CC BY
10Следствие 2. Глубина, умножения двоичных п-разрядных чисел удовлетворяет, оценкам
DBo(Mn) < 5,14log2п, DB2(Mn) < 4,02log2п. Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 14-01-00671а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
2. Храпченко В.М. О сложности реализации симметрических функций формулами // Матем. заметки. 1972. 11, № 1. 109-120.
3. Храпченко В.М. Некоторые оценки для времени умножения // Проблемы кибернетики. Вып. 33. М.: Наука, 1978. 221-227.
4. Paterson М., Pippenger N., Zwick U. Optimal carry save networks // London Math. Soc. Lect. Notes Ser. Vol. 169: Boolean function complexity. Cambridge: Cambridge University Press, 1992. 174-201.
5. Сергеев И.С. Верхние оценки сложности формул для симметрических булевых функций // Изв. вузов. Математика. 2014. № 5. 38-52.
6. Сергеев И. С. Верхние оценки глубины симметрических булевых функций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 2013. № 4. 39-44.
7. Valiant L.G. Short monotone formulae for the majority function //J. Algorithms. 1984. 5. 363-366. (Рус. пер.: Вэльянт Л. Простые монотонные формулы для функции голосования // Киберн. сб. Вып. 24. М.: Мир, 1987. 97-100.)
8. Sinha R.K., Thathachar J.S. Efficient oblivious branching programs for threshold and Mod functions //J. Comput. and System Sci. 1997. 55, N 3. 373-384.
9. Храпченко В.М. Об асимптотической оценке времени сложения параллельного сумматора // Проблемы кибернетики. Вып. 19. М.: Наука, 1967. 107-120.
Поступила в редакцию 30.09.2015
УДК 539.3:534.1
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ВИНКЛЕРОВСКОГО И ИНЕРЦИОННОГО ТИПОВ
М. Ш. Исраилов1, С.Е. Носов2
Доказана теорема единственности обобщенного решения начально-краевой задачи анизотропной теории упругости при граничных условиях, "не сохраняющих" энергию, а именно условиях импедансного и инерционного типов. В принятом способе доказательства не требуется положительной определенности тензора упругих модулей (ситуация, которая может возникать при решении задач для композитного тела методом осреднения), однако необходимо постулирование закона изменения энергии.
Ключевые слова: анизотропная упругость, динамические задачи, обобщенные решения, единственность.
A uniqueness theorem for the weak solution of an initial-boundary value problem in the anisotropic elasticity theory with the boundary conditions that "don't keep" energy, namely, with the impedance and inertial type conditions is proved. The chosen method of proof does not require the positive definiteness of the elastic constant tensor (the case which may arise when solving the problems by the averaging method for composite materials), but it requires to take the energy variation law clS cl postulate.
Key words: anisotropic elasticity, dynamic problems, weak solutions, uniqueness.
1 Исраилов Мухади Шахидович — доктор физ.-мат. наук, проф., директор НИИ математической физики и сейсмо-дииамики Чечен, гос. ун-та, г. Грозный, e-mail: israilerQhotmail.com.
2 Носов Святослав Евгеньевич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИИ математической физики и сейсмоди-намики Чечен, гос. ун-та, г. Грозный, e-mail: s-e-nQnewmail.ru.
1. Предварительные замечания. Слабая постановка динамических задач теории упругости. То обстоятельство, что в динамических задачах упругости данные и соответственно решения, как правило, не удовлетворяют классическим требованиям гладкости, приводит к необходимости введения обобщенных решений и установления их единственности. Одним из первых таких обобщений явилось введение в рассмотрение для уравнений Ламе в перемещениях решений, дважды непрерывно дифференцируемых почти всюду и имеющих на движущихся поверхностях разрывы вторых производных (слабые волны) или конечные разрывы первых производных (поверхности или волны сильного разрыва). Разрывы первых производных должны удовлетворять определенным кинематическим и динамическим условиям, обеспечивающим сплошность тела и выполнение законов сохранения (массы и количества движения). Метод доказательства единственности решений с такими разрывами, называемых, следуя С.Л. Соболеву, решениями с правильными сильными разрывами, предложен в [1]; он требует детального рассмотрения закона изменения энергии в каждой из подобластей, на которые разбивается тело существующими к текущему моменту времени поверхностями разрыва. Таким способом теоремы единственности доказаны в работах [1, 2] для классических краевых условий ("сохраняющих" энергию), когда на границе тела заданы либо перемещения, либо напряжения, либо их комбинация, и в работе [3] для граничных условий винклеровского и инерционного типов.
Другие подходы к введению и доказательству единственности обобщенных решений предложены в работах [4] и [5, 6]. В [4] метод основан на вариационной формулировке динамической задачи упругости для операторного дифференциального уравнения по времени (эволюционного уравнения). Единственность вариационной задачи устанавливается для решений, дважды непрерывно дифференцируемых по времени и удовлетворяющих неравенству Корна. С учетом гиперболичности исходных уравнений эти требования являются более сильными, чем накладываемые на решение в первом подходе [1].
Подход, развитый в работах [5, 6], связан с переходом к слабой постановке динамической задачи (в виде интегрального равенства) и доказательством единственности в пространстве функций, имеющих почти всюду в пространственно-временной области Ух [0, Т] интегрируемые с квадратом первые производные (V — область, занимаемая телом в начальный или любой текущий момент времени £ € [0,Т], что равносильно предположению малости перемещений тела). Для таких обобщенных решений существует интеграл энергии, однако из интегрального равенства не может быть выведен закон изменения энергии, как в случае классических решений или решений с правильными сильными разрывами [7]. Другой особенностью подхода является то, что не требуется положительной определенности и вообще знакоопределенности квадратичной формы, построенной на тензоре упругих констант (тензоре анизотропии). Это обстоятельство позволяет применять результаты к динамическим задачам, возникающим при осреднении в механике композитов. В настоящей работе указанный подход используется для доказательства теоремы единственности при граничных условиях винклеровского и инерционного типов.
Перейдем к постановке задачи. Перемещения щ (г = 1,2, 3) удовлетворяют динамическим уравнениям Ламе (здесь и далее по повторяющимся два раза индексам производится суммирование)
в области V, ограниченной гладкой поверхностью Е = Е^Ег, на которой заданы граничные условия
В (1)-(3) точкой обозначена производная по времени а индексом после запятой — производная по соответствующей пространственной координате, п есть внешняя нормаль к Е. Предполагается, что тензоры упругих и инерционных податливостей в (2) и (3) симметричны и построенные на них квадратичные формы положительно определены, т.е.
(1)
+ = /г, X € Е1;
<7у(х, + %й,(х, = сл, X € Е2.
(2)
(3)
kij — kji, щ — Яjíl k'íj£tí£tj > 0, ^ / О-
(4)
Кроме того, должны выполняться следующие начальные условия:
«г(х, 0) = -и°(х), йг(х, 0) = ^°(х), «¿¿(х, 0) = «¿¿(х), X € V.
(5)
Ограничимся случаем конечного тела V, однако полученные ниже результаты справедливы и для неограниченного тела, если предположить, что все данные задачи /¿, д^ в каждый конечный момент времени £ € [0,Т], а также г>°(х)) являются функциями с ограниченными носителями,
т.е. они равны тождественно нулю вне сферы некоторого радиуса.
Замечание 1. Граничные условия (2) и (3) можно обобщить так, что при этом все дальнейшие рассмотрения останутся в силе: можно в каждой точке границы в одном направлении (например, в направлении нормали) задать условия типа (2) или (3), а в перпендикулярных к нему направлениях (касательных к Е) — перемещения или напряжения и наоборот.
Физический смысл введенных граничных условий более очевиден как раз для указанных в замечании 1 обобщений. Так, задание условий (2) по направлению нормали к границе и равенство нулю перемещений в касательных направлениях суть условия винклеровского основания, а отсутствие нормального смещения (или напряжения) и выполнение условий (2) в касательных направлениях может интерпретироваться как наличие проскальзывания с сухим трением (такие условия ставятся, например, как условия взаимодействия с грунтом на поверхности подземного трубопровода). Краевыми условиями (3) можно моделировать напыление тяжелыми частицами поверхности тонких тел (мембран, оболочек) или, скажем, слой ила при решении задач отражения сейсмических или взрывных волн от дна реки или водоема.
Если ввести обычным образом энергию тела по формуле
£(£) = \ J (рйпЩ + С^к1{х)ик>1Щ^) (IV, (6)
У
то для классических решений и решений с правильными сильными разрывами из дифференциальных уравнений (1) и граничных условий (2) с помощью известной процедуры [7] (умножения каждого из уравнений (1) на соответствующую скорость щ, суммирования их и интегрирования результата по области V) легко получить закон об изменении энергии тела в дифференциальной форме
= У ~ кгЗиз) + J (9г - щщ) Щ(1Т, + ! рРгЩ (IV. (7)
£1 £2 V
Интегрируя (7) по £ с учетом свойств симметрии из (4), приходим при ^ = = д^ = 0 к следующей интегральной форме закона изменения энергии:
т = (8)
£1 £2
где £(0) есть энергия тела в начальный момент времени, вычисляемая путем подстановки начальных перемещений и скоростей (5) в формулу (6). Ввиду положительной определенности тензоров к^ и щ (будем так говорить, когда построенные на них квадратичные формы (4) положительно определены), согласно закону (8), при граничных условиях (2) и (3) энергия тела с течением времени уменьшается. Иными словами, однородные граничные условия типа (2) и (3) "рассеивают" энергию, в отличие от классических граничных условий с заданными перемещениями или напряжениями, для которых имеет место "сохранение" энергии.
Перейдем от постановки (1)-(5) к слабой постановке динамической задачи теории упругости и введем обобщенные решения и(х, ¿), непрерывные в пространственно-временной области V х [0,Т] (вплоть до границы) и обладающие почти всюду в V х [0, Т] интегрируемыми с квадратом первыми производными. Множество таких вектор-функций обозначим через И, а через О — множество пробных вектор-функций € С°° {V х [0, Т]}, обращающихся в нуль при £ = 0. Тогда известным способом [6, 7], умножая векторный аналог уравнений (1) скалярно на и;(х, ¿), интегрируя результат по области V и времени £ и перебрасывая одну производную на пробную функцию (интегрированием по частям по времени и использованием теоремы Грина для интегралов по пространственной области V), приходим с учетом граничных условий (2), (3) к следующему интегральному соотношению:
I
С (и, Ш) = J (ЮЛЩ (IV - ! J {рШгЩ - (IV(И =
У О У
= J + J ! {дг - щй^Шг (Е(М + ! J pFiШi (IV(И.
О £1 о Е2 О У
Уравнение (9) необходимо дополнить начальными условиями (5).
Функция и(х, ¿) € И, которая для любой € О и всех t € [0, Т] удовлетворяет интеграль-
ному соотношению (9) и начальным условиям (5), называется обобщенным решением сформулированной выше динамической задачи упругости.
2. Единственность обобщенного решения. Для обобщенных решений из И также может быть введен интеграл энергии (6), однако в данном случае, как отмечено в [7], из интегрального соотношения (9) не может быть получен в виде следствия закон изменения энергии в форме (7) (или иной форме). Сказанное приводит к необходимости, как и в [5, 6], постулировать выполнение закона энергии (или эквивалентного утверждения) для обеспечения единственности таких решений.
Теорема. Пусть выполнены следующие условия: а) функции р(х); С^ы^) ограничены и интегрируемы, а функция и°(х) непрерывна и дифференцируема в области V; Ь) функции /¿; дFi интегрируемы в пространственно-временной области V х[0,Т], а начальные условия таковы, что
/ и^и^йУ + / (IV < сю. Тогда существует единственное решение и(х, ¿) € И интегрального У У
соотношения (9), удовлетворяющее начальным, условиям (5) и закону изменения энергии (7).
Доказательство. Предположим, что существуют два решения их и иг уравнения (9), удовлетворяющие условиям теоремы. Тогда их разность = и1 — удовлетворяет следующей задаче:
С, (и, ш) = — У J кц'ш^ (1Т(И — J У r|ijWjOJi (1Т dt, (10)
0 Ех 0 Е2
ги*(х,0)=0, г£>г(х,0)=0 (11)
п закону (8) с £(0) = 0 в силу нулевых начальных условий (11), т.е. соотношению
2£(£) = J (рщщ + Сцы'Мщ'ш^) (IV = - ! кг^^г (1Т - J щщщ (ГГ. (12)
У £1 £2
Запишем теперь уравнение (10), полагая в нем ил = ии^ (что можно сделать, поскольку в операторе С (и, со) содержатся только первые производные от пробной функции, и, кроме того, \у(х,0) = 0). Тогда, интегрируя по частям интеграл по в правой части, имеем
I
J рИЗ^г (IV + J щиз^з (1Т = J J ((ШЛЩ ~ Сцыи)^и)к,1) (IV(И +
(13)
I J J T]ijWiWj dT dt — J J kijWiWj dT dt. 0 S2 о El
Рассмотрим неотрицательную функцию
F = J pWiWi dV + J rjijWiWj dT (14)
У s2
и докажем, что F(t) = 0 для всех t. Предположим, что, напротив, существует интервал 0 < t\ ^ t ^ ¿2 < Т, на котором J- > 0. Тогда на этом интервале Inj-" является выпуклой вниз функцией. Действительно, вычислив ее производные и воспользовавшись равенствами (13) и (12), найдем
F2 ln F = F ~ ) = 4 ' P^WidV + J KijWiWj dT I I J pwiWi dV + J rjijWiWj dT
s2 2 S2
pWiWi dV + J rjijWiWj dT | ^ ^ 0
s2
в силу неравенства Коши-Буняковского-Шварца. Следовательно, функция In J- выпукла вниз и ее график на отрезке [ti, ¿2] лежит ниже секущей, т.е. InF ^ + t^-ti ^-^""(¿г)-
Отсюда получаем
F < [Hh)}1^ ■ [Hh)]1^-
Поскольку J-(t\) = 0 (по крайней мере, когда t\ = 0), из последнего неравенства вытекает, что J~(t) = 0 для t € [¿1,^2]) а значит, и при всех t. Тогда из (14) в силу непрерывности w следует, что w(x,t) = 0 в области V х [0,Т], и теорема единственности доказана.
Замечание 2. Приведенное доказательство, будучи формально верным, оставляет неудовлетворенность, поскольку использует вытекающее из закона изменения энергии (при данных граничных условиях) "нефизичное" равенство (12), означающее, что для полностью однородной задачи энергия тела, равная нулю в начальный момент времени, может становиться отрицательной с течением времени. Однако равенство (12) можно считать физичным, когда обе его части равны нулю. Если в соответствии с этим в условия теоремы добавить требование, чтобы энергия разности двух решений, равная нулю в начальный момент времени, оставалась равной нулю и в последующие моменты времени, то доказательство единственности можно проводить по той же схеме, принимая в качестве J-(t) функцию, равную первому слагаемому в (14).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-08-02425).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Петрашень И. Г. Основы математической теории распространения упругих волн // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып. XVIII. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978.
2. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.
3. Носов С.Е. Теорема единственности решения задачи динамической теории упругости при граничных условиях винклеровского и инерционного типов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 5. 66^70.
4. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике. М.: Наука, 1980.
5. Knops R.J., Payne L. Е. Uniqueness in classical elastodynamics // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1968. 24. 349-355.
6. Knops R.J., Payne L. E. Uniqueness theorems in linear elasticity. N.Y.: Springer, 1971.
7. Иераилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. М.: Изд-во МГУ, 1992.
Поступила в редакцию 23.01.2015
УДК 539.374
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ РАСТЕКАНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ НА ПЛОСКОСТИ
В. А. Кадымов1, E.H. Сосенушкин2, Е. А. Яновская3
1
Рассматривается течение тонкого пластического слоя, заключенного между двумя сближающимися по нормали плоскостями твердых плит. Исследована кинематика процесса растекания пластического слоя и выведено эволюционное уравнение, определяющее свободную границу растекающейся области. Представлены классы решений подобия этого уравнения. Показано, что эволюционное уравнение сводится к частному случаю нелинейного уравнения теплопроводности. Выписаны новые точные частные решения эволюционного уравнения, полученные с помощью метода разделения переменных и метода автомодельных преобразований.
1 Кадымов Вагид Ахмедович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной математики ФГВОУ ИВО МГГЭУ, e-mail: vkadymovQyandex.ru.
2 Сосенушкин Евгений Николаевич — доктор техн. наук, проф. каф. систем пластического деформирования МГТУ "СТАНКИН", e-mail: senQstankin.ru.
2 Яновская Елена Александровна — канд. техн. наук, доцент каф. прикладной математики МГТУ "СТАНКИН", e-mail: elena_yanovskayaQbk.ru.
