CC BY
92
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
Раздел 13.00.00 Педагогические науки
ART 170211 2017, № 9 (сентябрь) УДК 378.147
Элементы теории фрактальных множеств как средство междисциплинарной интеграции в условиях фундаментализации образования
Бушмелева Наталья Александровна1
Вятский государственный университет, Киров, Россия na_bushmeleva@vyatsu.ru
Разова Елена Владимировна2
Вятский государственный университет, Киров, Россия ev_razova@vyatsu.ru
Аннотация. Актуальность представленного исследования обусловлена необходимостью обеспечения фундаментальности образования в вузе и устранения противоречий в системе профессиональной подготовки специалистов в области прикладной математики, фундаментальной информатики и программирования. Ведущей идеей при этом выступает использование в полном объеме потенциала междисциплинарной интеграции, реализуемой при условии внедрения в процесс обучения современных информационных технологий. Показано, что в решении сформулированной проблемы значительную роль играют учебные курсы, предметом изучения которых являются математические модели, построенные на базе междисциплинарной интеграции. Примером таких интегрированных дисциплин является курс, посвященный элементам теории фрактальных множеств. При этом предлагается оптимальное сочетание в содержании обучения теории, абстракции и реализации. Таким образом, цель исследования состоит в построении методической системы обучения элементам теории фрактальных множеств как составляющей системы фундаментальной подготовки будущих специалистов в области прикладной математики, фундаментальной информатики и программирования. В результате проводимого с 2010 г. по настоящее время экспериментального исследования и опытного преподавания курса «Элементы теории фрактальных множеств» сформировались различные методические подходы к изучению содержания предлагаемого курса студентами различных направлений. Все разработанные подходы способствуют развитию исследовательских компетенций студентов посредством целесообразно построенной системы задач, способствующей формированию системности мышления, умения структурировать и анализировать информацию, делать выводы, рассуждать, творчески мыслить. В процессе обучения студентов фрактальной геометрии выполняются мотивационная, познавательная, развивающая, управляющая, контрольно-оценочная и другие функции учебного процесса, формируются и развиваются межпредметные умения. Студенты овладевают математическими методами исследования, осмысливают методологию математических моделей, осознают взаимосвязи научных методов, подходов и приемов, разработанных в разных областях знаний, что способствует формированию их научного мировоззрения.
Ключевые слова: фундаментализация образования, междисциплинарная интеграция, фрактальный объект, алгоритм.
Поступила в редакцию Received 05.08.2017 Получена положительная рецензия Received a positive review 04.09.2017
Принята к публикации Accepted for publication 10.09..2017 Опубликована Published 29.09.2017
1 Бушмелева Наталья Александровна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры фундаментальной информатики и прикладной математики ФГБОУ ВО «Вятский государственный университет», г. Киров, Россия
2 Разова Елена Владимировна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры фундаментальной информатики и прикладной математики ФГБОУ ВО «Вятский государственный университет», г. Киров, Россия
Введение
Экономические и социальные преобразования в России влекут за собой кардинальные изменения во многих областях жизни и деятельности человека, в том числе и в образовании, что выражается в его модернизации. Одним из направлений модернизации является фундаментализация образования. Специалисты в области прикладной математики, фундаментальной информатики и программирования должны обладать глубокими фундаментальными знаниями, помогающими им вырабатывать новые необходимые навыки по мере того, как развивается данная область науки.
Фундаментальности образования в вузе можно достичь с помощью сочетания в содержании обучения теории, абстракции и реализации, а именно посредством изучения соответствующих математических теорий, алгоритмов и структур данных, реализации алгоритмов и структур данных на конкретном языке программирования.
В настоящее время система профессиональной подготовки специалистов в области прикладной математики, фундаментальной информатики и программирования несколько противоречива. Противоречие обусловлено, с одной стороны, большим объемом учебной информации, имеющей большое профессиональное и общекультурное значение для будущего выпускника, и с другой стороны, сокращением учебного времени, отводимого на получение высшего образования. Одним из путей преодоления этого противоречия является междисциплинарная интеграция, реализуемая при условии внедрения в процесс обучения современных информационных технологий.
В процессе обучения студентов в области прикладной математики, фундаментальной информатики и информационных технологий большую роль играют учебные курсы, изучающие математические модели. В процессе изучения этих курсов, построенных на базе междисциплинарной интеграции, студенты приобретают фундаментальные знания, являющиеся основой для формирования общего кругозора и профессиональной культуры, быстрой адаптации к новым специализациям в области информатики и информационных технологий. У студентов формируется понятие о роли информационных технологий в решении прикладных математических задач, осознаются и систематизируются связи информатики с математикой и другими науками, как естественными, так и гуманитарными и социальными.
Примером таких интегрированных дисциплин является курс, посвященный элементам теории фрактальных множеств. Теория фрактальных множеств - стремительно развивающееся направление современной математики. Эта дисциплина тесно связана с алгеброй, геометрией, математическим анализом, теорией функций, теорией размерности, топологией, теорией вероятностей, функциональным анализом, теорией хаоса. В качестве приложений она используется в биологии, металлургии, экономике, физике, психологии, лингвистике, политике и других направлениях человеческой деятельности. Поэтому в рамках изучения этого курса междисциплинарные знания позволяют студентам преодолеть предметную разобщенность математики, геометрии, информатики и информационных технологий.
Цель исследования состоит в построении методической системы обучения элементам теории фрактальных множеств как составляющей системы фундаментальной подготовки будущих специалистов в области прикладной математики, фундаментальной информатики и программирования. В качестве основных задач были обозначены следующие: выявить общую структуру содержания обучения элементам фрактальной геометрии; доказать значимость элементов теории фрактальных множеств в
системе фундаментальной подготовки будущих специалистов; осуществить отбор и структурирование методической системы обучения теории фрактальных множеств; на основе анализа существующих учебных текстов и обобщения его результатов выделить общую структуру содержания обучения; на основе выделенной общей структуры скорректировать содержание обучения; выявить основные классы задач из области фрактальной геометрии и скорректировать содержание задачного материала; описать методы обучения; провести отбор эффективных экспериментальных методов и произвести экспериментальную проверку некоторых положений исследования.
Обзор отечественной и зарубежной литературы
Интерес к фрактальной геометрии пробудили яркие и фундаментальные работы Бенуа Мандельброта [1, 2]. Сегодня фрактальная геометрия как часть современной математики востребована информационным обществом. Идеи фрактальной геометрии используются в самых разных областях человеческой деятельности: в геологии и геофизике (Э. В. Утемов [3]), в экологии (Б. Макгилл [4]), в биологии (Д. Б. Гелашвили и др. [5]), в социальных и политических исследованиях (Д. С. Жуков, С. К. Лямин [6]) и др. Это влечет за собой необходимость изучения элементов фрактальной геометрии в школе и в вузе.
В настоящее время теории и методике обучения студентов теории фрактальных множеств посвящены диссертационные исследования (см., например, [7]). Н. Х. Розов считает возможным и необходимым включение в школьный курс математики математических понятий «фрактал» и «хаос» [8]. Вопросы введения элементов фрактальной геометрии в практику школьного обучения описаны в работах В. А. Далингера [9]. Психологическим аспектам обучения студентов вузов фрактальным множествам посвящена работа В. С. Корнилова [10]. В. Н. Осташков и Е. И. Смирнов [11] исследовали процесс формирования нелинейного мышления студентов с помощью визуализации фрактальных объектов. Работа Е. С. Смирновой [12] посвящена развитию исследовательских компетенций студентов в процессе изучения фрактальной геометрии. Опубликованы учебные пособия по фрактальным множествам отечественных авторов (В. К. Балханов [13], В. С. Секованов [14]).
Методологическая база исследования
Для осуществления исследования применялись следующие методы: научно-методический анализ литературы по философским, социальным и психолого-педагогическим проблемам, связанным с информатизацией общества, ее влиянием на человека и систему образования; анализ научной литературы по математике, информатике, вычислительной технике, методике преподавания математики и информатики; систематизация и обобщение фактов и концепций, анализ образовательных стандартов, анализ зарубежных и отечественных программ подготовки специалистов в области информатики, программирования и ГГ-технологий, анализ учебников и учебных пособий по формальным языкам и смежным дисциплинам; изучение, анализ и обобщение педагогического опыта по преподаванию фрактальной геометрии в вузе; наблюдение, анализ результатов учебной деятельности студентов; метод экспертных оценок, прогнозирование, моделирование, проектирование, разработка и применение учебно-методических материалов в образовании в области информатики, программирования и ГГ-технологий, диагностические методики, педагогический констатирующий и формирующий эксперименты по проверке отдельных теоретических положений и идей.
Теоретико-методологическую базу исследования составили:
- исследования процесса фундаментализации образования (С. А. Бешенков, Е. В. Миндзаева, Е. В. Бешенкова, М. И. Шутикова, И. И. Трубина [15] и др.);
- теория деятельностного подхода в обучении (Б. Г. Ананьев [16], Л. С. Выготский [17], П. Я. Гальперин [18] и др.);
- положения компетентностного подхода (И. А. Зимняя [19], А. В. Хуторской [20, 21], Э. Ф. Зеер [22], В. М. Монахов [23], Дж. Равен [24] и др.), а также теория формирования и развития исследовательских компетенций (В. А. Далингер [25], С. Н. Скарбич [26] и др.);
- личностно ориентированное обучение (В. В. Давыдов [27], И. Я. Лернер [28], И. С. Якиманская [29] и др.);
- исследования по теории и методике обучения математике в вузе (В. А. Гусев [30], А. Л. Жохов [31], Е. И. Смирнов [32], В. А. Тестов [33], С. Чалмерс, М. Картер, Т. Купер и др. [34] и т. д.);
- вопросы профессиональной направленности обучения студентов в процессе математической подготовки в вузе (Р. М. Асланов [35], А. Г. Мордкович [36] и др.);
- теория фракталов (Х.-О. Пайтген, П. Х. Рихтер [37], Crownover [38]);
- методика обучения элементам фрактальной геометрии (В. С. Секованов [39, 40], A. А. Бабкин [41] и др.).
Результаты исследования
Теория фрактальных множеств основана на различного рода математических вычислениях, фрактальные объекты описываются уравнениями и их системами. Изменение коэффициентов в уравнениях приводит к получению совершенно другого фрактального объекта. В результате можно получить линии и поверхности очень сложной формы с помощью нескольких математических коэффициентов. Изменение окраски фрактальных объектов позволяет получить реалистичные образы живой и неживой природы. Комбинирование фрактальных объектов позволяет развивать у студентов системность мышления, умение структурировать и анализировать информацию, делать выводы, рассуждать, творчески мыслить.
Изучение элементов теории фрактальных множеств позволяет интегрировать в едином учебно-исследовательском процессе в рамках лабораторных занятий теоретические и методологические знания, практические умения и навыки студентов. При этом в полной мере реализуются следующие дидактические принципы: принцип творчества и инициативы, принцип профессиональной направленности обучения, принцип научности обучения, принцип системности обучения, принцип межпредметных связей, принцип опережающего обучения и т. д., что позволяет достичь высокого уровня усвоения знаний, овладения необходимым математическим аппаратом путем активизации учебно-познавательной деятельности студентов.
Цель преподавания курса «Элементы теории фрактальных множеств» состоит в обучении студентов методам изучения объектов реального мира, имеющих фрактальную природу. Основными задачами изучения курса являются: усвоение основных понятий фрактальной геометрии; освоение алгоритмов генерации объектов фрактальной природы, применение теории фрактальных множеств к решению естественнонаучных задач.
Курс «Элементы теории фрактальных множеств» включает следующие темы: фрактальные множества и геометрические фракталы; теория размерности; динамические фракталы; мультифракталы; алгоритмы генерации фрактальных объектов; применение теории фракталов. Особое внимание уделяется трем способам построения фрактальных множеств, которые дают возможность моделировать различные объекты и процессы: 1) генерации фрактальных объектов с помощью L-систем; 2) генерации фрактальных объектов на комплексной плоскости; 3) генерации фрактальных объектов с помощью аффинных преобразований.
Введение математического понятия «фрактальный объект» должно осуществляться поэтапно: от интуитивного представления о фрактале до математического. Первый шаг - знакомство с фрактальными объектами на примере салфетки Серпин-ского, снежинки Коха, кривой Гильберта. Обращается внимание студентов на тот факт, что сколь угодно малый фрагмент границы фрактальной кривой подобен исходной кривой. На втором шаге генерация фрактального объекта рассматривается как итерационный процесс, знакомый студентам из курса математического анализа. Таким образом фрактальный объект понимается как математический объект, получаемый в ходе итерационного процесса и обладающий некоторой формой самоподобия. На следующем шаге необходимо подробно рассмотреть и уточнить понятие самоподобия множества и сформулировать более точное определение: фракталом называется самоподобное множество, размерность самоподобия которого дробна. На заключительном шаге после рассмотрения вопроса о размерности возможно дать сложное для понимания определение: фракталом называется самоподобное множество, размерность самоподобия которого строго больше его топологической размерности (понятие топологической размерности дается только описательно).
При разработке курса особое внимание уделено развитию исследовательских компетенций студентов, которое обеспечивают интеграция знаний математики и информатики, исследовательский характер заданий, многоэтапность, возможность получения неожиданных связей и результатов, множество вариантов выбора средств и путей решения задачи, присутствие познавательных и эстетических мотивов деятельности.
Приведем примеры задач, направленных на это.
Задача 1. Реализовать рандомизированный алгоритм построения снежинки Коха, позволяющий управлять вероятностью р ориентации угловых элементов внутрь и наружу фигуры.
Задача 2. Реализовать алгоритм построения снежинки Коха, позволяющий управлять параметром 5, имеющим смысл относительной длины удаляемых на каждом шаге элементов. Величина 5 = 0 соответствует нулевой длине удаляемого элемента, а 5 = 1 соответствует случаю, когда исходный отрезок удаляется целиком. Высота (в обычном геометрическом смысле, принятом для треугольников) достраиваемого равностороннего углового элемента определяется через длину исходного отрезка I и величину 5 соотношением:
1
32/(1 - 5) Р=-—
(классическому алгоритму построения снежинки Коха соответствует 5 = 1/3).
Задача 3. Реализовать рандомизированные алгоритмы построения ковра Сер-пинского с использованием параметра р, управляющего вероятностью удаления каждого очередного рассматриваемого элемента.
Задача 4. Разработать интерпретатор языка L-систем, позволяющий задавать вероятностные порождающие правила, когда при построении кодового слова для замены определенной последовательности символов случайным образом выбирается одно из нескольких альтернативных правил в соответствии с заданным набором вероятностей. Провести тестирование работы интерпретатора на L-системах, описанных в соответствующем разделе пособия (снежинка Коха, мозаика, куст, дракон Хар-тера-Хайтвея).
Задача 5. Реализовать алгоритм СИФ (система итерируемых функций, Iterated functions system - IFS) для построения фрактальных множеств точек. Исходный набор точек задавать в виде двумерной бинарной матрицы. На каждой итерации вычислять координаты точек, получаемых в результате применения всех участвующих в СИФ преобразований к координатам всех ненулевых элементов матрицы. Полученные таким образом точки после округления их координат до целых значений представлять в виде бинарной матрицы, которая будет использоваться на следующей итерации в качестве исходной. Итеративный процесс останавливать, когда доля изменяемых элементов матрицы окажется меньше некоторого заданного порога p. Провести тестирование работы алгоритма для СИФ, описывающих салфетку Серпинского, лист, дерево.
Задача 6. Реализовать алгоритм «Игра Хаос» для построения фрактальных множеств точек. Итеративная генерация новых точек множества задается с помощью геометрических построений. Для этого на некоторой окружности радиуса R, лежащей в плоскости, на которой производится построение фрактала, выбирается несколько вспомогательных точек-полюсов, являющихся вершинами правильного М-угольника. Далее в качестве начальной выбирается некая произвольная точка внутри многоугольника, начиная с которой проделывается следующая итеративная процедура. Случайным образом выбирается одна из точек-полюсов, которая соединяется отрезком с текущей рабочей (затравочной) точкой. Этот отрезок делится на две части таким образом, что отношение длины отрезка, соединяющего рабочую точку с точкой деления, к длине всего отрезка составляет величину p, являющуюся параметром задачи. Полученная точка деления принимается в качестве новой рабочей точки для следующей итерации и т. д. Последовательность сгенерированных таким образом рабочих точек, за исключением первых нескольких точек порядка 100, образует фрактальное множество.
Задача 7. Реализовать алгоритм генерации фрактальных поверхностей методом сложения простейших фрактальных поверхностей. Для определения фрактальной размерности полученных поверхностей использовать методы Расса и RMS в их реализации для анализа поверхностей.
Задача 8. Проверить, можно ли использовать для генерации фрактальных поверхностей следующий алгоритм. Предлагается заполнять двумерную матрицу случайными равномерно распределенными числами, а затем проводить итеративную процедуру сглаживания значений матрицы с помощью процедуры усреднения по ближайшим соседям. При этом на каждой итерации производится расчет новой матрицы, в которой каждый элемент вычисляется как среднее значение соответствующего элемента и его ближайших четырех соседних элементов из матрицы, полученной на предыдущей итерации.
Практика преподавания элементов теории фрактальных объектов позволяет сделать вывод о том, что, осваивая алгоритмы построения фрактальных объектов, студенты приобретают универсальные методы для создания различных математических моделей в природе и в обществе.
Аудиторные занятия предполагают самостоятельную работу студентов по данному курсу. На лекциях предлагаются алгоритмы визуализации фрактальных множеств, реализованные в MATLAB или в других средах программирования, алгоритмы компьютерной графики по визуализации природных объектов фрактальной природы. Каждому студенту выдаются индивидуальные задания, для выполнения которых требуются элементы самостоятельной исследовательской работы.
Апробация, обобщение и внедрение результатов исследования осуществлялись путем преподавания курсов «Компьютерная геометрия и графика», «Вычислительная геометрия» для студентов различных направлений подготовки, реализуемых в Вятском государственном университете, в частности Фундаментальная информатика и информационные технологии, Прикладная математика и информатика, Педагогическое образование (математика, информатика) в течение 2010-2016 гг.
Заключение
Опираясь на анализ исследований в области прикладной математики и информатики, можно сказать, что выпускники вуза, будущие профессионалы в области прикладной математики и информатики, должны быть готовы к решению всевозможных прикладных задач и изучению различных моделей с помощью математических методов. В число таких методов входят и методы, которые использует в своем арсенале фрактальная геометрия. Отсюда следует вывод о целесообразности изучения теории фрактальных множеств при подготовке студентов в области прикладной математики, фундаментальной информатики и информационных технологий. В процессе обучения студентов фрактальной геометрии в учебно-воспитательном процессе выполняются такие функции, как мотивационная, познавательная, развивающая, управляющая, контрольно-оценочная и другие, формируются и развиваются межпредметные умения. Студенты овладевают математическими методами исследования фракталов, осмысливают методологию математических моделей, осознают взаимопроникновение и взаимообогащение научных методов, подходов и приемов, разработанных в разных областях знаний, что способствует формированию научного мировоззрения студентов.
Ссылки на источники
1. Мандельброт Б. Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса. - М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. - 392 с.
2. Mandelbrot В. В. The Fractal Geometry of Nature. - W. H. Freeman & Co., 1983.
3. Утемов Э. В. Методика изучения фрактальной структуры гравитационных аномалий и геологических сред при интерпретации данных гравиметрии: автореф. дис. ... к. г.-м. н. - Казань, 1999. - 29 с.
4. McGill B. J., Etienne R. S., Gray J. S. et al. Species abundance distributions: moving beyond single prediction theories to integration within an ecological framework // Ecology Letters. - 2007. - Vol. 10. - № 10. - P. 995-1015.
5. Гелашвили Д. Б., Иудин Д. И., Розенберг Г. С., Якимов В. Н. Степенной характер накопления видового богатства как проявление фрактальной структуры биоценоза // Журнал общей биологии. - 2007. - Т. 68. - № 3. - С. 170-179.
6. Жуков Д. С., Лямин С. К. Варианты использования методов фрактальной геометрии в социальных и политических исследованиях// Ineternum. - 2010. - № 2. - С. 17-35.
7. Смирнова Е. С. Методика обучения элементам фрактальной геометрии как средство развития исследовательских компетенций будущих бакалавров: автореф. дис. ... канд. пед. наук. - Ярославль, 2013. - 23 с.
8. Розов Н. X. Проблема размещения новых понятий и объектов в школьном курсе математики // Современный урок математики: теория и практика. Материалы Всерос. науч.-практ. конф. - Н. Новгород, 2005. - С. 56-64.
9. Далингер В. А. Фрактальная геометрия в школе: материалы Международной научной конференции «Интеграция науки и образования», Мальдивские острова, 14-21 февраля, 2014 год // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. - № 1 (часть 2). - М.: Изд. дом «Академия естествознания», 2014. - С. 236-237.
10. Корнилов В. С. Психологические аспекты обучения студентов вузов фрактальным множествам // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Информатизация образования». - 2011. - № 4. - С. 79-82.
11. Осташков В. Н., Смирнов Е. И. Формирование нелинейного мышления студентов посредством визуализации самоподобных множеств // Труды вторых Колмогоровских чтений. - Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2004. - С. 173-189.
12. Смирнова Е. С. Развитие исследовательских компетенций студентов в процессе изучения фрактальной геометрии // Вестник Костромского государственного университета им. Н. А. Некрасова. - 2013. - № 2. - С. 150-153.
13. Балханов В. К. Основы фрактальной геометрии и фрактального исчисления. - Улан-Удэ: Изд-во Бурят. госунта, 2013. - 224 с.
14. Секованов В. С. Элементы теории фрактальных множеств. - Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2005. - 135 с.
15. Beshenkov S. A., Mindzaeva E. V., Beshenkova E. V., Shutikova M. I., Trubina I. I. Information Education in Russia. Smart Education and e-Learning. - 2016. - P. 563-571.
16. Ананьев Б. Г. Психология и проблемы человекознания. - М.: Изд-во «Институт практической психологии»; Воронеж: НПО «МОДЭК», 1996. - 384 с.
17. Выготский Л. С. Собрание сочинений. - М.: Директ-Медиа, 2008. - Т. 6. - 815 с.
18. Гальперин П. Я. Методы обучения и умственного развития ребенка. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.
19. Зимняя И. А. Ключевые компетенции - новая парадигма результата современного образования // Интернет-журнал «Эйдос». - 2006. - URL: http://www.eidos.ru/journal/2006/0505.htm.
20. Хуторской А. В. Деятельность как содержание образования // Народное образование. - 2003. - № 8. - С. 107-114.
21. Хуторской А. В. Компетентностный подход в обучении. - М.: Изд-во «Эйдос»; Изд-во Института образования человека, 2013. - 73 с.
22. Зеер Э. Ф. Психолого-дидактические конструкты качества профессионального образования // Образование и наука. - 2002. - № 2(14).
23. Монахов В. М. Информатизация учебно-методического обеспечения целостного процесса формирования компетенций и технологического мониторинга управления их качеством // Вестник МГГУ им. М. А. Шолохова. Педагогика и психология. - 2012. - № 4. - С. 46-59.
24. Равен Дж. Компетентность в современном обществе. Выявление, развитие и реализация. - М.: «Когито-Центр», 2002. - 396 с.
25. Далингер В. А. Поисково-исследовательская деятельность учащихся по математике. - Омск: Изд-во ОмГПУ,
2005. - 456 с.
26. Скрабич С. Н. Формирование исследовательских компетенций учащихся в процессе обучения решению планиметрических задач в условиях личностно-ориентированного подхода: дис. ... канд. пед. наук. - Омск,
2006. - 252 с.
27. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. - М.: ИНТОР, 1996. - 544 с.
28. Лернер И. Я. Развивающее обучение с дидактических позиций // Педагогика. - 1996. - № 2. - С. 7-11.
29. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления // Образование. Педагогические науки. Педагогическая психология / под ред. И. С. Якиманской. - М.: Педагогика, 1989. - 224 с.
30. Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. - М.: Вербум, 2003. - 432 с.
31. Жохов А. Л. Научные основы мировоззренческой направленности обучения математике в общеобразовательной и профессиональной школе: автореф. дис. ... д-ра пед. наук. - М., 1999. - 41 с.
32. Смирнов Е. И. Технология наглядно-модельного обучения математике. - Ярославль: ЯГПУ им. К. Д. Ушин-ского, 1998. - 313 с.
33. Тестов В. А. Стратегия обучения математике. - М.: Технологическая школа бизнеса, 1999. - 304 с.
34. Chalmers C., Carter M., Cooper, T. et al. Implementing "Big Ideas" to Advance the Teaching and Learning of Science, Technology, Engineering, and Mathematics (STEM) // International Journal of Science and Mathematics Education. -2017. - 15(Suppl 1). - P. 25-43.
35. Асланов Р. М. Методическая система обучения дифференциальным уравнениям в педвузе: дис. ... д-ра пед. наук. - М., 1997. - 390 с.
36. Мордкович А. Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: дис. ... д-ра пед. наук. - М., 1986. - 355 с.
37. Peitgen H.-O., Richter P. H. Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems. - Springer-Verlag, 1986.
38. Crownover R. M. Introduction to Fractals and Chaos. - Sudbury, 1995.
39. Секованов В. С. Методическая система формирования креативности студента университета в процессе обучения фрактальной геометрии. - Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2006. - 279 с.
40. Секованов В. С. Обучение фрактальной геометрии как средство формирования креативности студентов физико-математических специальностей университетов: автореф. дис. ... д-ра пед. наук. - Кострома, 2007. - 39 с.
41. Бабкин А. А. Изучение элементов фрактальной геометрии как средство интеграции знаний по математике и информатике в учебном процессе педколледжа: автореф. дис. ... канд. пед. наук. - Вологда, 2007. - 23 с.
Natalya A. Bushmeleva,
Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Fundamental Informatics and Applied Mathematics Chair, Vyatka State University, Kirov, Russia na_bushmeleva@vyatsu.ru Elena V. Razova,
Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Fundamental Informatics and Applied Mathematics Chair,
Vyatka State University, Kirov, Russia
ev_razova@vyatsu.ru
Fractal sets elements theory as a means of interdisciplinary integration in conditions of education fundamentalization Abstract. The urgency of the presented research is conditioned by the need to ensure the fundamental character of education in a university and to eliminate contradictions in the system of professional training of specialists in applied mathematics, fundamental computer science and programming. The main idea here is full use of interdisciplinary integration potential, implemented with the introduction of modern information technologies into learning process. It is shown, that in the solution of the formulated problem, a significant role is played by training courses, their subject of study are mathematical models based on interdisciplinary integration. An example of such integrated disciplines is a course devoted to the fractal sets elements theory. At the same time, an optimal combination in the content of teaching theory, abstraction and realization is proposed. Thus, the aim of the study is to construct a methodological system for teaching the fractal sets elements theory as a component of future specialists in the field of applied mathematics, fundamental computer science and programming fundamental training system. As a result of the experimental research having been carried out since 2010 and the experimental teaching of the course " Fractal sets elements theory ", various methodological approaches to the study of the proposed course contents by students of various specialties have been formed. All developed approaches contribute to the development of students' research competencies through an appropriately constructed system of tasks that helps students to acquire a system of thinking, the ability to structure and analyze information, draw conclusions, reason, and think creatively. In the process of teaching fractal geometry, the motivational, cognitive, developing, controlling, control-evaluation and other functions of the learning process are performed, interdisciplinary skills are established and developed. Students master mathematical methods of research, comprehend methodology of mathematical models, understand the interrelationships of scientific methods, approaches and techniques developed in different fields of knowledge, and that contributes to the development of their scientific world outlook.
Key words: fundamentalization of education, interdisciplinary integration, fractal object, algorithm.
Научно-методический электронный журнал «Концепт» (раздел 13.00.00 Педагогические науки) с 06.06.2017 включен в перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (перечень ВАК Российской Федерации).
Библиографическое описание статьи:
Бушмелева Н. А., Разова Е. В. Элементы теории фрактальных множеств как средство междисциплинарной интеграции в условиях фундаментализации образования // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 9 (сентябрь). -С. 121-129. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170211.htm.
© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2017 © Бушмелева Н. А., Разова Е. В., 2017
ISSN 2304-120Х
www.e-koncept.ru
