Гармонические функции в двумерных стратифицированных областях с кусочно-гладкой границей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ДВУМЕРНЫХ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ ОБЛАСТЯХ С КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ

Л.А. Ковалева, А.П. Солдатов

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: kovaleva_l@bsu.edu.ru

Аннотация. Описывается подход к исследованию краевых задач на двумерных стратифицированных множествах с кусочно-гладкой границей для гармонических функций. Подход основан на редукции изучаемых задач к нелокальным краевым задачам теории функций в семействе плоских областей.

Ключевые слова: задача Дирихле на стратифицированном множестве, задача Неймана на стратифицированном множестве, обобщенная задача Римана-Гильберта.

По определению, гладкой дугой Г мы называем образ непрерывно-дифференцируемого отображения y : [0,1] ^ R3, которое взаимно-однозначно и его производная j'(s) = 0, 0 < s < 1. Это отображение называется также (гладкой) параметризацией. Оно наделяет дугу Г ориентацией. Точки j(0), Y(1) называются концами дуги Г. Точки, отличные от j(0), j(1), составляют её внутренность. Класс таких дуг обозначим C1, запись Г G C1,м означает, что Г допускает параметризацию класса C 1,м[0,1]. Объединение Г конечного числа гладких дуг Г1,.., Гт, которые могут попарно пересекаться лишь по своим концам, мы называем кусочно-гладкой кривой. Конечное множество F, составленное из концов этих дуг, мы называем множеством угловых точек. Точки множества Г = Г \ F являются внутренними точками данной кривой. Кусочно-гладкая кривая, составленная из совокупности дуг Г1,.., Гт, называется составной частью кривой Г.

Кусочно-гладкая кривая, все связные компоненты которой гомеоморфны окружности, естественно называть (кусочно-гладким) контуром. Ниже, удобно под кусочно-гладкой областью понимать конечную плоскую область D С C, ограниченную кусочно-гладким контуром dD. По отношению к этой области дуги, составляющие кривой Г, являются сторонами, а узлы контура - вершинами.

Пусть задано непрерывно дифференцируемое взаимно-однозначное отображение а замкнутой кусочно-гладкой области D в R3, частные производные да/дх, да/ду которого, как векторы, линейно независимы в каждой точке z = х -\- iy £ D. Тогда, по определению, образ G = a(D) области D представляет собой гладкую поверхность, ограниченную кусочно-гладким контуром дG = a^D). Эту гладкую поверхность мы называем листом с кусочно-гладким краем дG, или, кратко, кусочно-гладким листом. Соответственно, а есть гладкая параметризация листа G.

По определению, класс C 1(G) непрерывно дифференцируемых функций р на G определяется условием р о а G C 1(D). Для такой функции определены производные др/де вдоль единичных касательных векторов е к поверхности G. Именно, по определению

дЧ>( \ у Ч>{у)~Ч>{Уо) _ п У — Уо m

— (Уо) = lim —----------------------------------— при у е G, у ->■ Уо, -г ->■ е . (1)

де I У- Уо I I У- Уо I

Ясно, что

др др

д(—е) де

Если заданная на отрезке I С К вектор-функция 7 со значениями в О непрерывно дифференцируема и 7'(¿о)/ | 7'(¿о) |= е, то, очевидно,

(^°тШ = ■ (з)

Если дуга Ь входит в состав контура дО и функция р € С1(О и Ь) ( т.е. р о а € Си Г),

где Г = а-1(Ь)), то определение (1) сохраняет свою силу и для точек у € Ь и касательных

векторов е, направленных в сторону О. В частности, имеет смысл нормальная производная др/дп, где касательный к О вектор п есть единичная внутренняя нормаль к Ь во внутренней точке у дуги.

Пусть задано конечное число О1,..,Оп кусочно-гладких листов, замыкания которых могут попарно пересекаться лишь по своим вершинам или сторонам. Более точно, если а € О к П Ог, то либо а является вершиной каждого из краёв дОк и дОг, либо внутренней точкой, причём стороны Ь С дОк и Ь^ С дОг, содержащие эту точку, совпадают. Очевидно, объединение Ь = У к дОк представляет собой кусочно-гладкую кривую, которая

содержит контура дОк в качестве своих составных частей. Дуги Ь1,... , Ь(, составляющие кривую Ь, назовём сторонами, если они принадлежат краю только одного листа, и рёбрами в противном случае. К каждому ребру Ьк сходится несколько листов Ог, их номера образуют некоторое подмножество из 1,..,п, которое обозначим Дк. Пусть Шк означает число

элементов этого множества, так что дуга Ьк является стороной при Шк = 1 и ребром при

Шк > 1.

Объединение О листов О1,.., Оп и внутренностей всех ребер назовём стратифицированной областью. Очевидно, её замыкание О совпадает с О1 и... и О , а дополнение дО = О \ О состоит из кусочно-гладкой кривой д1 О, составленной из сторон, и не пересекающегося с ней конечного множества д0О узлов кривой Г, к которым сходятся только ребра. Множество узлов Г кривой Г распадается на подмножество Г1, состоящее из узлов д1О, и д°р- _ _

Рассмотрим гладкие параметризации аг : О ^ О листов Ог, 1 < г < п. Напом-

ним, что Ог является кусочно-гладкой областью, т.е. конечной областью, ограниченной кусочно-гладким контуром дОг. Каждому ребру Ьк отвечает семейство дуг Гкг С дОг, г € Дк, которые при отображении аг переходят в Ьк. Таким образом, точке у € Ьк отвечают точки гг = а-1 € Г кг. Можно сказать, что ребра Ьк получаются "склеиванием" сторон Гкг С дОг по точкам уг. С другой стороны, каждой стороне Ьк С д1О отвечает ровно один лист Ог, сходящийся к этой стороне, и соответственно сторона Гкг С дОг, которая переходит в Ьк при отображении аг. В этом случае множество Дк состоит из одного элемента г.

Таким образом, с топологической точки зрения, стратифицированное множество О можно получить из семейства кусочно-гладких областей О1,..,Оп С С, никак не связанных между собой, путем "склеивания" некоторых дуг, составляющих контура дОг. В результате, получаются ребра стратифицированной области. Те дуги из контуров дОг, ко-

(2)

торые не участвуют в склеивании, образуют стороны О. Заметим, что аналогичный способ часто используется [1] при описании римановых поверхностей.

В дальнейшем на параметризации аг во внутренних граничных точках контуров ЗПГ накладываем дополнительное условие

даг даг

dn de

r Ö д даг

дп де

(4)

где единичные векторы п и е, соответственно, ортогональны и касательны к ЗПГ в рассматриваемых точках. В силу (2) это условие не зависит от выбора (одного из двух возможных) направлений векторов п и е.

Непрерывную функцию и £ С (О) назовём гармонической в стратифицированной области О, если для каждого 1 < г < п функция иг = и о аг гармонична в области Ог. Кроме того, для любого 1 < к < I сужение и на лист Ог, г £ Дк, принадлежит классу С 1(Ог и Ь), и выполнено так называемое контактное условие

^—л du . .

— (у)

і-єДі

dnr

0, у £ Lk

(5)

для её нормальных производных вдоль листов О к, г £ Дк. Здесь, единичный вектор пг касательный к О к в точке у, ортогонален Ьк и направлен в сторону О к.

На границе д1 О для функции и можно ставить различные краевые условия аналогичные случаю плоских областей. Например, можно рассмотреть задачу Дирихле

u

+

f

(6)

где символом " + " здесь и ниже мы указываем на граничные значения функции и £

С(С\ Р) на дгС, и задачу Неймана

ди + дп

g

(7)

для нормальной производной функции и на d1G. Более точно, каждая дуга Lk С d1G является стороной единственного листа Gr, функция и £ C l(Gr U Lj к) и её производная ди/дп по направлению внутренней нормали п(у) к Г1 в точке y £ Lк принимает значение

g(v).

Возможны и другие типы краевых условий, например, смешанные краевые условия. На поведение функции и в окрестности изолированных особых точек т £ d0G накладываются дополнительные условия. Например, можно поставить вопрос, если и ограничена в окрестности точки т, то будет ли в этих условиях существовать предел lim и(£)?

Z—— Т

Контактное условие (5) можно переписать по отношению к функции иг = и о аг. Пусть точка у лежит внутри ребра Lk и zr = а-1 (у) £ Гkr С dDr, r £ Дк. В силу (4), нормальное направление к dDr в точке zr при отображении ar перейдет в нормальное направление к ребру Lk в точке у вдоль касательной плоскости к Gr. Поэтому, по определению (1),

диг

дп

(zr )

du

дпг

(у)

даг

дп

(zr )

Подставляя это выражение в (5) и пользуясь вторым условием (4), получим:

£

т&Дк

да

де

(¿Г )

1

ди

дп

(¿г) =0 . (8)

Заметим, что непрерывность функции и в точке у означает, что предельные значения и.

в точках гг совпадают:

и+(гг)= и(у), г £ Дк(9)

Обратимся к семейству областей Ог, 1 < г < п. Дуги, составляющие их границы, занумеруем единым образом Г і,Гт. Те из них, которые составляют контур дОк, описываем с помощью подмножества О к С {1, ..,т}. Другими словами, множество {1, ..,т} разбито на попарно непересекающиеся подмножества О1}Оп и дуги Г, і £ Ог, составляют контур дВг.

Напомним, что дуга Ьк служит стороной листов Ог, г £ Дк. Дуге Гкг = а-1(Ьк) С дОг отвечает в единой нумерации некоторый номер і = і (г) £ Ог. Такого рода номера образуют подмножество Ік С {1,т}, так что

аг (ВД = Ьк, г £ Дк . (10)

В результате, получаем разбиение множества {1,...,т} на попарно непересекающиеся подмножества Іі, ..Іі, отвечающие дугам Ьі,Ьі, причём отображение г ^ і(г) осуществляет биекцию Дк на Ік. Конечно, в случае, когда рассматривается одна сторона Ьк, множество Ік состоит из одного элемента.

Граничные значения и+ на дОг удобно описывать единым образом с помощью гладких параметризаций : [0,1] ^ Г дуг Г. Положим

и+, = и+ о , Э £ Ог ■ (11)

Таким образом, семейство функций и+,, э £ Ог, описывает граничное значение и+, снесённое параметризациями на отрезок [0,1] действительной оси. Параметризации , Э £ 1к, дуг Г,-, отвечающих Ьк, удобно выбрать специальным образом. С этой целью зададим параметризацию 1к : [0,1] ^ Ьк и , Э £ 1к, подчиним условию

1з(т) = а о ¡к, г £ Дк, (12)

где Э = Э(г) - отображение, фигурирующее в (10). При таком выборе точки у и гт, г £ Дк, фигурирующие в (5), описываются как значения ¡к(¿) и 7,(т)(Ь), г £ Дк в некоторой точке Ь интервала (0,1). В силу (3), (12) можем записать:

даг

де

ІтУ = 141 •

В таком случае соотношение (8) переписывается в форме

5] Ьяг)Ш^1ъ(г)Ш = о, о < і < і.

т&Дк

Напомним, что отображение г ^ Э(г) осуществляет взаимно-однозначное соответствие между Дк и 1к. Следовательно, в обозначениях (11), применённых к нормальным производным ди/дп, предыдущее равенство переходит в

^ = 0) 0<^<1- (13)

3€1к ' '

Точно также условие непрерывности (9) принимает вид

u+j (t) = u[lk (t)] , j G Ik, 0 <t< 1. (14)

Рассмотрим ориентацию дуг Г, определяемых параметризацией 7. По отношению к области Dr ориентация дуги Г, j G Or может быть как положительна, когда область Dr остается слева, так и отрицательна. Это обстоятельство описывается сигнатурой ориентации Gj, принимающей значения, соответственно, +1 и -1.

Рассмотрим гармоническую функцию vr, сопряжённую к ur в области Dr. Напомним, что n означает единичный вектор, ортогональный к dDr во внутренней граничной точке

и направленный в сторону Dr. Если e - единичный касательный вектор в этой точке, то

в силу условий Коши-Римана

dur dvr

дп ^ де ’

где верхний (нижний) знак отвечает случаю, когда D лежит слева (справа) от e. Полагая e = Yj(t)/ | Yj(t) |, заключаем, что

^ ж0 ъ = ~aj(Vr ° ] G °r'

В результате, соотношению (13) можно придать следующую простую форму:

Gjv+j = const, mk > 1. (15)

j£fk

Краевые условия (6) в принятых обозначениях принимают вид

u+j = fj, j G Ik, mk = 1, (16)

а задача Неймана переходит в

v+j = fj + const, j G Ik, mk = 1. (17)

Приведенные рассуждения позволяют сформулировать следующую постановку задачи. Пусть задано семейство кусочно-гладких областей Dr, 1 < r < n. Дуги, составляющие контур dDr, занумерованы единым образом Г?, 1 < j < m. При этом

dD.r = и г

j€ Or

по отношению к некоторому разбиению О множества индексов {1,т} на попарно не пересекающиеся подмножества О1,Оп. Пусть ^ - множество узлов контура дОг. Выберем гладкие параметризации : [0,1] ^ Г дуг Г и рассмотрим некоторое разбиение I множества {1,т} на подмножества 11} ..,1г.

Будем говорить, что семейство функций иг £ С (О \ Д.), 1 < г < п, реализуется как непрерывная на двумерной стратифицированной области О функция и, если в обозначениях (11) выполнено условие (14) для каждого к = 1,.., /. Другими словами, точки (Ь) £ Г, Э £ 1к, склеиваются при каждом 0 < Ь < 1.

Если дополнительно выполнено соотношение (15) для каждого к = 1, ..,1, то функцию и называем гармонической в О.

Полагая фг = иг + тг, в соответствии с (16), приходим к следующей обобщенной задаче Римана-Гильберта для семейства (фг)П аналитических функций:

Ке А ф+ = (19)

где заданная на [0,1] матрица функция А(Ь) = (А^(Ь))г блочно-диагональна относительно разбиения I и её диагональные блоки А(Ь, Iк) при тк > 1 имеют описываемый ниже специальный вид.

Пусть 1к = {г1,..,г3} и, относительно этой нумерации, в х 5-матрица А(Ь,1к) записана как А(к) = {А(к),з}, 1 < г,] < в. Тогда

/1 -10 ... 0 0 \

0 1-1 ... 0 0

A

(k)

к> 1,

0 0 0 ... 1 -1

\*°(1) га{2) гст(э) ... г°(зк-1) г°(зк)/

где оу, 1 < і < т - сигнатура ориентаций дуг Гу, определенная по как было указано выше, И О (г) = Оуг.

Литература

1. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей / Дж. Спрингер. - М.: ИЛ, 1960.

HARMONIOUS FUNCTIONS ON TWO-DIMENSIONAL STRATIFIED SETS WITH PIECEWISE SMOOTH BOUNDARY L.A. Kovaleva, A.P. Soldatov

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: kovaleva_l@bsu.edu.ru

Abstract. The investigating approach to boundary value problems on two-dimensional stratified sets with piecewise smooth boundary for the harmonious function is developped. It is based on the reduction of problem under consideration to connected nonlocal boundary value problem of function theory. Corresponding functions are defined on the family of plain sets.

Key words: the Dirichlet problem on stratified sets, the Neumann problem on stratified sets, the generalized Riemann-Gilbert problem.