CC BY
33
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _________________________________2009, том 52, №11_______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517. 53..517. 945
А.С.Сатторов
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТИПА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 15.09.2009 г.)
За последние десятилетия возникли вырождающиеся уравнения, которые являются новым разделом теории уравнений с частными производными. Однако фундаментальные результаты в этом направлении были получены еще Ф.Трикоми [1]. В дальнейшем исследования уравнений смешанного типа вызвали интерес к изучению эллиптических и гиперболических уравнений, вырождающихся на границе области [2-4]. В [5-7] для ряда эллиптических и гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами получены интегральные представления и на этой основе исследованы различные граничные задачи. В [8] и [9] исследованы задачи типа Ф.Трикоми для вырождающихся дифференциальных уравнений четвертого порядка.
Квазилинейные вырождающиеся дифференциальные уравнения мало изучены.
В данной работе находятся интегральные представления решений и исследуется задача типа Коши для одного квазилинейного вырождающегося дифференциального уравнения второго порядка.
Пусть Л - конечная область, ограниченная гладкой кривой Г, лежащая в первом квадранте и имеющая концы в точках О (0; 0) и А (1;0), а также с характеристиками
х + у — 0 \ у[х + д I—у = 1.
Часть области £>, в которой х > 0, у > 0, обозначим через 1Г - эллиптическая часть и х > 0, у < 0 обозначим через И - гиперболическая часть.
В области Л рассмотрим уравнения
1 + 2 ц 1 + 2у х 9 у 9 И 1
ги = хи+уит+—^и+-------------------------------------------------------ич-их2-^-иу2+—-и - 0, (1)
МУ “ у ” 2 х 2 у 21] х 211 у 2х
где ¡л, V - действительные числа.
Для построения решения уравнения (1) будем пользоваться решением уравнения
Т Т т т 1 т т 1 + 2V Ц ц — 1
хи +уи ч---------—17 ч---17 ч---------и = 0. (2)
100 * уу 2 у 2 у 4х
В дальнейшем введем рассмотрение следующих классов: через м2 ф обозначим класс решения уравнения (1), представимого в виде и^,у^=У2 где V 1ь,у^ - решение
уравнения (2), содержащего в зависимости от принимаемых значений коэффициентов уравнения с одной или двумя произвольными функциями одного переменного. Используя связь уравнения (1) с уравнением (2), можно убедиться в справедливости следующих утверждений.
Теорема 1. Пусть // < 0 и V > 1. Тогда любое решение уравнения (1) из класса М2 (-> в области 1) представимо в виде
и х,у = х ц
1 <р^2у/х -2уР~у 1-2т
^ і г і ^
О \_Т 1-т
Л
\2
(3)
где Ау - постоянное число, (р - произвольная функция одного аргумента. Доказательство. Вводим обозначения для сокращения записи
Та<Р
1.<р^2\[х — 2^—у 1-2 т ~ ^ Г і Iа
Л
Теперь вычислим соответствующие частные производные по х и у от равенства (3), затем подставляя их в (1), имеем
+ -
¿„*,£/ = 24,
х 2ТХ-у(Р
* 2Т^ср
х
* 2Т^<р
1 + 2 Vі -м
Ґ 11 Л 1 + 2// -м
2
+ -
+ У
/л ¡л-\
X 2Тх_у(р +
V ¿уу
г Е ^
2
4х
Легко можно доказать, что выражение внутри квадратной скобки равно нулю, то есть
X'
х
■у
X
Т^>
+ -
1 + 2 V
л
2
х
+
1 + 2 /л
і Г
// /л-1
4х
V
V ;у
\
= 0 .
У
Т^<р
Следовательно, теорема доказана.
Теорема 2. Пусть /¿,<0 и 0 <2у <1 . Тогда любое решение уравнения { из клас-
са м2 в области I)" представимо в виде
0
2
аХ^+вАу^Т,!//
(4)
где АУ,ВУ - постоянные числа, (р и ЦТ - произвольные функции одного переменного.
Доказательство. В равенстве (3), применяя оператор Ь и используя теорему 1, легко можно убедиться в том, что оно удовлетворяет уравнению (1).
Теорема 3. Пусть //< 0 и У>1. Тогда любое решение уравнения (1) из класса М2 ф+ в области ІГ представимо в виде
с
и4(,у^=х~
4
V о
'г(р] - 2іу[у і,-2тУіг
' Ч-гУ "
где Ау - постоянное число, (рх^^~ произвольная функция комплексного переменного г . Доказательство. Введем интегральный оператор
ТТ гп - 2іу[уК 2т^т
М'І |<-г^ 1
<=ід;
Вычислим соответственно частные производные по х и у. Затем, подставляя найденные частные производные в уравнение (1), убедимся в справедливости теоремы 3.
Теорема 4. Пусть // < 0 и 0 < 2\г < 1. Тогда любое решение уравнения (1) из класса
М2 С>+ в области I) представимо в виде
лП^+в,.у '■ П/р
1-2і/
2
(5)
где АУ,ВУ - постоянные числа, (рх С и (р2^ ~ произвольные функции комплексного переменного 2 .
Доказательство. Подставляя (5) в уравнение (1), убедимся в справедливости теоремы
4.
Замечание. Интегральные представления решения уравнения (1) в эллиптической части области /) от интегральных представлений в гиперболической части области отличаются тем, что аргумент произвольных функций будет комплексно переменным, а само решение уравнения и4(,у^,будет вещественной функцией.
2
2
2
Используя полученные интегральные представления решения уравнения (1), решаем задачу типа Коши, когда начальные условия задаются на линии параболического вырождения.
Задача К. Требуется найти решение уравнения (1) из классам2 (,> в области I) при // < 0, 0 <2у<1, удовлетворяющее начальным условиям:
Нш
у->-О
Нш
у->-0
Х* у/и Х,у =^! X , 8
ду
,У
(К)
= д2 х ,
где q1 х и q2 х - заданные непрерывные функции на отрезке Г0= х:0< х < 1 .
Решение задачи К. Используя интегральное представление ^ и учитывая условия К , находим:
1
(р х =-------------------------------------------дг х , Ц/ х =
В у,у
1-2 V В 1 - к ,1 - V
д2 х .
Подставляя функции 'и у/ 4 ^ в (4), получим явное решение задачи Коши. Теорема 5. Пусть ^ I £С2 Гс , I £С' Гй . Тогда единственное решение задачи Коши в области I)" при ¡и < 0, 0 < 2у < 1 даётся формулой
1 \дг (л/х-2д/^у <-2г^
+
2<гу^У \д2 \4х-2^у <-2г ^
1-2у^^у,\-у^
(6)
где дЛ^ д24^ - заданные функции на отрезке Гс= : 0 < х <1
Легко можно проверить, что равенство (6) удовлетворяет уравнению (1) в области В" и выполняется условие ^ .
_ з
Пример. Пусть в уравнении { // = -2, у — —, тогда оно принимает вид
3 1 Ж 9 9 3
хихх +Уиуу +2иу-~их +— (их2 +Уиу2 ¿.-и = о .
(*)
2
Легко можно видеть, что функция \]%,у=х 2х-------------у удовлетворяет дифферен-
Го 1 V
2х-------у
I 2 V
циальному уравнению (*).
Замечание. Аналогичным образом даются интегральные представления решений
уравнения (1) для других значений /л и у в областях £)" и И+.
Таджикский национальный университет Поступило
ЛИТЕРАТУРА
1. Трикоми Ф.О. Линейные уравнения в частных производных второго порядка смешанного типа. -М., 1947.
2. Френкель Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. - М., 1973, 256с.
3. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. - М., 1959.
4. Келдыш М.В. - ДАН СССР, 1951, т. 77, №2, с.181-183.
5. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Изд. АН ТаджССР, 1963, 183 с.
6. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. - М.: Наука, 1966, 292 с.
7. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. ч. 1-4, 1980, 1981, 1982, 1985, Душанбе.
8. Сатторов А.С. - Вестник ЛГУ, 1990, №7, с.167-173.
9. Сатторов А.С. - Материалы республиканской научной конференции. «Дифференциальные и интегральные уравнения». - Душанбе , 2008, с. 67-68.
А.С.Сатторов
ТАСВИРИ ИНТЕГРАЛЙ ВА ^АЛЛИ МАСЪАЛАИ НАМУДИ КОШЙ БАРОИ ЯК МУОДИЛАИ ТАНАЗУЛЁБАНДАИ ДИФФЕРЕНСИАЛЙ ЦИСМАН ХАТТИ (КВАЗИЛИНЕЙНИЙ) ТАРТИБИ ДУЮМ
Дар мак;ола тасвири интегралии халли як муодилаи дифференсиалй танадзулё-банда к;исман хаттии (квазилинейний) тартиби дуюм дар к;исми гиперболи ва эллиптики соха ёфта шудааст. Тасвири интегралии хдлли масъала муайян кардашуда дар к;исми гиперболикии соха барои халли масъалаи намуди Кошй истифода карда мешавад. Далли масъалаи намуди Коши ба тарзи ошкор навишта мешавад.
A.S.Sattorov
AN INTRODUCTION AND INTEGRAL OF KOSHI’S IDEA IS THE MAIN DIFFERENTIAL DEDUCTION OF THE SECOND LINE
In this article we found an introduction and the decision of Koshi’s form in hyperbolical and ellipsis sphere.
We used the decision of this task which shows in hyperbolical is sphere and for the diction of Koshi’s ideal. We also used the straight line of Koshi.
