Разрешимость задачи Дирихле на стратифицированном множестве Текст научной статьи по специальности «Математика»

22 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЩШ Серия: Математика. Физика. 2013. №26(169). Вып. 33 MS С 5 8 АЗ5

Аннотация. Исследуется фредгольмова разрешимость задачи Дирихле на двумерном стратифицированном множестве методом сведения исходной задачи к нелокальной задаче Римана.

Ключевые слова: задача Дирихле, фредх'ольмова разрешимость, индекс, стратифицированное множество.

1. Постановка задачи. Рассмотрим в М3 попарно непересекающиеся открытые отрезки П], 1 < ] < / и открытые плоские выпуклые многоугольники ^ < п. Гра-

ница каждого многоугольника составлена из попарно пеперееекающихея сторон (открытых отрезков) и вершин. Предполагается, что эти границы попарно могут пересекаться только по сторонам или вершинам, причем семейство (П]) составлено из различных сторон. Множество всех вершин обозначим Г, Полученный двумерный комплекс

называется стратифицированным компактом, а составляющие его элементы П^ и П

П

здесь понимается П2 иП^, оде П^ - объединение некоторог о числа /н одномерных страт. Объединение ПД оставшихся одномерных страт, число которых обозначим /д, будет играть роль границы этого множества. Случай, когда одно из множеств ПД, П^ является

пустым, не исключается. К каждому одномерному страту сходится один или песколь-

П2

ребром. Предполагается, что все ребра входят только в П^. Ниже на П естественным образом вводится понятие гармонической функции, для которой ПД будет являться носителем данных Дирихле. Конечно, в случае /д = 0 говорим просто о гармонической функции па всем множестве П = П \ .Р.

Пусть т3 есть число сторон, составляющих границу 5П^ и т = т\ + ... + ш^. Все эти стороны занумеруем единым образом в виде Ь\,..., Ьт и рассмотрим разбиение I2 = {I2,1 < 5 < га} множества {1,..., т}, для которого стороны Ь,] € 1%, составляют границу 5П2. С каждым одномерным стратом П можно также связать некоторое множество номеров для которых Ь^ совпадает с П*., число элементов этого множества

РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ НА СТРАТИФИЦИРОВАННОМ МНОЖЕСТВЕ

Л.А. Ковалева

Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, Белгород, 308015, Россия, e-mail: kovaleva_l@bsu.edu.ru

П = F U п1 U п2, Пк = У пк,

j

Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (госконтракт №14. А18.21.0357)

обозначим т], В результате получаем другое разбиение 11 = {I], 1 < к < /} множества {1,...,ш}.

Функция ^определенная на П2, называется кусочно-непрерывной, если ее сужения

<Рз = ^|пз е (7(^2 \Р), 1 <8<п.

Граничные значения этой функции можно описать в форме семейства функций € С(Ь), 1 < з < т, которые определяются равенством

^+(у) = Лт ^(х) > у € Ь. > 3€ 12.

х^у

Рассмотрим далее семейство единичных векторов V. € М3, 1 < з < т, таких, что дня ) £ Т3 вектор ^ .нежит в плоскости многоугольника и но отпошепию к нему является внутренней нормалью к стороне Ьу. Тогда если функция <р3 £ С'1(П2 \ Р), то можно ввести односторонние нормальные производные

<9^\+ д<ра 2

и ^ 8 *

ди ) . ди.

/ з 3

По определению функция и € С(П) называется гармонической на П, если для каждого 5 ее сужения и3 гармоничны (по отношению к некоторой, а значит, и любой прямоугольной декартовой системы координат) на двумерном страте П^ непрерывно дифференцируемы вплоть до дП2 П ПД и ее нормальные производные на одномерных стратах этого множества подчинены условию

= П1£ПЬ' (1)

Напомним, что в ПД входят все ребра и условие непрерывности функции и на них равносильно соотношениям и+ = и+, %,] € 1]. Если элементы I] занумеровать, то из этих соотношений достаточно выделить т\, — 1 независимых, например,

и+ = и++1> 1 < г < т] — 1 > = {*Ъ*2,...,*т1 } . (2)

П

и £ С (О, \ ^), принимающей па Пд заданные значения:

и

.

. , Ь. = П\ С ПД . (3)

Напомним, что в определение гармоничности функции входило требование непрерывной дифференцируемости сужений и3 вплоть до дП2 П ПД, Это требование можно ослабить путем введения сопряженных к и3 гармонических функций у3, определение которых зависит от выбора прямоугольной декартовой системы координат в плоскости П32

Чтобы зафиксировать этот выбор, на каждом контуре дП2 зададим направление

П 32

Кроме того, каждую сторону Ь. ориентируем единичным вектором е., считая е* = е. для г,з € 1] Тогда можно ввести сигнатуру ориентации - семейство (а. = ±1)т> гДе для з € /2 число а. = 1, если сторона Ь. ориентирована положительно по отношению к области П2 (т,е, эта область остается слева), и а. = —1 в противном случае.

П 32

женную к и3 гармоническую функцию у3. Тогда на каждой стороне Ь. С дП2 выполняется соотношение Коши-Римапа

с некоторыми постоянными ск € М. В соответствии с этим вместо требования непрерыв-

и3 и

многоугольника П2 и выполнения (1) достаточно потребовать, чтобы функция V была кусочно-непрерывной и удовлетворяла условию (4). Поскольку функция V., определена П 32

в наперед заданных точках х3 Є П2-

Таким образом, в этой постановке задача Дирихле определяется краевыми условиями (2)-(5).

2. Основные обозначения. Выберем є > 0 столь малым, что при каждом 1 < в < п шары {|х — т| < є}, т Є попарно не пересекаются. Их пересечение с многоугольником П2 дает т3 секторов, которые перенумеруем в виде П^), і Є IВ результате получим т секторов 1 < і < т. Боковые стороны сектора П2^-) составляют бо-

ковую границу этого сектора, которую обозначим д'Всего имеем, таким образом, семейство 2т отрезков, их можно также разбить на пары Ь0 и Ь], которые служат пересечением указанных выше шаров с центрами, соответственно, в левом и правом концах стороны Ь.,-,

Для фиксированной точки т Є ^ все секто ра с вершин ой т занумеруем единым

образом в виде П^, 1 < в < тг, и аналогично введем единую нумерации Ьт>:?-, 1 < і < 2тт, их боковых стор он и П] ь 1 < к < /т, одномерных страт с концом т. Очевидно, объединение одномерных страт совпадает с П] = П1 П {|х — т| < є}. Пусть /т, я, есть число отрезков П] к, составляющих П] я = ПЯ П {|х — т| < є} и аналогичный смысл имеет /т,д .

Следовательно, условие (1) можно переписать в виде

(4)

'у(хз) =0, 1 < в < п

(5)

С каждым одномерным стратом П] к можем связать множество 1Г) к номеров з, для которых Ьт. С П] к, В результате имеем разбиение 1т = (1Г)к, 1 < к < 1т) множества {1,..., 2тт}. Число элементов множества 1т, к обозначим тт, к, Таким образом,

Е™т, к = 2тт , X) 2тт

2т

(6)

т

где учтено, что каждая сторона имеет два конца из Поскольку боковая сторона Ьт. совпадает с односторонней окрестностью Ь? для некоторых р = 0,1 и 1 < г < т, можем ввести сигнатуры ориентации

ат

/т,. аг 5 Ьт,.

Введем 2тт х 2тт — матрицы ^ (£), С € С и Ит с элементами

Ьт

ЬР.

(7)

К.« (С )

в противном случае,

и™ (С) = ^

1 2/тт,к) г 3 € 1т,к)

2/тт,к, г,3 € 1т,к,г = 3")

1 , г 3 € 1т,к;

тт,к > 1, тт,к > 1,

тт,к

1, П] П] ,

1, Пт,к С ПД;

(8)

тт,к 1 , Пг к С ПН ,

1 , г 3 € 1т,к,

0, ,

где 0т,3 означает внутренний угол области П^3 в точке т. Очевидно, эти матрицы блочно-диагональны относительно разбиений множества {1,..., 2т} на, соответстве нно, тт пар (г,з), определяемых условием Ьт,* и Ьт. = д'П^ 3, 1 < в < тт, и подмножества 1т,к, 1 < к < /т.

Прямая проверка показывает, что

и2 = 1, К к ж (—с) = 1

(9)

Легко видеть, что при фиксированном вещественном А матрица V- (А + г£) ^ 0 при £ ^ ±то. Следовательно, скалярная мероморфная функция

det[Uт + V- (()]

^т (С )

^[1 + к (С)]

имеет пределы при £ ^ ±то. В частности, проекция нулей аналитической функции det(Uт + УГ (()) на действительную ось является дискретным множеством. Если на прямой И,е( = А отсутствуют нули функций det[Uт + Ут(С)] и det[1 + Ут(()], то можно рассмотреть приращение непрерывной ветви 1п Л,т (() на этой прямой, деленное на 2пг, и ввести число

х(А) = ^ ^7[(1п/гг)(А + гос) - (1пНт)(А - гос)]

т Пг

А

стоянное значение на каждом интервале 7, для которого в полосе И^ ( € 7 отсутствуют нули функций det[Uт + (()] и det[1 + (()]. В частности, можно говорить о значении

х(—0) = Ишх(А) при А ^ 0, А < 0.

т

есть целое число так, что функция х(А) целочисленна.

(Ь) Число вт (0) нулей функции det(Uт + )(£) на прямой И^ ( = 0, взятое с учетом

их кратности, имеет ту же четность, что и тт + /т,я.

□ (а) Рассмотрим числовые п х п-матрицы Р = Рп и Q = с элементами

Нетрудно видеть, что дня определителей этих матриц справедливы рекуррентные соотношения

Согласно (8) диагональный блок матрицы Ит, отвечающий /т>к при тт,к > 1, совпадает с матрицей Рп порядка п = тт,к, для которой р =1 — 2/тт,к, q = — 2/тт,к, и формула (13) дает значение det Р = —1.

Таким образом, det Ит = (—1)3т, оде вт < /т означает число всех одномерных страт, имеющих своим концом т и содержащихся в ПД, что согласуется с первым равенством (9). Следовательно, с точностью до целого числа величина (11) равна иоловипе суммы вт по т € Остается заметить, что эта сумма равна удвоенному числу /я всех одномерных страт, составляющих ПД-

(Ь) В силу (9) и равенства Ит + К (() = Ит [U-1 + ] )]К(С) имеем соотношение

с некоторым 9 € К. Вспоминая, что det Ит = (—1)3т, вт = /тЯ, для функцпн / (() = det(Uт + К)(() имеем равенство

(11)

(12)

det Р„ = (р — д)^ Р„— + (—1)п det Qn-l] , det Qra = (д — р^„—,

которые приводят к формуле

det Р = (р — д)п ] [р + (п — 1)д].

(13)

det[Uт + Ут( — с)] = (—1)ттег0С det[Uт + Ут(С)]

/ (—с ) = (—1)

тт+3т егбС

Поэтому число нулей функции / на прям ой И^ £ = 0, отличных от £ = 0, четно, а порядок нуля этой функции в точке ( = 0 имеет ту же четность, что и тт + вт. I

Опишем пространства, в которых будет рассматриваться задача. Пусть СМ(К) означает пространство функций, удовлетворяющих на множестве К С К3 условию Гельдера с показателем 0 < р < 1, относительно соответствующей нормы оно банахово. Заметим, что элементы <р € С^(К) продолжаются по непрерывности па замыкание К и продолженные функции ф удовлетворяют условию Гельдера с тем же показателем. В этом смысле классы С^(К) и С^(К) совпадают (с равенством норм). Исходя из конечного подмножества /• С К и весовой функции

р(х) = ]

|х — Т | .

т SF

введем класс Cq(K, F) всех ограниченных функций <^, для которых ф = pQ^ G Cq(K). Можно показать, что относительно нормы

М = suP Их)| +

\F

это пространство является банаховой алгеброй но умножению. Весовое пространство CQ порядкa A G R определим равенством р-л^ G CQ}, относительно соответствующей нормы это пространство банахово и по каждому из параметров р,А монотонно убывает по вложению. При А = р оно совпадает с подпространством Cq(K) функций, обращающихся в нуль на K,

В дальнейшем, основную роль будут играть классы Гельдера H(K) = (J Cq(K) и весовые классы

H (K.F)= У U Cq(K,F), ff(K,F) = U П Cq(K,F).

0<q<1Л>0 0<q<1Л<0

Очевидно, первый из этих весовых классов состоит из всех функций G H(K), которые обращаются в нуль на F, а ^ G H(K, F) равносильно тому, что произведение

О О

^0 GH (K, F) для люб ой ^0 GH (K, F). Таким образом, эле менты ^ G H допускают в точках т G F особенности логарифмического типа. Для единообразия удобно обозначе-

F

содержится в K, как это имеет место, например, в случае K = ПД. Заметим, что в этом

О

случае функция р f интегрируема на K для любой f GH (K, F).

3. Разрешимость задачи в классе Я(П, F). Задачу Дирихле сначала рассмотрим в классе функций iH"(Q,F), удовлетворяющих условию Гельдера на стратифицированном множестве П вне любой окрестности вершин, а в вершинах т G F допускающих особенности логарифмического порядка. Соответственно ее правая часть f G Я(ПД>, F). По определению, задача Дирихле (1)-(3) фредгольмова в классе i/(H,F), если

1) однородная задача в этом классе имеет конечное число p линейно независимых решений;

О

2) существует конечное число линейно независимых функций gj GH (ПД, F), 1 < j < Q, таких, что условия ортогональности

Р (t)f (t)gj(t)dt = 0

необходимы и достаточны дня разрешимости неоднородной задачи.

При этом разность е = р — q называется индексом этой задачи.

Теорема 1. Задача Дирихле (1)-(3) фредгольмова в классе Я(П, ^) и ее индекс зе дается формулой

е = — Х(—0) • (14)

Если правая часть / € Я(П,^) задачи непрерывно дифференцируема на П^ (по параметру длины дуги) и р/1 € Я(ПН, ^), то любое решение и € Я(П,^) обладает аналогичным свойством на каждом двумерном страте, т.е. ри; € Я^П^^1), где штрих означает любую из частных производных первого порядка.

□ Каждый одномерный страт Пк снабжен ориентацией, так что можно рассмотреть его левый и правый концы. Эти же точки служат аналогичными концами для Ьр, ] € /] которые обозначим и ж], Таким образом, Жр = жк, € /^, р = 0,1.

Напомним, что в каждом двумерном страте П выбрана прямоугольная декартова система координат, но отношению к которой этот страт можно рассматривать как область Д5 комплексной плоскости. Аналогии но стороны Ьр, ] € /;?, преобразуются в стороны многоугольника Д5, которые обозначим Г, ] € /^. Заметим, что полученные области Д8, 1 < ^ < п, между собой никак не связаны. Аналогичный смысл имеют обозначения секторов Д(р), в которые переходят Пр), и семейство их боковых сторон Гр, ] € /2, р = 0,1. Очевидно, отрезоки Гр, ] € /2, представляют собой пересечение Гр с кругом радиуса е с центром в точке гр1, которая преобразована из соответствующей точки жр € К3 в выбранной системе координат. При этом сигнатура ориентации ар имеет тот же смысл, что и ранее, т.е, ар = 1, если отрезок Гр ] € /2, ориентирован положительно по отношению к Д 8, и ар = —1 в противном случае.

В этом же смысле сужение и 8 = и|п2 можно рассматривать как гармоническую функцию в области Д 8, соответственно, функция ф = и 8 аналитична в этой обла-

сти. Рассмотрим афиппые параметризации

7р(^ = + *(г] — гр0), 0 < * < 1>

отрезков Гр Заметим, что для ] € точкам -ур(£), ^ € /] отвечает одна и та же точка Х0 + *(ж] — ж0) на одномерном страте П^. Положим для краткости

ф+р (*) = ф+[7р (*)], € /2 , 0 < * < 1 •

Тогда краевые условия (2)-(4) задачи Дирихле но отношению к семейству аналитических функций (ф) перепишутся следующим образом. Для П С ПН имеем тк линейных соотношений

йф+р (*) — ф+?г+1 (*)] = °, 1 < Г < тк — 1> /] = Оъ • • • >:7тк} > (15)

1т

1 ар Ф+,р (*)

— Ск = 0 , (16)

а для Ьр С П^ имеем неоднородное соотношение

йф+р (*)] = /р [7р (*)] , 0 < * < 1 • (17)

Конечно, при тк = 1 краевое условие (15) опускается. Постоянные ск в этой задаче подлежат определению вместе с семейством (ф5).

Полученные т = /Н + линейных нелокальных соотношений можно записать в векторной форме. С этой целью введем т х т-матрицу Л, блочно диагональную относительно разбиения /\ Элементы Л-(/1) = Л-, г,] € /1, диагонального блока Л(/к) этой матрицы определяется следующим образом:

Л*; (41)

1, г г

—1, г г

а;i; 6 г г

0,

гг+1;

1 < г < т^ — 1; 1 < г < тк — 1;

1 ;

;

где тк > 1;

(18)

Л*(/к) =

1,

а* 1;

Г*

Гг

П с п^;

Пк с ПН;

т1 = 1 ,

1 означает мнимую единицу. Тогда краевые условия (15)-(17) можно записать в краткой векторной форме

Яе Лф+ + с = /,

1т ф(^8) = 0 , 1 < 5 < п ,

где точка отвечает х € П^ в системе координат плоскости страта П и т—

векторы /, с определяются равенствами

(19)

Л [т; (*)]> А? с ПЬ;

0, ;

ск; ,7 гп; {г1; • • • ; гга} 7к ; Пк С ПЯ>

0, .

В результате имеем так называемую нелокальную краевую задачу Римапа, изученную в |8|, |9| (относительно обозначений см. также |7|),

С т х т-матрицей Л свяжем матрицу Лст с элементами

(Аа\ — ) Л*;, а;

^ ^ ~ ' А а-

Лг; , У;

1;

-1.

Другими словами, элементы ^-го столбца матриц Л и Лст совпадают, еели а- = 1, и комплексно сопряжены, если а- = — 1. Очевидно, матрица Лст определяется той же формулой (18), где все а- = 1. Нетрудно видеть, что

ёе1 Лст (I1)

тк тк > 1;

т1

т1

1, Г*

1, Гг

Пк с пь; Пк с ПН,

а следовательно ёе1 Лст = 0, так что по терминологии [8] задача

Яе Лф+ = /

(20)

30 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЩЖ Серия: Математика. Физика. 2013. №26(169). Вып. 33 относится к нормальному тину. В дальнейшем основную роль будет играть матрица

которую в соответствии с (18) легко вычислить явно. Именно, диагональные блоки этой матрицы определяются элементами

С задачей Римана естественным образом связано понятие концевого символа — аналитической на всей плоскости матрицы-функции X(() = и + V((), где матрица и зависит только от Лст, а матри ца V (£) — от геометрии области. При построении этого символа будем следовать обозначениям |7|. С этой целью выберем единую нумерацию Г(к), 1 < к < 2т отрезков ГР, 1 < ] < т, р = 0,1, и введем две 2т х 2т-матрицы и и

V((), ( € С, с элементами

где 0- означает раствор сектора В-),

Единой нумерации отрезков Г (к) отвечает аналогичная нумерацн я отрезков Ь(к), 1 < к < 2т на сторонах Рассмотрим разб иенне Е множества ном еров {1,..., 2т} на подмножества Ет = {к | Ь(к) С Пк}, т € Я, Очевидно, число элементов Ет совпадает с

2тт и можно ввести перенумерацию

этого подмножества. В результате получаем нумерацию Гт,г соответствующих отрезков, отвечающих нумерации Ьт>г, 1 < г < 2тт.

тт т

рицы и, V блочно-диагональны относительно разбиения множества {1,..., 2т} на подмножества Ет и их диагональные блоки и(Ет), V(Ет) относительно указанной перенумерации множества Ет совпадают с ит, V- соответственно. В самом деле, при отображении (23) подмножество Ет,к = {^ € Ет | £-•) = Пкк} переходит на /т,к и целиком содержится в одном из двух множеств Ер = {к | Ь(к) = Ь^}, р = 0,1. Поэтому справед-

и ит

с (21), (22). Заметим, что диагональный блок матрицы ит, отвечающий /т к при тт,к > 1

В=(Аа)~1Аа

где тк > 1

(21)

где тк = 1.

икг = В; при Г(к) = Гр, Г(г) = Гр,

икг = 0 в остальных случаях

(22)

Якг(С) = Кк(С) = е'в>*•' ири Г(к) и Г(г) = Э'С(-)

Vkr (С) = 0 в остальных сл у чаях,

(23)

не зависит от перенумерации его элементов. Точно также при отображении (23) номера кк и кг, для которых Г(к1) и Г(к2) = д'Вт- переходят, в соответственно номера гк и г2, для которых Ьт,'^ Ьт,'2 составляют боковую границу соответствующего сектора П^-. Отсюда следует и справедливость утверждения для матриц V и Таким образом,

ае^и + V (с)] = Дае^ит + Vт (с)],

т

величину х(А) в (10) можно определять по отношению к концевому символу и + V(() этой задачи.

Предположим, что для некоторого А € К выполнено условие

ае^и + V (С )] = 0, Яе С = А. (24)

Тогда согласно результатам |9|, примененным к задаче (20), имеют место следующие утверждения.

(г) Задача (20) фредгольмова в классе СД (В, Я) и ее индекс как К- линейного оператора, действующего из пространства СД (В, Я) = П^ СД (П, Я) аналитических функций в пространство СД ([0,1]; 0,1) вещественных т— вектор-функций, дается формулой

ж(А) = п — х(А) — (^п А)5{0,А} , (25)

где з{0, А} означает число нулей (с учетом их кратностп) функции ёе^и + V(()] в открытой полосе, заключенной между прямыми Яе ( = ^Яе ( = А.

(гг) Если условие (24) выполнено для всех А0 < А < А1, то решения однородной задачи принпдлежат классу Пл>л0 Сд, а. разрешимость неоднородной задачи с правой частью / € П л>л0 СД определяется условиями ортогональности вида

Г1 Л

/МуМттт—а=°т 9^ П С'л-Л 4(1 — 1) Л>-Л1

(ггг) Еслп в дополнение к условиям (гг) функция /'(£) € Пл>л0 то и любое решение ф € Р|л>ло СД обладает аналогичным свойством, т.е. р(г)ф'(г) € Р|л>ло СД.

О

Вспоминая определения классов Н и Н, на основании этих утверждений приходим к следующему заключению. Однородная задача (20) в классе Н имеет конечное число .линейно независимых решений, а разрешимость неоднородной задачи определяется

О

Н

этом индекс задачи как разность этих чисел согласно (25) равен п — х(—0).

Поскольку размерность пространства векторов св (19) равна /я, оператор задачи

(19), рассматриваемый на парах (ф, с), является сначала расширением оператора задачи

(20) на /я измерений (над полем К), а потом сужением на п измерений. В силу соответствующего свойства фредгольмовых операторов |10| отсюда следует фредгольмовость исходной задачи в классе Н и формула ее индекса (14),

(ггг)

ние, что условие р/' € Н"(Пд, Я) влечет аналогичное условие

*(1 — *)(/ — с)'(*) € ([0, 1];0,1)

но отношению к правой части (19).

В качестве примера рассмотрим стратифицированное множество, представляющее собой правильную пирамиду без одной грани. Двумерные страты П2,1 < в < 3 — грани пирамиды, одномерные страты Пк С ПЯ, 1 < ] < 3 - ребра пирамиды, оставшиеся стороны Пк, 4 < ] < 6 входят в границу стратифицированного множества, на которой заданы данные Дирихле. Вершины пирамиды будем обозначать 77,1 < / < 4, причем Яд = {тг, 73,74},

Пусть

стороны Ьк,Ь2 отвечают ребру П1 с вершинами 71,72, стороны £3,£4 отвечают ребру П2 с вершинами 71,73, стороны Ь5,Ьб отвечают ребру П3 с вершинами 71,74, сторона £7 отвечают ре бру Пк с вершина ми г1,г2, сторона £8 отвечают ре бру П,1 с вершина ми г2,г3, сторона £9 отвечают ре бру Пк с вершина ми г3,г1.

Множество номеров сторон, составляющих границу каждого двумерного страта определим следующим образом: /2 = {1, 3, 7} /| = {4, 5, 8} /| = {2, 6, 9},

Таким образом,

тт =

71;

2,

при т = 9;

/ = I 2 7 = 7ъ

/т’Д 1 0, 7 = 71,/ = 2,.

Рассмотрим 2 х 2-матрицу В с элементами

В

, 4,

/

я

(26)

Нумерацию £т- выберем так, что формулы (8) приводили к блочно-диагональным матрицам, ит и V-

ит

В00

0В0

00В

К

/ 0 0 0 0 0 е'0С \

0 0 е'0С 0 0 0

0 е'^С 0 0 0 0

0 0 0 0 е'0С 0

0 0 0 е'0С 0 0

V е'0С 0 0 0 0 0 /

7 = 71 ;

4

3

0 -1 0 0 \ / 0 0 егЄС 0

-1 0 0 0 , к = 0 0 0 егЄС

0 0 1 0 егЄС 0 0 0

0 0 0 1 / V 0 е*С 0 0 )

и

Вычислим определитель матрицы (Цт + V-), обозначив і = ег^ det(Ur + К)

Очевидно, что

-(і - 1)2(і2 + і + 1)2, т = Ті,

(і2 - і)(і2 + 1), т = Ті, І = 2,

,4.

Зт (0)

2, т = ть

1, т = ті, І

4.

(27)

Для матриц (Цт + К) 1 имеем следующие выражения:

(Ц + К)

-1

(Ц + К )-1 =

і4 - 1

/ 0 1 0 і 0 і2 \

1 0 і2 0 і 0

1 0 і2 0 1 0 і

І — 1 і 0 1 0 і2 0

0 і 0 і2 0 1

V і2 0 і 0 1 0 /

/ -і 2 1 і3 -і \

1 і2 -і і3

1 і3 -і -1 і2 , т

V -і і3 і2 -1 /

т = ті,

4.

Очевидно, что при любом ( все элементы матриц справа не обращаются в нуль, следовательно,

Гт = 1, т = тг, І = 1,..., 8. (28)

Вычислим определитель матрицы (1 + V-)

det(1 + К)

-(і - 1)3(і + 1)3, т = ті,

-(і2 - 1)2, т = ті, І = 2,

Тогда

det(Ur + V-)

(і2 + і + 1)2(1 + і)-3(і - 1)-1, т = ті,

(і2 + 1)(і2 - 1)-1, т = ті, І = 2,..., 4.

det(1 + V-)

Приращение непрерывной ветви логарифма при достаточно малом є > 0

" 1 + і2'

— 1п 2пі

1 і2

1

2

для точек т = ті, І = 2,..., 4.

Заметим, что функция hT(Z) нечетная, так что

—а+г<^

—а—

а+г<^

С другой стороны, но принципу аргумента для аналитических функций, разность

а+г<^

~4ггЫНгК)

—а+г<^

—а—

m,

где т означает разность между числом нулей и числом полюсов функции Л,т (() в полосе -а < И,є ( < а, считая кратности. Из этих двух равенств следует, что приращение непрерывной ветви 1пЛ,т((), деленное на 2пі равно -т/2.

Согласно (27), (28) т=-1, тогда по формуле (10)

х(-0) = 4 * 1/2 = 2 . (29)

В результате с учетом (26), (29) для индекса зе в клас се Н формула (14) дает значение

зе = 3 —2= 1.

Литература

1. Lumcr G. Espases ramifes ct diffusion sur les reseaux topologiques // C.R. Acad. Se. Paris.

1980. A291. P.219-234.

2. Nieaise S., Penkin O. Poincare-Perron’s method for the Dirichlet problem on stratified sets /7

J. Math. Anal. Appl. 2004. 296; №2. P.504-520.

3. Penkin O. About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties

of solution /7 in F. Ali Mehmeti, J.von Below, S.Nieaise. Leet. Notes Pure Appl. Math. 2001. 219.' ' P.183-192.

4. Penkin O.M. Second-order elliptic equations on a stratified set. Differential equations on

networks /7 .J. Math. Sri. (N.Y.). 2004. 119;№6. P.836-867.

5. Penkin O.M., Gavrilov A.A., Nieaise S. Poincare’s inequality on stratified sets and applications /7 Prog.Nonlinear Differential Equations Appl. 2003. 55. P.195-213.

6. Покорный Ю.В., Пенкин O.M., Прядиев В.Л., и др. Дифференциальные уравнения на

геометрических графах / М.: Физматлит, 2004. 272 с.

7. Солдатов А.П. Нелокальная краевая задача Римана /7 Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. 2011 5;22. С.122-132.

8. Солдатов А.П. Общая краевая задача теории функций // Докл.АН СССР. 1988.

299;№4. С.825-828.

9. Солдатов А.П. Краевые задачи теории функций в областях с кусочно-гладкой границей / Тбилиси: Изд-во ТГУ, Ин-т прикл. матем. им. И.Н.Векуа, II, 1991.

10. Пале Р. Семинар но теореме Атьи-Зингера об индексе / М.: Мир, 1970.

SOLVABILITY OF DIRICHLET’s PROBLEM ON STRATIFIED SET

L.A. Kovaleva Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, Russia, e-mail: Kovaleva_l@bsu.edu.ru

Abstract. Solvability of Dirichlet’s problem on stratified two-dimensional set is investigated. It is done by reduction of the original problem to the non-local Riemann’s problem.

Key words: Dirichlet’s problem, solvability, index, stratify set.