CC BY
21
ТРАНСПОРТ
УДК 629.015
Д. А. Дубовик, канд. техн. наук
ГИПОТЕЗА ЛИНЕЙНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ КОЛЕС МНОГООСНЫХ КОЛЕСНЫХ МАШИН ПРИ ДЕЙСТВИИ АКТИВНЫХ СИЛ
В статье излагается гипотеза линейного закона распределения опорных реакций колес многоосной колесной машины в случае приложения к ней активных сил.
В ранее опубликованных статьях настоящего сборника была изложена гипотеза о линейном законе распределения опорных реакций колес многоосных колесных машин под действием силы тяжести, позволяющая раскрывать статическую неопределенность опорных реакций колес. В реальных условиях движения на многоосную колесную машину действуют различные силы: сила сопротивления воздуха, инерционные силы, силы сопротивления качению колес и реакции опор колес, подлежащие определению.
В настоящей работе приводится метод раскрытия статической неопределенности опорных реакций колес многоосных колесных машин, находящихся под действием силы тяжести и активных сил.
Рассмотрим колесную машину, находящуюся под действием силы тяжести и активных сил (рис. 1). На рис. 1 представлены: - верти-
кальные реакции; Х1,Х2Х3,Х4 - поперечные реакции; У1,У2,У3,У4 - продольные реакции колес.
Возможны следующие случаи статической неопределенности опорных реакций колес машины.
1. Машина находится под действием силы тяжести и активной силы, направленной параллельно опорной
плоскости. При условии, что векторы опорных реакций колес машины симметричны относительно вектора силы тяжести колесной машины, продольные реакции колес линейно-зависимы и равны между собой, т. е.
У1 = У2 = Уз = ¥4.
В направлении движения имеем лишь одно уравнение статического равновесия, а другие дополнительные уравнения, необходимые для определения продольных реакций, получим из гипотезы о линейном законе их распределения.
2. Машина находится под действием продольной и поперечной сил.
Полагая, что нормальные реакции (см. рис. 1) не зависят от углов поворота управляемых колес, можно составить известные условия статического равновесия:
| I тл,х = 0;
II тл4х = 0
или
Оа — Z 2 £ х — Z3( I х +12) —
-%4(^ 1 + ^ 2 + ^3) — Р2^1 + Рук = 0;
ОЬ — %31 3 — %2 (^ 2 + ^ 3) —
—%1(^ 1 + ^ 2 + ^ 3) — Р2^2 + Рук = 0.
Рис. 1. Схема распределения опорных реакций колес при действии силы, приложенной под углом к корпусу колесной машины: 1 - корпус автомобиля; 2 - условные опоры колес; 3 - опорная поверхность (дорога)
Из гипотезы о линейном законе распределения опорных реакций колес многоосной машины имеем дополнительные уравнения:
72 71
А
=
73 - 72 ——2 = ї§і2;
і.
или
7 - 7
и
72 71 = 73 72
73 71 _ 74 73
Замкнутую систему уравнений статического равновесия представим в виде
02х + £ х2г + 1 + ^ 2)24 +
+ (£ 1 + £2 + £3)24 = Оа - РгЦ + РуИ;
(£ 1 + £ 2 + £ 3) 21 + (^ 2 + ^ 3) 2 2 +
+ £ 323 + 024 = ОЬ - РгЬ2 + РуИ;
-£ 221 + (£ 1 +/2)22 - £ 123 + 024 = 0;
021 + £322 + (£ 1 + £3) - £224 = 0,
(1)
имея в виду, что
Ь7 = агСу
Ґ7 - 7 ^ 2 ^1
і
(2)
1 У
Матрица коэффициентов уравнений (1) может быть представлена в виде
(
А7 =
0
-£'
£
£1 + £2 + £3 £ 2 + ^3
- Л
£ 2 + 13
(3)
2
3
1
0
3
0
Матрица правых частей системы уравнений (1) имеет вид:
В7 =
Ґ Оа - Р7Ц + РуЬ ^ ОЬ - Р7Ь2 + РуЬ 0 0
(4)
Предположим, что все управляемые колеса колесной машины поверну-
ты на углы а1, а 2 и а 3 (рис. 2).
Пусть на колесную машину кроме силы тяжести действует некоторая наклонная сила
Р = Рх + Ру + Р7
где Рх, Ру, Р2 - составляющие вектора Р вдоль ортогональных координат.
Рис. 2. Схема направлений векторов опорных реакций колес многоосной колесной машины, активной силы и поворотов управляемых колес: 1 - кузов; 2 - колеса; 3 - дорога
Полагаем, реакции ¿1, ¿2, ¿3, ¿4
не зависят от углов поворота управляемых колес. Тогда данные реакции можно определить из условия (1).
Кроме активной силы, на рис. 2
представлены: Б1, Р2, Б3, Б4 - окружные силы колес, зависящие от условий их сцепления с дорогой; 81,82,83,Б4 -
боковые реакции колес, перпендикулярные продольным плоскостям колес.
Поперечные реакции Х1, Х2, Х3, Х4
подчинены гипотезе о линейном законе распределения опорных реакций колес и дают два уравнения равновесия. Продольные реакции У1, У2, У3, У4 также
подчинены гипотезе и дают еще одно уравнение равновесия.
Уравнения связи между векторами сил можно представить в виде
|Я = X + У; [ Я = Б + §;
F! +St = X ! + % F2 + S2 = X 2 + Y2; F3+S з = x з+Y3; F4+S 4 = x 4 + Y4,
Распишем систему уравнений (7) в
(5)
где X - поперечная реакция; У - продольная реакция; Б - касательная реакция; Б - боковая реакция.
Спроектируя векторы сил системы
уравнений (5) на направления Б и Б (см. рис. 2), получим
F1 = -X1 sin a1 + Y1 cos Œj;
51 = X1 cos a1 + Y1 sin a1 ;
F2 = -X2 sin a2 + Y2 cos a2;
52 = X2 cos a2 + Y2 sin a2; F3 = -X3 sin a3 + Y3 cos a3;
53 = X3 cos a3 + Y3 sin a3;
F = Y •
x4 _ 4 ’
54 = X4.
(6)
Из данной системы уравнений можно определить касательные и боковые опорные реакции колес.
Уравнения равновесия поперечных и продольных сил (см. рис. 2) имеют вид:
I мА1 = 0;
1®А4 =0;
IY = 0;
X2 - X1 = X3 - X2
X3 - X2
X4 - X3
(7)
виде
X2^ 1 + X3(^ 1 + ^ 2) +
+X4(^ 1 + £ 2 + £ 3) - РхЬз = 0;
X1(£ 1 +£ 2 + £ 3 + £ 4 ) + X2(^ 2 + £ 3) +
+X3^ 3 - PxL2 + PyL3 = 0;
Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Py = 0;
£2X2 -£2X1 = £ 1X3 - £ 1X2;
£3X3 - £3X2 = £2X4 - £2X3;
Y = Y = Y = Y
-M 2 A3 4 '
Условия равновесия машины представляются в виде
0X1 + £ 1X2 +( £ 1 + £ 2 ) X3 +
+( 1 + £ 2 + £ 3 )Х4 = PxL1 + PyL3;
(£ 1 + £ 2 + £ 3 )Х1 + ( 2 + £ 3 )Х2 +
+£3X3 + 0X4 = PxL2 - PyL3; (8)
-£ 2X1 + (£ 1 + £2 ) X2 - £ 1X3 + 0X4 = 0;
0X1 + ( 1 + £2 )X2 - £ 1X3 + 0X4 = 0;
0X1 - £ 3X2 +( 2 + £ 3 )X3 - £ 2X4 = 0;
Y =___P ;
Y 4Py;
Y =___P ;
Y 4Py;
Y =___P ;
Y 4Py;
Y =__P
Y 4Py.
(9)
Представим систему уравнений (8) в форме матрицы:
Y = Y = Y = Y
, 1 2 А3 4'
Ax =
0
-1,
£,
£ 1 + £ 2
£1 + £ 2 £1 + £ 2 + £3 Л
£1 + £2 + £3 £2 + £3 £-.
- А £ 2 + А
- £,
(10)
0
0
0
Матрицу правых частей системы уравнений (8) представим в виде
Вх =
РхЧ + РУЬ, ^
Рх^ + Ру^3 0
0
(11)
Следует заметить, что для рассматриваемого случая матрица коэффициентов правых частей уравнений равновесия остается неизменной при любых вариантах приложения активной силы.
Как известно, модули и направления опорных реакций колес во многом зависят от характеристик их опорных поверхностей, которые определяют характер кинематических связей колес машины.
Обобщим классификационные признаки связей колес колесных машин по следующим характеристикам:
- опорная поверхность деформируема, тогда между реакциями и деформацией опор существуют математи-
ческая, экспериментальная, линейная (нелинейная) зависимости;
- опорная поверхность пластична, и функциональная зависимость между опорными реакциями колес машины отсутствует;
- опорная поверхность обладает реологическим свойством, и функциональная зависимость между опорными реакциями колес машины и реологическими характеристиками отсутствует.
Для колесных машин с одинаковыми характеристиками подвесок и размерами колес возможны следующие варианты раскрытия статических неопределенностей.
1. Колеса многоосной колесной машины подрессорены и оснащены шинами, совершают качение по недеформи-руемой опорной поверхности (рис. 3). В этом случае задача определения опорных реакций решается с помощью уравнений линейных деформаций упругих элементов при условии линейного характера их изменений.
є . Г2 а ,
1 ‘Аз 7 /і 1 N2' ~РУ 1 ^2. — _А^__ Рі А1 ^
! Рз А3 !% а2 \ /
/ / / 1 ■ / У / / / л ■ / / / / / / Ь . У // /////-”
■ ■
Рис. 3. Опоры корпуса колесной машины на поверхности с недеформируемой опорной поверхностью
2. Поверхность качения колес деформируема, колеса в поперечном и продольном направлениях не деформируемы (рис. 4).
В этом случае задача определения реакций требует использования гипотезы о линейном законе распределения.
3. Колеса в продольном направлении не деформируемы, а поверхность качения деформируема, тогда движение колесной машины характеризуется эффектом «плавучести» (рис. 5). Для рас-
крытия статической неопределенности, в первом приближении, возникает необходимость использования гипотезы о линейном законе распределения опорных реакций.
Рис. 4. Балка на упругих (линейных или нелинейных) опорах (недеформируемая опорная поверхность)
Рис. 5. Опоры упругой балки на поверхности с реологическим эффектом (вязкий торфяник)
Рассмотрим способы раскрытия статической неопределенности опорных реакций для перечисленных условий качения колес машины.
Для первого варианта качения ко-
лес условие статического равновесия и гипотеза о линейном законе распределения опорных реакций колес дают следующие уравнения статического равновесия:
SmA1x = 0;
Xm а3х =0; (12)
SmA1z =0; (13)
SmA3z =0; (14)
X y = 0; (15)
S3 - S2 S2 - Si. 12 A ; (16)
N3 - N2 N2 - N1 (17)
£ 2 1Х
Дополнительные уравнения, полученные из гипотезы о линейном законе распределения опорных реакций, можно представить в виде
Рэ = р2; (18)
?2 = Р1. (19)
При линейных характеристиках упругих шин зависимость между их вертикальными и поперечными деформациями можно представить в виде
к—2=к—1
^ 2 А ’ £ 2 А .
Тогда (см. рис. 4)
Зэ - З2 = З2 - З1 £ 2 ^1
Из проведенных рассуждений следует, что Е = Б2; Е = Б1.
Совокупность полученных уравнений раскрывает статическую неопределенность опорных реакций колес многоосных колесных машин в различных условиях их эксплуатации.
Выводы
1. Гипотеза о линейном законе распределения опорных реакций колес многоосных колесных машин позволяет определять опорные реакции колес при наличии активных сил, действующих на машину, и может быть использована для колесных машин с любым числом осей.
2. Раскрытие статической неопределенности опорных реакций полноприводной многоосной колесной машины, находящейся под действием активных сил, представляет собой основу исследований возникновения циркуляции мощности в трансмиссии.
3. При использовании в многоосных колесных машинах подвесок и шин с разными характеристиками гипотеза линейного распределения опорных реакций колес дает несколько ломанных прямых линий распределения реакций. Построение этих линий требует дополнительного использования метода виртуальных перемещений, изложенного в [1].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. - М. : Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1963. - 297 с.
Объединенный институт машиностроения НАН Беларуси
Материал поступил 20.04.2010
D. A. Doubovik
The hypothesis of the linear law of distribution of support reactions of wheels of multi-axle wheeled motor vehicles under the action of active forces
The paper presents the hypothesis of the linear law of distribution of support reactions of wheels of a multi-axle wheeled motor vehicle when active forces are applied to it.
