Электрогазодинамический пограничный слой на диэлектрической пластине Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том ХШ

19 8 2

Лз 3

УДК 538.4

ЭЛЕКТРОГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЕ

А. П. Курячий

Получена система уравнений электрогазодннамического (в дальнейшем сокращенно ЭГД) пограничного слоя, на основе численного решении которой исследованы эффекты ЭГД воздействия на пограничный слой па пластине.

Идея использования ЭГД эффекта для управления пограничным слоем была развита в работах [1} — [3] и др., где была доказана принципиальная возможность ЭГД способа для управления пограничным слоем и экспериментально было выявлено влияние различных электрических параметров на эффективность метода. Теоретическое исследование ЭГД пограничного слоя осуществлялось в работах (2, 4] для случая несжимаемой жидкости и в предположении о малости электрического числа Рейнольдса, когда „электрическая* и „гидродинамическая* задачи разделяются, что существенно упрощает решение. Система уравнений ЭГД пограничного слоя решалась приближенно методом моментов. В предлагаемой работе выводится и числешго решается система уравнений пограничного слоя в заряженном газе.

I. Уравнение электрогазодннамического пограничного слоя. Рассматривается течение заряженного газа вблизи плоской диэлектрической пластины. Начале системы координат соответствует передней кромке пластины, и ось х направлена вдоль нее. Предположим, что однородное электрическое поле £0, направленное вдоль пластины, создается двумя параллельными бесконечными сетками—электродами, недеформирующими газодинамическое течение. Один электрод находится в начале координат (перпендикулярно оси х). а другой — на расстоянии I. вниз по потоку. Предполагается, что униполярный заряд создается линейным ионным источником (например, коронирующим проводом), расположенным на передней кромке пластины, что толщина ионного слоя йэ не превышает толщины гидродинамического (отсутствует ЭГД воздействие на внешнее течение), и они являются величинами одного порядка о. Условия, при которых это предположение выполняется, будут рассмотрены ниже. Скорость набегающего потока ы0.

Система уравнений электрогидродипамики имеет вид [5]:

(2)

П)

(3)

го! Я = 0, сНу Е = тг- , у — ц (а + ЬЕ) —- £> угжЗ </, (4)

д£

Г01Н — 3 4-■ ££„ , (11у// = 0. (5)

Здесь [> — плотность газа, д — плотность объемного заряда, к — скорость» У—плотность тока, р—давление, — компоненты тензора вязких напряжений. Е п Н—напряженности электрического и магнитного ноля, Г — температура, ■/ — вектор плотности потока тепла, с.у и ср — удельные теплоемкости, Ь и О — коэффициенты подвижности и диффузии носителей заряда, г — диэлектрическая проницаемость газа, £0 = 8,85-10~12 ф'м. Предполагается, что <7>0.

Будем считать, что связь между тензором вязких напряжений и тензором скоростей деформаций, а также вектором потока тепла и градиентом температуры такая же, как в газовой динамике. Уравнения (5) отделяются от системы (1)—(4) и служат для определения величины Н по найденным значениям

j И Е.

Предположим, что выполняются следующие условия:

&/Х « I, Ео,7:, » 1. » 1, (6)

где <7о — характерное значение плотности заряда в ионном слое, Ех, Ех,— компо-непты собственного поля заряда.

Последнее соотношение (6) является условием малой степени ионизации ч сильного внешнего поля.

Из первого уравнения (4) в плоском случае получим оценку Ех~ЕуЬъ1Ь, и второе уравнение (4) упрощается: дЕу(ду — д/££0. Отсюда, аналогично [б], получаем оценки

Еу ~ </() °э/£0> Р-Х (^)

Из первого уравнения (1) в стационарном случае получим оценки для компонентов скорости:

н~м0, v~~u0Ъ}L. (8)

Используя соот!Ш1иеиия (7), (8) с учетом условий (6), оставляя в уравнениях (I) — (4) старшие члены, получим в плоском стационарном случае:

(9)

д-п да да [ да дг> \

° ~ду> = дх "Ь н) + ~ду г' +(“йГ + ~ду~) ’ (10)

ди ди др д ( да \ др

дх ду ” ~~ дх ду ду ду ~ ® ^ ^

+

(12)

д ш ох / и~ , \ (2 ~ СР т) ' г ’'1' д ду ( и- ('~Т + ср 3 -К (*Г 1 дУ ,

-Г чЕо(« +

г)Ех дЕу ~ — 0 дЕу <1

ду дх ду 5£0

(13)

Вычитая из (12) уравнение (И), умноженное на и, и вводя функцию энтальпии к — Ср Т, получим вместо (12) уравнение притока тепла:

дк дк Лр д / [л дк

+ ^~дГ = 11Ч7х

д ( \± дк \ ! ди 9

+ ( рг "57/ + 1Л (“а7/ + Ь(1Е°' (14)

Коэффициент вязкости ;х и число Прандля Рг считаются известными функциями к.

Искомое решение системы уравнений (9) — (11), (14) должно удовлетворять асимптотическим условиям при^у-»»:

п к — Л о, </ о (15)

и некоторым граничным условиям при у~ 0. Следует отметить, что задача

о нахождении граничных условий в ЭГД течениях типа пограничного слоя требует кинетического подхода, а сами граничные условия являются существенно нелинейными 17]. Однако если электрическое поле поляризационного и поверхностного заряда пластины не превосходит по порядку величины ноле объемного заряда, то граничные условия существенно упрощаются.

Так как в установившемся режиме плотность тока на диэлектрическую

стенку равна нулю, то имеет место следующее условие:

Оценивая члены этого уравнения с учетом того, что у получим:

1г1=о-

~ Яогь1ч>

Qw

ЬЕц L

D

{16}

где Реэ~ЬНг>1. О — элек грическое число Пекле.

Так как из уравнения (10) легко получить оценку толщины ионного слоя - 1, | Реэ, то отношение первого члена в (16) ко второму равно <;о^/Ео я с этой точностью получаем граничные условия для теплоизолированной диэлектрической стенки:

ОТ да

ду = °’ ду

0, v = 0,

0 при у = 0.

(17)

Интенсивность ионного источника характеризуется величиной электрического тока в пограничном слое:

/ — | (ЬЕп -}-«/) qdy = const.

(18)

Проведем теперь преобразование уравнений ЭГД пограничного слоя к виду, удобному для численного расчета [8]. С этой целью вводим функцию тока рu — d'bjdy, = — dty'dx и безразмерные величины / — ф/Фй:, Я — yjy^, Q=q[qо л положим 6* — jouvу.н, у.:. = Уд>о/?0 “о* Индекс .0“ здесь и ниже соответствует значениям величин на внешней границе пограничного слоя.

Переходим к новой переменной Т|, выбранной таким образом, чтобы а/а„ = = <ifjdrr Тогда, учитывая уравнение состояния (9), записанное в виде = ?/?, получим: и/и0 — df,drt, hh^ — дН'д^. Учитывая, что на пластине выполняется dp

~^г — 0, получим следующую систему уравнений для функций /, Я, Q:

где

1 , I df д/ \

| »>/")' + -у //" -II f'fc-FgT-н' <? )

ОН' of Еиэ

—~ —Н" Н' Ю \,

д; д; Re3 1

Re_

Ре,

Q"

Re3 Я'-(fQY = *Я'2

dO 0/

(l-;-Re3/')“r-Re9Q'-^-d; di

m = - ‘ ‘ ■ ■ = ---= /я (Я'), = ujh0.

Граничные условия (15), (17) примут следующий вид:

1, Я' - I, Q-*0, tj-лсо,

/ = 0, /' = 0, Я" 0, = 0, ij = 0.

(19)

(20) (21)

(22)

(23)

Выражение для электрического тока (18) запишем в виде:

Г+-

1

I Ке

Штрихом обозначено дифференцирование по г,.

Модельными параметрами задачи (19) — (24) являются: Еиэ = <?0 Е» —

электрическое число Эйлера, Неэ = и{>!ЬЕ0 — электрическое число Рейнольдса. Реэ — ЬЕклЬ\0—электрическое число Пекле, Ке = $>0 <у0/,/,««—число Рейнольдса.

Рг—число Прандтля,

а~1Н0, .1 = 1ЦЬЕ0 1). Вместо парамет!)а J будем рас-

сматривать ./ = ./}'Ие ~//(/;£0<70о). В этом случае параметры Реэ и Но будут входить в задачу лишь в виде отношения Реэ/Ке, которое имеет простой физический смысл —это квадрат отношения толщины гидродинамического пограничного слоя к ионному. Следовательно, толщина ионного слоя Ьэ будет меньше толщины пограничного слоя при Реэ/Не>1.

Численные значения модельных параметров определяются способом создания униполярно заряженной среды. В случае использования коронного разряда оценки характерных значений плотности заряда и тока можно осуществить на основе теории Таунсенда {9].Тогда для ионов воздуха, имеющих м2/в-с

и £> ~ 10~,; м2/с, при напряженности внешнего поля Е0 ~ 10в в/м, Л ~ 1 м. гг010-5-100 м/с получим следующие оценки:

Реэ ~ 0,1 1; Еиэ ~ 0,1 ч-0,01; ./ ~ 1; Реэ/Ке ~ 10 н- 100;

0,01 .

При решении системы параболических уравнений (19) — (21) необходимо знать начальные значения искомых функций в окрестности точки г = 0, в которой имеется особенность — ионный источник. Используя разложения функций /, Я, У в ряд по степеням малого ?;

/а т;) =/„(1) + VI/х 0;> + ;/.<*>) + ...,

Я а г,) = ЛоОО + У\н, (г,) + : Н» (г,)

У О* т|) = Р-1 С^)/V - + Ро (т1) Г V (т.) + ■ - •

на основе (19)—(21) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения начальных условий:

Шо"У -г —о,

)

ГП 1 Г

рг~Но ) ~2~^Г>

0

(25)

Реэ

Ке

Иг

0

с граничными условиями (22), (23).

Значение функции (*>_, на стенке определяется на основе (24) из выражения

I «5

(26}

= 1 I 3 (1

2. Результаты расчета. Чесленное решение задачи (19) — (24) проводилось па ЭВМ БЭСМ*6 с использованием программы решения системы уравнений в частных производных параболического типа {10], В расчетах было положено

Рг - 0,7;

Г \з/2 Т0 + 110,4;

Т0 - 290 К.

На рис. 1 и 2 показаны примеры расчета соответственно профилей относительной индуцированной скорости — Ди/«0 = /' — /' и температуры А Т — —й Т'\Т()=Н'-~Н0 в сечении

1 при фиксированных значениях Кеэ = 1,7=1, Реэ;Ке Ю и различных значениях параметра Епэ. Здесь / и И' — результаты расчета обычного пограничного слоя.

Ряс. 1

Ряс. 3

/Сак* показали расчеты, величина приращения температуры стенки и максимальная индуцированная скорость возрастают вдоль пластины практически линейно.

С ростом параметра Ке9 происходит уменьшение индуцированной скорости и температуры стенки. Незначительно уменьшается гг плотность заряда. Величины Дг/, АТ и при увеличении параметра ,) возрастают приблизительно

пропорционально 7.

Представляет интерес влияние параметра РеэНе. На рис. 3 — 5 изображены профили плотности заряда и индуцированных ЭГД воздействием скорости и температуры при различных значениях параметра РеэЩе в сечении с = 1 при Кеэ=Н, ,/=1, Еиэ = 0,1. При уменьшении Ре^'Ке толщина ионного слоя увеличивается, а плотность заряда у стенки и ее температура уменьшаются. Профиль скорости при этом деформируется так, что максимальные значения индуцированной скорости достигаются дальше от стенки, само же максимальное значение вначале возрастает, а затем уменьшается.

Исследование влияния электрических параметров на характеристики пограничного слоя проводилось при постоянном значении у — 0.035. Было также определено влияние этого параметра при фиксированных остальных параметрах Расчеты показали, что с ростом у происходит незначительное уменьшение плотности объемного заряда и увеличение Ли. Вызванный ЭГД воздействием рост температуры примерно пропорционален величине

ЛИТЕРАТУРА

1. М х и т а р я и А. М., Ф р и д л а н д В. Я., Бояре к и й Г. Н., Касьянов В. А. Экспериментальное исследование влияния электро-гидродинамического эффекта па аэродинамические характеристики профиля. В сб.: * Некоторые вопросы аэродинамики и электрогидродинамики*, вып. II, КНИГА, 1966.

2. Боярский Г. Н. Об электрогидродинамическом методе управления пограничным слоем на несущих поверхностях летательного аппарата н электрогидродинамических течениях в канале. Диссертация на соискание степени канд. физ.-мат. наук, Киев, КНИГА,

1968.

3. С a ft n М. S., А п d с w О. М. Blectroaerodvnamics in supersonic flow. A1AA Paper N 24, 1968.

4. Ушаков В. В. Распространение ионной струи вдоль диэлектрической поверхности при Re3<^l, В сб.: „Некоторые вопросы аэродинамики и электрогидродинамики*, вып. 6, КИИГА, 1970.

5. Г о г о с о в В. В., П о л я и с к и й В. А., Семенова И, 1 [., Я к у б е и к о А. К. Уравнения электрогидродипамики и коэффициенты переноса в сильном электрическом ноле. „Изв. АН СССР, МЖГ“,

1969, № 2.

6. Ушаков В. В. Диффузионное уравнение неразрывности тока в электрогидродинамике. В сб.: „Гидромеханика*, вып. 3, ХГУ, 1966.

7. Ушаков В. В. О кинетике накопления поверхностного заряда и граничных условиях в электрогидродинамике. В сб.: „Некоторые вопросы аэродинамики и электрогидродипамики", вып. 3, КИИ!’А, 1968.

8. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. В сб.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы*. М., „Наука", 1964.

9. К а и ц о в Н. А. Электрические явления в газах и вакууме. М., „Энергия*, 1950.

10. С е л и в е р с г о в С, Н. Программа для численного интегрирования уравнений двумерного пограничного слоя. Труды ЦАГИ. вып. 1002, 1966.

Рукопись поступила 281X1 1980 г..