CC BY
88
Том ХХХХ
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 09
№ 1
УДК 532.526.3
533.6.011.3/.5:536.4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ПЛАСТИНЕ ПРИ ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ
ВОЗДЕЙСТВИИ
А. П. КУРЯЧИЙ
В локально-однородном приближении сформулирована задача на собственные значения, описывающая развитие малых возмущений в ламинарном пограничном слое униполярно заряженной несжимаемой жидкости, обтекающей плоскую диэлектрическую пластину, с учетом взаимодействия между гидродинамическими и электрическими возмущениями. Выполнены расчеты кривых нейтральной устойчивости в различных сечениях потока при различных параметрах задачи. Показано, что возможность значительного повышения устойчивости пограничного слоя обусловлена, главным образом, увеличением продольной компоненты скорости основного стационарного течения и абсолютного значения ее второй производной поперек пограничного слоя.
Ключевые слова: пограничный слой, гидродинамическая устойчивость, электрогидро-динамическое взаимодействие.
В настоящее время ведутся интенсивные исследования электрогазодинамических исполнительных элементов (ЭГД-актуаторов), функционирующих на основе электрических разрядов переменного [1 — 3] или постоянного [4, 5] тока. Рассматриваются возможности использования указанных устройств для управления струйными течениями [6], генерации приповерхностных струй с нулевым результирующим расходом газа на поверхности (синтетических струй) [7], уменьшения турбулентного трения [8]. Наибольшее внимание, судя по количеству публикаций, уделяется изучению возможностей управления отрывом пограничного слоя [9 — 14].
Другой потенциально перспективной областью применения ЭГД-актуаторов в аэродинамике является управление ламинарно-турбулентным переходом в пограничном слое с целью уменьшения сопротивления трения [15, 16]. Ранее теоретически исследовалось влияние ЭГД воздействия на эволюцию малых возмущений в ламинарном пограничном слое на плоской пластине и тонком профиле без учета взаимодействия между возмущениями гидродинамических (скорости и давления) и электрических (объемного заряда и электрического потенциала) функций течения, т. е. в рамках обычной линейной задачи гидродинамической устойчивости [17 — 19]. Указанное взаимодействие учитывалось при исследовании устойчивости течения вязкой заряженной жидкости между коаксиальными вращающимися цилиндрами, и было показано, что в зависимости от распределений электрического поля и объемного заряда между цилиндрами электрогидроди-намическое взаимодействие может приводить как к повышению, так и снижению значений критического числа Тейлора потери устойчивости [20].
В настоящей работе в локально-однородном приближении формулируется и решается численно задача об устойчивости ламинарного электрогидродинамического пограничного слоя по отношению к малым возмущениям типа волн Толлмина — Шлихтинга с учетом взаимодействия между возмущениями скорости, давления, объемного заряда и электрического потенциала. Расчеты течения в электрогидродинамическом пограничном слое и кривых нейтральной устойчивости выполнены для типичных условий экспериментов в дозвуковой аэродинамической трубе.
1. Постановка задачи. Рассматривается обтекание плоской диэлектрической пластины с острой передней кромкой, имеющей относительную диэлектрическую проницаемость е№, однородным газовым потоком со скоростью ио . Начало декартовой системы координат располагается на передней кромке пластины, ось х направлена параллельно вектору скорости набегающего потока, ось у — перпендикулярно поверхности пластины (рис. 1).
Рис. 1. Схема моделируемого электрогидродинамического пограничного слоя
На расстоянии хя от передней кромки пластины расположен линейный источник положительных ионов с заданной интенсивностью I, измеряемой в А/м. Ионный источник моделирует электрод-эмиттер ЭГД-актуатора постоянного тока. Ниже по потоку расположен электрод-коллектор. Расчет реального распределения электрического поля, реализуемого в тех или иных экспериментальных условиях, для которого необходимо знать геометрию и электрические потенциалы всех проводников, находящихся в относительной близости к исследуемой области пространства, не представляется возможным. Поэтому в рассматриваемой модели область расчета ограничивается четырьмя плоскостями Га, Г6, Гс, Г^, на которых задаются модельные граничные условия для электрического потенциала в виде:
(а,Ь) (У) = Ф0(а,Ь) ЄХР (-(а,Ь) У2 >12 ) .
Ф
Коэффициенты А(а Ь) определяют степень неоднородности электрического поля и являются параметрами модели. На плоскости Гс задается линейное по х распределение потенциала. Значение координаты у^ плоскости Г^ задается достаточно большим, а потенциал этой плоскости равен нулю. Предполагается, что толщины пограничного слоя и ионной струи, распространяющейся от источника вдоль пластины, в рассматриваемой области течения много меньше расстояния между вертикальными плоскостями хь — ха = I.
Ламинарное течение униполярно заряженной вязкой несжимаемой жидкости исследуется в рамках нестационарных двумерных уравнений электрогидродинамики, имеющих вид [21]:
УУ = 0, — + (УУ)У = -^Е — ^Ур + vAV, (1.1)
д/ р р
^ + У3 = 0, 3 = (У + ЬЕ) — Б Уб, (1.2)
АФ = —б, АФ № = 0, Е = —УФ, (1.3)
£о
гг • д . Э . „2
У = 1—+1—, А = У2.
дх ду
Здесь / — время, (х,у) — декартовы координаты; (1,1) — единичные векторы системы координат; V = (иV) — вектор скорости газа; Е = (х,Ey) — вектор напряженности электрического поля; 3 = (х, Jy) — вектор плотности электрического тока; Ф — электрический потенциал; р — плотность газа; р — статическое давление; в — плотность объемного заряда
(в > 0); V — коэффициент кинематической вязкости газа; Ь и В — коэффициенты подвижно-
—12
сти и диффузии ионов; £0 = 8.85 • 10 Ф/м — диэлектрическая проницаемость вакуума. Нижний
индекс V во втором уравнении (1.3) обозначает электрический потенциал внутри пластины.
Граничными условиями для вектора скорости газа и плотности объемного заряда являются
у = 0: и = V = 0; у = уе : и = Ц,, в = 0, (1.4)
где уе — значение координаты на границе невязкой незаряженной области течения.
Кроме указанных выше распределений потенциала на плоскостях Га, Гь , Гс, Га задаются условия на поверхности пластины.
На поверхности пластины электрический потенциал удовлетворяет условиям:
ЭФ ЭФ X
у = 0: Ф = Ф№, — — е№ —^ =-----------. (1.5)
Эу Эу £0
Здесь X — поверхностный заряд вследствие осаждения на пластину ионов из потока, изменение которого описывается уравнением
дХ + J = 0, Jvw = ЬЕув — В д/ у” у™ у ду
. (1.6)
у=+0
Это уравнение следует из уравнения сохранения заряда (1.2) на поверхности сильного разрыва в случае идеального диэлектрика с нулевой электропроводностью и должно решаться совместно с системой уравнений (1.1) — (1.3). Выражение для входящей в (1.6) плотности тока Jyw выводится путем рассмотрения кинетики накопления поверхностного заряда.
Предполагается, что изменение поверхностного заряда обусловлено двумя конкурирующими процессами: осаждением ионов на поверхность из газовой фазы (адсорбцией) и их испарением с поверхности (десорбцией). Если Jw — плотность тока ионов, соударяющихся с поверхностью диэлектрика, то В Jw — плотность тока адсорбируемых ионов, являющаяся отрицательной величиной, а (1 — В) Jw — плотность тока ионов, отражающихся от поверхности, являющаяся положительной величиной, где 0 < В < 1 — коэффициент адсорбции. Плотность тока десорбции положительна и пропорциональна плотности поверхностного заряда J^ = / -, где / — частота десорбции. Результирующий ток на поверхности диэлектрика является алгебраической суммой токов адсорбции и десорбции, поэтому уравнение баланса поверхностного заряда имеет вид:
д- + ^ + / Х = 0. (1.7)
о/
Величина Jw определяется из кинетического рассмотрения процессов в приповерхностном слое на границе газ—диэлектрик и имеет вид [22]:
( дв (2кТ, ^1/2
¥тд + ЬЕув — , Vт = -----------------^ . (1.8)
Эу ) у л тг )
Здесь к — постоянная Больцмана, Т и тг- — температура и масса ионов.
Уравнения (1.6) — (1.8) позволяют связать гидродинамическое выражение плотности тока на поверхности диэлектрика Jyw с ее кинетическими параметрами [22]
1—В
J
(1.9)
Это уравнение фактически устанавливает связь между поверхностным и объемным зарядами и является одним из граничных условий для уравнения сохранения заряда (1.2) в нестационарном случае (при изменении поверхностного заряда). В стационарном режиме, когда граничным условием для уравнения (1.2) является Jyw = 0, плотность поверхностного заряда согласно (1.9)
пропорциональна плотности объемного заряда у поверхности.
2. Основное стационарное течение. Метод расчета продольных компонент скорости и и напряженности электрического поля Ех, а также плотности объемного заряда в стационарного невозмущенного течения подробно описан в [23].
Были выполнены расчеты для типичных условий экспериментальных исследований ламинарно-турбулентного перехода в дозвуковой аэродинамической трубе. Скорость набегающего на пластину потока и0 = 30 м/с, давление в потоке р = 750 Тор, температура Т = 290 К, координата начального сечения расчетной области ха = 0.5 м, расстояние между вертикальными плоскостями расчетной области I- 0.04 м. При этих параметрах потока значение числа Рейнольдса, соответствующего начальному сечению, составляет
Яеа = и0ха / V ~ 106, и весь рассматриваемый промежуток электрогидродинамического воздействия на пограничный слой находится в области линейного нарастания возмущений типа волн Толлмина — Шлихтинга.
Также были фиксированы следующие параметры задачи: ус = 0.51, уй = 21, Аа = 20, АЬ = 5, В = 0.01,
/ = 10 Гц, £п = 2.5 . Было рассмотрено три варианта. В вариантах 1 и 2 задавались различные значения интенсивности ионного источника I = 0.05 и 0.1 мА/м соответственно при фиксированных потенциалах Ф0а = 15 и Ф0Ь = —5 кВ. В варианте 3 при интенсивности источника I = 0.1 мА/м разность потенциалов была увеличена в 1.5 раза: Ф 0 а = 22.5 и
Ф0Ь = —7 5 кВ-
При фиксированной разности потенциалов между плоскостями Га и ГЬ увеличение интенсивности ионного источника в 2 раза приводит к незначительному уменьшению продольной компоненты напряженности электрического поля в пограничном слое на начальном участке электрогидродинамиче-ского воздействия и ее увеличению на конечном участке воздействия (рис. 2, а). Это влияние интенсивности источника на распределение Ех обусловлено увеличением плотности как объемного, так и поверхностного зарядов при возрастании I, которое приводит к уменьшению продольного градиента потенциала в окрестности «положительной» плоскости Га и его возрастанию в окрестности «отрицательной»
Рис. 2. Распределения вдоль пластины безразмерной продольной компоненты напряженности электрического поля (а) и максимума относительной индуцированной скорости газа (б) в пограничном слое при
Ф 0а —Ф
0Ь
20 кВ, I = 0.05 мА/м (1) и 0.1 мА/м (2)
и при Ф0а — Ф0Ь = 30 кВ, I = 0.1 мА/м (3)
О 3 У- мм 0 5 у. мм О з У- мм 6
Рис. 3. Распределения плотности объемного заряда в сечениях пограничного слоя х - ха = 1,2,3,4 см (1 — 4) при Ф0а - Ф0Ь = 20 кВ, I = 0.05 мА/м (а) и 0.1 мА/м (б) и при Ф0а - Ф0Ь = 30 кВ, I = 0.1 мА/м (в). Профиль продольной
скорости газа в сечении х - ха = 3 см (5)
плоскости Гй . Увеличение разности потенциалов между плоскостями Га и Гй в 1.5 раза, естественно, ведет к такому же возрастанию продольной компоненты напряженности поля.
Вследствие существенной неоднородности разгоняющей компоненты напряженности поля Ех, демонстрируемой рис. 2, а, распределение вдоль пластины максимального значения скорости газа в пограничном слое, индуцируемой электрогидродинамическим воздействием, является немонотонным (рис. 2, б). Здесь Ц тах — максимальная разность значений продольной компоненты скорости газа при электрогидродинамическом воздействии и без него. Увеличение интенсивности ионного источника в 2 раза при почти неизменном распределении напряженности разгоняющего поля (рис. 2, а) должно приводить к увеличению интегральной объемной силы в каждом сечении пограничного слоя также примерно в 2 раза. Вместе с тем, согласно рис. 2, б максимальное значение индуцированной скорости возрастает лишь в 1.5 раза в сечении х' = (х - ха)/I = 0.2 и в 1.4 раза в сечении х = 1. И лишь одновременное увеличение интенсивности источника в 2 раза и максимальной разности потенциалов в 1.5 раза приводит к двукратному возрастанию Ц тах .
Согласно рис. 3, а и б увеличение интенсивности ионного источника и, следовательно, интегрального электрического тока в каждом поперечном сечении ионной струи не приводит к возрастанию плотности объемного заряда в основной ее части. Это увеличение интегрального тока обеспечивается за счет возрастания поперечного размера струи в каждом ее сечении пропорционально интенсивности источника. Вследствие этого среднее по сечению значение объемной силы почти не меняется, а увеличивается размер области электрогидродинамического воздействия.
Сравнение распределений объемного заряда с профилем скорости демонстрирует, что при увеличении интенсивности ионного источника толщина ионной струи при ее распространении вниз по потоку может достаточно быстро превысить толщину пограничного слоя (рис. 3, б). В этом случае электрогидродинамическое воздействие в невязкой области течения сопровождается излишними энергетическими затратами и снижает эффективность метода. Это обстоятельство необходимо учитывать при оптимизации электрогидродинамического метода управления пограничным слоем.
Увеличение напряженности поля Ех при фиксированной интенсивности источника приводит к уменьшению толщины ионной струи и, как следствие, возрастанию плотности объемного заряда (рис. 3, в), что является дополнительным фактором усиления электрогидродинамического воздействия на течение в пограничном слое. Это воздействие ведет к «наполнению» профиля продольной скорости, т. е. к значительному ее возрастанию. Наибольшие значения индуцированной ЭГД воздействием скорости газа во всех трех вариантах расчетов достигаются в первом из рассмотренных сечений пограничного слоя (рис. 4). Ниже по потоку от этого сечения индуцированная скорость монотонно уменьшается.
Рис. 4. Профили относительной индуцированной скорости в сечениях
х - ха = 1,2, 3,4 см (1 — 4) при Ф0а -Ф0Ь = 20 кВ, I = 0.05 мА/м (а) и Ф0а - Ф0Ь = 30 кВ, I = 0.1 мА/м (б)
-0.2 -0.1 и" -0.3 -0.1 и" 0.1
Рис. 5. Профили безразмерной второй производной продольной скорости в переменных Блазиуса (обозначения 1 — 4 и а, б, как на рис. 4), вторая производная продольной скорости в течении Блазиуса (5)
Известно, что устойчивость течения в пограничном слое существенным образом зависит также от профиля второй производной продольной компоненты скорости поперек слоя [24]. Во всех трех вариантах в первом сечении пограничного слоя наряду с наибольшими значениями индуцированной скорости (рис. 4) достигаются и максимальные значения модуля второй производной продольной компоненты скорости в пристеночной области (рис. 5). Однако в окрестности
—1/2
значения переменной Блазиуса У = у {ух / и0) ~ 1 абсолютные значения второй производной
и" = и-1Э2 и/ дУ2 меньше, чем в автомодельном течении Блазиуса, а в третьем варианте и" даже достигает положительных значений (рис. 5, б). В остальных трех сечениях во всех трех вариантах абсолютные значения и больше, чем в течении Блазиуса. В двух последних сечениях профили как индуцированной скорости, так и величины и отличаются очень незначительно, однако даже это небольшое различие заметно влияет на кривые нейтральной устойчивости, как будет показано ниже.
3. Задача устойчивости. При теоретическом исследовании влияния электрогидродинамиче-ского воздействия на устойчивость пограничного слоя следует решать задачу о прохождении волны Толлмина — Шлихтинга через участок неоднородности ха < х < хъ . В данном случае неоднородность обусловлена тем, что эволюция возмущения на этом участке описывается не уравнением Орра — Зоммерфельда, которое является следствием линеаризованных уравнений Навье — Стокса, а системой линеаризованных уравнений электрогидродинамики в области течения и уравнения Лапласа для потенциала внутри пластины с заданными граничными условиями для гидродинами-
ческих и электрических возмущений в сечениях х = ха и х = хь , условиями прилипания, уравнением кинетики поверхностного заряда и условиями сопряжения для электрического потенциала на поверхности пластины. Решение соответствующей краевой задачи для системы уравнений эллиптического типа может быть получено, например, методом прямого численного моделирования [25].
Однако о необходимости решения этой задачи можно судить, оценив влияние электрических возмущений на гидродинамические на основе решения локально-однородной задачи, в которой параметры основного течения в каждом рассматриваемом сечении пограничного слоя считаются неизменными как вверх, так и вниз по потоку [24]. Не учитывается также влияние вертикальных компонент скорости газа и напряженности электрического поля.
В этих предположениях для возмущений продольной и вертикальной компонент скорости (и,V), давления р, плотности объемного заряда д и потенциала электрического поля ф на основе линеаризации уравнений (1.1) — (13) и условий (1.4) получается система уравнений и шести очевидных граничных условий:
ди дv „
— + — = 0,
дх ду
ди ттди йи 1 (др „дф „ '
— + и— +-------v + —1 — + 0—-Erq I = уЛи,
дt дх йу р ^ дх дх )
дv ттдv 1
— + и— + —
дt дх р ( ду ду
= у Лv,
(3.1)
^ + (У + ЬЕх ) + ^(V -Ь| + —0д = В Лд, д^ х> дх йу \ дх) е0
Л = д Л = д2 д2
Лф=—, тг+т^
е0 дх ду
у = 0: и = V = 0; у : и, V, д, ф^ 0.
Возмущения электрического потенциала на поверхности пластины согласно (1.5) удовлетворяют условиям
у = 0: ^-е№ ^ + —= 0, ф = ф№, (3.2)
ду ду е0
где а — возмущение плотности поверхностного заряда, а ф„ — возмущение электрического потенциала внутри пластины, удовлетворяющее уравнению Лапласа и условию затухания вдали от обтекаемой поверхности пластины
Лф» = 0 у : ф№ ^ 0. (3.3)
Граничные условия для возмущений объемного и поверхностного зарядов получаются путем линеаризации уравнений (1.6), (1.9) и имеют вид:
да , _ дф „ дд у = 0: — = Ь0— + В—,
' дt ду ду
Ьд|+=<!**-/а), с=(/-I'-' ( )
Для исключения неизвестных функций фм, и а из формулируемой краевой задачи учитывается, что рассматриваются возмущения параметров течения в виде волн Толлмина — Шлихтинга:
и (х, у ) = и* (у)ехр [/' (а х -Ш)], (3.5)
где u* — амплитуда, а — волновое число, ю — частота возмущения, которые в общем случае все являются комплексными величинами, а аr = Real (а) > 0 .
С учетом (3.5) решение задачи (3.3) имеет вид:
(У) = Ф^ (0) exp (ay), а уравнения (3.4) позволяют выразить а через q
a = ^q, Х = -
Шт
2 ( / - i ш)
Учитывая второе условие (3.2), вид решения ф^(у) и исключая функцию а из уравнений
(3.2), (3.4), получим граничные условия для амплитуд возмущений электрического потенциала и плотности объемного заряда на поверхности пластины (верхний индекс звездочку опускаем):
у = 0: —-е№аф +—д = 0, В— + т\ д + Ь0—= 0. (3.6)
ду £0 ду ду
Для численного решения сформулированной краевой задачи (3.1), (3.6) вводятся безразмерные переменные, обозначенные верхним индексом градус, согласно соотношениям
о и0 0 х 0 у 0 „ 0 5 „ [ух
t =Г,х =5,у =6,а =а5,Ш = ит“, 5^и?
и■=и, д■=д, е;=Ье„, (3.7)
и 0 1 и 0
1 , л о p о U05 0 b
— (u, v), p =——, q =-— q, ф = —- <
U0 Р—2 1 U 0 5
Подставляя возмущенные функции течения, имеющие вид (3.5), в (3.1) и (3.6), используя соотношения (3.7), исключая неизвестные и°, р°, д° и опуская верхний индекс градус у безразмерных величин, получим следующую краевую задачу:
V™ - 2а2V' + а4V = i Яе[(аи - ю)(/ - а2v) - аи'’V] + + а ЯеЫ0 [аЛ^1д'ф -iEx(ф' - а2ф)* ], ф1¥ -2а2ф" + а4ф = i8еЯе(аи + аЕх -ю)(ф"-а2ф) +
+8еЯе N1 [2д(ф" - а2ф) + д'(ф' - V)], у = 0: V = V = 0, Лф'-ф' + а(-Ла)ф = 0, (3.8)
фда + Сф"-|а2 + 8еЯе N1д )-а 2Сф = 0, у ^^: V, V, ф, ф' ^ 0,
Re= —= J—, Sc = -, N0 = ~V, N =
D р b2 £0—2
2—0 ( F - i ю)’ ‘ —;.
С = iroScRe Л, Л=------------------, F = /5
Здесь штрихом обозначено дифференцирование по переменной у. Отметим, что первая строка первого уравнения (3.8) представляет собой стандартное уравнение Орра — Зоммерфель-да линейной теории гидродинамической устойчивости. Влияние возмущений электрических параметров течения на возмущения скорости и давления зависит от невозмущенных распределений напряженности электрического поля, плотности заряда и параметров задачи N0 и N1. При этом так называемый критерий электрогидродинамического взаимодействия N0 при фиксированном давлении является параметром газовой среды [21] и, следовательно, постоянной величиной, а значение параметра N1 пропорционально интенсивности ионного источника.
Значения безразмерных параметров задачи (3.8) в рассмотренных выше вариантах: Sc = 0.237, N0 = 3.71 -10-4, N = 3.26-10-4 и 6.52-10-4 при I = 0.05 и 0.1 мА/м соответственно. Следствием малости значений параметров N0 и N1 является то, что значения волновых чисел нейтральных возмущений, полученные на основе решения системы 8-го порядка (3.8) и уравнения Орра — Зоммерфельда, отличаются лишь в третьем знаке.
Следовательно, при рассматриваемых параметрах задачи, соответствующих условиям аэродинамического эксперимента, взаимодействием гидродинамических и электрических возмущений можно пренебречь, и анализ устойчивости электрогидродинамического пограничного слоя можно проводить в рамках решения обычного уравнения Орра — Зоммерфельда. Таким образом, в рассматриваемом случае влияние ЭГД взаимодействия на устойчивость пограничного слоя определяется воздействием на основное стационарное течение, приводящим к изменению продольной компоненты скорости.
Для оценки этого влияния были рассчитаны кривые нейтральной устойчивости в рассмотренных ранее сечениях пограничного слоя. При интенсивности ионного источника I = 0.05 мА/м в первом из рассмотренных сечений значение критического числа Рейнольдса потери устойчивости возрастает незначительно по сравнению с течением Блазиуса (рис. 6, а). Однако размеры области неустойчивых возмущений, расположенной между нижней и верхней ветвями нейтральной кривой, заметно меньше, чем в течении Блазиуса. Ниже по потоку вплоть до второго сечения область неустойчивости значительно сужается, а значение критического числа Рейнольдса возрастает. Затем по мере уменьшения индуцированной скорости и модуля второй производной продольной скорости происходит постепенное расширение области неустойчивости и уменьшение критического числа Рейнольдса.
Увеличение интенсивности ионного источника в 2 раза приводит к существенному изменению характеристик устойчивости пограничного слоя (рис. 6, б). В первом сечении нейтральная кривая становится замкнутой и, соответственно, область неустойчивости — ограниченной. Вплоть до значения Re = 4000 вторая области неустойчивости в этом сечении отсутствует. В промежутке между вторым и последним сечением значения критического числа Рейнольдса быстро уменьшаются, оставаясь, тем не менее, больше, чем в предыдущем варианте ионного источника
меньшей интенсивности. Поскольку Reх = и 0 х / у = Re , в большей части промежутка между первым и третьим сечениями все возмущения являются затухающими (рис. 6, б).
0.22
о 1000 Яе 0 2000 Яе о 2000 Яе 4000
Рис. 6. Кривые нейтральной устойчивости (обозначения, как на рис. 3), кривая нейтральной устойчивости течения
Блазиуса (5)
Наличие точки перегиба профиля скорости в первом сечении пограничного слоя в третьем варианте расчетов приводит к значительному увеличению размеров области неустойчивости, которая, тем не менее, остается ограниченной (рис. 6, в). В остальных сечениях устойчивость пограничного слоя существенно возрастает. В частности, критическое число Рейнольдса во втором сечении равно примерно 104, поэтому нейтральная кривая для этого сечения на рис. 6, в не приведена. Влияние второй производной скорости невозмущенного течения приводит к тому, что, несмотря на наибольшие значения индуцированной скорости, течение в первом сечении во всех трех вариантах расчетов является наименее устойчивым по сравнению с остальными сечениями.
Выполненные расчеты демонстрируют возможность значительного повышения устойчивости ламинарного пограничного слоя и, как следствие, подавления в нем возмущений типа волн Толлмина — Шлихтинга благодаря электрогидродинамическому воздействию. Однако для значительного затягивания ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое нужно обеспечить оптимальное воздействие на достаточно протяженном участке обтекаемой поверхности в области линейного развития возмущений. Для этого необходимо создать систему из нескольких электрогидродинамических исполнительных элементов, расположенных последовательно друг за другом вниз по потоку, при этом максимально уменьшить их негативное взаимовлияние.
Отметим также, что в ЭГД-актуаторе, функционирующем на основе коронного разряда, при атмосферном давлении и расстоянии между электродами 4 см устойчивое и равномерное горение разряда вдоль электрода-эмиттера наблюдается в диапазоне силы тока 0.5 2.5 мА/м [26]. Эти
значения значительно выше интенсивности ионного источника, при которой согласно проведенным расчетам влияние ЭГД-актуатора на устойчивость пограничного слоя будет благоприятным, по крайней мере, для условий аэродинамического эксперимента. Поэтому при разработке системы ЭГД-актуаторов, предназначенной для затягивания ламинарно-турбулентного перехода, наряду с приповерхностным коронным разрядом постоянного или переменного тока [27] целесообразно исследовать и другие источники униполярного заряда, способные как расширить диапазон рабочих параметров системы (силы тока и характерной напряженности поля), так и повысить ее энергетическую эффективность.
Заключение. Сформулирована и решена задача на собственные значения, описывающая в линейном приближении эволюцию малых возмущений в пограничном слое несжимаемой униполярно заряженной жидкости, обтекающей плоскую диэлектрическую пластину, с учетом элек-трогидродинамического взаимодействия между возмущениями гидродинамических и электрических функций течения. Показано, что для типичных условий аэродинамического эксперимента по исследованию ламинарно-турбулентного перехода указанное взаимодействие не оказывает заметного влияния на характеристики устойчивости течения в пограничном слое. Значительное повышение его устойчивости, выражаемое в увеличении значений критического числа Рейнольдса потери устойчивости и сужении диапазона волновых чисел нарастающих возмущений, может быть достигнуто при таком воздействии на течение, которое обеспечивает увеличение как продольной компоненты скорости газа, так и модуля отрицательных значений ее второй производной поперек слоя. Чрезмерное увеличение продольной скорости, достигаемое при достаточно больших значениях электрического тока или продольной компоненты напряженности электрического поля в пограничном слое, может приводить к появлению точек перегиба в профиле продольной скорости и, тем самым, к снижению устойчивости пограничного слоя. Кроме того, при слишком большом токе толщина приповерхностной ионной струи может значительно превысить толщину пограничного слоя, следствием чего будут излишние энергетическим затраты.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 05-08-50239), Международного научно-технического центра (№ 2633) и Государственной программы поддержки ведущих научных школ (НШ-4272.2006.1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Roth J. R., Dai X. Optimization of the aerodynamic plasma actuator as an electrohydrodynamic (EHD) electrical device // AIAA Paper. 2006. N 1203.
2. Likhanskii A. V., Shneider M. N., Macheret S. O., Miles R. B. Modeling of interaction between weakly ionized near-surface plasmas and gas flow // AIAA Paper. 2006. N 1204.
3. Font G. I., Jung S., Enloe C. L., McLaughlin T. E., Morgan W. L.,
Baughn J. W. Simulation of the effects of force and heat produced by a plasma actuator on neutral flow evolution // AIAA Paper. 2006. N 167.
4. Leger L., Moreau E., Touchard G. Electrohydrodynamic airflow control along a flat plate by a DC surface corona discharge — velocity profile and wall pressure measurements // AIAA Paper. 2002. N 2833.
5. Mateo-Velez J. C., Thivet F., Rogier F., Quinio G., Degond P. Numerical modelling of corona discharges and their interaction with aerodynamics // 1st Europ. Conf. Aerospace Sci. (EUCAS). — Moscow, 2005, Russia.
6. S ami my M., Kim J.-H., A damovich I., Utkin Y., Kastner J. Active control of high speed and high Reynolds number free jets using plasma actuators // AIAA Paper. 2006. N 711.
7. Santhanakrishnan A., Jacob J. D. On plasma synthetic jet actuators // AIAA Paper. 2006. N 317.
8. Jukes T. N., Choi K.-S., Johnson G. A., Scott S. J. Turbulent boundary-layer control for drag reduction using surface plasma // AIAA Paper. 2004. N 2216.
9. Roupassov D. V., Zavyalov I. N., Starikovskii A. Yu. Boundary layer separation plasma control using low-temperature non-equilibrium plasma of gas discharge // AIAA Paper. 2006. N 373.
10. Roy S., S inth K. P., Kumar H, Gaitonde D. V., Vi sbal M. Effective discharge dynamics for plasma actuators // AIAA Paper. 2006. N 374.
11 Kimmel R. L., Hayes H. R., Crafton W. M., Fonov S. D., Menart J., S h a n g J. Surface discharges for high-speed boundary layer control // AIAA Paper. 2006. N 710.
12. B a l c e r B. E., F r ank e M. E., R i v i r R. B. Effects of plasma induced velocity on boundary layer flow // AIAA Paper. 2006. N 875.
13. S uz e n Y. B., Huang P. G. Simulation of flow separation control using plasma actuators // AIAA Paper. 2006. N 877.
14. Corke T. C., Mertz B., Patel M. P. Plasma flow control optimized airfoil // AIAA Paper. 2006. N 1208.
15. Seraudie A., Aubert E., Naude N., Cambronne J. P. Effect of plasma actuators on a flat plate laminar boundary layer in subsonic conditions // AIAA Paper. 2006. N 3350.
16. Grundmann S., Tropea C. Delay boundary-layer transition using plasma actuators // AIAA Paper. 2008. N 1369.
17. Курячий А. П. О затягивании перехода пограничного слоя электрогидродина-мическим методом // ПММ. 1985. Т. 49, вып. 1.
18. Казаков А. В., Курячий А. П. Влияние электрогазодинамического воздействия на развитие малых возмущений в пограничном слое на тонком профиле // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 1.
19. Казаков А. В., Курячий А. П. Оценка эффективности электрогазодинамического метода уменьшения аэродинамического сопротивления // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 2.
20. Курячий А. П. Устойчивость электрогидродинамического течения Куэтта — Тейлора // ПММ. 1989. Т. 53, вып. 3.
21. Ватажин А. Б., Грабовский В. И., Лихтер В. А., Шульгин В. И. Электрогазодинамические течения. — М.: Наука, 1983.
22. Ушаков В. В. О кинетике накопления поверхностного разряда и граничных условиях в электрогидродинамике // Некоторые вопросы аэродинамики и электрогидродинамики. — Киев. ин-т инж. гражд. авиации. 1968, вып. 3.
23. Курячий А. П. Моделирование электрогидродинамического исполнительного элемента постоянного тока // Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 3.
24. Reshotko E. Boundary-layer stability and transition // Annu. Rev. Fluid Mech. 1976.
V. 8.
25. Davies C., Carpenter P. W. Numerical simulation of the evolution of Tollmien-Schlichting waves over finite compliant panels // J. Fluid Mech. 1997. V. 335.
26. Artana G., D’Adamo J., Leger L., Moreau E., Touchard G. Flow control with electrohydrodynamic actuators // AIAA J. 2002. V. 40, N 9.
27. Moreau E. Airflow control by non-thermal plasma actuators // J. Phys. D: Appl. Phys. 2007. V. 40.
Рукопись поступила 4/VII2007 г.
