Общее решение уравнения с n-ой итерацией дифференциального оператора Коши-Римана с сингулярной точкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2010, том 53, №7________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.946

Р.Ахмедов

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С n-ой ИТЕРАЦИЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА КОШИ-РИМАНА С СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ

Таджикский государственный университет права, бизнеса и политики

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 12.05.2010 г.)

Для одного класса эллиптического уравнения высокого порядка с сингулярной точкой устанавливается представление общего решения.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения - уравнение высокого порядка - общее решение -класс функций - интегральный оператор.

1. В монографии З.Д.Усманова рассмотрена модельная обобщенная система Коши - Римана следующего вида [1]:

2 _

5-Ф-----Ф = 0, z є G, (1)

z 2 z

где z = x + iy = rel(p, i2 = —1, d- = — — + i— , Л - комплексное число и O(z) - искомая функ-

1

С д .д^

2

ция, определенная в некоторой области G , содержащей внутри точку г = 0 . Теория решений системы (1) построена на основе обобщенной интегральной формулы Коши и обобщенного интеграла типа Коши. Ввиду эллиптичности системы и аналитичности ее коэффициентов при | г | > 0, любое ее непрерывное решение Ф(г) в области G автоматически становится бесконечно дифференцируемым и даже аналитическим по переменным х и у вне г = 0.

Для неоднородной системы

—

~ — ™ = ¥(г), г е G, (2)

2 г

в предположении, что ¥ (г) е Ьр (G), р > 2, получено общее решение

Чг) = Ф(г) + , (3)

в котором Ф(г) - общее решение однородного уравнения (1), а 8С¥ - частное решение неоднородного уравнения (2):

Адрес для корреспонденции: Ахмедов Рахмат. 735718, Республика Таджикистан, г. Худжанд, 17 мкр., 1. Таджикский государственный университет права, бизнеса и политики. E-mail: ahmadovrahmat@rambler.ru

SGF = -

1 ¥ (о+^Ф^ ¥ с

с с

й&ц, с = £ + Ц, (4)

Явный вид функций 01 (г,С) и Ог(г,С) приведен в [1].

2. В данной работе в области G , содержащей точку г = 0, изучается уравнение вида

и (п) Ж = 0 , г е G , (5)

где и(п) - п - ая итерация дифференциального оператора

— ___

и (°М; (°)-^ (°).

2 г

Решения (5) рассматриваются в классе Сп (^ ) ПС^), то есть п -раз непрерывно дифференцируемых в ^ = G \ {0} функций, непрерывных в замкнутой области G .

В работе установлены следующие результаты.

Теорема 1. Общее решение уравнения (5) из класса Сп ) ПС^) представимо в виде

п-1 1

Ж (г) = 1 Т,(г + г)^ Фп-»(г) , <6>

к=0 к!

где Фк (г), к = 1,2,..., п, - произвольные решения модельного уравнения (1) из класса

С1^) П С(а).

Теорема 2. Пусть Ж(г) - заданное решение уравнение (5) из класса Сп (^ ) ПС^). Тогда Фт(г), т = 1,2,...,п, однозначно определяются через Ж(г) по формулам:

п-1 (—1)к —

Фт(г) = Ё (~7^(г + г)к ип-т+к Ж(г), т = 1,2,...,п. (7)

к=0 к!

Доказательство этих теорем опирается на следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 1. Пусть Ф(г) - произвольное решение уравнения (1) из класса С1(О0 ) П С(0). Тогда имеет место соотношение

SG [(г + г)" Ф(г) ] = -Ц. (г + г)"+' Ф(г), (8)

п + 1

где п = 0,1,... и SG - интегральный оператор, определенный формулой (4).

Действительно, пусть и(г) и у(г) произвольные функции из класса С1(Ой ) П C(G) . Легко проверить следующее тождество:

—

и(иу) = ии\ + \ии----з(иУ - иу - иУ) .

2 г

Полагая в этом тождестве и (г) = (г + г) п+1 и у(г) = Ф(г) - решение уравнения (1) из класса С1^0 ) П С^ ), получим:

и [(г + ~г) И+1 Ф(г) ] = (п + 1)(г + ~г)п Ф(г).

Применяя к обеим частям этого тождества оператор , в согласии с [1] будем иметь:

(г + ~г)п+1 Ф(г) = (п +1) SG [(г + ~г)п Ф(г)],

то есть соотношение (8).

Докажем еще одно вспомогательное утверждение.

Лемма 2. Пусть Ф(г) - решение уравнения (1) из класса С1(Ой ) ПС(0). Тогда имеет место соотношение

SnG Ф(г) = 1 (г + г)п Ф(г) . (9)

п!

Действительно, из определения

SG ф=SG-1(SGФ)

и формулы (8) при п = 0 получим

Ф = ¿Г1 [(г + г)ф].

Очевидно также, что

SG-1 [(г + !)ф] = ,%-:1 [г + г)ф])= я

г +г)2 Ф

2

Продолжая этот процесс п раз, приходим к соотношению (9). Лемма 2 доказана. Доказательство теоремы 1. Уравнение (5) запишем в форме

и [(и)п-1Ж]= 0.

Из этого следует, что

ип-1 Ж = ф (г) (10)

является общим решением модельного уравнения (1) из класса С1(Ой ) П С(0) . Далее, представляя последнее равенство в форме неоднородного модельного уравнения (2) по отношению к функции (и)” 2 Ж, то есть

и [(и)п-2Ж]= ФДг),

в соответствии с (3) выводим

и"-2 Ж = Ф2 (г)+Яе,(Ф,(г)),

где Ф2 (г) - общее решение уравнения (1) из класса С1(О0 ) П C(G ). Применяя формулу (8) ко второму слагаемому правой части последнего равенства, получим

ип-2 Ж = ф2(г)+(г + г)ф(г) . (11)

И вновь, записывая (11) в форме неоднородного модельного уравнения (2) по отношению к функции (и)” 3Ж , то есть

и(ип-3 Ж) = ф(г) + (г + г)ф (г),

в согласии с (3) получим

и--3 Ж = Фз(г) + Ф2(г)+((г + ^ (г)),

где Ф3(г) - общее решение уравнения (1) из класса С1(О0)ПC(G). Опять-таки применяя формулу (8) ко второму и третьему слагаемым правой части этого равенства, получим

ип-3 Ж = Ф3 (г) + (г + г)ф2 (г) + — (г + г)2 ф (г). (12)

Продолжая этот процесс п раз на основании (2), (3) и формул (8), (9) для Ж (г) будем иметь (6), что и доказывает теорему 1.

Доказательство теоремы 2. Пусть Ж (г) - заданное решение уравнения (5) из класса

Сп (ро ) П С^). Тогда согласно теореме 1 оно представимо в виде (6).

Из (10) определяем ф (г) через Ж (г):

ф (г) = ип-1Ж.

Из (11) с учетом (10) вычисляем ф (г) через Ж (г):

ф (г) = и^Ж -(г + 2) ф (г) = 2- -(г + 2) ий-1Ж. (13)

Далее из (12) с учетом (10) и (13) вычисляем ф (г) через Ж (г):

ф (г) = ип-3Ж - (г + г) ип-2Ж +1 (г + ~г)2ип-1Ж

Продолжая аналогичным образом, получим (7), что доказывает теорему 2.

Поступило 12. 05.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши - Римана с сингулярной точкой. Математический институт с ВЦ АН ТаджССР. - Душанбе, 1993, 244 с.

Р.Ахмедов

ХДЛЛИ УМУМИИ МУОДИЛА БО ИТЕРАТСИЯИ п-уми ОПЕРАТОРИ ДИФФЕРЕНСИАЛЙ КОШИ-РИМАН БО НУЦТАИ СИНГУЛЯРЙ

Донишго^и давлатии %укуц, бизнес ва сиёсати Тоцикистон

Дар макола тасвири х,алх,ои умумии як синфи муодилах,ои эллиптикии тартиби боло дар атрофи нуктаи сингулярй ба таври ошкор нишон дода шуда исбот карда мешавад, ки он дар хдкикат х,алли умумии муодилаи тадкикшаванда мебошад.

Калима^ои калиди: муодилауои дифференсиалй - муодилауои тартиби боло - х,алли умуми - синфи функсияуо - оператори интегралы.

R.Akhmedov

THE COMMON DECISION OF THE EQUATION WITH n-ITERATION OF DIFFERENTIAL OPERATOR OF CAUCHY-RIEMANN SINGULAR POINT

Tajik State University of Law, Business and Politics

An explicit kind of the general solution to a high order elliptic equation is resulted in job. The formula is represented by solutions of the modeling equation.

Key words: differential equation - high order equation - general solution - class of functions - integral operator.