CC BY
103
УДК 536.2.022
ДВУХТЕМПЕРАТУРНАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ЧЕРЕЗ ОГРАЖДАЮЩИЕ КОНСТРУКЦИИ
ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ
А.А.Романова1, А.В.Коцкович2, М.В.Хохлова3
13
- Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, 197198, Санкт-Петербург, ул. Ждановская, 13; 1 Санкт-Петербургский государственный экономический университет (СПбГЭУ),
191023, Санкт-Петербург, улица Садовая, 21
Предложено введение двух температур при описании механизмов теплопроводности, что позволяет сблизить расчетные и экспериментальные тепловые поля в случае нестационарной теплопроводности.
Ключевые слова: теплопроводность, двухтемпературная модель, уравнение теплопроводности.
THE TWO-TEMPERATURE MODEL OF HEAT CONDUCTION PROCESS THROUGH ENCLOSING STRUCTURES OF BUILDINGS
A.A.Romanova, A.V. Kotckovich, M.V. Khokhlova
Military Space Academy A.F.Mozhayskii, 197198, St.Petersburg, street Zhdanovskaya, 13 Saint-Petersburg State University of Economics (SPbGEU), 191023, St.Petersburg, street Sadovaya, 21 The introduction of two temperatures in the description of the thermal conductivity mechanism is proposed. That allows to bring together computational and experimental thermal field in the case of non-stationary heat conduction.
Keywords: thermal conductivity, two-temperature model, equation of heat conduction.
В процессе нестационарного теплообмена ограждающих конструкций зданий и сооружений, содержащих теплопроводные включения, возникает ряд задач, не решаемых классическими методами теории теплопроводности [1-4]. Примером такой системы может являться металлическое включение. В этой системе в нестационарном случае температура электронного газа может существенно отличаться от температуры решетки. Этот факт и объясняет высокую теплопроводность металлов. Другим наглядным примером может являться прохождение теплового электромагнитного излучения, характеризуемого своей температурой Ти, через полупрозрачные ограждения, при котором происходит обмен энергией между решеточной структурой и излучением. Однако, это не единственная проблема классической теории теплопроводности, классическое уравнение теплопроводности в некоторых случаях «перестает» точно описывать теплоперенос. Исправлению
уравнения теплопроводности посвящено достаточно много работ. Первым, кто предложил использовать уравнение Фурье с демпфером (чтобы избежать парадокса с бесконечной скоростью распространения тепла, присущего всем уравнениям параболического типа) был Дж. Максвелл [5]. Позднее В.А. Фок [6] впервые рассмотрел гиперболическое уравнение для передачи энергии. Позднее Каттано [7] подробно изучил данный вопрос. Для быстро протекающих тепловых процессов (типа тепловых ударов) вариант волновой теории предложен Г.А. Гениевым [8].
Учет запаздывания приводит к уравнениям вида
Тр ^ + я Т ; (1)
р д
Э2т дТ
Тр + дТ = div [ От gradT]. (2)
1Романова Алла Александровна - кандидат технических наук, доцент кафедры физики ВКА им.А.Ф.Можайского, доцент кафедры инженерных дисциплин СПбГЭУ тел.: +7(911) 211 34 26, e-mail: romallaa @yandex. ru;
2Коцкович Алла Владимировна - старший преподаватель кафедры физики ВКА им. А.Ф. Можайского, тел. +7(911) 232 06 25, e-mail: alla_kotskovich_@mail.ru;
ъХохлова Марина Владимировна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры физики ВКА им. А.Ф. Можайского, тел. +79119395174, e-mail: mvxox@mail.ru
А.А.Романова, А.В.Коцкович, М.ВХохлова
Здесь Т(х,у,г) - искомое поле температур; д - плотность теплового потока; X - ко-
эффициент теплопроводности; аТ =
СуР
1 эф.. ЭФ., г ,
^ =- " а,, + а,2 + ю,2 ]ф^1 +...
С, дг
дх
- ко-
... + апф^ + а2,ф^2 + «21ф^2;
1 дФ^_ дФ^,
эффициент диффузии тепла (коэффициент температуропроводности); су и р - удельная теплоемкость и плотность материала соответственно; тр - время релаксации.
Уравнение типа (2) описывает большинство явлений переноса. Теоретические оценки показывают, что время релаксации Тр для большинства твердых тел весьма невелико, хотя эмпирически введенное Тр исправляет нестационарные тепловые поля.
Следует отметить, что даже для однородной гомогенной среды имеется не один механизм передачи тепла. Переносимую часть внутренней энергии можно трактовать как неравновесный фононный газ, диффундирующий в общем случае по разным механизмам (в твердых телах существует не менее двух мод колебаний - продольные и поперечные волны).
Процесс передачи тепла с позиций современной физики можно рассматривать как диффузию аддитивной скалярной величины тепловой энергии с внутренней структурой. Каждый резервуар энергии (различные степени свободы, например, колебательная, вращательная и т.д.) в соответствии с общей теорией переноса [9-11] будем называть каналами распространения, и приписывать свою квазиравновесную локальную температуру.
Ограничимся рассмотрением прохождения тепла через плоскую ограждающую конструкцию при наличии двух механизмов теплопроводности, т.е. двух подсистем, каждая из которых характеризуется своей температурой Т, и Т2. Примером такой системы может служить металлическое включение, состоящее из электронов с температурой Те и атомной решетки с температурой Т8.
Пусть вдоль оси ОХ (одна обобщенная координата) распространяется тепловая энергия с общей плотностью
и (х,г) = и, (х,г) + и2 (х,г), со скоростями с, с
с2 соответственно. Так как энергия распространяется как по оси ОХ, так и в противоположном направлении, то плотности энергии будем приписывать символы ^ и ^. Составим четыре уравнения баланса энергии.
С, дг дх
..."[а11 + а12 +Ю12 ]Ф^1 + ... ... + апф^1 + а2ф^2 +ю2,ф^2;
1 дФ_2 _ дФ_2
С2 дг
дх
... [ а22 + а21 +®21 ]Ф-2 + ...
... + а21ф^ + аф, +Ю,2Ф^1;
(3)
1 дФ^ _ дФ^2
С2 дг дх
... - [ а22 + а21 + ®21 ]Ф^2 +...
... + а21ф^2 + а,2ф^1 + .
Здесь Фъ, = С,и ъ,, Фъ 2 = С,и ъ 2 - токи тепла на каждом из двух каналов, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлении оси 0X0
Матрица показателей рассеяния апк описывает диффузию тепловой энергии. Показатели прохождения Ю12 и Ю21 - вероятность перехода на единицу длины без изменения направления распространения из одного резервуара энергии в другой.
Введем плотности потоков тепла на каждом из двух каналов соответственно
д,,2 (х,г) = Ф^,2 (х,г) - Ф^,2 (х,г). (4)
Аналогично плотность энергии на каждом канале будет равна
и 1,2 = сС- [Ф^1,2 (х,г) + Ф^1,2 (х,г)\. (5)
С1,2
Почленно складывая и вычитая уравнения в системе (3) с учетом соотношений (4) и (5), получим следующую систему уравнений теплопроводности:
= "(а12 + Ю12 ) 71и1 +(а21 + Ю21 ) С2и2';
= _^дХГ ~(а, +Ю21) С2и 2 +(а,2 +ю,2) С1и1;
(6)
1 дд, „ ди, Го , ч-|
С "д"=~С,~Х - [ 11 а,2+ю12)] д,-... ...-( а21 -ю21)
(а
1 дд, _ ди2 г_ , ч-|
= -С2~--[2а22 +(а21 + Ю21)] Ч2 - ...
С2 дг
дх
... -(а12 -Ю12 ) Ч,. (7)
Система уравнений (6) представляет собой баланс энергии с учетом перехода тепла с
Двухтемпературная модель процесса теплопроводности через ограждающие конструкции..,
одного канала распространения на другой. Система уравнений (7) является обобщенным законом Фурье и в случае наличия только одного канала распространения переходит в гиперболическое уравнение теплопроводности (1).
Так как время релаксации у существующих конструкционных материалов невелико, то систему уравнений (7) можно переписать в виде
Т/тг ^ ^
, Ц^х г. аТ2 .
Я1 = —;--К
Цх
42
Цх
_/Тт ^ 1ГТ1 ^
Я2 = -К2'--К
(8)
Цх 22 Цх
что является естественным обобщением закона Фурье. Матрицу X в выражении (8) будем называть матрицей коэффициентов теплопроводности. Матричные элементы матрицы теплопроводности, используя уравнение (7) можно легко выразить через введенные выше показатели рассеяния и прохождения, а именно:
2а„ + (а01 + с,) К =_22_^_о С •
К11 . с1г 1С1 •
А
К
С21 а21
с2р2С2; А
2а11 +(а12 + С12 ) А
(9)
с2Р2С2 •
К _с р С •
12 А 1 1 1
где
А = 4а11а22 + 2 [а11 ( а21 + С21 ) + -... +а22 ( а12 + «12 ) + ( ®21а12 + 2 )]
- определитель системы (7); С12 и р12 - теплоемкость и плотность для первой и второй подсистемы соответственно. Для металлов это плотность и теплоемкость электронного газа и решетки соответственно - известные величины для большинства металлов и сплавов. В состоянии равновесия с учетом принципа детального равновесия имеем:
а12с1Р1С1 = а21с2Р2С2' ®12с1Р1С1 = ®21с2Р2С2 •
(10)
Из соотношения (10) вытекает следующее следствие:
®[2 _ Ю21
а12 а21
(11)
что позволяет уменьшить число неизвестных характеристик материала. В частности из соотношения (10) следует справедливость соотношения взаимности Онсагера для двухтемпера-турной модели
(12)
К12 = К 21 = Л .
Показатели рассеивания а11 и а22 связаны со средней длиной свободного пробега фононов 111 и 122 в каждой из подсистем следующим образом [11]
а
11 _ I ' а22
111
I
(13)
22
Подставляя выражение (8) в систему уравнений (6) и пренебрегая в силу их малости временами релаксации, получим следующие уравнения теплопроводности для обеих подсистем:
дТ1 К11 Э 2Т Л Э2Т
-+-
•+ ...
Эг C-р- Эх2 C-р- Эх2 ...+(а12 + со12) с (т2 - т);
дТ. | л э2т + ...
Эг С2р2 Эх2 С2р2 Эх2
(14)
22
...+ (а21 + Ю21)С2 (т-т2).
В случае металлических включений при комнатной температуре электронная теплоемкость составляет не более 2 - 8 % от решеточ-
СеРе
ной, т.е.
с8р8
□ 2 - 8 % [12], причем с пониже-
нием температуры вклад убывает. Наоборот решеточная теплопроводность в металлах составляет 3 - 5 % от теплопроводности электронного газа [12]. Термоупругость металлов целиком определяется решеточной составляющей тепловой энергии, что и позволяет определить температуру решетки. Если же удается поддержать на концах металла постоянную разность температур Ат , то экспериментально определяемый коэффициент теплопроводности согласно (8) равен
а = -К-Ат = -(К +К + 2Л)-Ат.
АХ у 8 ' АХ
(15)
Однако, в силу неравновесности процесса теплопередачи при экспериментальном определении коэффициента теплопроводности металлов, электронная и решеточная температуры не совпадают, что и приводит к так называемому масштабному эффекту (зависимости свойств материала от его линейных размеров). Наличие двух температур позволяет в рамках классической физики объяснить и описать данное явление. Двухтемпературная модель применима и к описанию гомогенной двухфазной среды с существенно отличающимися коэффициентами теплопроводности обеих фаз.
Учет двух температур оказывает существенное влияние и при расчете теплоустойчивости ограждающей конструкции.
Заметим, что характер решения системы уравнений (14) существенно зависит от структуры падающего теплового потока, что требует более корректного задания граничных условий.
Двухтемпературная модель позволяет существенно сблизить расчетные и экспериментальные поля температур.
1
Литература
1. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. Волновые задачи теории поля и термомеханика. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. - 328с.
2. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. - М: Гос.Энерг.из-во, 1963.-535с.
3. Joseph D.D., Preziozi L. Heat waves// Rev.Modern Physics. 1989. V.61. No.1. P.41-73.
4. De Groot S.R. Thermodynamics of irreversible Proccesses-Amsterdam, 1952.
5. Maxwell J.C. Philoc.Trans.Rog.Soc.London 157(1867) 49.
6. Фок В.А. Решение одной задачи теории диффузии по методу конечных разностей и применение его к диффузии света// Труды ГОИ.- 1926. - Т4. -Вып.34.
7. Cattaneo С/ Atti Seminario Univ. Modena 3 (1948) 33.
8. Гениев Г.А. Вариант волновой теории теплопроводности твердых тел// Исследование по теории сооружений: Сб. статей, -М.: Стройиздат, 1980. - Вып. 24.
9. Рымкевич П.П. Введение в теорию распространения свойств.// Труды 27 Летней международной школы «Анализ и синтез нелинейной механики колебательных систем». - СПб, 2000.-С.455-496.
10. Коршунов В.С. , Рымкевич П.П. Феноменологические законы диффузии в твердых телах.// Изв. ВУЗов. Физика. - 1979. - №4. - С.31-36.
11. Рымкевич П.П., Горшков А.С. Теория переноса. -СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2015. - 122 с.
12. Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела (пер. с англ.). - М.: Мир, 1975. 384с.
УДК 625.021.8
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ С ПРИМЕНЕНИЕМ
КЕПСТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА
О.В. Маковецкая-Абрамова1
Санкт-Петербургский государственный экономический университет (СПбГЭУ),
191023,Санкт-Петербург, ул. Садовая 21
В статье предлагается алгоритм кепстральной обработки пространственно-временных сигналов, позволяющий идентифицировать автотранспортные средства для эффективного управления и мониторинга транспортных потоков.
Ключевые слова: цифровая обработка сигналов, кепстр, спектр, идентификация транспортных средств, управление транспортным потоком.
IDENTIFICATION OF VEHICLES USING CEPSTRAL ANALYSIS
O.V. Makovetckaia-Abramova
Sankt Petersburg State University of Economics (SPbGEU), 191023, St. Petersburg, Sadovaya, 21
The paper proposes an algorithm cepstral processing spatio-temporal signals to identify vehicles for effective management and monitoring of traffic flows.
Keywords: digital signal processing, cepstrum, spectrum, identification of vehicle, traffic management
В любой системе для эффективного управления необходимо своевременно получать достоверную информацию об объектах управления. Внедрение автоматизированных систем управления на транспорте связано с автоматизированными процессами получения и идентификации информации об автотранспортных средствах (АТС), скорости движения, состояния дороги и др. Идентификация - процесс распознавания объекта по его отображению средствами регистрации. В качестве идентификационной информации предлагается использовать результаты кепстрального анализа пространственно-временных сигналов, регистрируемых оптико-электронным датчиком [1,2].
На практике кепстральный анализ применяют для сигналов, представляющих собой свертку двух и более временных функций, причем таких, что после преобразования их в спектр они образуют неперекрывающиеся на оси частот ч импульсы.
Амплитуды этих импульсов используются в качестве диагностических признаков, что позволяет выделить и инденцифицировать сигнал, например, на фоне различных помех (шума), имеющих ту же природу. Кепстраль-ную обработку целесообразно применять при значительном превышении сигнала над шумом.
1 Маковецкая-Абрамова Ольга Валентиновна- кандидат технических наук, доцент кафедры "Технология обслуживания транспортных средств", Санкт-Петербургского государственного экономического университета, тел. +7(921)556 93 06, e-mail: abramova19101910@mail.ru
