CC BY
75
УДК 621.891.001.57 DOI: 10.17213/0321-2653-2014-6-77-82
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
ФРИКЦИОННЫХ СИСТЕМ
© 2014 г. В.В. Шаповалов, А.Ч. Эркенов, П.Н. Щербак, А.Л. Озябкин, Э.Э. Фейзов
Шаповалов Владимир Владимирович - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Транспортные машины и триботехника», Ростовский государственный университет путей сообщения. E-mail: tmt@rgups.ru
Эркенов Ахмат Чокаевич - д-р техн. наук, профессор, депутат Государственной Думы Российской Федерации. Тел. (985) 762-86-21. E-mail: erkenov@duma.gov.ru
Щербак Пётр Николаевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Транспортные машины и триботехника», Ростовский государственный университет путей сообщения. E-mail: spn@rgups.ru
Озябкин Андрей Львович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Транспортные машины и триботехника», Ростовский государственный университет путей сообщения. E-mail: ozyabkin@mail. ru
Фейзов Эмин Эльдарович - аспирант, кафедра «Транспортные машины и триботехника», Ростовский государственный университет путей сообщения. E-mail: eminf@yandex.ru
Shapovalov Vladimir Vladimirovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Transport Machines and Tribotechnics», Rostov State Transport University. E-mail: tmt@rgups.ru
Erkenov Akhmat Chokaevich - Doctor of Technical Sciences, professor, Deputy of the state Duma of the Russian Federation Ph. (985) 762-86-21. E-mail: erkenov@duma.gov.ru
Sherbak Pyotr Nikolaevich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Transport Machines and Tribo-technics», Rostov State Transport University. E-mail: spn@rgups.ru
Ozyabkin Andrey Lvovich - Candidate of Engineering Sciences, assistant professor, department «Transport Machines and Tribotechnics», Rostov State Transport University. E-mail: ozyabkin@mail. ru
Feyzov Emin Eldarovich - post-graduate student, department «Transport Machines and Tribotechnics», Rostov State Transport University. E-mail: Eminf@yandex.ru
В процессе динамического взаимодействия контактирующих микро- и макрошероховатостей в режимах сухого и граничного трения формируются физико-механические характеристики трибослоев контактирующих поверхностей. Существенно-нелинейные процессы трения, взаимосвязанные с динамическими процессами, протекающими в квазилинейной механической подсистеме, определяют значения выходных характеристик фрикционной системы, которые колеблются в очень широком диапазоне. Так, коэффициент трения для одних и тех же пар трения при сохранении неизменными условий и параметров трения может меняться от нуля (эффект Толстого - Пуша) до бесконечности (режим атермического и термического схватывания) при изменении характера динамического взаимодействия микро- и макрошероховатостей. Разработанная методика физико-математического моделирования позволяет реально оценить значения с учетом динамических характеристик конкретных механических систем, конкретных узлов трения и материалов поверхностей трения. Позволяет учитывать сложную нелинейную взаимосвязь динамических процессов, протекающих во фрикционном контакте и механической подсистеме.
Ключевые слова: фрикционная система; моделирование; константы подобия; динамика; поверхность трения; сила трения; спектр; давление; скорость.
In the course of dynamic interaction between contacting micro- and macro-roughness in the mode of Coulomb and boundary friction there are physico-mathematical characteristics of tribolayers of contacting surfaces. Highly nonlinear processes of friction connected with dynamic processes, which occur in quasilinear mechanical subsystem, define values of outlet characteristics of the friction system, which fluctuate in a very wide range. So, the friction coefficient for the same pairs of friction at maintenance of consistent conditions and parameters of friction can vary from 0 (the Tolstoy-Push effect) up to the infinity (modes of athermic and thermic adhesion) at changing the character of the dynamic interaction between micro- and macro-roughness. The developed method of the physico-mathematical modeling allows to estimate values taking into account the dynamic characteristics of specific mechanical systems, friction knots and materials offriction surfaces. It also let consider a complicated nonlinear cohesion of dynamic processes occurring in the friction contact and the mechanical subsystem.
Keywords: friction system; modeling; constans of similarity; dynamics; surface of friction; power of friction; spectrum; pressure; speed.
Впервые решение трибологической задачи аэродинамического характера по определению условий формирования фрикционных автоколебаний крыльев самолёта при динамическом взаимодействии с потоком воздуха (явление флаттера) успешно осуществил М. Келдыш [1, 2]. После ряда неудачных попыток решить данную задачу математическими методами была разработана теория создания аэродинамических труб для испытаний моделей самолетов. Данная теория успешно применяется сегодня не только для воздушных судов, но и для определения устойчивости инженерных сооружений (высотных зданий, мостов и т.д.). В настоящее время широко используют моделирование для определения динамических характеристик объектов водного транспорта в специальных гидродинамических каналах. Вопросами экспериментальных исследований в лабораторных условиях занимались известные отечественные и зарубежные трибологи: Ф.П. Боуден, Д. Тейбор, Ф. Куртель, Аронов, Д'Суза, И.В. Крагельский, А.В. Чичинадзе, Ю.Н. Дроздов, Ю.А. Евдокимов и др.
Трибологические задачи сухого и граничного трения, из-за большого числа взаимосвязанных факторов, нелинейно воздействующих на трибохаракте-ристики фрикционных систем, значительно сложнее задач по определению динамики взаимодействия поверхностей трения (крыльев самолета, корпуса судов и др.) с воздушной или водной средами. Сложность задачи, а также принятие в виде основной рабочей гипотезы при физическом моделировании зависимости геометрических размеров микро- и макрошероховатостей от геометрического масштаба, неучёт взаимовлияния динамических процессов, протекающих в подсистемах, на выходные параметры фрикционной системы - все это не позволяло успешно решать задачи физического моделирования существенно-нелинейных фрикционных систем.
Основными предпосылками создания теоретических основ физико-математического моделирования являются следующие положения.
1. В отличие от традиционно принятого коэффициента трения [3], его значения представляются частотной передаточной функцией [4, 5]:
W (iro) =
SF (rn)SN (-im) _ Sfn (iro) \SN (iro)|2 snn (ro)
_ A (ш) ег<р(ш)_ P (ш) + iQ (ш),
(1)
где SpN(iю) - взаимная спектральная функция тангенциального и нормального силового взаимодействия, учитывающая свойства трибосреды и внешние условия окружающей среды; SNN(ю) - автоспектральная функция нормального силового воздействия во фрикционном контакте с учётом неуправляемого шума, возмущающего стационарные движения; А(ю) - ам-плитудочастотная характеристика; ф(ю) - фазочастот-
ная характеристика; Р(ю) - вещественная частотная характеристика, характеризующая упругоинерци-онные свойства системы; Q(ю) - мнимая частотная характеристика, характеризующая диссипативные потери в трибосистеме; ю - частота колебаний.
2. Построение математической модели механической квазилинейной подсистемы натурной фрикционной системы при обеспечении динамического подобия натурной и модельной подсистем.
3. На основе фундаментальных теоретических исследований [6] обеспечение идентичных геометрических и физико- и механо-химических характеристик, контактирующих микро- и макрошероховатостей натурных и модельных поверхностей трения.
Принятие первого условия обеспечивает возможность определять действительные значения сил трения (и износа), разделять информацию о упругих и дисси-пативных процессах, протекающих во фрикционном контакте, идентифицировать текущее состояние контакта, прогнозировать его изменение, оценивать устойчивость системы на широком частотном диапазоне, в том числе на проблемных полосах частот внешнего и внутреннего воздействия. Построение модели механической подсистемы на базе её математической модели позволяет учитывать (исследовать) взаимосвязь и взаимовлияние динамических процессов, протекающих в конкретном узле трения и конкретной механической подсистеме в модельных и натурных условиях.
Физико-математическое моделирование фрикционных систем состоит из: 1) построения динамической модели механической подсистемы объекта исследования и выявления констант динамического подобия механической подсистемы; 2) построения динамической модели подсистем фрикционного контакта; 3) построения физической модели.
Механическая система представляется в виде её эквивалентной расчётной схемы с числом степеней свободы, равным выбранному числу масс реального объекта, движение которой описывается таким же количеством уравнений. Это дает возможность решить задачу моделирования основных динамических характеристик на основе метода анализа дифференциальных уравнений движения. В качестве примера выберем мобильную механическую систему «подвижной состав - путь», состоящую из верхнего строения пути, колёсных пар, рамы, кузова и связей между этими основными элементами. На рис. 1 обозначено: Ррг и р0г - приведённые значения коэффициентов вязкого сопротивления рессорного опирания и пути в вертикальной плоскости колебаний; р0у - приведённые значения коэффициентов вязкого сопротивления пути в направлении бокового относа; Срг, Спг - соответственно жёсткость рессорных комплектов в вертикальной плоскости колебаний; С0г - жёсткость пути в вертикальной плоскости колебаний; С0у, С1у - соответ-
ственно жёсткость пути и упругих связей колёсных пар в направлении бокового относа; L =11 + 12 - база подвижного состава; В =Ь1 + Ь2 - поперечная база подвижного состава или расстояние между осями рессорных комплектов, причём Ь1 = Ь2; - верти-
кальные смещения пути;
- поступательные колебания элементов МПТ-6:
±хк, ±хь ±х2 - подёргивание соответственно кузова, первой и второй осей колёсных пар; ±ук, ±у1, ±у2 -боковой относ соответственно кузова, первой и второй осей колёсных пар; ±2к, ±1, ±22 - подпрыгивание кузова, первой и второй осей колёсных пар;
- вращательные (угловые) перемещения элементов МПТ-6 относительно осей Ох, Оу, 02: +6к, +6Ь +62 - боковая (поперечная) качка соответственно кузова и колёсных пар; ±фк - галопирование (продольная) качка кузова; +ук, +у2 - виляние кузова, первой и второй осей колёсных пар.
На основе метода анализа дифференциальных уравнений объекта и его модели [5] были выбраны два уравнения, соответствующие вращательному (продольной качки кузова) и поступательному (вертикальным смещениям первой колёсной пары) колебаниям.
^куФк + 2Р^ (112 + 12 )Фк + 2Ррг (11 - 12^к - 2РрА¿1 -
-2Рр,^¿2 + 2С*(А2 + 122)фк + 2С*(А - 12)2к -
-2С*1121 - 2С*12 ¿2 = 0;
т2 + 2(2Р02 +Р )¿1 - 2Рр22к + 2Рр211фк +
+2(2С02 + С1)¿1 - 2С*¿к + 2С*11Фк = 2р02+ 2С02
Выведение критериев подобия для конкретной механической системы, в частности для системы, представленной на рис. 1, осуществляется по методике [7, 8]. Анализ полученных результатов позволил сделать следующие выводы: 1) в качестве условия динамического подобия механической подсистемы
вагона принимается равенство частот и показателя затуханий собственных колебаний модели и объекта исследования; 2) все модельные испытания должны проводиться в реальном времени; при этом временные интервалы релаксации связей в реальных и модельных условиях будут равны друг другу; 3) масштабы подобия массы, жёсткости рессорных комплектов вагона, коэффициента демпфирования амортизаторами колебаний должны быть одинаковы, т.е. Ст = Сс и С = С
^т ^р*
Реализация модельного эксперимента должна обеспечиваться характерным видом и интенсивностью изнашивания контактирующих тел. В соответствие с третьей теоремой подобия для этого необходимо реализовать ряд граничных условий динамического подобия процессов трения [4, 7, 8]: 1) активные микрообъёмы поверхностей трения обладают собственными частотами и обеспечивают реализацию идентичных равновесных шероховатостей натурного образца и его модели, т.е. Сш = 1; 2) исследования должны проводиться с использованием идентичного материала (масштаб подобия плотности Су = 1) только в реальном масштабе времени, что обеспечивает идентичность времени релаксации фрикционных связей, т.е. СТ = 1; 3) характерный вид изнашивания контактирующих тел определяется микрогеометрией контактирующих тел в зоне их фактической площади касания [6] (например, высотой h и радиусом закругления г микронеровностей, шероховатостью поверхности Ra или Rz), что определяет масштабы подобия С = 1, Сг = 1, СКа = 1 или СК1 = 1; 4) нагрузочно-скоростные режимы определяют мощность трения, пропорциональны частотам вынужденных колебаний ю и амплитудам деформации фрикционных связей А, следовательно, масштабы подобия: амплитуд деформации связей СА = 1, давления Сч = 1 и скорости относительного скольжения С^ = 1.
Вследствие с указанными выше ограничениями имеем равенство масштабов подобия [4, 7, 8]: 1) силы масштабу подобия жёсткости - так как при обеспечении физико-механических характеристик материала
Рис. 1. Динамическая модель мотовоза погрузочно-транспортного МПТ-6
СР = Сс • СА и масштаба подобия амплитуд деформации связей СА = 1, то Ср = Сс = С?; 2) нормальной нагрузки (силы) масштабу подобия площади контакта - так как С9 = Ср / С8, то Сы = Ср = С = С?2; 3) массы масштабу подобия нагрузки - так как См = Ст и масштаб подобия ускорения свободного падения = 1, то Ст = Сы = С1; 4) массы масштабу подобия объёма - так как Ст = Су С и масштаб подобия плотности материала Су = 1, то Ст = СД
Разрешение приведённых выше противоречий состоит в реализации на поверхностях натурных колёс и рельсов, и их модели адекватных условий сцепления:
Ck=Cn=CT=Ch=Cr=CA= СУс = CQ=C f = Ci = 1;
С = Ср = СЫ = Ст = СС = Ср = С1 ;
СМ = СРС/ = С1 ; С/ = ССС/ = С1 ,
где масштабы подобия: Ск - частот собственных колебаний; Сп - частот затухающих колебаний; СТ -периода колебаний; Си - высоты шероховатости поверхности; Сг - радиусов закругления шероховатости поверхности; СА - амплитуды внешнего воздействия на активный микрообъём шероховатости поверхности; Сус - скорости скольжения одной относительно другой поверхности; Сч - контактного давления; Cf - коэффициента трения; С, - линейного износа; CS - фактической площади касания; Ср - силы трения; См - нормальной нагрузки; Ст - массы; СС - коэффициентов упругости; Ср - коэффициентов демпфирования; С/ - моментов инерции; См - крутящего (тормозного) момента; С? - геометрического масштаба;
Идентичность динамических характеристик подвижного состава, в том числе и фрикционного контакта, является одним из основных условий, обеспечивающих идентичность триботехнических характеристик фрикционного взаимодействия (интенсивности изнашивания, коэффициента трения, «температуры вспышки», градиента температуры и т.п.) и их ампли-тудно-фазово-частотных характеристик. Показано [4, 7, 8], что критерии подобия динамики фрикционного контакта
CJCq
c4-i2
CcCfCf CfCf -i2
= i;
СРСФ
CcCt
С -i2 cf -i
= i;
С m _ 12 Ii С С . m A = C2 -1
CCCt Cf -12 ' С 2C t F i2 - cf
CßCA C'2 -1 1- С С C A Cf-1
C,CF = 1-СГ1' Cf C2
CFCt С'2-1 1 С С C2 -i
CmCVc c2-i 1 CmCVc c,2 -i
= i;
С = Cp
CQ = C
С С С
CM с 2
= i
С С
С = m^a
Q~ с
CmCA/C? С? -Vi2
С,
С/
= i;
С = CA = 1 = 1 Cvc = CT
не противоречат критериям подобия, выведенным при динамическом подобии механической системы, не нарушают условий моделирования модели и её натурного образца. Непосредственно фрикционный контакт на уровне взаимодействия микронеровностей моделирования не требует, поскольку является самоорганизующимся процессом.
Узлы трения являются подсистемами подвижного состава и состоят из нескольких подуровней. Основой физического моделирования узлов трения являются процессы трения. Например, если в механической подсистеме узла трения (рис. 2 а) заданы управляющие (нагрузка, скорость), контролируемые характеристики (массы, жёсткости, момента инерции, твёрдости и т.д.), то на фактической площади касания контактирующих поверхностей трения (рис. 2 в) под влиянием управляющих факторов реализуется микрогеометрия контакта, напряжённо-деформированное состояние активных микрообъёмов, градиент температуры и амплитудно-фазово-частотные характеристики процессов трения.
В системе основных единиц МЬТ© (массы, длины, времени и температуры) выбираем базисные факторы, которые могут быть измерены в лабораторных условиях испытаний:
1. Теплоотдача ст
/ст/ = /М1 L0 T-3 ©-i/;
2. Нагрузка N
3. Скорость качения V
4. Геометрический масштаб l, м /I/ = /M0 L1 T0 ©0/.
/N/ = /М1 L1 T-2 ©0/. /V/ = /М0 L1 T-1 ©0/;
Fm =f^N ГП, \ /
fn FN I
Ä2, аг
_
X
ж
Рис. 2. Физическое подобие фрикционного контакта «колесо - рельс»
и
б
в
г
Для тождественности реализации аналогичных физических процессов (механического, теплового и динамического характера) во фрикционном контакте модели и объекта введём граничные требования: частоты колебаний k, контактного давления q и градиента температуры Д©. Получим масштабы подобия Сk = 1,
сд = 1 сд© = 1.
В соответствии со структурной моделью процессов трения и изнашивания узла трения «колесо -рельс» функциональная зависимость интенсивности изнашивания I представляется в виде уравнения подобия:
(kl ql2 Д©ст l3 tV HBl2 El2 mV2 ^
I = f
V N NV
N N Nl
ßV JV
N ' Nl
_ A L F (Дт)У
Г'7'7' N' N '
yV2l2 VNl 5 xl2 Sxyl3
N NV l2 N N2V
V
ск
' V
W S h I0l2
Ф
UV 2l2
мо из общего количества физических величин (их более пятидесяти) выделить минимальное количество параметров, однозначно характеризующих исследуемый физический процесс. Таким образом, аналогично стандартным критериям, были впервые введены новые зависимости. Их использование при реализации методов математического планирования эксперимента позволяет устанавливать рациональные соотношения используемых факторов.
1. Критерий идентичности упругодиссипативных характеристик связей транспортных средств, определяющий соотношение трибоспектральных характеристик при их эксплуатации и стендовых исследованиях:
Г SxyN VxN
VC3
C2
Ли7 =
SN V ctN
VC3
C2
C 1
= CW —- = 1- = idem,
W*y r 1
N112 Г ЫУ ЫУ N
где ст - коэффициент теплоотдачи, Вт/(°К-м2); N -нормальная нагрузка колеса на рельс, Н; V - скорость качения, м/с; I - геометрический масштаб, м; k - частота собственных колебаний, с-1; q - контактное давление, Па; Д© - градиент температуры, °К/м; t - время трения, с; НВ - твёрдость материалов, Па; Е -модуль упругости, Па; т - масса, кг; р - коэффициент вязкого демпфирования, (Н-с)/м; J - момент инерции, кг-м2; А - амплитуда деформации связей, м; L - путь трения, м; F - сила тяги локомотива, Н; Дт - массовый расход брикета модификатора трения, кг/с; у -плотность материала, кг/м3; УЫ - скорость нарастания усилия прижатия модификатора трения к бандажу колёсной пары, Н/с; 5 - размер частиц песка, используемого в модификаторе трения, м2; т - напряжение (тангенциальное), Па; Sxy - спектральная плотность мощности амплитудного сигнала силы трения, приходящаяся на единицу площади касания, Н2/(Гц-м2); Жху - частотная передаточная функция двух сигналов; Уск - скорость скольжения, м/с; Ж - работа сил трения, Дж; S - фактическая площадь касания, м2; h - шероховатость поверхности Rz, м; 10 - интенсивность охлаждения, Вт/м2; Ф - тепловой поток, Дж/с; и - удельный износ весовой, кг/м3.
Критериальное уравнение зависит от параметров, принятых за базисные, поэтому требуют экспериментальной проверки и сопоставления со «стандартными», многократно апробированными ранее при исследовании процессов трения в других областях техники. Например, критерий гомохронности, критерий Ньютона и другие не противоречат установленным ранее закономерностям. При решении конкретных задач по исследованию подвижного состава и обеспечению заданных триботехнических характеристик необходи-
где Sxy и Syy - соответственно взаимная спектральная плотность мощности выходного и входного сигналов и автоспектральной плотности мощности входного сигнала, приходящиеся на единицу фактической площади касания поверхностей трения; ст и т - напряжения соответственно в нормальном и тангенциальном направлениях.
2. При разработке модификаторов трения и их оптимизации разработан критерий фрикционных характеристик брикетов модификатора трения, использование которого обеспечивает стабильность коэффициента сцепления тягового колеса с рельсом, предотвращение боксования
(Дот)У
N
1фс
V 2l2 ^
N
VnI
NV Д l
F Дт
yVN 5L
= idem.
Выводы
Разработанные теоретические основы физико-математического моделирования позволили создать методы и экспериментальные комплексы, позволяющие решать сложные трибологические и триботехни-ческие задачи, исключающие этапы линеаризации существенно-нелинейных зависимостей процессов трения от внешних и внутренних взаимосвязанных факторов с учётом взаимовлияния динамических процессов, протекающих в конкретном фрикционном контакте и конкретной механической подсистеме.
Была доказана рациональность использования железнодорожной колеи шириной 1520 мм. Комплексные эксплуатационные испытания, выполненные на сети дорог ОАО «РЖД», полностью совпали с результатами модельных испытаний. Отказ от перешивки колеи 1520 мм на колею 1524 мм позволил исключить многомиллиардные затраты.
Разработаны методы трибоспектральной идентификации и оптимизации процессов трения, динамиче-
l
5
2
ского мониторинга фрикционных систем, оценки устойчивости нелинейных замкнутых механических систем, экспериментальной триботермодинамики, создан проект ГОСТов для исследования узлов трения в лабораторных условиях.
Методы физического моделирования прошли широкую апробацию при решении ряда актуальных трибологических задач отраслевого уровня: разработаны и внедрены на сети дорог ОАО «РЖД», технология и технологическое оборудование для смазывания контакта гребней колес и рельсов; разработана и внедрена на филиале ОАО «РЖД» технология модифицирования тяговых поверхностей колеса и рельса; технология и технологическое оборудование для подавления шума при работе горочных вагонных замедлителей; методы и технологическое оборудование для устранения условий формирования термоповреждений колес вагонов; методика оценки устойчивости мобильных систем; методика диагностики динамически-нагруженных подшипниковых узлов и резьб.
Теоретические основы и результаты решения триботехнических задач стали основой учебника «Физико-математическое моделирование фрикционных систем», рекомендованного Федеральным институтом развития образования (ФИРО).
Литература
1. Келдыш М.В. Автоколебания самолётных конструкций : сб. науч. ст. [Электронный ресурс]. М., 1936. URL: http://lomonosov-fund.ru/enc/ru/library:0115035
2. Келдыш М.В. Шимми переднего колеса трёхколёсного шасси // Тр. ЦАГИ. 1945. № 564. С. 1 - 33.
3. Гаркунов Д.Н. Триботехник. М., 1985. 424 с.
4. Пат. № 2343450 РФ, МПК G01N 3/56. Способ испытаний узлов трения / В.В. Шаповалов, А.Л. Озябкин [и др.]. № 2343450 ; заявл. 13.06.2006 ; опубл. 10.01.2009, Бюл. № 1; приоритет 13.06.2006, № 2006121024/28.
5. Пат. № 2517946 РФ, МПК G 01 N 3/56 (2006.01). Способ динамического мониторинга фрикционных мобильных систем / В.В. Шаповалов, А.Л. Озябкин, П.В. Харламов [и др.]. № 2517946 ; заявл. 05.04.2012 ; опубл. 10.06.2014, Бюл. № 16; приоритет 05.04.2012, № 2012113329/28.
6. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М., 2001. 478 с.
7. Шаповалов В.В. Проблемы транспортной триботехники: физико-математическое моделирование мобильных фрикционных систем // Трение и смазка в машинах и механизмах. 2009. № 10. С. 3 - 11.
8. Шаповалов В.В. Проблемы транспортной триботехники. Физико-математическое моделирование мобильных фрикционных систем. Продолжение // Трение и смазка в машинах и механизмах. 2009. № 12. С. 9 - 17.
References
1. Keldysh M.V. Avtokolebaniya samoletnyh konstrukcij .Sb. nauch. st. [Self-oscillations of aircraft structures. Collected scientific articles. century]. Moscow, 1936. Available at: http://lomonosov-fund.ru/enc/ru/library:0115035.
2. Keldysh M.V. Shimmi perednego kolesa trehkolesnogo shassi [Shimmy of the front wheel tricycle chassis]. Tr. CAGI [Trudy inst. TSAGI], 1945, no. 564, pp. 1 - 33.
3. Garkunov D.N. Tribotehnik [Tribotechnical]. Moscow, 1985, 424 p.
4. Shapovalov V.V., Ozyabkin A.L. Sposob ispytanij uzlov treniya [The method of testing of friction]. Patent RF, no. 2343450, 2009.
5. Shapovalov V.V., Ozyabkin A.L., Harlamov P.V. Sposob dinamicheskogo monitoringa frikcionnyh mobil'nyh system [The method of dynamic friction monitoring mobile systems]. Patent RF no. 2517946, 2014.
6. Goryacheva I.G. Mehanika frikcionnogo vzaimodejstviya [Mechanics of frictional interaction]. Moscow, 2001, 478 p.
7. Shapovalov V.V. Problemy transportnoj tribotehniki: fiziko-matematicheskoe modelirovanie mobil'nyh frikcionnyh system [Problem of the transport tribotechnical: physical and mathematical modeling of mobile frictional systems]. Trenie i smazka v mashi-nah i mehanizmah, 2009, no. 10, pp. 3 - 11.
8. Shapovalov V.V. Problemy transportnoj tribotehniki. Fiziko-matematicheskoe modelirovanie mobil'nyh frikcionnyh sistem. Prodolzhenie [Problem of the transport tribotechnical. Physical and mathematical modeling of mobile frictional systems. Continue]. Trenie i smazka v mashinah i mehanizmah, 2009, no. 12, pp. 9 - 17.
Поступила в редакцию 14 ноября 2014 г.
