CC BY
56
Интуитивная и логическая составляющие процесса обучения математике
Ю.А. Шуклина ИНТУИТИВНАЯ И ЛОГИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Эффективность обучения математике во многом зависит от оптимального соотношения интуитивных и логических рассуждений в познавательной деятельности учащихся.
Современная образовательная система претерпевает существенные изменения, связанные с изменившимися целями общества в области образования. В центре учебного процесса оказывается личность обучающегося. Требованием времени является получение творческой личности, формирование и развитие которой происходит на протяжении всех лет обучения.
Обучение математике способствует интеллектуальному развитию школьников, предполагающему ясность и точность мысли, критичность и гибкость мышления, развитую интуицию, логику, пространственные представления, опыт творческой деятельности. Эффективность обучения математике во многом зависит от оптимального соотношения интуитивных и логических рассуждений в познавательной деятельности учащихся. «Именно эта человеческая, то есть природой и историей человека обусловленная общность точного и неточного, рационального и иррационального, единство знания и сознания ... позволяет надеяться на успех гуманизации технических умов с помощью гуманитаризации их образования... Отсутствие точных определений и жесткого алгоритма исследований не слабость, а специфическая сила гуманитарного творчества, присущая на самом деле в какой-то мере... и точным наукам, где существует система аксиом... У истоков точного знания всегда лежит нечто неточное» [2].
Отмечая, что непосредственность интуитивного знания означает, что в его получении отсутствует последовательность логических операций, исследователи пришли к заключению- что логический вывод не исчерпывает всего арсенала познавательных средств, имеющихся в распоряжении исследователя. Конечно, одной логикой обойтись нельзя, необходима интуиция. Рассмотрим следующие утверждения.
1. Две величины, равные третьей, равны между собой.
2. Пусть теорема равна для п=1, и верно, что если она верна для п, то верна и для п+1. Тогда теорема верна для всех целых чисел.
3. Если точка С лежит на прямой между точками А и В, а точка О лежит между точками Л и С, то точка О лежит между точками АнВ.
4. Через две точки можно провести только одну прямую.
Все четыре высказывания являются аксиомами и должны быть приписаны интуиции. Но первое высказывание есть выражение формального логического закона (если заранее определено понятие равенства). Второе есть выражение метода матемагической индукции. Третье есть апелляция к геометрической или пространственной интуиции и к интуитивно понимаемому отношению «между», а четвертое высказывание есть фактически скрытое определение прямой. Иначе говоря, интуиция не есть обязательно свидетельство чувств человека.
Эвристическую роль интуиции показал М. Клайн. Он говорит о том, что интуитивная составляющая существует не только в процессе познания математики, но и в самой структуре математики. Он подчеркивает, что попытка строгого логического обоснования основ математики, предпринятая в конце XIX века, не привела к изменениям положений математики, полученных интуитивным путем: «В целом это означало, что в основе математики лежит не логика, а здравый смысл и интуиция. Строгость, по выражению Ж. Адамара, лишь освещает то, что завоевано интуицией». Такое понимание М. Клайном роли интуитивной составляющей в обучении означает, в дидактическом смысле, что «знание достигается интуитивно», а логика при этом играет подчиненную роль: «с помощью интуиции учащий-
© Ю.А. Шуклина, 2008
33
ся должен «прилететь» к заключению ... и только тогда он может прибегнуть к логике, чтобы обозреть общий путь, ведущий к цели. Если эта мысль правильна, то интуитивный подход должен быть первичным при введении в новый материал на всех уровнях» [3].
На современном этапе развития науки можно утверждать, что попытки изгнания интуиции из структуры математики как со стороны логи-цистов, так и со стороны формалистов, не удались. Кроме того, анализируя литературу, можно отметить, что логические и интуитивные методы решают определенные задачи только во взаимодействии, как в самой математике, так и в процессе ее познания. Сознательное усилие и логическое продумывание задачи по истечении времени дают возможность проявиться интуиции.
В результате решения задач происходит, часто неосознаваемое, накопление опыта, который в дальнейшем дает возможность решать задачи довольно сложного уровня.
Одним из условий проявления интуиции является наличие «подсказки», которая является существенной, если исходит из той же области знаний, что и решаемая проблема. На таких «подсказках» построен процесс обучения математике у талантливых педагогов. Они не рассказывают учащимся доказательства тех или иных фактов, а основывают все на некоторых ключевых задачах, которые школьники решают сами с помощью умело выстроенных «подсказок».
Проиллюстрируем сказанное. Пусть учащимся предлагается следующая задача. Расставьте в комнате 10 стульев так, чтобы у каждой стены стульев стояло поровну. Школьники сразу не видят решения этой задачи, поэтому целесообразно сформулировать для них несколько подводящих задач.
1. Расставить 4 стула так, чтобы у каждой стены стояло по одному стулу.
2. Расставить 4 стула так, чтобы у каждой стены стояло по 2 стула.
3. Расставить 4 стула так, чтобы у одной стены стояло два стула, а у остальных - по одному.
4. Расставить 5 стульев так, чтобы у каждой стены стояло по два стула.
5. Расставьте 8 стульев так, чтобы у каждой стены стояло по 3 стула.
После решения 1 и 2 задач учащимся вполне доступно решение задачи 3, которая является
ключевой. Ее решение приводит к качественно новой идее в расстановке стульев; используя ее, школьники решают 4 и 5 задачи и, в итоге, справляются с первоначальной задачей. При решении можно предложить учащимся изобразить комнату в виде прямоугольника, а стулья - в виде квадратов [1].
После первого периода бессознательной работы мозга следует второй период сознательного труда. Интуиция носит вероятностный характер, и для человека это означает, что на основе интуиции есть возможность получить как истинное знание, так и ошибочное. «Интуиции бывает достаточно для усмотрения истины, но ее недостаточно, чтобы убедить в этой истине других и самого себя. Для этого необходимо доказательство» [4]. Доказательство должно быть проведено на строгом логическом уровне, и без этого доказательства никто не сможет оценить правильность интуитивной гипотезы. Иначе говоря, от интуитивных идей получишь не ответ, а только исходную точку для подобных вычислений, а сами вычисления приходится проводить во время второго периода сознательной деятельности. Именно в этот период проверятся интуитивные идеи и делаются из них выводы. Этот процесс происходит на основе современной логики, поэтому он достаточно сложен и требует повышенного внимания, участия воли, дисциплины, а, следовательно, может происходить только при участии сознания. В этом периоде математического творчества должна превалировать работа аналитическо-логического мышления, и это даже более важно, чем в первом периоде, где абсолютная строгость не обязательна, и, даже более того, не может быть достигнута.
Материалы, в которых содержится анализ ошибок, допускаемых при поступлении в вузы, показывают, что учащиеся часто не обосновывают свои догадки, например, по построению или утверждению некоторых геометрических положений необходимыми логическими рассуждениями. Из-за этого интуитивные ошибки остаются незамеченными, не вырабатывается критическое отношение к интуитивным рассуждениям. Необходимо создавать проблемные ситуации на основе обострения противоречия между интуитивным представлением учащихся и логически обоснованной сущностью. Нередко учителя не дают высказать учащимся свою интуитивную гипотезу, обращая внимание на необходимость логи-
34
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ 2008, Том 14
ческого обоснования, и лишаются возможности заострить противоречие в сознании учащихся. В э гой ситуации ученик должен осознать противоположные стороны противоречия, чтобы оно было разрешено его собственными силами. Только в этом случае может быть вызвано новое ин-гуитивное представление, которое уже не будет противоречить правильному логическому выводу.
Часто ошибки, допущенные интуитивно, например, при построении чертежа, могут быть выявлены при решении задачи, когда полученные результаты приходят в противоречие с условием задачи, с чертежом и т.д. Например, если длина отрезка ЕО (рис. 1) обозначена через х и в результате решения задачи получилось, что х=0, то это говорит о том, что отрезки БЕ и 50 совпадают.
Если по условию отрезок 50 ~ высота пирамиды, то это означает, что высота проведена неправильно (в этом случае ірань АБВ окажется перпендикулярной к основанию). Также учащимся важно знать, іде и как искать ошибки, если длина некоторого отрезка при решении задачи оказа-
лась равной отрицательному числу (в этом случае необходимо обратить внимание на значения углов^ Таким образом, при выяснении соотношения интуиции и логики в процессе доказательств математических утверждений необходимо взаимодействие логических и интуитивных методов рассуждения.
Математика может развиваться только при условии единства интуитивного и логического. Ведь даже интуиция может быть основана только на логике, и без первого этапа сознательной логической деятельности не состоится акт интуиции, в то же время чистый логик не смог бы ничего творить в силу отсутствия в его выкладках творческой силы, без которой они сводятся к тавтологии.
Библиографический список
1. Аммосова Н.В. Развитие творческой личности школьника при обучении математике. Учебное пособие. - Астрахань, 2006. -С. 9-10.
2. Карлов Н.В. Полемические заметки о науке в наше время // Свободная мысль. - 1991. — №16.
3. Клайн М. Логика против педагогики: Пер. с англ. / М. Клайн // Математика: Проблемы преподавания математики в вузах. - М. - 1973. -Вып. 3,- С. 46-60.
4. Философский энциклопедический словарь /Гл. ред. Л.Ф. Ильичев и др.-М.: Советская энциклопедия, 1983. - 840 с.
М.И. Зайкин, А.В. Пчелин ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ВЕРБАЛЬНЫХ, ГРАФИЧЕСКИХ И СИМВОЛИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЮЖЕТНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ПРОЦЕССЕ
Аначизируются функции сюжетных математических задач в образовательном процессе. Раскрывается значение образной базы в решении сюжетной задачи. Выдечяются и описываются различные виды визуатзаций, способствующих обогащению образной базы. Определяется роль и место визуализаций в структуре процесса решения сюжетных задач на движение. Характеризуется эвристическая направленность визуачизационных процессов в решении задач.
Относясь к общенаучным понятиям, катего- ория задач становится сегодня самостоятельной
рия задачи выявляет свою значимость во многих областью научного знания,
междисциплинарных исследованиях, а общая те-
© М.И. Зайкин, А.В. Пчелин, 2008
35
