CC BY
23
УДК 539.4, 669.017
Динамические уравнения эволюции в области фрагментации
В.Л. Бусов
Донбасская государственная машиностроительная академия, Краматорск, 84313, Украина
В корреляционном приближении получены динамические уравнения эволюции для тензора полной дисторсии Pv, его градиента Vpv и скачков на границах зерен поликристаллов в области фрагментации. В том же приближении рассмотрен алгоритм релаксации упругой энергии поликристалла на основные этапах пластической деформации, включая фрагментацию.
Ключевые слова: молекулярная динамика, индентирование, тонкие пленки
Dynamic equations of evolution for fragmentation regions
V.L. Busov
Donbass State Engineering Academy, Kramatorsk, 84313, Ukraine
Dynamic equations of evolution for the total distortion tensor Pv, its gradient Vpv and abrupt changes at grain boundaries of polycrystals in fragmentation regions were derived in the correlation approximation. In the same approximation, the algorithm of elastic energy relaxation in polycrystals at the main stages of plastic deformation, including fragmentation, is considered.
Keywords: molecular dynamics, indentation, thin films
1. Введение
Известно, что кинетика пластической деформации и разрушения и их основные особенности — случайность, необратимость, чередование устойчивости и неустойчивости (многостадийность и многоуровне-вость) [1-3] — вынуждают использовать динамические уравнения эволюции дислокационных структур. В настоящее время существует ряд подходов для вывода таких уравнений: 1) на основе кинетического уравнения для функции распределения дефектов [4-6]; 2) с помощью лагранжева формализма [7, 8] для параметра порядка; 3) по схеме Ландау-Гинзбурга [9, c. 216, 10] путем минимизации свободной энергии поликристалла; 4) с помощью нелинейных дифференциальных уравнений типа Вольтерра-Лотка [11, 12]. Задача состоит в том, чтобы выбрать тип уравнений и физических величин, отражающих структурные кинетические переходы на основных этапах пластической деформации, включая фрагментацию, при условии учета иерархии структурных уровней деформации [1-3], трансляционных и ротационных мод пластичности [1, 4], изменений флук-туационных полей при переходе от одного устойчивого
состояния (спектра состояний) через неустойчивость к другому [6, 13].
2. Теоретическая модель
Выберем в качестве первичной величины тензор полной дисторсии Р = Уи (и — вектор смещений) [14], тогда плотность упругой энергии поликристалла может быть представлена в виде [15]:
w = w(P, УР). (1)
Разобьем поликристалл на две подсистемы: объемную,
для которой в имеет вид РУ, и поверхностную----- Р8
соответственно. В процессе пластической деформации эти подсистемы взаимодействуют между собой, в результате внутри них возникают различные структуры дефектов. Эти структуры, как источники внутренних напряжений, релаксируют, т.е. распадаются и переходят в новые структуры и т.д. Подтверждением этому служат многочисленные экспериментальные данные [1, 2]. Отсюда в качестве первичных уравнений используем нелинейные дифференциальные уравнения для автономных (самоорганизующихся) систем [11, 12]:
© Бусов В.Л., 2009
^ = -Ау Р V + а¥р V + вР у Р 8,
аг
^ = -Х8 р 8 +а8 р 2 + Р р 8 р аг
(2)
(3)
Если воспользоваться разложением в на усредненную и флуктуационную составляющие:
вР =(вр) + вР’Р = у’ 8>
(4)
то из (2) и (3) при отсутствии взаимодействия между подсистемами (отсутствии перекрестных членов) можно видеть, что (2) и (3) не противоречат известной теории квазистационарных флуктуаций [16, с. 397-408]. Для этого усредним (2) и (3), причем на мезоуровне в качестве пробного объема усреднения возьмем объем зерна ~D3, на макроуровне — объем ~ Xі (А— длина волны детектирующего излучения, А >> D) либо объем образца, затем вычтем полученные выражения из (2) или (3). Отметим, что согласно [16, с. 407] коэффициенты Ар равны т-1, т — время быстрой релаксации. Усредненные на мезоуровне в обозначим в (их называют сглаженными по физически бесконечно малому (пробному) объему [17]), а на макроуровне — ^ в) (усредненные по ансамблю зерен поликристалла). Рассмотрим (2), (3) относительно в на мезоуровне и ^ в) на макроуровне и домножим обе части этих равенств на 1/2 с , где с — эффективный тензор модулей упругости. В результате приходим к динамическим уравнениям эволюции напряжений первого рода на макроуровне, второго рода — на )мезоуровне, причем в правых частях члены типа 1/2 с *.. в2 отражают плотность упругой энергии в точке, типа 1/2с ..ву.. в8 — плотность энергии парного взаимодействия между подсистемами )((.. ) — оператор свертывания индексов). Отметим, что в8 на произвольной фасетке границы зерна равен скачку ву(г, 0 при переходе от зерна 1 к зерну 2:
(5)
в8 - [ву] = вУ2) - вУ1 -Ав у,
т.е. конечной разности первого порядка, и уравнение (3) переходит в уравнение
^ Ру
аг
■ = -А8[ ву] + а 8[ ву]2 + И ву] ву
(6)
для скачков на наследственных границах зерен. При усреднении (6) ^[ ву]^ = ^[ ву]^ = 0. В дальнейшем будем принимать во внимание только парные взаимодействия, трехчастичными и выше взаимодействиями на первом этапе пренебрегаем (корреляционное приближение); коэффициенты Ау, А8, ау, а8, в > 0 и остаются неизменными в процессе пластической деформации за исключением областей вблизи структурных кинетических переходов. С помощью (4) в рамках этого приближения произведем линеаризацию [11] (2) и (6) относительно флуктуаций ву и скачков [ ву], т.е. подставим (4) в (2), (6), вычтем из полученных выражений
усредненные (2) и (6), произведем фурье-преобразова-ние обеих частей выражений, окончательно получим на макроуровне:
(гю + (Ау - 2ау / % Л)) ^, ю) = 0,
(гю + (Х8 -а8 ( %у)))[%у ](q, ю) = 0,
(7)
(8)
где q — волновой вектор обратного пространства; ю — угловая частота. На мезоуровне ^ ву ^ надо заменить на ву, ву и [ ву] — на ву и [ ву]. Возникает естественный вопрос: насколько правильно эти уравнения отображают поведение реальных структур поликристалла? В начале попытаемся ответить на него с помощью схемы А.И. Олемского и др. [7, 8], где параметр порядка Т задается предельным условием:
І^І2="тчи-
5(г', г) = (8У(г' )8У(г)),
где вариация потенциала ЗУ (г) = У (г) - (у (г)^. Здесь в потенциальном рельефе атомов и(г, г) сохраняется та (макроскопическая его составляющая — С/(г, і), которая меняется на макроскопических временах, намного превышающих дебаевское время тс; составляющей и(г, г) - и (г, г), флуктуирующей за времена г << тс, пренебрегаем. Рассмотрим потенциальную энергию взаимодействия атомов в гармоническом приближении в области низких температур [18, с. 131-132]:
у = т £ф
2 паі
паг и и паі паі п' а ' і
' — —Ф..и. .и,
2
(10)
где п — номер ячейки; а — номер базисного атома в ячейке, а = 1...г, п = 0...Ы; N — число ячеек кристалла; і — направление оси. В условиях статических и циклических испытаний образцов, исследуемых ультразвуковыми волнами, для и из (10) применим предельный случай длинных волн — акустическую ветвь, где все атомы в одной ячейке колеблются в одинаковой фазе и амплитуда колебаний мало меняется от ячейки к ячейке, т.е. перейдем от дискретного описания к континууму. Здесь поле смещений иг (г, г) разложим в точке Rп = 0 в ряд по степеням Ri и ограничимся первым неисчезающим членом
1 02и
иґ (кп) = ~ 2 -л и КъКч.
(11)
2 и дгк дг1
Введем известное сокращение для тензора модулей упругости [18, с. 151]:
Р Ж КкК'1. (12)
2VWSZ п
Представим и и с для деформированного поликристалла:
и = ^и) + 8и, с ={ с) + 8с, (13)
где 8и, 8с — вариации и, с относительно ^и^ , ^с}. От-
метим, что под вариацией здесь понимается как флуктуация, так и скачок. Опуская промежуточные вычисления, получим для коррелятора:
(8и(г1, Ч)8и(г2, Ь)) = (с) (и) ВУрУр' +
+ (с) (и)Р ..п1тс^урур' +
+ (с)(и) (р..8? + У..8р) Яурур +
+ (с^ (и^ (8и8с) йурур' +
+ (с) (и)р ..п1тс^урур'+
+ (с) Вии'ВУрур' + (с) (и) Вис'ВУрур' +
+ {с)Вии'сВурур' +
(с)(и)2 (р..8у+у..8р)*
Вурур' +
+ (с )^) Вис + (и) Всс'Вурур' +
+ (и) р ..п1тсВссВурур' + (с ) (и) (8и8с) Вурур' +
+ (с ) (р. .8У + у. .8р) Вии'Вурур ' +
+ (и) Всс'ивурур' + Вии'всс'вурур'. (14)
Согласно (1) и [17] тензоры р и Ур выступают в роли независимых переменных, будем считать их и статистически независимыми. В (14)
8и = р..п/тс,
8с = 8(( с ) + у. .р) = 8(у. .р) = р..8у + у. .8р, (15)
8и8с = ¡тс (р2..8у +1/2 у..8(р2)), (16)
(и) = (Ди) = ^ / ргк ^ .лТ = ¡3* .лД (17)
Вии = (8u(r1, ^)8и(г2, t2)) = ¡т (п1 ® п2)..^рр', (18)
п = (с1, е2, е3); ^р' ^ = 0; в дальнейшем принимаем 8у = = 0;
Вис = Вси = (8Р(гЬ 4)8и(г2. Ч)) = ¡тсУ..Врр'; (19)
Виис = (8u(li, ^)8и(г2. ^)8Р(r2, Ь')) =
= у..(р)1тс(% + %(0;0)), (20)
где Врр' (0; 0) — ковариационный тензор бинарной корреляционной функции: ^8р(г1, ?1)8р(г2, ¿2 )^ - Врр' при t = = 0, |г2 - = 0;
Всс = (8с(г1, ^)8с(г2, t2)) = (У*)2..%. (21)
Подставим (15)—(21) в (14), получим:
(8и(г1, ¿1)8и(г2, =
= {п1 + {п2-Ррр' +П3Врр'(0; 0) + п4(5рр' )2}}5урур', (22)
где
П2 = С2 т + 2( с)..(в) ..уЦ^ + ( г) ..(?..( в) +
+ (у..8в)*)4 + 2(в*..у*)2 L2; (24)
Пі = (с)..?..(в) тс + 2{с) ..у.^в) в*^тс +
+ в*..?..( в и2с; (25)
П4=¡т с с?*)2.
(26)
Отсюда ясно, что наличие порядка Т Ф 0 после структурного кинетического пере хода становится возможным только при ВувУв'
= (8(Уву(1))8(Уву(2)р Ф 0, что подтверждает выражение (1); выражение ^в' приведено в приложении. Уравнения (2), (3) необходимо дополнить аналогичными, заменив в них ву на Уву и соответственно [ву] на [Уву]. В результате получим:
а™. = -Ас (V?) +
аг
+ а 5 (Vв)2 + вС ^в)^в], d([Vв]) = -Ак ([Vв] +
(27)
П = (с )2(в*)2 L2 + 2( с )2(в*)2 Ытс +
+ 2( с ) (у..8в* )(в* )2 L2 + ( с >у*..в*8((в* )2); (23)
dt
+ ак ([Ур])2 + рк ([Ур](Ур). (28)
Рассмотрим структурный кинетический переход «ячеистая структура - фрагментированная структура» на мезоуровне. Опыт показывает [1, 2], что для ГЦК- и ОЦК-металлов ячейки с размерами 0.1-0.2 мкм при переходе скачком трансформируются во фрагменты с размерами на порядок больше размеров ячеек, а ячейки с разориентировками 9П = 0.1° заменяются фрагментами с 9Г = 1°-15°; затем фрагменты в процессе пластической деформации постепенно измельчаются от 1-2 мкм до 0.1-0.2 мкм. Структурные элементы предыдущего уровня — дислокации — перемещаются вдоль плоскостей скольжения, как основных, так и аккомодирующих, переползают с одной плоскости на другую и т.д., т.е. являются основными агентами для уменьшения компонент ру в объеме зерна и повышения на границах скачков [ру] и на изломах фасеток и стыках границ двойных скачков [[ру]]. Такой алгоритм изменения размеров и разориентировок структурных элементов имеет место и при других кинетических переходах [2]: однородная дислокационная структура - ячеистая структура на дислокационном уровне, однородная фрагментированная структура - инфрафрагменты на макроуровне. Эти процессы являются автоколебательными [10], общая теория, описывающая последовательность таких переходов, известна [13, 19, 20]. В нашем случае точки переходов в пространстве главных значений тензора средней пластической деформации Е = ^ер^ являются точками бифуркаций, вблизи которых влияние флуктуаций ру, (Уру)' становится преобладающим. Здесь удобно воспользоваться известными моделями точек бифуркации дифференциальных уравнений [11,
с. 204]. В качестве управляющих параметров уравнений эволюции (назовем их внешними ) используем компоненты жордановой матрицы линеаризации (2), (6),
(27), (28) Ац = т- (;' — номер уравнения; j = s, V), имеющие размерность частоты [с-1] (назовем их условно релаксационными частотами). В [21] приведено соотношение, связывающее на мезоуровне пространственные масштабы корреляции ¡г с временами быстрой релаксации тг через скорость распространения структурных элементов предыдущего уровня — дислокаций: V = v(r, , ст;п(), где , ст;п( — тензоры внешних и
внутренних напряжений. Принимая во внимание волновой характер флуктуационных полей ру, и полей скачков [ру], запишем его в q-пространстве:
¡г (а) ^^т,. (ф. (29)
Будем считать, что (29) выполняется на трех уровнях: дислокационном, мезо и макро. Согласно (29) положительный скачок ¡г приводит к отрицательному скачку юг. Следуя (9), в области перехода для юг имеет место юг ^ 0, при этом все корреляторы В заменяются их асимптотическими формами В ^ Ва. Согласно [11, с. 204] условие для юг можно записать как
(юп- -ару -й[ру]) ^ 0, (30) где коэффициенты а и Ь — внутренние параметры бифуркации Хопфа, которые при переходе меняют знак на противоположный, а вблизи особой (неподвижной) точки с точностью до числового множителя совпадают с первыми производными дюг1/Эру, дюг2/д[ру] соответственно. Согласно [7, с. 58] коллективная мода пластичности при интенсивном внешнем воздействии состоит из фононной и релаксационной составляющих, где последняя имеет комплексный характер закона дисперсии
юф (д) = ^р д2. (31)
Здесь комплексная величина частоты связана с диссипацией упругой энергии при диффузии (течении); Dp — коэффициент диффузии. При экспоненциальной координатной зависимости фурье-компоненты корреляторов В имеют одинаковый вид зависимости от q и ю:
Т1 ТоТт
1 2 3 (32)
В(д, ю) = В(0,0) ¡¡^
п2(1 + )2 п2(1 + Хтгю, )2
но различные значения ¡г (тг) для амплитудной и фазовой корреляций (см. приложение). Отсюда соотношение (30) выполняется в гидродинамическом пределе q ^ 0 и одновременно в асимптотическом виде для ¡г ^ ^, что не противоречит соотношению неопределенностей [22]. Стабилизация югр в области перехода возможна благодаря коррелятору тензора поворота (см. приложение), ковариационный тензор которого можно выразить согласно [15]: В^(0;0) - Wю - ¡±?92, где Wю — упругая энергия поворота фрагментов; медленный рост
разориентировок и постепенное измельчение фрагментов после перехода приводят к росту юг: его характер изменения является пилообразным. Аналогичные переходы возможны и при неизменном уровне сложности дефектной структуры [10], в области фрагментации фрагменты не измельчаются между переходами, но увеличивают разориентировку. Отметим также, что характер изменения параметров зависит от температуры и вида силового воздействия (механообработки). При высоких температурах и всестороннем расширении или сжатии все три ¡г (тг) претерпевают изменение одинаковым образом: при низких температурах и прокатке, циклических испытаниях плоским чистым изгибом и т.п. два меняются существенно, один — слабо и т.д. В результате в фазовом пространстве (ру,[ру]) фазовый объем поликристалла мигрирует вдоль фазовой траектории на гиперповерхности от одной особой точки и соответствующего аттрактора — предельного цикла определенной формы и размера (или нескольких аттракторов) к другой или другим предельным циклам, проходя от нескольких до десятков точек бифуркации в виде локальных минимумов различной глубины кривых юг = юг (^. Другими словами, можно говорить о перестройке спектра релаксационных частот в процессе пластической деформации. Если экспериментально зафиксировать эволюцию этой перестройки, можно выделить все точки бифуркации и эволюцию пространственно-временных параметров на мезоуровне ниже и включая область фрагментации.
3. Обсуждение результатов
В [15] рассмотрена структура упругой энергии фрагментированного поликристалла в рамках модели решетки дисклинационных квадруполей, где релаксация обеспечивается с помощью поворотной аккомодации агрегата фрагментов и изгиба-кручения этой решетки, т.е. двух коллективных эффектов, описываемых соответственно полями тензора поворота ю(г) и тензора изгиба-кручения к(г). К этому выражению можно прийти, используя выражение момента второго порядка для тензора ру (см. выражение (П3) в приложении) (аналогично для [ру]). Для этого умножим обе его части на ^2 с , а затем свернем (упростим) по всем парам индексов. Отсюда ясно, что влияние ротационной моды пластичности через тензор поворота ю и амплитудно-фазовую и фазо-фазовую корреляции может сделать переход энергетически выгодным. Однако кинетический переход «...диктуется кинетическими факторами...», и при переходе появляются только те структуры, «.. .которые в максимальной степени диссипируют подводимую к образцу механическую энергию.» [2]. Поэтому представляет интерес рассмотреть влияние поля антисимметричного тензора поворота ю(г, t) на эволюцию дислокационных структур в процессе пластической дефор-
мации. Для этого воспользуемся представлением этого тензора через полярный вектор р и аксиальный вектор а [23, с. 34]: юш = (р, а). Еще на стадии роста плотности дислокаций в качестве р выступает единичный вектор нормали п к г-й плоскости скольжения, в качестве а — вектор поворота ю, связанный с ю:
юр=ь-1 тср [ь х п] р, (33)
р=1
где каждая система скольжения выступает со своим весовым множителем ср; Ь — вектор Бюргерса. (При выводе (33) использовано выражение (П5) из приложения.) На дислокационном уровне условие т Ь = 0 выполняется уже на масштабах порядка межплгоскостных, средний ю в объеме зерна равен нулю и флуктуации ю малы. В то же время на фасетках границ растут компоненты вектора Бюргерса ДЬ, отражающего поверхностное распределение налипших дислокаций, точнее несамосогласованной его части [2]. Здесь по аналогии с (33) в качестве р выступают нормали к фасеткам N в качестве а — векторы ротации юь на изломах и тройных стыках. Отметим, что при больших пластических деформациях существенно растут компоненты юь. Изломы и стыки зерен как источники внутренних напряжений вызывают существенные искажения в объеме, и первым ответом на них является ячеистая структура, но индуцированные векторы ротации еще малы. Фрагментация также является ответной реакцией на эти поля и своего рода экранировкой для них посредством полей поворота и изгиба-кручения к возникших фрагмен-
тов, но углы разориентации фрагментов сравнимы по величине с углами разориентации исходных зерен. Если после достижения предельной плотности дислокаций имеет место трансляционная аккомодация, то она осуществляется через амплитудную корреляцию (П4) и аккомодационные системы скольжения. При поворотной аккомодации система релаксирует через амплитудно-фазовую и (или) фазо-фазовую корреляции флуктуаций. Не полигонизация, не рекристаллизация, а фрагментация оказалась наиболее эффективной формой релаксации поликристалла при различных температурах, видах упругонапряженного состояния и исходных структурах под воздействием как механических полей [1, 2], так и импульсных электромагнитных полей [24, 25].
4. Выводы
В корреляционном приближении получены динамические уравнения эволюции для тензора полной дис-торсии ру, его градиента Уру и скачков на границах зерен поликристаллов в области фрагментации.
В процессе пластической деформации при структурных кинетических переходах происходит перестройка спектра релаксационных частот шг = шг (¿), где характер этой зависимости является пилообразным.
Приложение
Известно, что тензор полной дисторсии можно представить в виде:
ву = Єу + Юу = + Є?1 + Юу. (П1)
Разложим тензоры упругой е/ пластической ер1 деформации и поворота Юу на усредненную и флуктуа-ционные составляющие:
=(у+оф',
Є? = (є?) + (є?)', (П2)
ю=(Юу )+юУ-.
Найдем второй момент тензора ву:
(в* (г1. г1)в/т (г2’ = (^ +(§р1)2 + (Ю)2 +
+ 2( ер1} (ер1) + 2^ ее1} (ю) + ^ ер1} (ее1) + + 2{(Ю) + Ве1е1 + 2Ве1р1 + Вр1р1 +
+ 2ВеіЮ + 2Вр1 Ю + ВюЮ - (в(1)в(2)), (П3)
где
Ве1е1 - ((єе1(1))'(єе1(2))'};
Ве1р1 - :((Єе1(1))'(єр1(2))'};
Вр1р1- = ((Є р1(1))'(Є р1(2))')
Ве1Ю - ((Єе1(1))' Ю' (2));
Вр1Ю - ((Єр1(1))' Ю' (2));
В- ВЮЮ (ю' (1) ю' (2))
являются бинарными корреляционными функциями флуктуаций вышеуказанных тензоров, причем Ве1е1,
Belpl, Вр1р1 отражают амплитудную, Ве1 ю , Вр1 ю — амплитудно-фазовую, ВЮЮ' — фазовую корреляцию. Здесь
^(ее1)' ^ = ^(ер1)'^ = (Ю') = 0. Согласно [5] при больших пластических деформациях (ге1^ << (гр1^ и членами ^ее^ ~ 0 и Ве1е1 в (П3) пренебрегаем. Отметим также, что тензор поворота Ю связан с вектором поворота ю известными соотношениями:
Ю = - V2 %/Юу , Юу = -е# Юк , (П5)
где е//к — антисимметричный тензор Леви-Чивиты.
Литература
1. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 228 с.
2. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.
3. Владимиров ИВ. Физическая природа разрушения металлов. -М.: Металлургия, 1984. - 280 с.
4. Лихачев В.А., Волков А.Е., Шудегов В.Е. Континуальная теория дефектов. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. - 232 с.
5. Ханнанов Ш.Х. О кинетике непрерывно распределенных дислока-
ций // ФММ. - 1978. - Т. 46. - № 4. - С. 708-713.
6. Градов О.М., Попов Е.А. Структурная устойчивость и иерархия квазистационарных состояний при разрушении // Синергетика и усталостное разрушение металлов / Под ред. В.С. Ивановой. -М.: Наука, 1989. - С. 138-152.
7. Олемской А.И., Петрунин В.А. Перестройка конденсированного состояния атомов в условиях интенсивного внешнего воздействия // Изв. вузов. Физика. - 1987. - Т. 30. - № 1. - С. 82-121.
8. Олемской А.И., Наумов И.И. Фрактальная кинетика усталостного разрушения // Синергетика и усталостное разрушение / Под ред. В.С. Ивановой. - М.: Наука, 1989. - С. 200-214.
9. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Ч. 2. Теория конденсированного состояния. - М.: Наука, 1978. -448 с.
10. Попов Е.А., Иванова В.С., Терентьев В.Ф. К вопросу о классификации дислокационных структур и анализ многоуровневой динамики ансамбля дефектов // Синергетика и усталостное разрушение металлов / Под ред. В.С. Ивановой. - М.: Наука, 1989. - С. 153170.
11. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. - М.: Мир, 1986. -243 с.
12. Плис А.И., Сливина Н.А. Маthcad: математический практикум для экономистов и инженеров. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 654 с.
13. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. - М.: Мир, 1979. - 280 с.
14. Косевич А.М. Физическая механика реальных кристаллов. - Киев: Наукова думка, 1981. - 327 с.
15. Жуковский И.М., Рыбин В.В. Крупномасштабные моментные и асимметричные напряжения в кристаллах, содержащих дально-действующие дефекты // ФММ. - 1989. - Т. 67. - № 3. - с. 432443.
16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. - М.: Наука, 1976. - 584 с.
17. Климонтович ЮЛ. Турбулентное движение и структура хаоса. -М.: Наука, 1990. - 317 с.
18. Маделунг О. Теория твердого тела. - М.: Наука, 1980. - 416 с.
19. Хорстхемке B., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. -М.: Мир, 1987. - 201 с.
20. Хакен Г. Синергетика иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. - М.: Мир, 1985.
21. Бусов В.Л., Шермергор Т.Д. Рассеяние ультразвуковых волн в поликристаллах при развитой пластической деформации на стадии фрагментации // Физика и техника высоких давлений. -2002. - Т. 12. - № 1. - С. 60-70.
22. Рыгтов С.М., КравцовЮ.А., ТатарскийВ.И. Введение в статистическую радиофизику. Ч. 2. Случайные поля. - М.: Наука, 1978. -465 с.
23. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. - М.: Наука, 1973. - 504 с.
24. Соколов Л.Н., Тулупенко В.Н., Кузнецов H.H. Растяжение тонкой медной проволоки под воздействием сильного импульсного поля // Сб. статей ДГМА. - 1994. - Вып. 2. - Краматорск. - С. 68-71.
25. Головин Ю.И. Магнитопластичность твердых тел (Обзор) // ФТТ. - 2004. - Т. 46. - № 5. - С. 769-803.
Поступила в редакцию 12.01.2009 г.
Сведения об авторе
Бусов Владимир Львович, к.т.н., ст. преп. ДГМА, dima_busov@mail.ru
