Дискретно-континуальная и континуально-моментная модели графена для деформаций в своей плоскости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Дискретно-континуальная и континуально-моментная модели графена для деформаций в своей плоскости

С.О. Саркисян

Ширакский государственный университет им. М. Налбандяна, Гюмри, 377501, Армения

В работе для построения деформационной модели графена в своей плоскости изучена атомная линейная цепочка с учетом моментного независимого и силового нецентрального взаимодействия между атомами. Построены дискретная и континуально-стержневая модели линейной атомной цепочки. Считая, что каждый атом графена взаимодействует лишь с ближайшими соседями, атомная система заменяется стержневой системой с использованием континуально-стержневой модели линейной атомной цепочки. Построены дискретно-континуальная модель графена (специальная модель молекулярной динамики) и континуальная модель графена, которая представляет собой модель плоского напряженного состояния моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений. Определены упругие постоянные последней модели через параметры атомной структуры графена. Для изучения деформации графена в своей плоскости использованы дискретно-континуальная модель (модель стержневой системы) и континуальная модель как модель плоского напряженного состояния моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений с известными упругими постоянными.

Ключевые слова: линейная цепочка атомов, одномерная, дискретная, континуальная (стержневая) модель, графен, плоскость графена, дискретно-континуальная, континуально-моментная модели

DOI 10.24411/1683-805X-2019-15004

Discrete-continuous and continuous-moment models of graphene deformation in its plane

S.H. Sargsyan

Shirak State University named after M. Nalbandyan, Gyumri, 377501, Armenia

A model of graphene deformation in its plane is constructed. First, a linear chain of atoms is considered with regard to the independent moment interaction and noncentral force interaction between atoms. Discrete and continuous-beam models of the linear chain of atoms are constructed. Then, assuming that each graphene atom interacts only with its nearest neighbors, the atomic system is replaced by a beam system, in which the constructed continuous-beam model of the linear atomic chain is used as the beam model. This means, firstly, that a discrete-continuous model of graphene (a special molecular dynamics model) has been constructed and, secondly, a continuous model of graphene has been constructed by passing to the limit; the latter is a plane stress state model of the moment theory of elasticity with independent displacement and rotation fields. The elastic constants of the latter model are determined through the atomic structure parameters of graphene. It is shown that the problems of graphene deformation in its plane can be solved using both the discrete-continuous model (beam system model) and the continuous model as the plane stress state model of the moment theory of elasticity with independent displacement and rotation fields with known elastic constants.

Keywords: linear chain of atoms, one-dimensional, discrete, continuous (beam) model, graphene, graphene plane, discrete-continuous, continuous-moment models

1. Введение

Бурное развитие в последние десятилетия нанотех-нологий привело к необходимости математического моделирования наноматериалов для определения и изучения их упругих и прочностных свойств [1-4]. Существование наноматериалов типа графена и углеродной нано-трубки привело к необходимости при построении дис-

кретной модели учитывать моментное независимое и силовое нецентральное взаимодействия между их атомами [5-7]. В работах [8-12] применительно к структурам нанометрового масштаба использован подход построения стержневой системы (дискретно-континуальной модели), эквивалентной атомной модели. В качестве стержневой модели выбрана классическая модель

© Саркисян С.О., 2019

упругих тонких стержней без учета или с учетом изгиб-ной деформации.

В этой работе построена дискретная модель линейной атомной цепочки с учетом моментного и нецентрально-силового взаимодействия между атомами, а также ее континуально-моментной (стержневой) модели. Далее в ячейке периодичности графена взаимодействие между атомами графена (при изучении деформаций в своей плоскости) заменяется стержневой моделью. Таким образом получается дискретно-континуальная модель графена (модель стержневой системы, заменяющей атомную систему) и предельным переходом строится континуально-моментная модель графена при указанной деформации. В результате определены упругие постоянные моментной теории упругости при плоском напряженном состоянии.

2. Структурная и континуально-моментная (стержневая) модели линейной атомной цепочки

Рассмотрим линейную цепочку одинаковых атомов массой т, с осевым моментом инерции I, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга а. Предположим, что силы и моменты, действующие на атомы цепочки и обусловленные влиянием других атомов, являются упругими, т.е. пропорциональными линейным или угловым отклонениям расстояний между взаимодействующими атомами от равновесных. Примем, что сказываются взаимодействия только между ближайшими соседями. Ось цепочки обозначим через £, а оси п и г расположим в перпендикулярной к £ плоскости. Будем предполагать, что цепочка подвергается растяжению-сжатию вдоль оси £, изгибу — в плоскости £п, без кручения — вокруг оси £.

Рассмотрим атом с номером к (будем считать, что каждый атом представляет собой тело-точку [13]). Продольные силы, действующие на этот атом (слева и справа), обозначим через N(к) и N(к+1), перерезывающие силы — через 02 ) и 02к+1) (направлены по п), а моменты (вокруг оси г) — через 1(к+'1\ Тогда уравнения движения к-го атома цепочки можем записать следующим образом:

л2 (к)

л» - ™

N (к+1) - - т:

dt2

2

о2к+1) - о2к) - тd и2

А к+1) _ А к) .

2

,( к).

dt

з - а(0к + 02к+1)) -1 ч2

1 л2,Лк)

1 к) . к+1^ ^ юз

2 , dtí

(1)

(2)

где м1(к) и и?) — перемещение к-го атома вдоль осей £ и п; ю(к) — вращение к-го атома вокруг оси г.

В литературе (см., например, [14, 15]) хорошо известны выражения для потенциальной энергии многих молекул в линейном приближении (если считать упругие силы и моменты линейно зависящими от деформационных перемещений и поворотов). Это выражение

для рассматриваемой линейной цепочки атомов можно записать в виде

V-^Есм(к))2 + Ес2^2к))2 + ЕСз(е(к))21, (3) 2 ^ к к к ) где С1, i = 1, 2, 3 — упругие параметры для соответствующих деформаций (которые можно считать наперед известными); — продольные относительные перемещения; d2k) — относительные изгибные линейные перемещения;

е(к) — относительные угловые свободные перемещения, т.е.

(4)

(5)

(6)

d1(k) - и((к+1) - и1(к),

d2k) - и(к+1) - и2 - и2к) - 2 а(ю(к+1) +ю(к)),

е(к) -ю(к+1) -ю(к).

Легко заметить, что N (к+1) - N к -- ^

Эм{к)'

+1) _ о2к) - ^ , ^(к+1) - ц(к) - - д

ди2к)!

Эю® ■

Таким образом можем записать закон упругости для рассматриваемой линейной цепочки атомов:

N(к) - С(и1(к) -и(к-1)),

02к) - С2

..(к) - и(к-1) -12 и2

1

иг - и2------а(ю(к)

(7)

(8)

Ьк) - Сз(юЗк)-юЗк-1)).

В итоге была построена дискретно-одномерная модель (модель типа модели молекулярной динамики) для рассматриваемой линейной цепочки атомов. В случае продольных колебаний это уравнение движения (1) и закон упругости (5) или (7), в случае поперечных (изгиб-ных) колебаний — уравнения движения (2) и закон упругости (6) или (8).

Для рассматриваемой линейной цепочки атомов кинетическая энергия выражается в виде

* - 2 Е

2

т

Г du1(k) IV Г du2k) IV / dю?) 12

ск

+ т

dí

+1

dt

. (9)

Используя выражения (3), (4) и (9), лангражиан L для линейной цепочки атомов можно записать как Ь - * - V -

Г du1(k) 12 Г du2k) 12 Г ^ю(к) 12

dt

+ т

dt

+1

dюз_ dt

/ \ / (к+1) ^ (кК2 +п г (к+1) ^ (к) .

- [С1 (иГ > - иГ у + с2 [иГ; - и^> --1/2а(ю(2к+1) + ю(2к) )]2 + Сз (ю(к+1) - ю(к) )2 ]|

принцип Гамильтона представим в обычном виде:

(10)

8| Ьdt -8/(* - V)dt -0.

(11)

Легко заметить, что вытекающие из принципа Гамильтона (11) уравнения Эйлера-Лагранжа представляют собой уравнения движения (1), (2) для рассматриваемой линейной цепочки атомов.

Для построения континуальной модели линейной цепочки атомов представим лагранжиан дискретной модели (10) в виде

1 =1

т (

(к) \

dt

т + —

(ик) ^

dt

+

а

I ( dю3k) 1

dt

С1а

( и[к+1) - и1к) ^

+ С2 а

( и2к+1) - и2к)

- !(ю(к+1) +ю(к)) I + с3а

(ю(к+1) -®3к) V

(12)

Форма записи лагранжиана дискретной модели (10) выбрана для удобства предельного перехода к случаю континуальной (непрерывной) модели, т.е. когда а ^ 0.

Множитель а перед фигурными скобками в формуле (12) заменим на Дх = dх, а суммирование по к заменим интегралом по х. Индекс к, характеризующий номер атома, при переходе к континуальной модели должен превратиться в непрерывную координату х. Поэтому вместо переменных и}к), и2к) и ю3к\г) будем иметь переменные и1 (х, г), и2 (х, г) и ю3 (х, г). Что касается величин С^а, i = 1, 2, 3, ниже убедимся, что их предельные значения, когда а ^ 0, являются постоянными, обозначим их в виде

Са = С, i = 1, 2, 3. (13)

В результате предельного перехода, при а ^ 0, формула (12) переходит в лангранжиан континуальной модели линейной цепочки атомов:

;=11

Эи1

"э7

+р

ди2 дг

+1

дю3

~д7

- (С14 + С2у2л + Сзх2п) №

Здесь

(14)

ди, и1(к+1) - и,(к) -—1 = ит—-1—,

ди2

-Ю3 =

= Нт

а^0

( к+1)_,,( к )

^ - >3к+1) + ю3к))

г 2

дю3 ю3к+1) -ю3к) = ж = кт—-

5п д£ а^о а

„ .. т % I р = 11т—, I = ит—,

а^о а а^о а

(15)

(16)

где р — линейная плотность массы цепочки; I — линейная плотность осевого момента инерции цепочки;

— относительная продольная деформация по оси цепочки; — сдвиговая деформация в плоскости ^п;

— кривизна цепочки в плоскости изгиба ^п. Из вариационного уравнения Гамильтона

8} Ldt = 0,

когда L выражается формулой (14), получим уравнения движения континуальной (стержневой) модели линейной цепочки атомов:

д 2 и1

ЭЖ =

д£=Р"дг2 '

д&2 =рд 2и2 дL3 +Q =% д Ч

= ' Ж ^ =^■

(17)

(18)

Из закона упругости (7), (8) дискретной модели

N(к) = с1а-

) = С2а

и

(к+!)_„( к)

-и

а

и2к) - и(к-1)

- ^

|3к) +ю3к -1))

) = с3а

ю3к) -ю3к-1)

а

предельным переходом получим закон упругости континуальной (стержневой) модели линейной цепочки атомов:

N = с^,

= с2У|п' = ^зХ^п'

(19)

(20)

где имеют место следующие геометрические соотношения:

ди1 "д^'

_ ди2 _ дю3

(21) (22)

Уравнения (17), (19) и (21) представляют собой уравнения продольных колебаний континуальной модели линейной цепочки атомов, уравнения (18), (20), (22) — уравнения изгибных колебаний континуальной модели линейной цепочки атомов.

К системе уравнений продольных и изгибных колебаний континуальной (стержневой) модели линейной цепочки атомов следует присоединить соответствующие граничные (они получаются из принципа Гамильтона) и начальные условия.

Систему уравнений (17), (19), (21), а также (18), (20), (22) можем привести к виду уравнений, в которых будут участвовать перемещения и1 (в случае продольных колебаний) и и2, свободный поворот ю3 (в случае изгибных колебаний):

_ д 2и Р д 2и1

= Р-

дг2

(23)

Э 2и2

"э£2"

_ д2 ю( _

Сз-г3 + С2

3 д£2 2

дюз д£

/

г ди

, д2и2

д£

ю

1=% э^юз

(24)

дt2

Построенная континуальная модель линейной цепочки атомов идентична модели упругого тонкого стержня [16] на основе моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений, система уравнений которой имеет следующий вид: уравнение продольных колебаний

д 2 и1 - Р д 2 и1

Еа1

-Р-

д£2 К д*2 ' уравнения изгибных колебаний

(25)

2

G а

д 2и

д£2 д£

д*2

Рассматриваемая

точка

ди2

-I

д 2 Юо

(26)

д*2

микрополярный

деформации.

3. Дискретно-континуальная и континуально-моментная модели графена для деформаций в своей плоскости

Рассмотрим графен (двумерный материал), который представляет собой самое тонкое вещество (один атомный слой, рис. 1, а). Будем считать, что каждый атом взаимодействует лишь с ближайшими соседними атомами (рис. 1, б).

Будем использовать механическую модель упругой связи между атомами графена— модель упругого стержня, работающего на сжатие-растяжение, сдвиг и изгиб, построенную в предыдущем разделе. Потенциальная энергия деформации указанной модели упругого стержня имеет вид

1 а

и = 1 / (С1в££ + С2 у|л + С(%£п ) 20

(27)

Рассматриваемая точка

где £ — ось стержня; а — длина стержня (расстояние между атомами графена); в££ — относительная деформация сжатия-растяжения вдоль оси £; у£п — сдвиговая деформация в плоскости £п; %£п — кривизна оси стержня при изгибной деформация (в плоскости графена £п); С1 (I -1,2, 3) — упругие характеристики для соответствующих деформаций.

Кинетическая энергия рассматриваемого стержня выражается формулой

1 а

* =1 /

2 * 2 А

ди£ л2

+р

ди

2

д*

+1 Г^Юз I д*

¿4, (28)

где р — линейная плотность массы; I — линейная плотность момента инерции; и£ — продольное перемещение; ип — изгибное перемещение; ю3 — угловой независимый поворот атома (ось г перпендикулярна к плоскости £п).

Для дальнейшего изучения задачи можно развивать два подхода: 1) дискретно-континуальный: в этом случае необходимо разрабатывать модель применения метода конечных элементов для одного стержня, потом для ячейки периодичности (рис. 2) и далее для всей рассматриваемой области графена с учетом соответствующих граничных условий; 2) континуальный: в этом случае необходимо предельным переходом построить континуальную модель для деформаций графена в своей плоскости и далее конкретные деформационные задачи графена изучать на основе решения соответствующих граничных задач этой континуальной модели.

Основной целью данной работы является построение континуальной модели для деформаций графена в своей плоскости, сравнение этой модели с теорией плоской задачи моментной теории упругости и определение упругих постоянных этой теории через параметры атомной структуры графена. Развитию первого подхода будет посвящена отдельная статья.

Потенциальная энергия деформаций и кинетическая энергия движения для ячейки периодичности (рис. 2) будут выражаться формулами

Рис. 1. Графен и его ячейка периодичности

Рис. 2. Ячейка периодичности графена

U = i Uk, K = i Kk, ¿=i ¿=i

(29)

где ик и Кк — потенциальная и кинетическая энергия ^го стержня ^ = 1, 2, 3), которые определяются формулами (27), (28).

Предельный переход от дискретной модели к континуальной осуществляется следующим образом. Определим приближенные выражения общей потенциальной и кинетической энергий ячейки периодичности (рис. 2) суммированием по индексу k средних значений интегралов (27), (28).

Приближенное значение поверхностной интенсивности энергии получим делением среднего значения суммарной энергии на площадь ячейки периодичности: После предельного перехода а ^ 0 получим для соответствующей континуальной теории выражения интенсивности потенциальной энергии деформации и кинетической энергии движения в данной точке плоскости графена. Если обозначить приближенное значение интенсивности потенциальной энергии деформации ячейки периодичности через и0, а приближенное значение интенсивности кинетической энергии ячейки периодичности через К0, то для них будем иметь

- 2>/3г( ~ е2 , ~ „2 , ~ х )й,0)

П1 (х=х"1,у=у1)

Un = -

9a

-[(Ae§i§i + с2 Y^! + c3 Х^Ч' +

+ (Aek + c2 YL + y =y2) +

+ (с1е|з^з +c2 yU + c3 Х^Й, y=y*),

(30)

_(§*** (x=y=y!*)

+Pl

dun

"ЭТ

Эи§

~3t

+ I

+ P

Эю3

~Э7

Эип

~Э7

(§2„ (x =*Г> y=y")

+ I

Эю3

~Э7

(31)

(§3 '°„) ,,

(x=y=y")

где &,0) или (х*, у* ), ,0) или (х", у" ) ^ = 1, 2, 3) — точки на оси ^го стержня ячейки периодичности, найденные с помощью теоремы о среднем значении соответствующих определенных интегралов. Понятно, что при а ^ 0 (х*, у* ) ^ (x, у), (х", у* ) ^ (x, у) ^ = = 1,2, 3), где (х,у) — координаты точки М в системе координат ху (рис. 2).

После предельного перехода для полученной континуальной модели необходимо е^к, у^ , х^кЛк ^ = 1, 2, 3) выражать через величины ехх, уху, ххх в координатной системе ху. В итоге будем иметь известные фор-

мулы из теории упругости:

e§§ = c0s2 ф + eyy sin2 ф + (Yxy + Yy ) sin Ф cos Ф,

Y§n = (-exx + eyy )sin ф cos ф - Y, sin2 ф + yXy cos2 ф,(32)

Х§л =X xx cos ф + Х yy sin ф. где

Эи*

Эx Эиx

Эи

Эи,,

exx Э-x ' eyy

я ' Yxy Эу Эx

= = Эю3 = Эю3

Yyx ="Э7+®3' Xxx ="Э7' Xyy =~3y:

(33)

u§ = ux cos ф + uy sin ф, un=-ux sin ф + uy cos ф. (34)

В формулах (32), (34) для первого стержня ф = ф1 = п/ 6, для второго стержня ф = ф2 = 5п/6, для третьего стержня ф = ф3 = 3П 2.

С учетом формул (32), (34), а также Ck = aCk (k = 1, 2, 3) для поверхностной плотности потенциальной энергии деформации и кинетической энергии движения континуальной модели в единой системе координат xy получим формулы

U° =-

K° =-

i W3 9 + 3 1 2

2 9 и 8ci + 8C2 J exx

3 1 2 +(3 3

-ci +- c2 i 8 2 Je- +(4 ci- 4

9 1 2 (3 9

"c + 8C2 JY 2У+(8 ci+8

3 / \ 1 3

-c, — c2 i 4 2 J Y xyY yx + 2 c3X

i 4V3 ( Эи 12 (

2 3 p° J +p° 1

e e +

xx yy

yx

3 2 :+ 2 С3Х

yy

( Эи,, 1

Э1

+1°

Эt

(35)

(36)

где р0 и 10 — поверхностная плотность массы и момента инерции графена.

Принцип Гамильтона для континуальной модели графена можно записать в обычном виде:

SJ

Ц (и° - K°)dxdy .(S)

dt =

(37)

где и0 и К0 определяются формулами (35) и (36).

Из принципа Гамильтона (37) будут следовать уравнения движения, выраженные через их, иу и а также граничные условия.

4. Модель плоской задачи момеитиой теории упругости с иезависимыми полями перемещеиий и вращеиий как модель графеиа для деформаций в своей плоскости. Определеиие упругих постояииых момеитиой теории упругости через параметры атомиой структуры графеиа

Рассмотрим принцип Гамильтона для плоского напряженного состояния моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [17-19]. Вариационное уравнение можно записать в виде (36):

+

U0 =— а

1 -v2

-ei +-

E 2 2 Ev 2 eyy +-2

1 -v

1 -v2

X ^ yy + (Ц + а)У„ + (Ц+ a)Yyx +

+ 2(ц - a)Y xyY yx + BxXz + Bxi

0 2

Po

3u„

+ /o

(38)

(39)

Здесь Е, V, ц, а, 5 — упругие коэффициенты.

Сравнивая формулы (35) и (38), получим следующие равенства:

Е 4УК Г 3 ~ 3 „ Л 2Ev

W3/

9а I

W3/

9а [

W3 Г 3

li

9 3 9 С + 3 С2

-С + - С2

С1 Т С2

1-v2 = ц+а,

9а

4 Cl - 4 С2 ] = 1-v2

(40)

4л/3 3

= 2(ц-а), С3 = B.

9а 2

Решая систему уравнений (40) относительно E, v, ц, а и B, получим

— С1(С1 + С2) ц = ^-(С + С2),

E = -

3а

3Ci + С2

С - С2

а = — С2, v = —1-2

6а

B =

2>/3

(41)

С3.

3а 3С1 + С2 3а

Равенства (41) определяют упругие постоянные мо-ментной теории упругости через постоянные атомной структуры графена. Легко проверить, что на основе (41) имеет место известное равенство ц - Е/ (2(1 + V)).

Таким образом, можно установить, что вариационное уравнение Гамильтона (37), когда потенциальная энергия деформации выражается формулой (38), в которой упругие постоянные выражаются формулами (41), а кинетическая энергия движения — формулой (39), представляет собой вариационное уравнение Гамильтона для континуальной теории деформаций графена в своей плоскости. Континуальная теория представляет собой плоское напряженное состояние моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений. На основе указанного вариационного уравнения Гамильтона можно получитьуравнения движения в перемещениях и повороте, а также граничные условия для континуальной теории .

Работа выполнена при финансовой поддержке ГКН МОН РА в рамках научного проекта 18RF-106.

Литература

1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

2. Морозов Н.Ф. Структурная механика материалов и элементов конструкций. Взаимодействие нано-, микро- и макромасштабов при деформировании и разрушении // МТТ. - 2005. - № 4. -С.188-189.

3. КривцовА.М. Деформирование и разрушение твердых тел с микро-

структурой. - М.: Физматлит, 2007. - 304 с.

4. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Макаров П.В., Шиль-ко Е.В., ЧертовМ.А., ЕвтушенкоЕ.П. Моделирование поведения сложных сред на основе комбинированного дискретно-континуального подхода // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 6. - C. 11-21.

5. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф., Фарсова А.Д. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // ДАН. - 2003. - Т. 391. - № 6. - С. 764-768.

6. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Получение макроскопи-

ческих соотношений упругости сложных кристаллических решеток при учете моментных взаимодействий на микроуровне // Прикладная математика и механика. - 2007. - Т. 71. - № 4. - С. 595615.

7. Кривцов А.М. Теоретическая механика. Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2009. - 127 с.

8. Odegard G.M., Gates T.S., Nicholson L.M., Wise K.E. Equivalent-Continuum Modeling of Nano-Strnctured Materials // NASA Langley Research Center: Technical Memorandum NASA/TM-2001-210863. -2001.

9. Гольдштейн Р.В., Ченцов А.В. Дискретно-континуальная модель нанотрубки // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 4. - С. 57-74.

10. Li C.A., Chou T.W. A structural mechanics approach for the analysis of carbon nanotubes // Int. J. Solids Struct. - 2003. - V. 40. - P. 24872499.

11. Беринский И.Е. Стержневая модель кристаллической решетки графена // Научно-техн. ведомости СПбГПУ - 2010. - № 104. -С. 13-20.

12. Wan H., Delale F. A structural mechanics approach for predicting the mechanical properties of carbon nanotubes // Meccanica. - 2010. -V. 45. - P. 43-51.

13. Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. - 340 с.

14. Грибанов А.И. Потенциальная энергия деформации молекулы полимера в нелинейном приближении // Механика полимеров. -1967. - № 4. - С. 608-614.

15. Кормилицын О.П. Механика материалов и структур нано- и микротехники. - М.: Академия, 2008. - 224 с.

16. Саркисян С.О. Прикладные одномерные теории балок на основе несимметричной теории упругости // Физ. мезомех. - 2008. -Т. 11.- № 5. - C. 41-54.

17. Nowacrn W. Theory of Asymmetric Elasticity. - Oxford: Pergamon, 1986. - 383 p.

18. Саркисян С.О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости // Прикладная математика и механика. - 2008. -Т. 72. - № 1. - С. 129-147.

19. Sargsyan S.H. Energy balance equation, energetic theorems and variation equation for the general theory of micropolar elastic isotropic thin shells // Int. J. Mech. - 2014. - V. 8. - P. 93-100.

Поступила в редакцию 15.08.2019 г., после доработки 15.08.2019 г., принята к публикации 02.09.2019 г.

Сведения об авторе

Саркисян Самвел Оганесович, д.ф.-м.н., чл.-к. НАН Армении, проф. Ширакского государственного университета, Армения, s_sargsyan@yahoo.com