия.
Синтез алгоритма управления. На первом этапе выб ирается такая структура векторной функции ^(х), которая согласуется с целью управления и обеспечивает генерирование возмущения у при наличии ошибок. Если сформулирована
(1) (3),
^(х) выбирается в виде
£(х) = ^(х). (4)
На втором этапе производится синтез управления, обеспечивающего асим-
(2) -
,
у/1 (х, у ) = у (х )+а (у ) = 0, (5)
где а(у) - дифференцируемая векторная функция, выбираемая в процессе синтеза. В частном случае, элементы векторной функции могут быть выбраны в виде
у :
ц/1 (х, у ) = Ц! (х ) + Ау = 0, (6)
где А - матрица постоянных коэффициентов.
, , (5) , -
дится анализ уравнения
у = ~а(у). (7)
Выбрав вектор а(у) таким образом, чтобы обеспечить асимптотическую ус, .
(6), (7)
у = -Ау . (8)
В этом случае свойства системы (8) определяются собственными числами матрицы А .
Изложенная методика не раскрывает второй этап, на котором осуществляется . ,
, (6). синтеза основывается на принципе максимума Понтрягина [10] и заключается в применении нового способа построения функции Понтрягина, предложенного в [11-14]. Рассмотрим расширенную модель (2) объект и векторное многообразие (3) в , . случае выражения (3)-(6) преобразуются к виду:
х = 0 . (9)
&(*) = х. (10)
у/1 (х, у) = х + а(у ) = 0 . (11)
у/1 (х, у ) = х + Ау = 0 . (12)
В соответствии с целью управления требуется обеспечить попадание на мно-(12), [11-14]:
H = (- х - а (у ))ц0 (х, а, и, т)+ у + Ах). (13)
, (1)
вектору управляющих воздействий и, т.е. функция f0 (х,а, и, т) представляется в следующем виде:
f0(х, а,и,т) = f01 (х, а,т)+ Е02 (а,т)и,. (14)
где f01 (х, а, т) - функциональны й вектор; Е02 (х, а, т) - функциональная матрица.
В этом случае вектор управляющих воздействий, доставляющий максимум функции Понтрягина (13), определяется выражением
Е0^ /а,т)/х - Лу)Т
(15)
где мтах - вектор постоянных ограничении на управление; X - поэлементное ум.
В области, определяемой неравенством
|(/; 02 a, т ^ «так Н А0' (•X, a, т )+ Уі +(«і , Х ^, (16)
где /°2(/,а,т) - і-я строка матрицы Е02(/,а,т); А01 /,а,т) - элементы вектора f01 (/,а,т); уі - элементы вектора у; аі - строки матрицы Л; (/і02/,а,т),мтах)і (/і,х) - скалярные произведения векторов, функция Понтрягина (13) положительно определена.
и = «тахХ^§П
(15)
(12) (2).
sign (15)
, -
:
V = 0,5(x + Ay) 2. (17)
(17) -
(2), (15), :
d^ .-H < 0. (18)
dt
, -
мально возможную область асимптотической устойчивости замкнутых систем и
оптимизацию системы управления по быстродействию.
Пример синтеза управления для частного класса объектов. Рассмотрим пример синтеза адаптивной системы с максимальной степенью устойчивости для объекта .
X = fl (x,,x2) + bn(xvx2)щ + b12 (x2)u2,
X2 = f2 ( X1, X2 ) + b21 ( X1, X2 ) ui + b22 ( X1, X2 ) u2 ,
где X,, x2 - переменные состояния; u,, u2 - управляющие воздействия;
f (x,, x2) bn (x,, x2), b12 (x,, x2) f2 (x,, x2) b21 (x,, x2) b22 (x,, x2) - ограничен, . Предположим, что на объект (19) воздействуют неизмеряемые возмущения. Целью управления является приведение переменных x,, x2 в начало координат из про,
. :
X, = f (x,, x2) + bn (x,, x2 )u, + b12 (x,, x2 )u2 + x3,
X2 = fj (xi , X2) + b2l (xi , X2 )u, + b22 (xi , X2 )u 2 + X4, (20)
X3 = - x,,
X4 = - x2, x3 , x4 - ,
.
Введем следующее векторное целевое многообразие:
¥ =
- x, + а x3
- x2 + а2 x4
= 0, (21)
где ах, а2 - постоянные параметры.
Сформируем функцию Понтрягина следующего вида:
Н = Ц1т
= (- + а х3 )( ( (х!, Х2) + Ьп (х1 , Х2 )и ! + Ь!2 (х1, Х2 )и 2 + Х3 ) + (22)
+ (- Х2 + « 2 Х4 Х-/2 (Х1, Х 2 ) + Ь21 (Х1, Х2 К + Ь22 (х1 , Х2 К + Х4 )
Из выражения последнего выражения получим управления, обеспечивающие максимум функции (22):
и1 = и тах Ы8п[ЬП ( Х1, Х2 ) ( - Х1 + а1 Х3 ) + Ь21 ( ^ Х2 ) (-Х2 + «2 Х4 )] , (_3)
(23)
и2 = и тах |_Ь12 (^ Х2 ) (-Х! + « Х3 ) + Ь22 (^ Х2 ) (-Х2 + « Х4 ) ,
где итах, и 1х - положительные числа, ограничивающие амплитуды управляю.
При выполнении ограничений
|Ь11 (х1'> Х2 тах ^ |Ь12 (х1'> Х2 тах >|/1 (х1'> Х2 )^ Х3^
|Ь21 (Х1, Х2 тах + |Ь22 (xl, Х2 ,^ах >|/2 (xl, Х2 )+
(22) .
(23) -
та (20), обеспечивая за конечное время попадание на многообразие (21). После этого можно рассматривать уравнения остаточной динамики, которые имеют вид
Х3 = -ах3,
3 1 3 (25)
(24)
Х
(26)
,
а1 > 0, а2 > 0
(25) .
Результаты моделирования адаптивной системы управления с максимальной степенью устойчивостью представлены на рис. 1-4. Моделирование проводилось при следующих параметрах: / (х1, Х2 ) = -х1, /2 (х1, Х2 )=-х2, Ь11 (х1, Х2 ) = 1,
Ь12 (Х1, Х2 ) = 1, Ь21 (Х1, Х2 )= -1, Ь22 (xl, Х2 ) = 1, ^тах = ^ тах = 1, «1 = 1, «2 = 1.
На рис. 1 представлено изменение переменных состояния замкнутой системы (19), (20), (23) для различных начальных условий, на рис. 2 - изменение управляющих воздействий, на рис. 3 - траектории движения системы в пространстве состояния, а на рис. 4 - изменение дополнительных переменных динамического .
Приведенные результаты моделирования подтверждают эффективность синтезированной адаптивной системы и попадание системы на целевое многообразие (21) за конечное время. Отметим, что дальнейшее движение замкнутой системы на исходное целевое многообразие также может быть организовано субоптимально .
и1,и2^)
-0.4 --0.6 -
^0
Рис. 1. Переходные процессы
Рис. 2. Управления
0.4
0.2
0
0.2
0.8
0
0.5
1.5
2
2.5
3
Рис. 3. Траектории движения Рис. 4. Дополнительные переменные
Заключение. Предложенный метод позволяет синтезировать прямое адаптивное управление заданным классом нелинейных многосвязных объектов. Метод позволяет осуществлять точную динамическую декомпозицию нелинейных мно-. . аппроксимации релейных управлений непрерывными функциями обеспечивается асимптотическая устойчивость замкнутых систем относительно целевых многообразий в максимальной области пространства состояния, определяемой ограничениями на управления.
Предложенный метод может быть использован для синтеза адаптивных систем управления различными подвижными объектами, электромеханическими системами и технологическими процессами. Особенно эффективен данный метод в нештатных и критических ситуациях, требующих высокого быстродействия.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Красовский АЛ. Науковедение и состояние современной теории управления техническими системами // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1998. - № 6.
2. Земляков С.Д., Рутковский В.Ю. О некоторых результатах развития теории и практики применения беспоисковых адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. - 2001. - № 7.
3. Бойчук Л.М. Метод структурного синтеза нелинейных систем автоматического управления. - М.: Энергия, 1971.
4. Бой чук Л.М. Синтез координирующих систем автоматического управления. - М.: Энер-
, 1991.
5. Колесников АЛ. Синергетическая теория управления. - М.: Энергоатомиздат, 1994.
6. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V. A new generation of adaptive controllers for linear systems // Proc. of 31-st IEEE Conf. Dec. Control, Tuscon. - 1992. - P. 3644-3651.
7. . . -
дах // Известия ЮФУ. Технические науки. -2008. - № 12 (89). - С. 6-19.
8. . . //
Мехатроника, автоматизация и управление. - 2006. - № 6. - С. 17-22.
9. . . // -
хатроника, автоматизация и управление. - 2008. - № 1. - С. 16-18.
10. Понтрягин Л.С., Болтянский ВТ., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Физматгиз, 1961.
11. . . -
//
Мехатроника, автоматизация и управление. - 2009. - № 7. - С. 2-6.
12. . . -
// , . - 2009. - 12.
- С. 2-8.
13. . ., . .
аппаратами // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 3 (104). - С. 187-196.
14. . ., . .
// , .
- 2011. - № 1. - С. 2-8.
. . ., . . .
Пшихопов Вячеслав Хасанович - Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге; e-mail: pshichop@rambler.ru; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: 88634371694; кафедра электротехники и мехатро-ники; зав. кафедрой; д.т.н.
Медведев Михаил Юрьевич - e-mail: medv_mihal@rambler.ru. Кафедра электротехники и мехатроники; к.т.н., доцент.
Гуренко Борис Викторович - e-mail: boris.gurenko@gmail.com; кафедра электротехники и мехатроники; аспирант.
Мазалов Андрей Андреевич - e-mail: anmaz8@list.ru; кафедра электротехники и мехатроники; аспирант.
Pshixopov Vyacheslav Xasanovich - Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: pshichop@rambler.ru; 44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; phone: +78634371694; the department of electrical engineering and mechatronics; department head; dr. of eng. sc.
Medvedev Mixail Yur’evich - e-mail: medv_mihal@rambler.ru; the department of electrical engineering and mechatronics; cand. of eng. sc.; associate professor.
Gurenko Boris Victorovich - e-mail: boris.gurenko@gmail.com; the department of electrical engineering and mechatronics; postgraduate student.
Mazalov Andrey Andreevich - e-mail: anmaz8@list.ru; the department of electrical engineering and mechatronics; postgraduate student.
УДК 681.51(06)
А.Р. Гайдук, ЕЛ. Плаксиенко АСТАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ*
Предложен метод синтеза астатического управления нелинейными объектами. Метод позволяет обеспечить астатизм заданного порядка к неизмеряемым возмущениям. Управление, компенсирующее влияние внешних неизмеряемых возмущений, строится на основе оценок возмущений и их производных по времени. Эти оценки формируются на основе переменных состояния реального объекта управления и дополнительных интеграто-, , некоторой эквивалентной системы. Нелинейное устройство управления включает также наблюдатель состояния указанной эквивалентной системы. Число интеграторов, вводимых в устройство управления, определяется точкой приложения воздействия к объекту и заданным порядком астатизма. Приводится численный пример синтеза.
Нелинейный объект; астатизм; эквивалентная система; наблюдатель состояния.
*
Работа выполнена при поддержке РФФИ (фант № 11-08-01196-а).
