Математическая модель прямолинейного качения эластичного колеса по неровному деформируемому опорному основанию Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Транспортное и энергетическое машиностроение

УДК 629.1.073 DOI 10.18698/0536-1044-2017-10-25-33

Математическая модель прямолинейного качения эластичного колеса по неровному деформируемому опорному основанию

Н.С. Вольская, М.М. Жилейкин, А.Ю. Захаров

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1

A Mathematical Model of Rectilinear Rolling of Elastic Wheels on an Uneven Deformable Support Base

N.S. Volskaya, M.M. Zhileykin, A.Yu. Zakharov

BMSTU, 105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1 Г(П] e-mail: volskaja52@mail.ru, jileykin_m@mail.ru, zakharov-al@mail.ru

В настоящее время существует техническая, экономическая и социальная потребность в создании и использовании транспортных средств на пневмоколесных движителях, в том числе сверхнизкого давления, для освоения районов Севера и Северо-Востока России. Наша страна не располагает необходимым парком энергоэффективных машин высокой проходимости, поэтому прогнозирование проходимости колесной техники по опорной поверхности со слабыми несущими свойствами является актуальной задачей. Разработана математическая модель прямолинейного качения эластичного колеса по неровному деформируемому опорному основанию, учитывающая деформацию пятна контакта и изменение направления радиальной и тангенциальной реакций. Методами имитационного моделирования доказана работоспособность созданной математической модели.

Ключевые слова: качение эластичного колеса, деформируемое опорное основание, деформация пятна контакта, радиальная и тангенциальная реакции

Currently, there are technical, economic and social needs to develop and utilize vehicles with pneumatic propulsion, including those of ultra-low pressure, for the development of northern and north-eastern parts of Russia. In Russia, the fleet of energy efficient vehicles of high passability is insufficient, therefore the task of predicting the off-road ability of wheeled vehicles on a surface with poor load-bearing properties is relevant. The authors developed a mathematical model of rectilinear rolling of an elastic wheel on an uneven deformable support base, taking into account the deformation of the contact patch and the change in the direction of the radial and tangential reactions. The efficiency of the developed mathematical model was proved by simulation methods.

Keywords: elastic wheel rolling, deformable support base, contact patch deformation, radial and tangential reactions

Одним из основных направлений экономического развития России было и должно оставаться ускоренное развитие районов Севера и Северо-Востока, занимающих более 60 % территории страны. Дальнейшее освоение этих районов требует новых подходов и технологий для решения транспортно-технологических задач при перемещении грузов и людей в условиях бездорожья. При этом движение транспортно-технологических машин не только затруднено, но в ряде случае невозможно.

Существующие модели колесных, гусеничных и роторно-винтовых машин не отвечают поставленным функциональным требованиям, а также требованиям эффективности, надежности и экологичности движителей при эксплуатации в северных регионах страны со слабонесущими опорными поверхностями. Таким образом, имеется техническая, экономическая и социальная потребность в создании и использовании транспортных средств на пнев-моколесных движителях, в том числе сверхнизкого давления, удовлетворяющих этим требованиям.

В настоящее время наша страна не располагает необходимым парком энергоэффективных машин высокой проходимости. Серийно выпускаемая вездеходная техника, выполненная по старым традиционным схемам, не соответствует требованиям, определяющим эффективность и экологичность ее движителей в сложных природно-климатических условиях. В связи с этим прогнозирование проходимости колесных машин (КМ) по опорной поверхности со слабыми несущими свойствами является актуальной задачей [1, 2].

Одним из основных методов прогнозирования проходимости является имитационное моделирование движения КМ в различных условиях эксплуатации, основанное на математических моделях взаимодействия эластичной шины с деформируемыми неровностями опорного основания.

Установлено [3, 4], что на опорно-тяговую проходимость КМ влияют как деформативные свойства шин, так и физико-механические характеристики грунта: нормальный прогиб шины и глубина колеи; изменение площади опорного пятна контакта в зависимости от нагрузки и давления воздуха в шине; наличие гистере-зисных потерь в материале шины, которые влияют на сопротивление качению, обусловленное трением в пятне контакта о почву; со-

здание касательных реакций почвы по всей площади контакта.

Наряду с определением зависимостей для описания процессов нагрузка-деформирование дорожного полотна и нагрузка-деформирование движителя не менее важной задачей является выбор модели расчета вертикальных деформаций грунта при контакте с пневматической шиной. Правильность выбора типа и вида аппроксимационной зависимости во многом определяет качественную и количественную стороны общего решения задачи контактного взаимодействия эластичного движителя с деформируемым дорожным полотном [5].

На сегодняшний день сформированы два основных направления теоретического исследования взаимодействия движителей с грунтом: аналитический метод, предусматривающий математическое описание изучаемого процесса [6-8], и метод конечных элементов (МКЭ), основанный на компьютерном моделировании [9-11]. В области исследования взаимодействия колесных движителей с грунтом аналитический метод нашел широкое применение. Разработанные математические модели взаимодействия шины с грунтом позволяют решать различные задачи. Эти модели используют при исследовании как процессов взаимодействия одиночного колесного движителя с грунтовым массивом, так и динамических моделей мобильных машин, эксплуатируемых в специфических дорожно-грунто-вых и климатических условиях. К самым значимым недостаткам таких моделей относится описание взаимодействия колеса с ровным деформируемым основанием, в то время как профиль реальной опорной поверхности имеет большую высоту неровностей, соизмеримую с радиусом колеса.

Изучение процессов, протекающих в грунтовом массиве при воздействии колесного движителя, с помощью МКЭ является относительно новым методом, получившим в последнее время наибольшее распространение. МКЭ лучше других методов обеспечен численными процедурами исследования математических моделей объектов, но самое важное его достоинство заключается в наличии неявных методов интегрирования систем дифференциальных уравнений. Применение МКЭ позволяет наиболее точно описать процесс взаимодействия колесных движителей с почвой, определить напряжения в грунтовом массиве, деформацию шины и грунта, его уплотнения. В отличие от

аналитических методов в МКЭ форма пятна контакта эластичной шины с опорной поверхностью создается в результате моделирования с учетом независимых характеристик грунта, конструктивных и эксплуатационных параметров движителя. Однако вычислительная трудоемкость МКЭ высока, поэтому при существующих на сегодняшний день компьютерах использовать эти модели в составе общей модели движения многоосных КМ затруднительно.

Цель работы — разработка математической модели качения эластичного колеса по деформируемому неровному опорному основанию с учетом деформации пятна контакта.

Математическая модель качения. При разработке модели примем следующие основные допущения:

• пятно контакта, ширина которого равна ширине шины имеет прямоугольную форму;

• нормальное давление в пятне контакта распределено равномерно;

• сила взаимодействия колеса с опорным основанием направлена в обратную сторону от скорости проскальзывания.

Системы координат и основные расчетные зависимости. В предлагаемой модели использованы две различные системы координат (рис. 1), что обусловлено структурой и формой уравнений движения объекта.

Первая, неподвижная, система координат (НСК) О2 Х2У2 ^2 служит для моделирования заданных дорожно-грунтовых условий движения. Начало координат системы, точка 02, совпадает с началом моделируемой трассы.

Вторая, микроподвижная, система координат (МПСК) ОгХгУгпредназначена для определения сил, действующих на автомобиль со стороны грунта. Центр этой системы, точка От, совпадает с геометрическим центром вращения колеса, а ось ОтХт — с проекцией продольной оси симметрии колеса на опорную поверхность.

Рассмотрим расчетную схему качения колеса по неровностям опорного основания (см. рис. 1).

На нижней полуокружности недеформиро-ванного профиля колеса выберем некоторое количество точек п, положение которых будем определять углом а, между вертикалью, опущенной из центра колеса на ось Х2, и лучом, соединяющим точку недеформированного

02 Х21 Х2о Х2

Рис. 1. Расчетная схема качения колеса по неровностям опорного основания: 1, 2 и 3 — деформированный, деформируемый и недеформированный профили грунта соответственно; Рг и Рх — вертикальная и продольная силы, приложенные к центру колеса со стороны оси КМ

профиля колеса с его центром (см. рис. 1). Количество точек выбираем исходя из компромисса между точностью модели и ее быстродействием. Определим координаты Х2, и У2, выбранных точек профиля в НСК:

Хъ = Х20 + г^т а,;

У21 = У20 + Г^т а,;

п п

-—<а, <—, 2 2

где Х20, У20 — координаты центра колеса (точки О) в НСК; гк — свободный радиус колеса.

Вертикальную координату Хц 1-й точки не-деформированного профиля колеса в НСК определим по формуле

г2{ = г20 — ГкС08 а,,

где г20 — вертикальная координата центра колеса в НСК.

Формирование продольного профиля проводится по следующему алгоритму:

г2грг =

унедеф г2грг

7недеф ■^2грг

— 11 -

X

7 недеф — , ■^2грг пг

при X, > Х20 + Хг; -X?) приХ20 <X, <Х20 + Хг; (1) при X, < Х20,

где г2гр, — вертикальная координата профиля опорного основания под г-й точкой колеса;

■^НГр? — вертикальная координата недефор-мированного профиля колеи (моделируется заранее по известной методике, изложенной в работе [12]); Xi — текущая продольная координата^_г-й__гочки_ профиля колеи в НСК; Хг = Vгк2 -(Ъ2{) -кг)2; Нг — глубина колеи.

Прогиб шины йг в радиальном направлении для ^й точки недеформированного профиля находим из следующих соотношений:

dr = •

Р> Z2rpi ^ Zi;

[(Z2rp¿ - Z2i) COS ai, Z2rpi > Z2i.

а экв

Z dri

Проекция вектора линейной скорости i-й точки недеформированного профиля колеса в радиальном направлении

Vri = VixT sin ai + VizT cos ai,

где viXT и v,zt — проекция вектора линейной скорости i-й точки на ось Xt и Zt .

Скорость деформации профиля i-й точки в радиальном направлении

d_

dt

(dr¡) = Z2гр,cosa¡ - Vri.

Таким образом, для определения реакций взаимодействия колеса с опорной поверхностью в МПСК при наличии нескольких зон «перекрытия» профилем опорного основания недеформированного контура колеса необходимо вычислить эквивалентный угол йэкв точки приложения суммарной радиальной реакции Яг в радиальном направлении и тангенциальной реакции Ят (см. рис. 1).

Эквивалентный угол определим как взвешенное среднее значение

Эквивалентная скорость прогиба

dr

экв i=

ZI d (dr>}

dt

Z aidr

i=i_

n

Z dri

i=i

Радиальная реакция Яг является суммой упругой Яуу и демпфирующей ЯГд составляющих: Яг = Ягу + Яд Упругая составляющая Ягу зависит от эквивалентного прогиба шины

dr = —

где пк — количество точек недеформированного профиля, находящихся в контакте с опорной поверхностью.

На демпфирующую составляющую радиальной реакции Ят оказывает влияние скорость прогиба шины в радиальном направлении. Поэтому определим проекции скорости точек контура колеса на оси Хт и Zt.

VixT =Юк (гк - dri) cos ai + VoxT;

ViZt = ®к (гк - dri) sin ai + Vo zt ,

где юк — угловая скорость вращения колеса; V0xT и V0ZT — проекция вектора скорости центра колеса на ось XT и Zt .

Далее, зная упругую и демпфирующую характеристики шины в радиальном направлении, находим Rr.

Тангенциальная реакция Rr = ^sRr. Здесь ц s — коэффициент трения частичного скольжения [13]),

цs ~ цsamax ( — e к 0 ) ,

где ^samax — коэффициент трения полного скольжения для данного угла a поворота вектора скорости скольжения; 5к — коэффициент буксования; S0 — константа.

Последнее выражение справедливо для несвязных грунтов. Коэффициент ^samax определяет максимальное значение функции (S^, а в совокупности с константой S0 — градиент функции (Su) в начале координат, отражающий свойства грунта при малых скольжениях. Коэффициент буксования: • для тягового режима качения колеса

V0xt (Гк -d-экв)

5к =■

Юк (Гк - drэкв )

• для тормозного или ведомого режимов качения колеса

SK =

Vo Xt - Юк (Гк -d^)

Vo XT

Реакции взаимодействия колеса с опорной поверхностью Rxt и Rzt в проекции на оси Xt и Zt МПСК имеют следующий вид:

RXT = RTCOs аэкв - Ягsinаэкв - Ялоб ;

Rzt = Ят sin аэкв + ЯГ cos аэкв.

n

к

n

к

Здесь Ялоб — сила лобового сопротивления грунта качению колеса (бульдозерный эффект), определяемая по методике, изложенной работе [14]:

Ялоб = 0,5Ьш ( " h - dr^B )2 дпасУ; ^пас = ап (0,01- 90°)Ьп ;

вп = 1 + afa (0,1-ф*)bfa ; Ьп = afb (0,1-ф* ffb;

afa = 0,3082 - 0,0709 %; bfa = 2,0751 +1,3354 %;

ф* ф*

afb = 0,5756 + 0,1024 %; bfb = 1,0608 + 0,0619 %, ф* ф*

где Ьш — ширина шины; у — удельный вес грунта, МН/м3; фГ — угол внутреннего трения грунта, град; ф** — угол трения грунта о стенку шины, град.

Графики для определения углов ф*, ф** приведены в работе [14].

Динамика вращения колеса, представленная на рис. 1, описывается уравнениями

J к со к = Мк - Rxt (гк - d^) - Mf - Mh - Мт;

Mf = Rr (гк - drЭкв) sin a ^cos a Экв;

Mh = RZT^ (1 - Ъ) ,

где Jк — момент инерции колеса относительно оси вращения; Mк — крутящий момент, подводимый к колесу; Mf — момент сопротивления качению колеса за счет смещения реакции Rr; Mh — момент сопротивления, вызванный вертикальной деформацией грунта; M,. — тормозной момент на колесе [14].

Определение глубины колеи. Рассмотрим упрощенную поверхность зоны контакта, когда его пятно имеет прямоугольную форму, а нормальное давление распределено равномерно. Тогда площадь пятна контакта Рш определим по формуле

Гш =(( + Lq) ЬШ,

где L1 и L2 — длина пятна контакта в пределах правой и левой нижних четвертей дуги окружности недеформированного контура шины (см. рис. 1).

Зависимость Ъ2гр = f (X) в пределах правой нижней четверти дуги окружности недеформи-рованного контура шины описывается формулой (1). Тогда

Хг -

L1 = fV 1 + [/ '(X) ]2 dX-

= — [ЛXг^/АХг2 +1 + л/А 8Ь—1 (гл/Х)], (2) 2 Л

где Л = hг(ti—ОХ?, 1 — момент времени на предыдущем шаге интегрирования; 8Ь (х) = = (ех — е—х )/2 — гиперболический синус.

Для решения выражения (2) значение 1) необходимо брать с предыдущего шага интегрирования, чтобы избежать «алгебраической петли». Начальное значение можно принять ^ ^ =0 = 0.

Ввиду отсутствия аналитической зависимости г2гр = / (X) в пределах левой нижней четверти дуги окружности недеформированного контура шины заменим интеграл (2) конечной суммой для п участков недеформированного профиля шины, для которых йг, Ф 0 при —п/2 < а, < 0:

^2 = (2гр;' — г2гр,—1) + (X2грi — X2грi—11

Определим

нормальные давления poz в пятне контакта по формуле Бернштейна-Летошнева [14]:

р0г = сгр^, МПа,

где сгр — коэффициент деформации грунта, МПа; ц — показатель плотности грунта. С другой стороны

p0z =

Pz

Гш -106

, МПа,

где Рг — вертикальная нагрузка на колесо. Тогда глубина колеи

h =

У Сгр Гш10 J

Влияние грунтозацепов на параметры движения колеса. При наличии грунтозацепов необходимо дополнительно вычислить касательные силы в зонах выступов и впадин, а также вынос грунта из зоны контакта в случае интенсивного буксования колеса.

Дополнительное вертикальное заглубление центра колеса в грунт, вызванное экскавацией грунта из зоны контакта, вычисляют по формуле [14]

_ ^вп^грз^

М((г э "

tгрз (1 Sк

m = ■

Ргрз = F с -^■т j ■^трз'-гр

106exp

(|ex| ex max )

0,05ex

■tg Ф г

Рис. 2. Расчетная схема для определения

дополнительных касательных сил

Ргрз т j

L + L2 2тк

*грз •

где — длина впадины грунтозацепа; Нгрз — высота грунтозацепа; tгрз — шаг грунтозацепа, tгрз = 2ягк/игрз (пгрз — общее количество грун-тозацепов по длине окружности шины).

Тогда суммарное вертикальное заглубление центра колеса

йсум йг ^ ййг.э .

Считаем, что если йсум > гк, то происходит потеря подвижности машины вследствие вывешивания корпуса на грунте.

Для определения дополнительных касательных сил Я_гр3 в зонах выступов и впадин грун-тозацепов (рис. 2) будем использовать результаты, полученные в работе [14]:

Тогда окончательно выражение для определения продольной реакции колеса с опорным основанием в проекции на ось Хт МПСК имеет вид

RXT = RT cos a экв Rr sin a экв — рлоб + R

грз \Xt '

■-2

ех = S(At)- )(гк -йгЭкв)^;

к

At = t2 -tl,

где Ргрз — площадь лобовой проекции грунтозацепа; ех — текущий сдвиг грунта; ехтах — максимальный сдвиг грунта, при котором связанность частиц грунта не нарушается; ) — путь, пройденный центром колеса за время А^

Суммарная касательная сила Я-ХГ в проекции на ось Хт МПСК по всем т грунтозаце-пам, находящимся в зоне контакта колеса с опорным основанием,

RTXT = ZRifcos Р j;

j=1

Проверка работоспособности математической модели. Для проверки работоспособности предложенной методики создана программа моделирования движения одиночного колеса в среде MATLAB/Simulink. В качестве исходных данных использовали параметры грунтового основания по данным работы [14] и основные параметры одиночного колеса.

Параметры грунтового основания

Коэффициент деформации грунта сгр, МПа . . . 0,85

Показатель плотности грунта ц............... 0,77

Удельный вес грунта у, МН/м3............. 0,0145

Угол внутреннего трения грунта фг, град....... 40

Максимальный сдвиг грунта, при котором связанность частиц грунта не нарушается,

ex max, м..................................... 0,05

Коэффициент трения полного

скольжения ц a max........................... 0,8

Константа S0.................................0,05

Основные параметры одиночного колеса

Масса m, кг...................................600

Свободный радиус гк, м....................... 0,7

Ширина Ьш, м................................ 0,6

Общее число грунтозацепов пгрз, шт........... 60

Высота грунтозацепа йгрз, м................. 0,015

Длина впадин грунтозацепов tm, м...........0,015

Угловая скорость вращения колеса юк, с-1....... 4

На рис. 3 показана зависимость высоты профиля ^2гр грунтового основания от про-

'2гр> м

выступов и впадин грунтозацепов

14 Х2, м

Рис. 3. Зависимость высоты профиля 22гр грунтового основания от продольной координаты Х2

в зонах

Рис. 4. Зависимости глубины колеи ^ (а), высоты центра колеса гк (б), прогиба шины йгэкв (в), длины пятна контакта Ь (г) и эквивалентного угла аэкв (д) от времени движения t

дольной координаты Х2 НСК, а на рис. 4 — зависимости от времени движения t следующих параметров: глубины колеи высоты центра колеса гк, эквивалентного прогиба шины йгэкв, длины пятна контакта Ь = Ь1 + Ь2 и эквивалентного угла аэкв.

Представленные на рис. 4 зависимости позволяют судить о работоспособности предложенной математической модели движения эластичного колеса по неровному деформируемому опорному основанию.

Выводы

1. Разработана математическая модель прямолинейного качения эластичного колеса по неровному деформируемому опорному основанию, учитывающая деформацию пятна контакта и изменение направления радиальной и тангенциальной реакций.

2. Методами имитационного моделирования доказана работоспособность предложенной математической модели.

Литература

[1] Котляренко В.И. Основные направления повышения проходимости колесных машин.

Москва, Изд-во МГИУ, 2008. 284 с.

[2] Шухман С.Б., Плиев И.А., Маляревич В.Э. Пути повышения экологических свойств

многоосных полноприводных автомобилей, эксплуатирующихся в районах Крайнего Севера. Автомобильная промышленность, 2008, № 10, с. 15-17.

[3] Wong J.Y. Theory of Ground Vehicles. New York, Wiley IEEE, 2001. 560 p.

[4] Прядкин В.И. Оценка воздействия высокоэластичной шины на поверхность качения.

Лесное хозяйство, 2011, № 5, с. 42-43.

[5] Пирковский Ю.В., Шухман С.Б. Теория движения полноприводного автомобиля (при-

кладные вопросы оптимизации конструкции шасси). Москва, ЮНИТИ-ДАНА, Элит-2000, 2001. 230 с.

[6] Агейкин Я.С., Вольская Н.С., Чичекин И.В. Проходимость автомобиля. Москва,

МГИУ, 2010. 275 с.

[7] Бабийчук А.Э., Агейкин А.С., Вольская Н.С. Методика определения потерь мощности

на качение колесного движителя с учетом типа трансмиссии и давления воздуха в шинах машины. Журнал автомобильных инженеров, 2013, № 3, с. 24-27.

[8] Лепешкин А.В., Петров С.Е. Математическая модель взаимодействия эластичного ко-

леса с деформируемой опорной поверхностью при установившемся прямолинейном качении. Матер. 77-й Междунар. науч.-техн. конф. ААИ «Автомобиле- и тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», Москва, МГТУ «МАМИ», 2012, с. 141-149.

[9] Shoop S., Kestler K., Haehnel R. Finite element modeling of tires on snow. Tire Science and

Technology, 2006, vol. 34, no. 1, pp. 2-37.

[10] Белкин А.Е., Нарская Н.Л. Конечно-элементный анализ контакта автомобильной шины с опорной поверхностью на основе оболочечной модели. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение, 2004, № 3, с. 14-28.

[11] Одинцов О.А. Разработка метода решения нелинейных контактных задач стационарного качения автомобильной шины. Дис. ... канд. техн. наук. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 208 с.

[12] Полунгян А.А., ред. Проектирование полноприводных колесных машин. В 3 т. Т. 1. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 496 с.

[13] Эллис Д.Р. Управляемость автомобиля. Москва, Машиностроение, 1975. 216 с.

[14] Ларин В.В. Теория движения полноприводных колесных машин. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 391 с.

References

[1] Kotliarenko V.I. Osnovnye napravleniia povysheniia prokhodimosti kolesnykh mashin [The

main directions of improving the patency of wheeled vehicles]. Moscow, MSIU publ., 2008. 284 p.

[2] Shukhman S.B., Pliev I.A., Maliarevich V.E. Puti povysheniia ekologicheskikh svoistv

mnogoosnykh polnoprivodnykh avtomobilei, ekspluatiruiushchikhsia v raionakh Krainego Severa [Ways to improve the environmental properties of multi-wheel drive vehicles operated in the far North]. Avtomobil'naiapromyshlennost' [Avtomotive Industry]. 2008, no. 10, pp. 15-17.

[3] Wong J.Y. Theory of Ground Vehicles. New York, Wiley IEEE, 2001. 560 p.

[4] Priadkin V.I. Otsenka vozdeistviia vysokoelastichnoi shiny na poverkhnost' kacheniia [As-

sessment of the impact of the highly flexible tyre on the rolling surface]. Lesnoe khoziaistvo [Forestry]. 2011, no. 5, pp. 42-43.

[5] Pirkovskii Iu.V., Shukhman S.B. Teoriia dvizheniia polnoprivodnogo avtomobilia (prikladnye

voprosy optimizatsii konstruktsii shassi) [The theory of the motion of four-wheel drive vehicle (applied problems of optimization of chassis design)]. Moscow, IuNITI-DANA, Elit-2000 publ., 2001. 230 p.

[6] Ageikin Ia.S., Vol'skaia N.S., Chichekin I.V. Prokhodimost' avtomobilia [Patency of the car].

Moscow, MSIU publ., 2010. 275 p.

[7] Babiichuk A.E., Ageikin A.S., Vol'skaia N.S. Metodika opredeleniia poter' moshchnosti na

kachenie kolesnogo dvizhitelia s uchetom tipa transmissii i davleniia vozdukha v shinakh mashiny [The technique of determination of power losses in the rolling of the wheel mover with the type of drivetrain and the air pressure in the tires of the car]. Zhurnal avtomo-bil'nykh inzhenerov [Zurnal AAI]. 2013, no. 3, pp. 24-27.

[8] Lepeshkin A.V., Petrov S.E. Matematicheskaia model' vzaimodeistviia elastichnogo kolesa s

deformiruemoi opornoi poverkhnost'iu pri ustanovivshemsia priamolineinom kachenii [Mathematical model of interaction between elastic wheels with deformable bearing surface during steady-state straight-line rolling]. Materialy 77-i Mezhdunarodnoi nauchno-tekhnicheskoi konferentsii AAI «Avtomobile- i traktorostroenie v Rossii: prioritety razvitiia i podgotovka kadrov» [The materials of the 77th International scientific and technical confer-

ence AAI «Car and tractor construction in Russia: development priorities and training»]. Moscow, MAMI publ., 2012, pp. 141-149.

[9] Shoop S., Kestler K., Haehnel R. Finite element modeling of tires on snow. Tire Science and

Technology, 2006, vol. 34, no. 1, pp. 2-37.

[10] Belkin A.E., Narskaia N.L. Konechno-elementnyi analiz kontakta avtomobil'noi shiny s opornoi poverkhnost'iu na osnove obolochechnoi modeli [Finite-Element Analysis of Car Tyre Contact with Support Surface on the basis of Shell Model]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Mashinostroenie [Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Mechanical Engineering]. 2004, no. 3, pp. 14-28.

[11] Odintsov O.A. Razrabotka metoda resheniia nelineinykh kontaktnykh zadach statsionarnogo kacheniia avtomobil'noi shiny. Diss. kand. tekhn. nauk [Development of a method of solving nonlinear contact problems of stationary rolling tires. Cand. tech. sci. diss.]. Moscow, Bauman Press, 2008. 208 p.

[12] Proektirovanie polnoprivodnykh kolesnykh mashin [Design of four-wheel drive wheeled vehicles]. Ed. Polungian A.A. Vol. 1. Moscow, Bauman Press, 2008. 496 p.

[13] Ellis D.R. Upravliaemost' avtomobilia [The car's handling]. Moscow, Mashinostroenie publ.,

1975. 216 p.

[14] Larin V.V. Teoriia dvizheniia polnoprivodnykh kolesnykh mashin [Theory of motion of four-wheel drive wheeled vehicles]. Moscow, Bauman Press, 2010. 391 p.

Информация об авторах

ВОЛЬСКАЯ Наталья Станиславовна (Москва) — доктор технических наук, профессор кафедры «Колесные машины». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: volskaja52@mail.ru).

ЖИЛЕЙКИН Михаил Михайлович (Москва) — доктор технических наук, профессор кафедры «Колесные машины». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: jileykin_m@mail.ru).

ЗАХАРОВ Александр Юрьевич (Москва) — кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Колесные машины». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: zakharov-al@mail.ru).

Статья поступила в редакцию 24.04.2017 Information about the authors

VOLSKAYA Nataliya Stanislavovna (Moscow) — Doctor of Science (Eng.), Professor, Department of Wheel Vehicles. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: volskaja52@mail.ru).

ZHILEYKIN Mikhail Mikhailovich (Moscow) — Doctor of Science (Eng.), Professor, Department of Wheel Vehicles. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: jileykin_m@mail.ru).

ZAKHAROV Aleksandr Yurievich (Moscow) — Candidate of Science (Eng.), Senior Lecturer, Department of Wheel Vehicles. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: zakharov-al@mail.ru).