Экономика и математика: их взаимодействие Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Приглашаем к дискуссии

А.Д. ЛИВАНДОВСКАЯ

Экономика и математика: их взаимодействие

Рассматриваются теоретические аспекты взаимодействия двух совершенно разных научных дисциплин - экономики и математики.

Ключевые слова: математический аппарат, экономика, математические модели, макроэкономическое моделирование, детерминированные и стохастические связи.

Economics and Mathematics: their interaction. A.D. LIVANDOVSKAYA

The article looks at the theoretical aspects of interaction between two completely different scientific disciplines - economics and mathematics.

Key terms: mathematical apparatus, economics, mathematical models, macroeconomic modeling, deterministic and stochastic relations.

Математика и экономика - это самостоятельные области знаний, каждая из которых имеет свой объект и предмет исследования. По мнению известного американского ученого Норберта Винера, предназначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает [1, с. 6]. Исходя из этой миссии математики, предметом ее исследований является поиск количественных форм описания абстрактных связей, которые могут иметь место в окружающем нас мире. То есть математика как наука создает универсальные аналитические инструменты исследования связей и получения на этой основе новой информации об окружающем нас мире. Это превращает математический аппарат в универсальный инструмент решения многих задач, с которыми сталкиваются ученые, работающие в совершенно разных областях знаний: экономике, биологии, медицине, лингвистике, социологии и др., - казалось бы, весьма далеких от математики. Вот почему очень часто математику называют царицей наук.

В настоящее время наибольших успехов достигают те отрасли знаний, которые широко используют математический аппарат в своих исследованиях. Что же позволяет при использовании математики добиваться колоссальных успехов в исследовании явлений природы и общества? Ведь математика оперирует такими понятиями, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к реальной жизни: векторы, интегралы, дифференциалы, уравнения и т. д.

Математика, как специфическая область знаний, обладает особенностями, которые делают ее уникальной. Они состоят в следующем:

— строгое, не допускающее никаких отклонений определение правил построения отношений (связей) - математических формул;

— при выводе соответствующих формул вначале постулируется система аксиом, а затем, исходя из них, на основе строгих правил конструируются собственно математические формулы;

— возможность оперировать теми или иными понятиями, не раскрывая их сущности, т. к. получаемые выводы носят абстрактный характер и совершенно не связаны с характеристикой объектов.

Именно эти особенности и делают математический аппарат универсальным аналитическим инструментом для всех областей знаний.

Таким образом, обладая этими свойствами, математика на основе выдвинутых гипотез, используя строгие логические правила, позволяет получать новые знания об изучаемом объекте, повторно применяя соответствующие правила, получать еще новые знания и т. д. Иными словами, с помощью математических преобразований на основе выдвинутых предпосылок и строгих логических правил можно установить новые свойства и отношения (связи) реальных объектов, которые затем могут подтвердиться эмпирически. Это и делает математику могущественной наукой. Как подчеркивал К. Маркс, наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой. В высшей математике К. Маркс находил диалектическое движение в его наиболее логичной и в то же время простейшей форме. В особенности это относится к экономике, в которой нет единой точки зрения на сущность изучаемых объектов.

Чтобы получить с помощью математических моделей новую информацию, соответствующую реальной действительности, необходимо формировать на основе имеющихся знаний качественные предпосылки, закладываемые в модель.

Известный английский математик Гексли писал: «Математика подобно жернову перемалывает то, что под него засыпают. Как засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных предпосылок» [5, с. 6].

В экономике математика используется сравнительно недавно (с 1738 г.), когда Франсуа Кенэ построил и опубликовал свои первые экономические таблицы. Это первая попытка количественного описания процесса воспроизводства общественного продукта как единого целого. Затем классическая макроэкономическая модель общественного воспроизводства была предложена Адамом Смитом, а вслед за ним Давидом Риккардо (модель международной торговли). К. Маркс в своих работах широко использовал математический аппарат (модели простого и расширенного воспроизводства, денежного обращения и др.).

В XIX в. возникла математическая школа в политической экономии (1838 г.). Представители этой школы Л. Вальрас, О. Курко, В. Парето, Ф. Эджворт, А. Маршалл и др. впервые предприняли попытку использовать математический аппарат в исследовании механизма функционирования рынка (теория рыночного равновесия). В конце XIX в. в Гарварде появилось направление Гарвардский барометр. Это одно из направлений современной эконометрики, разрабатывающее эконометрические модели для прогнозирования промышленных циклов.

В начале ХХ столетия начинают использовать математический аппарат в своих исследованиях и русские ученые-экономисты, такие как П.И. Туган-Барановский (в исследовании кризисов, прогнозировании хозяйственной конъюнктуры), В.И. Дмитриев, И.П. Кондратьев, Е. Слуцкий. В.И. Дмитриев впервые в мировой экономической науке предпринял попытку математически описать полные затраты труда на производство единицы продукции. Разработанная им система линейных уравнений в дальнейшем была использована В. Леонтьевым при создании знаменитого метода «затраты—выпуск», за который он получил Нобелевскую премию. Е. Слуцкий исследовал условия устойчивости потребительского бюджета, при которых можно определить функции полезности на основе первых и вторых производных. Им же были предложены коэффициенты ценовой эластичности.

При становлении государственного планирования в 1920-е гг. проблема использования математических методов в экономике стала предметом острейших дискуссий. Обсуждались такие вопросы, как возможность и необходимость применения математического аппарата в экономике, познавательные функции математических методов, границы их применения и др.

В 20-е годы ХХ в. были заложены основы макроэкономического моделирования: межотраслевого баланса (В. Леонтьев), моделей экономического роста (Конюс, Фельдман). В это время разрабатывается множество экономико-математических моделей анализа и прогнозирования экономических явлений. В 1930-х годах советский математик Л.В. Канторович открыл новый класс математических задач — линейное программирование и предложил универсальный метод их решения, в экономике это позволило справляться с самыми различными задачами на поиск оптимальных решений по определенному линейному критерию. В 1939 г. Л.В. Канторовичем совместно с М.К. Гану-риным была решена классическая транспортная задача, позволившая в экономике добиваться оптимизации перевозок, маршрутов, повышения эффективности использования транспорта. За эту работу Л.В. Канторович в 1950-е годы был удостоен Нобелевской премии (единственный лауреат из России в области экономики). Отличительной особенностью развития экономико-математических методов в СССР являлась их прямая направленность на решение практических задач управления экономикой.

Однако начиная с 1940-х гг. и до 1957 г. вопросы применения математики в экономике СССР почти не разрабатывались. Имевшиеся в то время математические методы решения планово-экономических задач на практике не использовались. Причин было много, среди них субъективные: предубеждение против применения математики в экономических исследованиях, в какой-то степени консерватизм, недостаток квалифицированных кадров.

С середины 1940-х гг. за рубежом в развитых странах начинается бурный процесс внедрения математики в экономику как в область научных исследований, а с середины 1960-х гг. — и в сферу управления бизнесом. С использованием математического аппарата в экономике связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон и др.). Взаимодействие математики и экономики за рубежом стало обычным явлением.

Выдающийся экономист-математик современности Л.В. Канторович в своей вводной лекции отмечал: «Экономическое мышление сродни математическому. Процесс расширенного воспроизводства стал предельно ясным после того, как К. Маркс формализовал свои схемы реализации. Он указывал, что основные понятия экономической науки получают завершенность и четкость благодаря их формализации с помощью математических средств» [2, с. 15].

В России возвращаются к использованию математического аппарата в экономике в конце 1950-х гг. (20-летний перерыв) — в 1957— 1958 гг., когда НИЭИ Госплана СССР начал разработку межотраслевого баланса.

В созданной академиком В.С. Немчиновым в 1958 г. Экономико-математической лаборатории началась разработка районных межотраслевых балансов. В конце 1950-х гг. стала осуществляться подготовка кадров для этого направления. В дальнейшем оно получило интенсивное развитие в экономике.

В настоящее время развитие макро- и микроэкономики, прикладных экономических дисциплин связано с более высоким уровнем их формализации. Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики: математического программирования, теории игр, математической статистики, теории массового обслуживания и др., — а также прогресс в области информационных технологий, позволивших обрабатывать, хранить и передавать значительные массивы исходной информации (без этого внедрение математики в хозяйственную практику было бы невозможным).

Общее экономики и математики состоит в том, что они имеют дело с абстрактными объектами высокой степени сложности. Все формулы абстрактны. Экономические процессы и явления, экономические отношения — это тоже экономические абстракции, не имеющие пространственных характеристик. Вот почему экономика стала благодатной почвой для использования математики.

1. Экономические (социально-экономические) системы одни из самых сложных, им свойственно множество взаимодействующих между собой элементов, внутренних и внешних взаимосвязей, определяющих их состояние и поведение, неопределенность и динамизм, наличие временных лагов, качественных характеристик. Экономические процессы и явления, которые выступают в качестве объектов изучения экономики как науки (а они в свою очередь характеризуются экономическими отношениями между субъектами, результаты деятельности которых характеризуются количественными параметрами), абстрактны.

Управление всей экономикой и отдельными ее звеньями (отраслями, предприятиями, межотраслевыми комплексами) делается все более затруднительным из-за колоссального многообразия возможных производственных решений, принимаемых на различных уровнях. Особую важность в связи с этим приобретают вопросы научно обоснованного поиска оптимальных решений в различных экономических ситуациях, повышающих эффективность деятельности и снижающих степень риска.

2. В экономике невозможно использовать методы получения новой информации, характерные для других наук: это эксперимент. Поэтому и изучение экономических процессов, явлений, ситуаций невозможно без использования математики, позволяющей количественно описать причинно-следственные связи экономических объектов, их поведение и на этой основе получать новую информацию о механизме их функционирования. Кроме того, увязывая воедино условия функционирования объекта, его внутреннюю структуру, параметры управления, последствия принимаемых решений, математические модели дают возможность разрабатывать многовариантные решения, выбирать оптимальные, проводить эксперименты не в реальной жизни, а осуществляя компьютерное моделирование, что повышает качество принимаемых решений, снижает степень риска, позволяет устанавливать новые закономерности поведения и свойства экономических объектов.

3. В экономике имеют место два типа связей — детерминированные и стохастические. При разработке математических моделей это необходимо учитывать.

В математике в наибольшей степени разработаны инструменты для описания детерминированных связей, которые в экономике меньше распространены. В последней доминируют стохастические связи, особенно на микроуровне, т. к. поведение микроэкономических систем отличается значительной неопределенностью, что требует создания математического аппарата, учитывающего неопределенность, — это математическая статистика, теория игр, массового обслуживания, стохастическое программирование, нейронные сети и др.

Процессы глобализации, интеграции, интернационализации, внедрение наукоемких технологий, дифференциация потребностей,

повышение турбулентности товарных рынков усугубляют неопределенность в поведении экономических систем, повышают степень рисков, усиливают действие временных лагов. Все это приводит к необходимости использования в экономике современного математического аппарата, позволяющего описывать стохастические связи.

Как показывает практика, классическая математика, изучающая детерминированные (функциональные) связи, имеет ограниченное применение в экономике (детерминированные модели в основном используются на макроуровне: межотраслевой баланс, модели экономического роста). Как уже отмечалось выше, на микроуровне преобладают стохастические связи, нуждающиеся для исследования в специфическом математическом аппарате (это теория вероятности, многомерный статистический анализ, имитационное моделирование, теория игр и др.). В экономике, как на макро-, так и на микроуровне требуется решать задачи оптимального распределения ограниченных ресурсов как в условиях определенности, так и в условиях риска (спрос не определен). Это ставит перед математикой задачи разработки нового математического инструментария.

4. Экономические объекты являются объектами развивающимися, им свойствен динамический эффект, когда причина начинает действовать через определенное время, поэтому при разработке динамических моделей необходимо учитывать временные лаги.

5. При использовании математического аппарата в экономических исследованиях и управлении изучаются не сами объекты, а их математические модели, адекватность которых оценить весьма сложно.

В процессе построения экономико-математической модели осуществляется взаимоприспособление двух систем научных знаний — экономических и математических. Естественно стремление к тому, чтобы получить модель, принадлежащую к хорошо изученному классу математических задач. Это, как правило, удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок. По данному поводу основоположник советской экономико-математической школы академик

В.С. Немчинов писал: «Отображая объективную действительность, модель ее упрощает, отбрасывая все второстепенное, побочное. Однако это упрощение не может быть произвольным и грубым. Адекватность реальной действительности — главное требование, предъявляемое к моделям. Исследователь может прибегнуть к методу построения модели, идя от наблюдения, от практики к теории, а также идя обратно — от абстрактных теоретических соображений к конкретной реальной действительности. В процессе научного исследования модель может работать в двух направлениях — от наблюдения реального мира к теории и обратно. Таким образом, построение модели, с одной стороны, важная ступень к созданию теории, а с другой стороны — одно из средств экспериментального исследования» [7, с. 160].

Между экономикой и математикой существует как прямая, так и обратная связь: создание нового математического аппарата и его применение позволяет экономике по-новому решать существующие задачи. Благодаря математическому моделированию удалось расширить и углубить представление экономистов о способах согласования управленческих решений по нескольким критериям оптимальности, о принципе целеполагания как в исследованиях, так и в практике управления на различных уровнях.

Экономика ставит перед математикой новые задачи и стимулирует поиск методов их решения. Пока потребности экономики в новом математическом аппарате опережают возможности математики (например, ограничены возможности решения задач стохастического и нелинейного программирования и др.). Экономическая практика вызвала появление целых направлений в прикладной математике — программирования, теории игр, нейронных сетей, массового обслуживания, многомерного ста-танализа и др. В свою очередь, на базе математики развились такие специальные методы экономического исследования, как балансовые, сетевые, корреляционно-регрессионный анализ и др.

«Экономист-исследователь, желающий опереться на математические методы, должен, — как считает академик Н.Н. Моисеев, — ориентироваться прежде всего на то, что в математике главное — это не числа, не расчеты, а средства качественного анализа, что математика — это школа и культура мышления. Она может помочь уловить тенденции, предупредить о возможных бифуркациях, объяснить, например, как действия разнообразных индивидов рождают кооперативное поведение, как могут протекать процессы самоорганизации и возникновения стабильных структур, которые сегодня связываются с проявлением стихии, как изучать стихийный хаос» [3, с. 915].

По мнению академика Н.Н. Моисеева, математические модели являются средством познания, а не инструментом, который можно непосредственно использовать для практических нужд. Математические модели, предназначенные для управления, всегда будут содержать много неопределенностей и соответствующие методы их анализа должны быть к тому приспособлены.

Возможность следовать своим стремлениям порождает разнообразные неопределенности, которые существуют на фоне множественности организационных структур. В экономике, как и в биологии, нет «физикоподобных» фундаментальных законов. Но это вовсе не означает беспомощность математики в экономических исследованиях и управлении. Они требуют иной культуры мышления, отличной от традиционного математического языка [4].

Таким образом, экономика и математика находятся в постоянном взаимодействии, взаимно обогащают друг друга. С развитием информационных технологий это взаимодействие шагнуло из области экономических исследований в реальную хозяйственную практику управления современным бизнесом.

На пути широкого применения математики в управлении бизнесом есть ряд трудностей, сдерживающих внедрение разработанных моделей в управление. Информация, как правило, в экономике несовместима, полна ошибок, и даже умышленных искажений. Кроме того, явления в экономике всегда многофакторные.

Первая качественная трудность — отсутствие или ненадежность информации; вторая — многофакторность, разнообразие объектов, организационных форм и т. д.; третья — человек, основное действующее лицо любого процесса, протекающего в обществе. В экономике он производитель и потребитель материальных благ. Его цели, его воля, его возможности, которые к тому же существуют на фоне множественности организационных структур, оказывают влияние на состояние экономических систем и их поведение.

Знание математических методов становится неотъемлемым элементом формирования профессиональных знаний специалистов в области экономики и управления. Эти специалисты являются реальными пользователями аналитических инструментов, разрабатываемых математикой, следовательно, и учить их математике необходимо как пользователей, а не как математиков, разъясняя им смысл математических терминов, их возможное прикладное толкование. При подаче аналитических инструментов нужно говорить о возможной области их применения в экономике (т. е. для решения каких задач они могут быть использованы). Преподавание математики как абстрактной науки, далекой от реальной жизни, утрачивает всякий смысл, т. к. оно не нацеливает студентов на активное участие в этом процессе.

Широкое использование компьютеров в математической обработке информации также требует использования новых подходов в преподавании математики для специалистов экономического профиля, пересмотра, на наш взгляд, в стандартах высшего профессионального образования содержания дисциплины «Математика»: снижения доли классической высшей математики в пользу прикладной. Современные стандарты не включают многие важные разделы прикладной математики: теорию игр, математическую статистику, имитационное моделирование, многомерный статанализ, нейронные сети.

Нам представляется, что в современных условиях в связи с повышением роли прикладной математики в экономике, появлением новых технологий математической обработки информации настоятельной необходимостью является пересмотр содержания курсов по математике, а также используемых образовательных технологий: пользователю важно знать, не как получена математическая формула, а какие связи она описывает, где и при каких условиях в экономике она может быть применена.

Таким образом, для двух совершенно разных наук — экономики и математики характерно тесное взаимодействие. Стремительное изменение предпринимательской среды в ХХ1 в., высокие темпы разви-

тия интеллектуальных технологий, постепенный переход от экономики, базирующейся на материальных ресурсах, к экономике знаний, усиливает это взаимодействие. Для современных социально-экономических систем характерны настолько разветвленные внешние и внутренние связи, определяющие их состояние и поведение, что эффективно управлять ими без использования современного математического аппарата, информационных технологий невозможно. Это подтверждают современные технологии управления бизнесом, применяемые транснациональными корпорациями.

Настоящее применение математики в экономических исследованиях, позволяющее объяснить прошлое, увидеть будущее и оценить последствия своих действий, потребует еще огромных усилий, новых фундаментальных знаний, которых в экономике сейчас пока не хватает.

Литература

1. Канторович Л.В. Оптимальные решения в экономике / Л.В. Канторович, А.Б. Горстко. — М.: Наука, 1972.

2. Канторович Л.В. Вводная лекция / Л.В. Канторович // ЭКО. 1988. № 1.

3. Канторович Л.В. О состоянии и задачах экономической науки / Л.В. Канторович // Экономика и математические методы. 1990. Т. 26, вып. 1.

4. Круглый стол редакции: Развитие экономико-математических методов: итоги, проблемы, перспективы // Экономика и математические методы. 1987. Т. 23, вып. 5.

5. Крылов А.И. Мои воспоминания / А.И. Крылов. — М.; Л., 1942.

6. Макаров В.Л. Экономическое моделирование и его роль в теории и практике / В. Л. Макаров // Экономика и математические методы. 1990. Т. 26, вып. 1.

7. Немчинов В.С. Избранные произведения. Т. 3 / В.С. Немчинов. — М.: Наука, 1969.

© Ливандовская А. Д., 2008 г.