CC BY
18к(х,у) ^ [2тт(и(х)) /(Иат(С).
V х€У /
Рассмотрим снова общую формулу для кривизны Риччи (1). В силу определения функции и (х) справедлива следующая оценка:
¿¿у Ек' • у) > ¿¿у £ '= и{х)'
где к*, = +1, если (1(г,х) = ттх^х ё(ж, г), и к*, = — 1 для остальных г ^ х. Подставим ее в цепочку неравенств:
> ¿и+> фЬ (2т'п(,,(х)'г/м)) >
Точность оценок. Пусть С — дерево с постоянной весовой функцией. Оценка снизу
достигается и совпадает с формулой из теоремы 1 для вершин дерева С степени 1, расстояние между которыми равно сИат(Сг). Оценка сверху к(х,у) ^ 1 достигается и совпадает с оценкой из теоремы 1 для вершин из усов взвешенных деревьев с постоянной весовой функцией, равной 1 на каждом ребре. Теорема доказана.
Автор выражает благодарность А. О. Иванову и А. А. Тужилину за постановку задачи и помощь в работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-581.2014.1 и РФФИ, грант РФФИ № 13-01-00664а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bakry D., Emery M. Diffusions hypercontractives // Lect. Notes Math. 1985. 1123. 177-206.
2. Ollivier Y. Ricci curvature of Markov chains on metric spaces //J. Funct. Anal. 2009. 256, N 3. 810-864.
3. Lin Y., Lu L.Y., Yau S.T. Ricci curvature of graphs // Tohoku Math. J. 2011. 63. 605-627.
4. Рублева О. Кривизна Риччи взвешенных деревьев // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 6. 52-54.
Поступила в редакцию 02.12.2015
УДК 519.714
О СЛОЖНОСТИ И ГЛУБИНЕ ФОРМУЛ ДЛЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
И. С. Сергеев1
Предложен новый прием реализации формулами оператора подсчета количества единиц в булевом наборе, основанный на приближенном вычислении суммы. С его помощью неконструктивно получены новые верхние оценки сложности и глубины формул для произвольных и некоторых конкретных симметрических функций над базисом В2 всех двухместных булевых функций и над стандартным базисом Во = {A, V,-}. В частности, глубина умножения n-разрядных двоичных чисел оценивается сверху асимптотически как 4, 02 log2 п над базисом В2 и как 5,14 log2 п над базисом Во-
1 Сергеев Игорь Сергеевич — канд. физ.-мат. наук, нач. лаб. ФГУИ «НИИ "Квант"», e-mail: issergQgmail.com.
Ключевые слова: булевы формулы, сложность формул, глубина, симметрические булевы функции, умножение.
A new approach for implementation of the counting function for a Boolean set is proposed. The approach is based on approximate calculation of sums. Using this approach, new upper bounds for the size and depth of symmetric functions over the basis B2 of all dyadic functions and over the standard basis Bo = {Л, V,-} were non-constructively obtained. In particular, the depth of multiplication of n—bit binary numbers is asymptotically estimated from above by 4.02 log2 n relative to the basis B2 and by 5.14 log2 n relative to the basis Bo-
Key words: Boolean formulae, formula size, depth, symmetric Boolean functions, multiplication.
Введение. В работе рассматриваются сложность и глубина реализации симметрических булевых функций формулами над базисом 1>2 всех двухместных булевых функций и над стандартным базисом Во. Необходимые понятия сложности и глубины можно найти в [1]. Введем обозначения Lb(F) и Db{F) соответственно для сложности и глубины реализации булева оператора F формулами над базисом В.
Обозначим через Сп(х\,..., хп) = (Сп>т-..., Сп,о) булев (п, т)-оператор, вычисляющий арифметическую сумму а = х\ +.. .+хп булевых переменных х\,... ,хп, где m = |"log2(^ + l)]. Обозначим через Sn класс симметрических булевых функций п переменных, через Мп булев (2п, 2п)-оператор умножения n-разрядных двоичных чисел.
Первые аккуратные оценки сложности и глубины оператора (,. а также класса симметрических функций были получены В. М. Храпченко [2, 3] (для базиса Во). Серия работ разных авторов 1970-х годов была посвящена уточнениям оценок в базисе 1?2- Общий подход к доказательству верхних оценок сложности и глубины был предложен в [4], а именно был установлен оптимальный способ размещения элементарных строительных блоков (компрессоров2), составляющих формулы. Подробный обзор результатов приведен в [4, 5]3.
Наилучшие к настоящему моменту оценки глубины и сложности формул для оператора Сп и класса Sn получены в [5, 6] за счет вычисления суммы а по двум модулям 2к и Зг (где 2к • Зг > п) при помощи подходящих компрессоров — двоичного и троичного. Эффективность способа обусловлена тем, что самые сложные для метода компрессоров разряды суммы — старшие — вычисляются практически "бесплатно" из младших при помощи Китайской теоремы об остатках.
В настоящей работе предлагается еще один прием, упрощающий формулы. Он состоит в дополнительном приближенном вычислении суммы а. Отрезок [0, п] накрывается интервалами длины Т. Значение а определяется по номеру интервала и остаткам a mod 2к, a mod Зг при условии 2к ■ Зг ^ Т. Размер формул сокращается благодаря тому, что процесс вычисления суммы компрессорами останавливается раньше (когда найденных разрядов достаточно для восстановления числа по модулю Т).
Для вычисления номера интервала в настоящей работе применяется вероятностная процедура, предложенная Л. Вэльянтом [7], поэтому полученные оценки оказываются неконструктивными.
Отметим, что приближенное суммирование используется в широком спектре задач теории сложности. Например, идея локализации значений суммы в интервалах играет ключевую роль в [8] при вычислении пороговых монотонных функций контактными схемами.
Формулы для приближенного суммирования. Обозначим через Фгг' частично определенную4 пороговую функцию п переменных с порогом к и интервалом неопределенности радиуса t:
v%\x1,...,xn) = l ^Xi^k + t,
4>%\х1,...,хп) =0 ^Xi^k-t.
Как следует из [7], такие функции реализуются сравнительно простыми монотонными формулами. Обозначим а =
2 Компрессор — это формула, преобразующая несколько битов в меньшее число битов с той же суммой.
3В качестве иллюстрации приведем эволюцию оценок формульной сложности оператора Сп в стандартном базисе: Lb0(G„) = 0(те4,62) [2], Ьв0(С„) = 0(п4'67) [4], Ьв0(С„) = 0(те4,47) [5]. В настоящей работе устанавливается оценка WCn) = 0(п3>91).
4Под частично определенной булевой функцией здесь и далее понимается произвольная булева функция, имеющая предписанные значения на области определения.
Лемма 1 [7]. Пусть заданы, частично определенная булева функция / от п переменных и вероятностное распределение Ф на множестве формул этих же переменных в базисе Вм = {V, А}; такое, что для любого набора х € /-1(0) выполнено неравенство
Р(F(x) = 1 | F € Ф) < а -е,
а для любого набора х € /-1(1) выполнено неравенство
Р (F(x) = 0 | F € Ф) ^ 1 -а-е
при некотором е > 0. Тогда DsM(f) ^ 2 (\ogAa(l/e) + log2 п) + 0{ 1).
Зададим вероятностное распределение Ф примерно так же, как в [7]:
P(F = хг) = 1 < г < п, P(F = l) = a-^~, P(F = 0) = \ - а + А.
3 п ?т 3 3 п
Легко проверяются неравенства
Р (f{x) = 1 \ ^ k ^ Р (F^ = 0 \j2Xi ^ k + t) ^ 1 ~
Таким образом, получаем
Следствие 1. Справедливо неравенство
^Бм(Ф^) < 2 (log6_2V-5(n/t) +log2n) +0(1).
Пусть п = {2r — 1)(2i — 1) — 1. Разобьем отрезок [0,п] на 2Г — 1 интервалов /j = [(j — l)(2i —
1), j(2t — 1) — 1]. Пусть Xj = Фn2t t't(x) — пороговая функция с интервалом неопределенности Ij. Положим Х2Г = 0.
Номер интервала J = (Jr-i, ■ ■ ■, Jo), в который попадает арифметическая сумма булевых переменных а = Х\ + ... + хп, можно вычислить из Xj с точностью до ±1, например, следующим
образом. _
Величина gj = Xj_\ ■ Xj+\ имеет смысл признака попадания суммы в окрестность интервала Ij. Действительно, если а € Ij, то Qj = 1; если gj = 1, то а € Ij- \ U Ij U Ij+i-Положим
2Г —г—1 2r~i_1
Zi = \/ X2i+ik_2i ■ X2i+ik, Gi = \J g2ik, г = 2,..., r — 1. k=1 k=1
Функция Zi имеет смысл предположительного значения разряда Jf, ее область неопределенности — интервалы I2ik. функция Gi имеет смысл попадания а в окрестность области неопределенности функции Zi. Определим
Jr-1 = Gr-1 V Zr-i, Ji = Gi+\{Gi V Zi), г = 2,... ,r — 2, J\ = G2, Jo = 0,
что означает, что при попадании в область неопределенности номер заканчивается на 10 ... 0. Теперь несложно проверяется
Лемма 2. Оператор J удовлетворяет условию а € Ij-i U/jU /j+ь Кроме того, для глубины компонент оператора J как функций от переменных Xj справедлива оценка DB0{ Ji) ^ r — i + 0( 1).
Доказательство. Если для истинного номера J* интервала, которому принадлежит а, выполнено сравнение J* = 2 mod 4, то этот номер точно вычисляется функциями Ji (поскольку Gi = 0 при всех г). Если J* = 0 mod 4, то номер также вычисляется точно: интервал Ij* фиксируется условием Gi = 1, G^i = 0, где число i таково, что J* = 2г mod 2г+1. Если J* нечетно, то J есть номер одного из соседних интервалов, какого именно — зависит от того, выполнялось ли условие Gi = 1 при некотором г.
Оценка глубины непосредственно вытекает из вида применяемых формул. Лемма доказана. Для оценки сложности построенных формул используем тривиально выполняемое в бинарных базисах В соотношение Ls(f) ^
/3\
Формулы для симметрических булевых функций. Обозначим через Сп (х\,... ,хп) = (3) (3) \
С'п m_i, ■ ■ ■, q J, т = [~log3(n + 1)], булев (п, 2т)-оператор вычисления арифметической суммы
(з)
булевых переменных х\,... ,хп в троичной системе счисления. Компонента C;ni является 2-битным кодом соответствующей цифры из троичной записи числа.
Через Jfn(x i,...,xn) = (Jfnr_l,..., </¿0)> r = 1°§2 + l) > обозначим построенный выше
(п, г)-оператор вычисления номера интервала, в котором находится арифметическая сумма а переменных.
Лемма 3. Пусть 2к • Зг ^ 6t — 3. Тогда для любого полного конечного базиса В справедливы оценки
LB(Cn) < 2°(log2logra) • LB Cn>k-i, ..., Сщо, cfj_v ..., eg) , DB(Cn) < DB (4, Cn,k-i,..., Cn, o, Cfj_v ..., eg) + О (log2 logn) .
Доказательство. При помощи Китайской теоремы об остатках находится остаток a mod 2k -Зг, затем находится единственное число в интервале Ij-iUljUlj^i, где J = J¿, имеющее такой остаток. Вычисление состоит из нескольких простых арифметических действий с log n-разрядными числами (см. [5, 6]). Лемма доказана.
При реализации симметрических функций в качестве кода аргумента используем номер интервала, разряды числа <т2 = a mod 2k и разряды числа аз = a mod Зг, предварительно переписанного в системе счисления с основанием Зр, где р = В (log п/ log log п), и представлением цифр двоичными числами (подробнее см. в [5,6]). Обозначим компоненты оператора, вычисляющего а в указанной системе счисления, через C,ni .
Обозначим через Rn(xi,..., хп) = (Кп>п-\,..., Rn,о) оператор упорядочения набора из п чисел: Rn,n-1 ^ • • • Rn,0-
Лемма 4. Пусть 2к ■ 3lp ^ 6t — 3, v = |~plog2 3], г = log2 + l) , s = к + ul + г. Пусть В € {Bq, В2}. Положим
(Ls-1, • • •, Lo) = Rs (yLB(J^r_1), • • • > LB(Jnfl), LB(Cn,k- 1), ■ ■ ■, LB(Cn,0),
ЫСХ vl-1
(Д_ь ...,D0) = Í^BGC-i), • • • ,DB(Jl0),DB(Cn,k-i),... • • .,DB(C^)).
Тогда
LB(Sn) < 2°(log21о§га) ,
DB{Sn) < max {А + s - i} + O (log2 logn) .
Доказательство. Симметрическая функция реализуется методом каскадов (см. [1]) исходя из описанного выше кода. Лемма доказана.
Применяем леммы 2-4, следствие 1 и методы [5,6] для реализации младших разрядов операторов Сп, CÍ3). С помощью [5,6] доказывается Теорема. Имеют место оценки5;
LBo(Cn) = 0(п3'91), ЬВ2(Сп) = 0(п2'84), Dbо (Сп) <4,14 log2 п, Db2 (Сп) < 3,02 log2 п,
LBo(Sn) = 0(п4'01), LB2(Sn) = 0(п2'95), DBo(Sn) < 4,24log2 п, DB2(Sn) < 3,1 log2 п. Как следствие оценки, сформулированные
для С/т,, верны и для некоторых конкретных симметрических функций (пороговых функций, MOD-функций и пр.). Поскольку DB(Mn) < DB(Cn) + log2n [9] в случае В € {Bq, В2}, то справедливо следующее утверждение.
э Символ < означает асимптотическое неравенство.
Следствие 2. Глубина, умножения двоичных п-разрядных чисел удовлетворяет, оценкам,
DBo(Mn) < 5,14log2п, DB2(Mn) < 4,02log2п. Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 14-01-00671а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
2. Храпченко В.М. О сложности реализации симметрических функций формулами // Матем. заметки. 1972. 11, № 1. 109-120.
3. Храпченко В.М. Некоторые оценки для времени умножения // Проблемы кибернетики. Вып. 33. М.: Наука, 1978. 221-227.
4. Paterson М., Pippenger N., Zwick U. Optimal carry save networks // London Math. Soc. Lect. Notes Ser. Vol. 169: Boolean function complexity. Cambridge: Cambridge University Press, 1992. 174-201.
5. Сергеев И.С. Верхние оценки сложности формул для симметрических булевых функций // Изв. вузов. Математика. 2014. № 5. 38-52.
6. Сергеев И. С. Верхние оценки глубины симметрических булевых функций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 2013. № 4. 39-44.
7. Valiant L.G. Short monotone formulae for the majority function //J. Algorithms. 1984. 5. 363-366. (Рус. пер.: Вэльянт Л. Простые монотонные формулы для функции голосования // Киберн. сб. Вып. 24. М.: Мир, 1987. 97-100.)
8. Sinha R.K., Thathachar J.S. Efficient oblivious branching programs for threshold and Mod functions //J. Comput. and System Sci. 1997. 55, N 3. 373-384.
9. Храпченко В.М. Об асимптотической оценке времени сложения параллельного сумматора // Проблемы кибернетики. Вып. 19. М.: Наука, 1967. 107-120.
Поступила в редакцию 30.09.2015
УДК 539.3:534.1
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ВИНКЛЕРОВСКОГО И ИНЕРЦИОННОГО ТИПОВ
М. Ш. Исраилов1, С.Е. Носов2
Доказана теорема единственности обобщенного решения начально-краевой задачи анизотропной теории упругости при граничных условиях, "не сохраняющих" энергию, а именно условиях импедансного и инерционного типов. В принятом способе доказательства не требуется положительной определенности тензора упругих модулей (ситуация, которая может возникать при решении задач для композитного тела методом осреднения), однако необходимо постулирование закона изменения энергии.
Ключевые слова: анизотропная упругость, динамические задачи, обобщенные решения, единственность.
A uniqueness theorem for the weak solution of an initial-boundary value problem in the anisotropic elasticity theory with the boundary conditions that "don't keep" energy, namely, with the impedance and inertial type conditions is proved. The chosen method of proof does not require the positive definiteness of the elastic constant tensor (the case which may arise when solving the problems by the averaging method for composite materials), but it requires to take the energy variation law clS cl postulate.
Key words: anisotropic elasticity, dynamic problems, weak solutions, uniqueness.
1 Исраилов Мухади Шахидович — доктор физ.-мат. наук, проф., директор НИИ математической физики и сейсмо-динамики Чечен, гос. ун-та, г. Грозный, e-mail: israilerQhotmail.com.
2 Носов Святослав Евгеньевич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИИ математической физики и сейсмоди-намики Чечен, гос. ун-та, г. Грозный, e-mail: s-e-nQnewmail.ru.
