CC BY
59
УДК 539.3:519.63
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 1
КОНТИНУАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИИ ГРАФЕНА*
Н. Ф. Морозов1'2, П. Е. Товстик1, Т. П. Товстик2
1 Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
2 Институт проблем машиноведения РАН (ИПМаш РАН), Российская Федерация, 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В. О., 61
Исследуется однослойный лист графена. Предполагается, что полная потенциальная энергия рассматриваемой системы состоит из четырех частей: во-первых, из энергии растяжения связи между двумя соседними атомами (потенциал Морзе); во-вторых, из энергии изменения угла между тремя соседними атомами (потенциал Бреннера); в третьих, из энергии выхода атома из плоскости, определяемой тремя соседними атомами. В четвертых, из энергии кручения четырех соседних атомов. Силами Ван-дер-Ваальса пренебрегаем. Рассматриваем только малые деформации. С использованием длинноволнового приближения выведена двухмерная энергия растяжения и изгиба. В результате получена эквивалентная пластина с соответствующими упругими модулями растяжения и изгиба. Найдены частоты собственных колебаний прямоугольной пластины. Исследована устойчивость при сжатии в плоскости пластины. С этой целью в тангенциальные напряжения выведены нелинейные слагаемые, зависящие от поперечных перемещений. Полученные результаты сравниваются с результатами других авторов, полученными методом молекулярной динамики. Библиогр. 16 назв. Ил. 1.
Ключевые слова: графен, жесткость, колебания, устойчивость.
1. Введение. В последнее десятилетие графен активно используется в нано-технологиях. Кроме того, однослойный лист графена является объектом, на котором отрабатываются методы исследования деформаций, динамики и прочности более сложных объектов наномеханики: графита, флюорографена, нанотрубки, фул-лерена и других. Основным методом исследования является метод динамики частиц [1], при котором численно исследуется движение большого числа взаимодействующих частиц. При этом вводятся различные модели (потенциалы) взаимодействия. Модель парного силового взаимодействия, при которой потенциал зависит только от расстояния между частицами, для графена оказывается несостоятельной, ибо приводит к неустойчивости равновесной конфигурации [2].
Для исследования тангенциальной деформации графена предложена модель парного моментного взаимодействия [2-5], при которой каждая частица имеет три степени свободы — две поступательных и одну вращательную. Наряду с силовым взаимодействием вводится момент взаимодействия, зависящий от углов поворота частиц. На базе этой модели исследована устойчивость графена при больших деформациях [6], рассмотрен вопрос о распространении плоских волн в графене [7].
Альтернативной является модель трехчастичного взаимодействия [8, 9], при которой наряду с силовым взаимодействием в выражение упругой энергии вводится слагаемое, зависящее от изменения угла между тремя частицами. Заметим, что при осреднении модель парного моментного взаимодействия приводит к двухмерной мо-ментной среде Коссера, а модель трехчастичного взаимодействия приводит к изотропной двухмерной среде [7].
Для описания изгибной деформации наряду с парным и трехчастичным взаимодействием вводится четырехчастичное взаимодействие [10-13], при котором учитывается энергия выхода частицы из плоскости, определяемой тремя другими частицами. Этот подход используется и в настоящей статье.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 12.01.92000.НН0-а, 10-01.00244а).
Эти потенциалы позволяют построить уравнения динамики системы частиц. В результате численного интегрирования решены задачи о свободных колебаниях и динамической потере устойчивости [13]. Для задачи свободных колебаний прямоугольной пластинки в [12] приведены приближенные формулы для частот колебаний, которые построены при аппроксимации методом наименьших квадратов численных результатов, полученных при анализе динамики системы частиц.
Целью настоящей работы является построение модели двухмерной сплошной среды, которая в длинноволновом приближении описывает деформации листа графена. Потенциальная энергия представлена в виде суммы четырех слагаемых, учитывающих изменение расстояний между частицами и другие деформации, определяемые перемещением ближайших к данной частице соседей. Силы Ван-дер-Ваальса и температурное движение частиц не учитываются. Для малых деформаций эта модель описывает как тангенциальные, так и изгибные деформации и колебания графена, а также устойчивость его плоской формы при тангенциальных деформациях. Для исследования устойчивости в модель введены нелинейные слагаемые типа Кармана, пропорциональные квадратам малых углов поворота при выходе частиц из плоскости графена. Построенная модель позволяет говорить о существовании эквивалентной пластины, для которой могут быть применены известные методы исследования.
Отметим дополнительно, что в [14] предложена двухмерная модель нелокального взаимодействия, в которой сделана попытка учесть дискретную структуру среды путем воздействия оператором Ь = 1 — а2 А на обычные напряжения, где Д — оператор Лапласа, а — малый множитель. Подробнее эта модель здесь не обсуждается.
2. Модель взаимодействия между атомами графена. Рассмотрим малые деформации и колебания однослойного листа графена. В положении равновесия частицы образуют плоскую систему правильных шестиугольников со стороной ао. Считаем, что каждая частица имеет три степени свободы, две из которых описывают смещения в плоскости графена и одна — из плоскости. Пренебрегая силами Ван-дер-Ваальса энергию упругого взаимодействия П можно приближенно представить в виде суммы четырех слагаемых [13]:
Потенциал Щ учитывает изменение расстояния между парами частиц (например, расстояния 01), потенциал П2 учитывает изменение углов между тройками частиц (например, угла 102 на рис. 1), потенциал П3 описывает энергию выхода частицы из плоскости, содержащей трех ее ближайших соседей (например, частицы 0 из плоскости 123), наконец, потенциал П4 описывает энергию кручения цепочки из четверок частиц и зависит от изменения угла между двумя плоскостями (например, для цепочки 0-1-4-10 —от угла между плоскостями 0-1-4 и 1-4-10).
Рассмотрим энергию, приходящуюся на частицу 0. Имея в виду рассмотрение малых деформаций, в потенциалах П1, П2 и П3 учитываем влияние только трех ближайших к точке 0 соседей, а в потенциале П4 — цепочки из точки 0 и трех ближайших к ней точек (таких цепочек 12).
В общем случае потенциал П1 задается нелинейной функцией расстояния г (потенциал Леннарда—Джонса [15], потенциал Морзе и др.). Для малых деформаций возьмем
П = П1 +П2 +Пз +П4.
(2.1)
(2.2)
Рис. 1. Взаимодействующие точки.
где С1 —упругая постоянная, е —деформация отрезка, соединяющего частицы. Точно также для малых деформаций возьмем приближенное представление потенциала Бреннера [9]
П2 = ^с2(Д^)2, (2.3)
где С2 — упругая постоянная, Д^> — изменение угла между частицами (например, угла 102). Потенциалы Пз и П4 в случае малых деформаций возьмем в виде
Пз = ^c3Sl П4 = (2.4)
где ¿з и S4 —расстояния от точки 0 до плоскостей, проходящих через точки 123 и через точки 1-4-10 соответственно.
3. Потенциальная энергия тангенциальной деформации. Рассмотрим сначала энергию тангенциальной деформации, определяемую потенциалами П1, П2. Совместим начало координат с точкой 0. Пусть ui,vi,wi —проекции перемещений ri точек 1, 2, 3 на оси декартовой системы координат Oxyz с началом в точке 0. Координаты точек после деформации имеют вид
xi = x0 + ui, yi = y0 + vi, zi = wi, i = 1, 2, 3, (3.1)
где x0, y0 — координаты тех же точек до деформации, причем
2n(i — 1) 2n(i — 1)
ж0 = «¿во, у i = on, oíí = cos---, Pi = sin---, г = 1, 2, 3. (3.2)
Согласно формулам (2.2) и (2.3) для трех ближайших соседей получаем
ni = ^ci(e? + e^ + e§), е< = An = п - г0, г =1,2,3,
2 а,0
П2 = iC2 ((Д^12)2 + (Д^2з)2 + (A^3i)2) ,
(3.3)
где ei, e2, ез —деформации отрезков 01, 02, 03. Изменения Д^12, Д^23, Д^31 углов 102, 203, 301 при деформации находим из соотношения
Дг< • Arj = |Дг<| |Дгд-| cos + Atfij^j . (3.4)
Найдем приближенное выражение энергии тангенциальной деформации для малых деформаций. Имеем
_ х°щ + г4Ч + ^¡/2
^г — о 1
а0
(0000 \ (3-5)
+ Х0 т + уУУ] + y:■Vi + 1 \ -^-+ +
В приближенных формулах для ei и Ду^- включены линейные слагаемые по отношению к щ, vi и слагаемые второго порядка малости по отношению к т-^. Последние необходимо вводить в рассмотрение при исследовании устойчивости листа графена при тангенциальной деформации.
Сделаем предположение 1: существуют гладкие функции и(х, у), v(x, у), т(х, у), описывающие перемещения точек.
Тогда
т = а0(а и,х + ), Vi = а0(а^,х + вiV,y), т = а0 + в т,у), (3.6)
где и,х = ди/дх и т. п. — частные производные. В этих обозначениях получаем выражения для энергии П1 и энергии П2:
П1 = — (3и2х + 2игХУгУ + Ъу2у + и? + и,х(3т2х + и?у) + У1У(т2х + Зго^) + 2шии^ии^) , Пг = у^т (м^ - 2игХУгУ + у2у + и)2 + игХ(т2х - т2у) + УгУ(т2у - + 2и)гигХгигУ) ,
(3.7)
где ш = и,у + vJX, а малые слагаемые с множителями т4х, т2хт2у, т4у отброшены. Введем плотность энергии тангенциальной деформации
^ = (3.8)
отнесенную к единице площади. Здесь — площадь, приходящаяся на одну частицу. Множитель 1/2 введен связи с тем, что энергия П1 учитывается дважды. Тангенциальные напряжения находим по формулам
= Е(игХ + 1УУ<у) - ^ (Ы^х + + &£2(™2х - 1Л2У)
^ = Е(у,у + ии,х) - ^ (с1(3гу^ + «£) + 6с^2у - «£)) , (3'9)
'у 3
аху = Си; + — (с! + 6 с2)и)1Хи)1У,
где
9(с1 + С2) С1 - 6С2 „ 3(с1 + 6С2) С1 С2 ,01ГЛ
Е=-§-' 3(^ + 262)' С=-16-' С1=Д5'С2=Д5' (310)
причем выполнено соотношение О = Е(1 — V)/2. Следовательно, при т = 0 получена двухмерная изотропная сплошная среда.
а
4. Потенциальная энергия изгибной деформации. Найдем энергию деформации, приходящуюся на точку 0. Рассмотрим длинноволновое приближение и предположим, что в окрестности точки 0 соседние точки располагаются на поверхности второго порядка:
г = 1(х,у) = -к^2+тху +-к2у2, (4.1)
где к\, т —кривизны и кручение поверхности (4.1). Вычисляя расстояния хо = 63 и хо = 64, входящие в формулы (2.4), находим искомую энергию П34 = Пз + П4. При этом энергия П4 состоит из 12 слагаемых. Цепочки 0-1-4-10, 0-1-4-10, 0-1-9-18, 0-1-9-17, формирующие четыре слагаемых и содержащие отрезок 01, показаны на рис. 1. Аналогично восемь цепочек точек содержат отрезки 02 и 03. Всего с частицей 0 учитывается взаимодействие 18 частиц (рис. 1). Расстояния хо находим из равенства нулю определителя третьего порядка:
хг Уг хг - хо
хз Уз хз - хо
Хк Ук хк - хо
(4.2)
где %,], к — номера точек на плоскости, расстояние до которой вычисляется.
Сумма 13 упомянутых выше слагаемых дает энергию, приходящуюся на одну точку:
3с4а0
2
Щкикът) = Щ^(к1+к2)2 +
-(7к( — 2к\к2 + 7Щ + 16т ).
(4.3)
32 2
Как и выше, плотность потенциальной энергии изгибной деформации ^34 выражается по формуле (4.3), в которой вместо сз, С4 следует положить
сз =
сз
Дй"
С4 =
С4
2ДЙ"
ДБ =
Зл/З а 4~
(4.4)
При этом энергия цепочки учитывается дважды, ибо она входит при рассмотрении каждого из двух ее концов.
5. Полная потенциальная энергия. Полная потенциальная энергия системы и может быть найдена суммированием по всем частицам потенциальной энергии тангенциальной и изгибной деформации. Предполагая, что плотность энергии мало меняется при переходе от одной точки к другой, заменяем суммирование интегрированием по площади Б пластины. В результате получаем
и = у у (и12 + из4) Зхду.
После преобразований запишем энергию в виде
(5.1)
В
о о 1 V , • I 1
и х + 2г/и>хугу + V Н---—(игУ+УгХ) д,хАу+
+ \ // (аххи}% + 2°~хуи>,хи>,у + Яуу^у) (1х(1у,
(5.2)
0
2
о
5
где величины Е и V определены формулами (3.10), частные производные т,хх, т,уу, тхху равны кривизнам и кручению поверхности (4.1),
О0(сз + 168С4) С3 - 24С4
В = -Тр.-' щ = - , 1Й8- > 5-3
16 с3 + 168С4
а тангенциальные напряжения ахх, ауу, аху вычисляются по формулам (3.9), в которых считаем т = 0.
Потенциальная энергия (5.2) соответствует пластине, подверженной тангенциальным и изгибным деформациям, причем Е — жесткость при растяжении, Б — из-гибная жесткость. Коэффициенты Пуассона V и vо оказались различными при тангенциальной деформации и при изгибе. Имея в виду известные формулы для пластины
Ео Ь о ^ Ео можно ввести эффективную толщину ко листа графена по формуле
12Б , ч
0 = V ~ЁГ' (5-5)
В соответствии с принципом Гамильтона—Остроградского варьирование функционала
2 (Т - и)скЬ = 0 (5.6)
по и,у,т дает уравнения движения и граничные условия. Здесь Т — кинетическая энергия системы,
Т = 2 Из ^ + ^ + 3,х3'У' Р = XI' <у5'7^
где р — плотность, отнесенная к единице площади, то — масса частицы.
Предложенный континуальный подход в ряде случаев позволяет получить явное решение. Основными источниками погрешности являются предположение 1 о существовании гладких функций и(х, у), у(х, у), т(х, у), описывающих перемещения точек в окрестности данной точки, а также игнорирование взаимодействия с удаленными точками. В соответствии с использованным здесь длинноволновым приближением погрешность растет вместе с уменьшением длины волны деформации. Другим источником погрешности является то, что выражение энергии ГЦ может быть использовано лишь для частиц, удаленных от края не менее, чем на (2 + \/3/2)ао (см- рис. 1).
Предложенный континуальный подход нечувствителен к хиральности графена.
6. Свободные колебания прямоугольного листа графена. Рассмотрим лист графена прямоугольной формы 0 < х < а, 0 < у < Ь. Имея в виду исследование поперечных перемещений, найдем вариацию по т функционала (5.6). В результате интегрирования по частям получаем
(•а ро ро ра
/ / (БДДт + - Е) Ы(1х(1у + Мххбт^ |х=а^у + / Муу6тгу ^¿х-
о о о о
оа
- Яхн х=а^у - Яуну=0^+2Мхунх=а1у:0 = 0, (6.1)
оо
о
где
Aw = w,xx + w,yy, F = (axxw,x ),x + (aXy w,x ),y + (aXy w,y ),x + (ffyy w,y ),y, Mxx = D(w,xx + Vbw,yy), Myy = D(w,yy + vbw,xx), Mxy = D(1 - v^w^y,
(6.2)
Qx = D(w,xxx + (2 - Vb)w,xyy ) - ffxx w,x - ^xy w,y, Qy = D(w,yyy + (2 - Vb)w,xxy ) - ^xy w,x - Oyy w,y.
Рассмотрим свободные поперечные колебания в предположении, что начальные напряжения отсутствуют (F = 0), а все края шарнирно оперты:
w = w,xx =0 (x = 0, x = a), w = w,yy =0 (y = 0, y = b). (6.3)
Формы колебаний
mnx nny
wmn(x, y) = wq sin-sin-, m, n = 1,2,..., (6-4)
ax ay
удовлетворяют уравнению DAAw + pwjtí = 0 и граничным условиям (6.3), и им соответствуют частоты свободных колебаний
'D / m2n2 n2n2 \
+ —)• («-S)
Область применимости формулы (6.5) ограничена условием, чтобы длины полуволн a/m и a/n были существенно больше минимального расстояния между частицами,
min{a/m, b/n} ^ a0. (6.6)
В противном случае используемое здесь длинноволновое приближение неприменимо.
7. Устойчивость прямоугольного листа графена при сжатии. Рассмотрим статическую потерю устойчивости при однородном сжатии в направлении оси x [16], положив
ffxx = -p, P > 0, CTxy = Oyy = 0. (7.1)
В предположении, что края x = 0 и x = a шарнирно оперты, а края свободны, прогиб при потере устойчивости находим из решения краевой задачи
DAAw + pw xx = 0, w = w xx =0 (x = 0, x = a),
(7.2)
w,yy + vbw,xx = 0, D(w,yyy + (2 - vb)w,xxy) = 0 (y = 0, y = b). После разделения переменных
nx
w(x.y) = W(y) sin— (7-3)
a
для функции W (y) приходим к краевой задаче, которая имеет четное и нечетное относительно середины y = b/2 решения. Для четного решения, которое дает меньшее значение нагрузки
W (y) = Ci ch(Ai (y/a - b/(2a))) + C2 ch(A2(y/a - b/(2a))), (7.4)
уравнение для определения критической нагрузки имеет вид
(А2 - щ) сЬ(Лщ) - Vь) оЬ(Л2п)
(А? - (2 - Vь)Л1) 8Ь(Лщ) (Л3 - (2 - ^Ь)Л2) вЬ(Л2п)
(7.5)
где
Л2
Л1,2
ра2
Ейё'-
^=2а"
(7.6)
8. Численные результаты. Возьмем следующие значения параметров: масса
частицы то = 1.9927 • 10 6 кг, расстояние между частицами ао = 0.142 • 10 м, масса на единицу площади р = 7.608 • 10-7кг/м2. Возьмем коэффициенты жесткости из [13], которые после линеаризации в наших обозначениях дают с? = 319.8 Н/м, С2 = 33.44 Н/м, тогда по формулам (3.10) находим Е = 220.8 Н/м, V = 0.086. Далее а2сз = 10.61 Н/м, а2С4 = 8.86 Н/м, и по формулам (5.3) получаем О = 93.7 а2 Нм, vь = -0.135.
Рассмотрим свободные колебания шарнирно опертой прямоугольной пластинки с длинами сторон а = 3.266 • 10-9м, Ь = 3.433 • 10-9 м. По формуле (6.5) находим первую частоту поперечных колебаний V?? = о>ц/(2п) = 0.442 • 1012 (Гц). В [13] методом динамики частиц для той же пластины получено значение V?? = 0.259 • 1012 (Гц).
Обратимся к задаче устойчивости. Для принятых выше значений параметров находим решение уравнения (7.5) р = 0.984. Тогда в силу формул (7.1) и (7.6) стхх = -1.720 (Н/м), деформация ихх = <гхх/Е = -0.00779 и критическое сближение краев Дж = а |и,х| = 2.54•Ю-11 (м). Та же задача в [13] решалась методом динамики частиц. Задавалось сближение двух противоположных сторон с заданной скоростью. При скорости V = 50 (м/с) поперечное движение начиналось при Дж = 1.05 • 10-10 (м), а при скорости V = 5 (м/с) — начиналось при Дж = 3.125 • 10-11 (м), т. е. количественное различие наших результатов и результатов [13] уменьшается вместе с уменьшением скорости сближения сторон.
9. Обсуждение. Сравнение наших результатов с результатами работы [13] говорит о том, что предложенная континуальная модель приводит к более жесткой пластине, чем модель, основанная на динамике частиц [13], ибо предположение 1 накладывает определенные связи на перемещения частиц. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
В работе [7] при вычислении энергии тангенциальной деформации П?2 четырех частиц 0, 1, 2, 3 проекции ио, vо перемещения частицы 0 определялись из условия
минимума энергии (в п. 3 было принято ио = vо = 0). В результате для упругих
модулей в отличие от (3.10) получаем
Е-
Зс1(с2 + 18с1с2 +27С|) 8(с!+ЗС2)2 :
с? - 6с? с2 - 9с2 с2 + 18С1С2 + 27с\ '
О
9с1С2(2С1 + Зс2) 4(с!+ЗС2)2
(9.1)
Освобождение от несуществующих связей ио = vо =0 незначительно уменьшает тангенциальную жесткость пластины. Для принятых выше значений коэффициентов с? и С2 имеем
Е/Е) = 220.8/217.2, V/;) = 0.086/0.103, О/О = 118.8/97.6.
(9.2)
0
Ь
Отметим, что коэффициенты Пуассона V и Р заметно отличаются от значений V = 0.17 - 0.21, приведенных в [5]. Сближение результатов возможно лишь за счет изменения коэффициентов е\ и С2 в формулах (2.2) и (2.3).
Для изгибных деформаций предположение 1 приводит к значительно большей погрешности. Для ее оценки откажемся от предположения, что после деформации частицы лежат на поверхности (4.1), т.е. г^ = I(х2,у2), г = 0,1,..., 18. Будем искать значения г^, (г > 0), для которых энергия изгибной деформации Пз4(к1 ,к2,т) минимальна. При этом наложим ограничение, заключающееся в том, что среднеквадратичное приближение набора точек х2,у2, г^ поверхностью второго порядка
/(ж, у) = -кхх2 + тху + -к^у2 + ах + Ъу + с,
(9.3)
приводит к тем же значениям к\, к2, т, что и выше. Это ограничение будет выполнено, если взять
г1 = I(хиу^ + Дц, г = 1, 2,..., 18, (9.4)
где приращения Дг^ удовлетворяют трем линейным уравнениям
18
а^ДгЛ = 0,
к = 1, 2, 3,
ы - Е
gi,
(9.5)
причем
,(1)
19
(хг2 >
а(2) = х у ai — xi yi
уг-
(у!)
(3) 2
а1 = у2
(у?> , (ху2
19
+х
х >
Приближенное значение минимума энергии изгибной деформации вычислялось методом Монте-Карло при случайном выборе значений Дг^ Для каждого набора параметров к1,к2,т было рассмотрено 2 • 107 вариантов.
В результате перебора величин Дzi было отмечено значительное (на 20-36% в зависимости от к1,к2, т) уменьшение энергии при взаимодействии частицы 0 с остальными 18 частицами по сравнению со значением энергии П34 в случае, когда все частицы лежат на поверхности (4.1). Этот результат может быть улучшен, если учесть, что найденное расположение точек, близкое к оптимальному для частицы 0, может оказаться неоптимальным для остальных частиц. Поэтому была вычислена изгибная энергия взаимодействия всех 19 частиц (рис. 1). Слагаемых типа П3 в (2.4) оказалось 10, а типа П4 —48. В зависимости от параметров к1,к2,т с использованием метода Монте-Карло было отмечено снижение энергии на 5-18%.
Континуальная модель может быть улучшена за счет выбора параметров жесткости эквивалентной пластины. В то же время проведенные расчеты показали, что при изгибной деформации частицы не располагаются на гладкой поверхности. В связи с этим перспективной может оказаться модель [14], учитывающая нелокальное взаимодействие.
г
2
3
х
х
2
=х
х
Литература
1. Кривцов А. М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М.: Физмат-лит, 2007. 304 с.
2. Беринский И. Е., Иванова Е. А., Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Применение моментного взаимодействия к построению устойчивой модели кристаллической решетки графита // Изв. РАН. МТТ. 5. 2007.
3. Иванова Е. А., Кривцов А. М., Морозов Н. Ф., Фирсова А. Д. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // Доклады Академии наук. 2003. Т. 391, №6. С.764-768.
4. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток с учетом моментных взаимодействий на микроуровне // Прикл. матем. и механ. 2007. Т. 71. Вып. 4. С. 595-615.
5. Кузькин В. А., Кривцов А.М. Описание механических свойств графена с использованием частиц с вращательными степенями свободы. // Доклады Академии Наук. 2011. Т. 440, №4. С. 1-4.
6. Товстик П. Е., Товстик Т.П. Модель двухмерного графитового слоя // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып.3. С. 134-142.
7. Товстик П. Е., Товстик Т. П. Статический и динамический анализ двухмерных решеток графита // Изв. РАН. МТТ. 5. 2012. C. 35-43.
8. Brenner D. W. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys. Rev. B. 1990. Vol.42. P. 9458-9471.
9. Brenner D. W., Shenderova O. A., Harrison J. A. et al. // J. Phys. Condens. Matter. 2002. N 14. P. 783-802.
10. Mayo S.L., Olafson B.D., Goddard III W. A. DREIDING: A generic force field for molecular simulations // J. Phys. Chem. 1990. Vol.94. P. 8897-8909.
11. Wackerfuss J. Molecular mechanics in the context of the finite element method // Int. J. Number. Meth. Enngnng. 2009. Vol. 77, N 7. P. 969-997.
12. Sakhaee-Pour A., Ahmadian M. T., Naghdabadi R. Vibrational analysis of single-layered graphene sheets // Nanotechnology. Vol. 19. 2008. 085702.
13. Алехин В. В., Аннин Б. Д., Бабичев А. В., Коробейников Н. С. Собственные колебания и выпучивание графеновых листов // Изв. РАН. МТТ. 5. 2013.
14. Usuki T., Yogo K. Beam equations for multi-walled carbon nanotubes derived from Flugge shell theory // Proc. R. Socc. A 465. 1199-1226. 2009.
15. Lennard-Jones J.E. // Proc. Royal Society. 1024. Vol. 106. N441.
16. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 880 с.
Статья поступила в редакцию 24 октября 2013 г.
Сведения об авторах
Морозов Никита Федорович — академик РАН, профессор; moroziv@mnf.usr.pu.ru
Товстик Петр Евгеньевич —доктор физико-математических наук, профессор; peter.tovstik@mail.ru
Товстик Татьяна Петровна — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник; tovstik_t@mail.ru
CONTINUAL MODEL OF DEFORMATION OF GRAPHENE
Nikita F. Morozov1'2, Petr E. Tovstik1, Tatiana P. Tovstik2
1 St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7/9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; moroziv@mnf.usr.pu.ru, peter.tovstik@mail.ru
2 Institute of Problems of Mechanical Engineering RAS, Bolshoy pr. V. O., 61, St. Petersburg, 199178, Russian Federation; moroziv@mnf.usr.pu.ru, tovstik_t@mail.ru
A single-layered graphene sheet is investigated. It is accepted that the total potential energy of the system under consideration consists of four parts. The first of them is the bond stretching energy describing interaction between two neighbouring atoms (the Morse potential). The second is the in-plane angle bending energy depending on the position of three neighbouring atoms (the Brenner's potential). The third is the energy of the atom deflection out of the plane of three neighbouring atoms. And the fourth is the torsion energy of four neighbouring atoms. The Van-der-Waals forces are neglected. Only the small deflections are studied. By using the long-waves approximation the continuous stretching and bending 2D energy density is delivered. As a result, the equivalent plate with the elastic stretching and bending modules is obtained. The natural frequencies of a rectangular plate are found. The stability under the inplane compression is investigated. For this aim the nonlinear terms depending on the transversal deflection are included in the tangential stresses. The numerical results are compared with the results of the other authors obtained by the molecular dynamics method. Refs 16. Figs 1. Keywords: graphen, stiffness, vibrations, stability.
