CC BY
30
Динамическая функция отклика в методе подвижных клеточных автоматов, построенная на основе калибровочной модели однородно-деформируемого материала с дефектами
М.А. Чертов, Н.В. Чертова, Ю.В. Гриняев, А.Ю. Смолин, С.Г. Псахье
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Обсуждаются построение, способ реализации и апробация новой динамической функции отклика подвижных клеточных автоматов, зависящей от скорости нагружения. Предложенный метод основан на использовании аналитических соотношений, полученных в ходе анализа динамической модели однородно-деформируемого материала с дефектами, построенной в рамках калибровочной теории дефектов с учетом диссипации энергии и самодействия дефектов. Численная реализация функции отклика предполагает введение временной зависимости, определяющей переход из упругой области в пластическую с увеличением предела текучести с ростом скорости деформации. Апробация функции отклика проведена на основе моделирования задачи по одноосному нагружению.
Dynamic response function for movable cellular automata derived on the basis of a gauge model of the uniformly deformed material with defects
M.A. Chertov, N.V. Chertova, Yu.V. Grinyaev, A.Yu. Smolin, and S.G. Psakhie
Institute of Strength Physics and Materials Science, Tomsk, 634021, Russia
In the paper we discuss the construction, method of realization, and approval of a new dynamic response function for movable cellular automata, which depends on loading velocity. The proposed method is based on analytical relations obtained in analyzing a dynamic model of the uniformly deformed material with defects, which is developed within the gauge theory with consideration for energy dissipation and defect self-action. The response function is realized numerically by introducing the time dependence that determines the transition from the elastic to the plastic domain with an increase in yield stress as strain rate rises. The response function is approved using uniaxial loading simulation.
1. Введение
Развитие нового численного дискретного метода подвижных клеточных автоматов [1, 2] для описания процессов высокоскоростного деформирования сложных материалов и конструкций является крайне актуальной задачей. Это связано с тем, что построенный в рамках дискретного подхода метод подвижных клеточных автоматов имеет ряд уникальных преимуществ, в частности, при моделировании интенсивных деформаций и разрушений, сопровождаемых фрагментацией и перемешиванием масс [3], при моделировании поведения материалов со сложной внутренней структурой [4]. Использование преимуществ метода подвижных клеточных автоматов при моделировании динамических задач позво-
лит численно исследовать физические процессы, которые невозможно описать другими методами.
Ранее [5] была введена нелинейная функция отклика клеточного автомата, учитывающая нелинейный рост давления со сжатием, что является необходимым при моделировании высокоскоростного деформирования. Чтобы более точно моделировать поведение материала при динамическом нагружении, важно также учитывать влияние скорости деформирования на функцию отклика клеточных автоматов.
Существует огромное количество моделей динамического поведения упругопластических сред, однако далеко не все из них позволяют явно учесть влияние скорости деформации на механические свойства мате-
© Чертов М.А., Чертова Н.В., Гриняев Ю.В., Смолин А.Ю., Псахье С.Г., 2005
риала. В данной работе предлагается использовать результаты, полученные на основе модели однородно-де-формируемого материала с дефектами [6], построенной в рамках калибровочной теории дефектов [7], которая позволяет это сделать. Обоснование такого решения заключается в том, что калибровочная теория представляет собой математически строго обоснованный формализм, который учитывает один из основных физических механизмов пластической деформации — движение дефектов. В первой части работы кратко изложены основные этапы построения и анализа теоретической модели однородно-деформируемого материала с дефектами, важными особенностями которой являются учет диссипации при движении дефектов и самодействие поля дефектов. Затем на основе полученных аналитических соотношений сформулирован и апробирован способ реализации в рамках метода подвижных клеточных автоматов численной модели отклика материала, зависящего от скорости деформации.
2. Построение калибровочной модели однородно-деформируемого материала с дефектами
Используемая в данной работе теоретическая модель однородно-деформируемого материала с дефектами впервые была описана в работе [8]. Задавая различные условия внешнего нагружения, в рамках данной модели можно описывать различные физические процессы: ползучесть (постоянная нагрузка) [8, 9], усталостное разрушение (знакопеременное циклическое нагружение) [10], деформирование с различными скоростями (напряжение пропорционально деформации) [6]. При этом построенная модель верно воспроизводит основные физические закономерности поведения деформируемого материала при рассмотренных условиях нагружения. В частности, как показано ниже, в рассчитанном спектре кривых напряжение - деформация с ростом скорости нагружения наблюдается переход от пластичного поведения материала к хрупкому.
Тот факт, что на основе одной и той же модели удалось успешно описать различные физические явления, скорее всего, обусловлен несколькими причинами. Во-первых, модель базируется на математически строгом фундаменте калибровочной теории дефектов [7], во-вторых, учитывает важные с точки зрения физики пластичности явления: внутреннее трение, связанное с движением дефектов, (это основной канал диссипации механической энергии при пластической деформации) и взаимодействие дефектов друг с другом, которым в большинстве дислокационных моделей пренебрегают. Основные аспекты развития калибровочной теории дефектов с целью учета диссипации и самодействия поля дефектов можно найти в работах [11-13], здесь рассмотрение этих вопросов максимально сокращено или опущено.
Построение калибровочной теории дефектов [7] начинается с постановки задачи для бездефектной упругой среды. Идеология построения калибровочных теорий, заимствованная из физики элементарных частиц, используется для обоснованного введения дополнительных физических степеней свободы, определяющих распределение дефектов и его динамику. Исходный упругий лагранжиан инвариантен относительно глобальной группы симметрии смещений и поворотов. Наличие в среде дефектов нарушает глобальную симметрию. Процедура минимальной замены позволяет построить лагранжиан, инвариантный относительно локальной группы преобразований сдвига и поворота. При этом необходимо ввести дополнительные степени свободы — калибровочные поля, компенсирующие локальное отсутствие симметрии. Поля, компенсирующие локальное нарушение сдвиговой симметрии, естественно отождествить с дефектами трансляционного типа — дислокациями, поля, компенсирующие нарушение вращательной симметрии, — с дисклинациями. Ниже будем предполагать, что в рассматриваемых материалах дис-клинации отсутствуют. Можно показать [7], что напряженность калибровочного поля, соответствующего дислокациям =е jkl д к ф^, где ф — тензор пластической
дисторсии; £ук — антисимметричный тензор Леви-Чивиты, эквивалентна тензору плотности дислокаций в континуальной теории дефектов. Однако в отличие от континуальной теории дефектов, где распределение и движение дефектов считалось заданным извне, а вопрос математической формулировки взаимного влияния континуума дефектов и упругого континуума или причин движения дефектов оставался открытым, здесь эта проблема отсутствует, система уравнений движения дефектов является замкнутой. Эта система принимает следующий вид [13]:
У-а = 0, УхI = —, , д(
(1)
V-1 = -—Ре&, Уха = ~ — В S
В э/ 7 э7.
Здесь а, I — тензоры плотности и плотности потока дислокаций; стеИ, РеИ — эффективные напряжения и импульс; В, 7 — константы теории; V — стандартный оператор набла в прямоугольной декартовой системе координат; Э/Э? обозначает частную производную по времени. Константа В характеризует инерционные свойства ансамбля дефектов, 7 — удельную энергию, приходящуюся на единицу длины дефекта. Знаки х и • обозначают векторное и скалярное произведение величин. Можно отметить, что данная система уравнений по виду аналогична системе уравнений Максвелла, если заменить напряженность электрического и магнитного поля на напряженности поля дефектов Е ^ I, Н ^ а,
при этом напряженности поля дефектов приобретают дополнительный пространственный индекс. Эффективные напряжения и импульс автоматически появляются при выводе полного лагранжиана калибровочной теории [7], они учитывают наличие в среде силовых и динамических возмущений, обусловленных внешними воздействиями и дефектами материала. Фактически, эффективные напряжения и импульс представляют собой сумму внешних упругих составляющих, которые исчезают при снятии нагрузки, и внутренних составляющих, связанных с необратимыми деформациями:
аей = аех‘ + ат‘, Ре® = Рех‘ + Рт‘. (2)
В работах [11, 13] было показано, что внутренние напряжения и импульс, обусловленные дефектами материала, могут быть выражены через характеристики поля дефектов:
С С
стш* = 7 (а-а- — а2) + В(I ■ I - — 12) + ^1, (3)
Ры = В(а* I), (4)
где 8 — единичная матрица; (?) означает векторное произведение по первому индексу и скалярное по второму. Поскольку в соответствии с системой уравнений (1) эффективные напряжения и импульс определяют динамику поля дефектов, то приведенные соотношения, фактически, выражают самодействие поля дефектов. Таким образом, в отличие от большинства известных дислокационных моделей континуальной теории дефектов, где, как правило, либо внешние напряжения определяют динамику дефектов, которые подстраиваются под приложенную нагрузку, либо изучается упругое поле дефектов с заданным распределением и динамикой, в предложенной модели рассматривается полностью взаимосвязанная система упругого и дислокационного континуумов.
Выражение для напряжений (3) содержит член пропорциональный скорости пластической дисторсии Рр1, I = -Эрр1/^, что является общепринятым определением тензора плотности потока дефектов [14]; "л — коэффициент вязкости. Данное слагаемое представляет собой вязкие напряжения по аналогии с моделью вязкой жидкости и вязкоупругого тела [15]. Отметим, что учет рассеяния энергии, связанного с движением дефектов, является принципиально важным, поскольку процесс пластической деформации является существенно диссипативным. Вязкие напряжения такого вида [12] предполагают существование диссипативной функции, квадратичной относительно скорости пластической дисторсии R =ц1у I у. В данном случае все компоненты тензора плотности потока дефектов предполагаются равнозначными, поэтому "п — скаляр, в самом общем случае "Л может быть тензором четвертого ранга (Я = Цук1 ).
В то же время, в классических теориях пластичности
[16] рассматривается диссипативная функция, однородная относительно первой степени скорости пластической деформации, Я = 0^I^(круглые скобки обозначают симметрирование, 0 — константа). Последняя описывает рассеяние энергии, обусловленное зарождением дефектов, соответствующая сила трения определяет предельное напряжение сдвига. При этом предполагается, что движение дефектов не сопровождается диссипацией энергии. Диссипативная функция квадратичного вида, наоборот, учитывает энергию, рассеянную при движении дефектов, и пренебрегает энергией зарождения дефектов. Это справедливо для многих материалов, в которых наблюдается микропластическая деформация [17]. Отметим, что физические механизмы рассеяния механической энергии при движении дефектов, которые можно учесть с помощью квадратичной диссипативной функции, могут быть весьма разнообразны [18]. Сюда относится, например, электронное трение, которое связано с возмущением электронной плотности при движении дислокаций. Можно также отметить фононное трение, которое обусловлено взаимодействием движущихся дислокаций с тепловыми колебаниями решетки. Фононное трение объясняется либо негармоничностью поля упругих деформаций, создаваемых дислокациями, либо процессами переизлучения фононов дислокациями.
После подстановки соотношений (2) и (3) в систему уравнений (1) получаем:
У-а = 0, УхI = ^,
В(У-1) = - В(а? I) - Р6x1,
ЭI 3
БУ ха =-В-------7 (а • а — а2) -
Э? 2
- В( I ■ I--212)-аех‘.
Записанная система позволяет исследовать динамику дислокационного ансамбля при заданном внешнем воздействии, определяемом величинами Рех*, стех*.
Многочисленные экспериментальные исследования эволюции дефектных структур, в частности, представленные в работе [19], показывают, что хаотическое распределение дефектов, наблюдаемое вблизи предела текучести материалов, по мере увеличения деформации сменяется последовательностью неразориентирован-ных и разориентированных дефектных субструктур. Сделаем модельное предположение, будем считать, что при рассматриваемых условиях деформации не достигают значений, при которых начинается формирование дефектных субструктур, то есть распределение дефектов остается хаотичным. При континуальном описании
напряженности поля хаотически распределенных дефектов (а, I) соответствуют однородному их распределению и не зависят от координат. В этом приближении уравнения (5) запишутся в виде:
^ = о,
дt ’
(6)
B(a* I) = -pVext,
г\Т Я я
B — + S(а-а—а1) + B(I ■ I — 11) + dt 2 2
+ л! + aext = 0.
Из первого уравнения системы следует, что плотность дислокаций не зависит от времени, когда дефекты материала распределены однородно. Полагая а = 0, получим
B — + B(I ■ I--11) + ^I + стех‘ = О. dt 2
(7)
Будем рассматривать одномерную задачу, что соответствует одноосному нагружению некого стержня, тогда в уравнении (7) останутся только продольные компоненты In = -£п, стп, где £п по определению [14] — скорость пластической дисторсии. Тензорные индексы этих величин далее опускаются. В итоге получим нелинейное дифференциальное уравнение, связывающее скорость пластической деформации £ и напряжения а:
d^ 1 „ 1 л s 1
— = — Е1 - —£ + — ст. dt 2 B B
(8)
Дальнейшее рассмотрение будет проводиться в безразмерных переменных. После соответствующих подстановок V = (В/л)^, т = (п/В)?, а = (В/-ц2 )ст уравнение (8) принимает вид:
dv l 2
— = —v -v + ст. dx 2
(9)
3. Влияние скорости деформирования на механические свойства материала
Чтобы исследовать влияние скорости деформации на поведение материала, получим и проанализируем ст-е-диаграммы одноосно-деформируемого тела, нагружаемого с постоянной заданной скоростью Ёtotal = = const > 0. Безразмерную скорость пластической деформации v в (9) можно представить как разность скорости полной и упругой деформации:
v = b -Ё, (10)
где b = (В/^)Ё total; е — упругая деформация. Используя (10) и выражая внешние напряжения через упругие деформации ст = ае, где a — безразмерный упругий модуль, уравнение (9) можно преобразовать к виду
1 • 1 Л U\' и b
є =-є -(1 -b)e-ae + b-.
22
Обозначим в (11) х = е, у = х = Ё и перейдем к анализу фазового портрета двумерной динамической системы:
x = У,
y = -——(1 -b)У - ax + b-—.
(12)
Система уравнений (12) имеет единственную особую точку
xo =-(1-“X Уо = О. a2
(1З)
В результате решения характеристического уравнения получаются собственные числа
Х1’1 = ~2~ ± 2^ ~ 1)1 " 4a.
(14)
Поскольку оба управляющих параметра модели а и Ь, характеризующих упругие свойства материала и скорость деформирования, положительны, можно заключить, что особая точка типа седла не реализуется. Так как притягивающий или отталкивающий характер особой точки определяется знаком вещественной части собственных корней (14), то притягивание или отталкивание определяется только параметром Ь. При Ь > 1 особая точка имеет отталкивающий характер, а при Ь <1 — притягивающий.
Рассмотрим случай притягивающей особой точки. Будем считать, что в начальный момент времени система не деформирована. Это значит, что начальная точка фазовой траектории (0, Ь). Если а < 1/4, то по мере возрастания Ь от 0 до 1 особая точка меняет свой характер, начиная с узла (при 0 < Ь < 1 - 2^а, это соответствует вещественным А1 Ф X2, оба меньше 0), затем вырожденный узел (при Ь = 1 - 2^а, Х1 = Х2 = 0), затем фокус (1 - 2^/^ < Ь < 1, ^1, X 2 — комплексно-сопряженные) и центр (Ь = 1, А1, X 2 — чисто мнимые собственные числа). Если а > 1/4, то во всем промежутке 0 < Ь < 1 имеется только фокус.
Можно доказать, что при выбранном начальном условии (0, Ь) даже с учетом нелинейных членов при Ь < 1, траектория не покидает область притяжения особой точки, и при t ^ ж х ^ х0, у ^ у0. Другими словами, с течением времени упругая деформация больше не увеличивается, скорость упругой деформации равна 0, и вся деформация становится пластической. С физической точки зрения это соответствует выходу на площадку текучести. Различие между узлом и фокусом заключается в том, что в случае узла траектория сразу выходит на предельное значение, а в случае фокуса она
Рис. 1. Фазовый портрет (узел при а = 0.2, Ь = 0.1) (а); а-е-диаграмма, аналогичная экспериментальным кривым с площадкой текучести (б)
испытывает экспоненциально затухающие колебания вокруг этого значения. При достаточно большом декременте затухания это можно трактовать как зуб текучести. Если решить систему (12) численно, то, откладывая по х полную деформацию е(оЫ = Ьт, а по у — напряжение, которое определяется через упругую часть деформации, а = ае, можно построить ст-е-диаграммы рассматриваемого тела. На рис. 1, 2 представлены типичные зависимости для узла и фокуса.
Если рассматривать значения параметра Ь > 1, то в этой области также возможны различные типы особой точки — отталкивающие узел и фокус. Однако в этом случае конкретный тип особой точки не важен, поскольку теперь доминирует нелинейный член - у 2 /2, который быстро уводит систему на бесконечность. Ситуацию, когда при неизменном режиме внешнего нагружения упругий отклик материала принимает большое значение противоположного знака, можно трактовать как хрупкое разрушение материала. Этот случай представлен на рис. 3.
Когда параметр Ь мало отличается от единицы, вещественная часть собственных корней мала и осцилляции вокруг особой точки нарастают или затухают очень медленно. При Ь = 1 особая точка становится центром,
и траектория с выбранными начальными условиями становится замкнутой (рис. 4). Такие осцилляции не находят своего отражения в реальных системах, поэтому рассматриваемая модель не работает в окрестности Ь = 1. Это можно объяснить следующим образом. Из лагранжиана и уравнения (7) следует, что константа В характеризует инерционные свойства ансамбля дефектов, а "л, по определению, характеризует вязкость системы дефектов. Отношение В/л имеет размерность времени, естественно его выбрать в качестве времени релаксации т* ансамбля дефектов. Рассматриваемая модель согласуется с экспериментальными данными при е << 1/т* и при е >> 1/т*, потому что в этом диапазоне не нарушается исходное предположение об однородном распределении дефектов. При малых скоростях система успевает срелаксировать к однородному распределению дефектов, при больших — исходное однородное распределение дефектов не успевает нарушиться из-за большой инерционности. Другими словами, в первом случае дефекты успевают подстраиваться под внешнюю нагрузку, а во втором — внешнее воздействие не успевает повлиять на систему дефектов. При характерных временах порядка времени релаксации, однородное рас-
Рис. 2. Фазовый портрет (фокус при а = 0.25, Ь = 0.6) (а); а-е-диа-грамма, аналогичная экспериментальным кривым с зубом текучести (б)
Рис. 3. Фазовый портрет (фокус при а = 0.25, Ь = 1.5) (а); а-е-диа-грамма, аналогичная экспериментальным кривым хрупкого разрушения (б)
пределение дефектов может нарушаться, что выходит за рамки данной модели.
Можно заключить, что рассмотренная модель деформируемого тела, полученная в рамках полевой теории дефектов, правильно отражает известную зависимость механических свойств материала от скорости деформирования. В литературе неоднократно отмечалось [20], что один и тот же материал может вести себя как пластический при малых скоростях деформации и как хрупкий при больших. Кривые деформации, полученные при малых и больших скоростях деформирования, качественно согласуются с диаграммами различных материалов.
Поскольку в рассматриваемой модели отсутствует барьер Пайерлса, который напряжения должны превысить, чтобы инициировать движение дислокаций, то координаты особой точки фазового портрета (13), которые в случае пластичного поведения материала определяют установившееся значение напряжения, можно рассматривать как зависимость предела текучести от скорости деформирования Ь. В размерной форме выражение (13) запишется как
где под е понимается полная деформация, складывающаяся из упругой и пластической составляющей. Далее это выражение будет использовано для построения зависящей от скорости деформации функции отклика подвижных клеточных автоматов. Некоторым недостатком выражения (15) можно считать то, что в статическом случае получается нулевой предел текучести, это связано с отсутствием в рассмотренной калибровочной модели порогового напряжения, при котором начинается скольжение дислокаций.
Такую же параболическую зависимость (15) можно получить феноменологическим способом, на основе анализа массивов экспериментальных данных, однако использование теоретической зависимости калибровочной теории дефектов имеет ряд преимуществ. В частности, это связано с тем, что параметры, входящие в (15), имеют ясную физическую трактовку. Из эксперимента необходимо определить В и "п — параметры, характеризующие инерционные и диссипативные свойства дислокационного ансамбля. Их определение можно осуществлять на основе более широкого класса независимых экспериментов, чем просто в случае феноменологической подгонки коэффициентов, возможна осмысленная привязка этих параметров к классам материалов. Если известна зависимость характеристик ансамбля дефектов от других параметров, например, от
У = "ле
1 - — в 2ц
А
(15)
Рис. 4. Фазовый портрет (центр при а = 0.25, Ь = 1) (а); а-е-диаграм-ма (б)
температуры, можно на основе (15) учесть влияние этих дополнительных управляющих параметров на динамический предел текучести материала. К сожалению, использовать преимущества подхода калибровочной теории дефектов в полном объеме пока затруднительно, поскольку отсутствует достаточно широкая и достоверная экспериментальная база по измерению инерционных и диссипативных параметров ансамблей дефектов.
4. Построение функции отклика с переменным пределом текучести
Рассмотрим подробно, как можно воспользоваться зависимостью (15) для учета влияния скорости деформирования на функцию отклика материала в методе подвижных клеточных автоматов. В базовой версии метода подвижных клеточных автоматов, в котором не рассматривается влияние скорости деформирования, задание функции отклика, определяющей упругопластическое поведение материала, основано на использовании теории малых упругопластических деформаций [21]. Один из постулатов этой теории заключается в том, что существует единая кривая упрочнения, записанная относительно инвариантов тензоров напряжений и деформаций, которая остается справедливой для различных случаев нагружения. Иными словами, измерив кривую упрочнения для какого-то простого вида нагружения, обычно, одноосного растяжения-сжатия, можно описывать различные простые нагруженные состояния материала. В качестве единой кривой выбирается зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций о1 (е 1). Кроме того, предполагается, что объемная деформация всегда является упругой, объемное напряжение пропорционально ей с объемным упругим модулем К:
= Ке„
(16)
Компоненты напряжений в данной модели записываются в виде:
Пі =ує і +
1 -
(17)
где стг- — нормальные напряжения; — сдвиговые напряжения. Коэффициент пропорциональности между компонентами девиаторов напряжений и деформаций % в упругой области равный модулю сдвига G, определяется наклоном кривой упрочнения:
(18)
При переходе в пластическую область модуль ^ уменьшается, а следовательно, падает и сопротивление сдвигу
(17). В отличие от классической теории малых упругопластических деформаций, в (18) присутствует отношение приращений интенсивности напряжения и дефор-
Рис. 5. Пример зависимости интенсивности напряжения от интенсивности деформации с билинейным упрочнением, определяющей функцию отклика клеточных автоматов
мации, а не самих величин. Это связано с тем, что расчет по соотношениям (16) и (17) производится в приращениях. В методе подвижных клеточных автоматов используется билинейная модель упрочнения, то есть кривая а 1 (е 1) состоит из трех линейных участков, первый из которых соответствует упругой области, два других — упрочнению (рис. 5). При этом значение модуля ^ при переходе от одного участка к другому изменяется скачком.
Использование билинейной модели упрочнения связано со стадийностью экспериментально наблюдаемых зависимостей напряжения от деформации. Известно, что по мере развития в материале пластической деформации происходит последовательный переход от стадии легкого скольжения к стадии линейного и параболического упрочнения. Как показывают структурные исследования, смена стадий коррелирует с эволюцией дефектных структур в материале. Последовательность стадий может варьироваться для различных материалов, однако наиболее характерными являются вторая и третья стадии — стадии линейного и параболического упрочнения. Именно эти стадии и аппроксимируются вторым и третьим участками функции отклика в методе подвижных клеточных автоматов на рис. 5. Хотя возможно использование более сложных, в том числе нелинейных, аппроксимаций (например, использование полинома второй степени для параболической стадии), предпочтение отдано линейной функции, потому что введение нелинейности негативно сказывается на устойчивости численного расчета и требует существенного уменьшения шага интегрирования.
При построении теории пластичности, направленной на решение широкого класса задач, важно учитывать динамический аспект [22]. Независимость от времени — достаточно сильное упрощающее предположение, которое совершенно ошибочно для очень быстрых или очень медленных процессов. Кроме того, известно, что переход от упругого к пластическому режиму деформирования является релаксационным процессом [23],
при котором превышающие некий пороговый уровень упругие деформации релаксируют за счет зарождения и распространения дефектов — носителей пластической деформации. С необходимостью, этот переход обладает определенной инерционностью. Основная идея предлагаемой реализации динамической функции отклика заключается в том, чтобы изменение модуля ^ при переходе из упругой области в пластическую происходило не скачком, как в немодифицированной версии метода подвижных клеточных автоматов, а изменялось со временем (релаксировало) в соответствии с временным законом
dy = -у^г = —
■—т.—^г.
(19)
то(1 -ё I/ Ч)
Здесь у — параметр, контролирующий скорость переключения; т0 — параметр релаксации; Ё1 — скорость изменения интенсивности деформации; Ё0 — внешний параметр. При этом зависимость а 1 (е 1), по-прежнему, предполагается одинаковой для различных типов нагружения, однако в зависимости от скорости нагружения ее вид может изменяться. Определение у = = [т0 (1 -Ё 1/ Ё 0 )]-1 выбрано из соображений, которые раскрываются ниже. Очевидно, что чем выше скорость нагружения, тем больше вырастет напряжение за то время, пока происходит релаксация модуля от упругого значения к пластическому у2. В результате получим, что предел текучести будет возрастать с увеличением скорости деформации. Действительно, полагая скорость деформации постоянной при изменении модуля ^, из (19) следует экспоненциальная зависимость для модуля ^ и выражение для времени релаксации принимает вид:
(20)
(21)
1 VI
Можно вычислить приращение напряжения, отсчитываемое от статического предела текучести, которое произойдет за время переключения модуля:
(
1 -
¥2
^1
Л
(22)
= ^1^ое1
( Ё ^ 1 -Ь-
Это напряжение совпадает с полученным в рамках калибровочной модели (15), если положить ^1т0 ="Л, Ёо = 2ц/В.
К сожалению, в настоящее время отсутствует надежная экспериментальная информация относительно величины параметра В, характеризующего инерционные свойства поля дефектов, и величины коэффициента вязкости "л при движении поля дислокаций. Поэтому пара-
Рис. 6. Одноосное сжатие тестового образца с различными скоростями
метры материала т0 и Ё0 необходимо оценивать на основе аппроксимации экспериментальных зависимостей по растяжению стержней. При этом надо учитывать, что в различных источниках экспериментальные кривые могут аппроксимироваться различными выражениями. Вполне допустимо, что параметр Ё0, который согласно калибровочной модели характеризует переход от пластического режима деформирования к хрупкому, теряет свой физический смысл и становится просто параметром аппроксимации. При выборе Ё0 необходимо учитывать очевидное физическое ограничение. Из (22) следует существование максимума напряжения атах = = ¥1То ё2 /4, при Ё1 = 1/2 Ё0 .Если Ё1 > 1/2 Ё0, то с дальнейшим ростом скорости деформации происходит уменьшение предела текучести, что не корректно с физической точки зрения. Поэтому допустимыми являются такие значения Ё0, при которых максимум (22) лежит выше предела разрушения в напряжениях ст8, то есть Ёо > 2^ ^1Т0 • Если это условие выполнено, при лю-
бых скоростях деформации разрушение материала будет происходить до того, как предел текучести достигнет максимального допустимого значения.
На рис. 6 представлены результаты тестовых расчетов по сжатию прямоугольного образца с различными скоростями. В качестве материала использовалось железо с параметрами: статический предел текучести Y = 520 МПа, плотность р = 7 800 кг/м3, модуль Юнга Е = 206 ГПа. Размер образца составлял 15x15 мм2, скорость нагружения варьировалась в интервале 1-5 м/с, скорость деформации составляла примерно 65-330 с-1. Поскольку была поставлена задача проверить работоспособность реализованного подхода, а не выполнить моделирование поведения реального материала, параметры, определяющие зависимость от скорости деформации, выбирались произвольно. Параметру Ё0 было присвоено очень большое значение, чтобы избежать проблем с описанным выше ограничением, параметр
т0 равнялся 7.5 • 10-6 с. При таком соотношении т0 и скоростей нагружения достаточно наглядно проявляется уменьшение предела разрушения по деформации с ростом скорости нагружения. Наблюдаемое в расчете качественное поведение образца соответствует предсказанному по калибровочной модели. Так, наблюдается увеличение предела текучести с ростом скорости деформирования. Кроме того, это приводит к уменьшению предельной деформации и сокращению участка упрочнения, который исчезает совсем, когда предел текучести достигает значения предела разрушения. Таким образом, в построенной численной модели, также как и в калибровочной модели, с ростом скорости нагружения наблюдается переход к хрупкому поведению материала.
5. Заключение
Полученные на основе теоретической модели результаты показали, что с ростом скорости деформирования происходит изменение вида рассчитанных кривых напряжение-деформация. Для одного и того же материала при малых скоростях получены кривые, вид которых качественно соответствует экспериментальным диаграммам с площадкой текучести, затем диаграммам с зубом текучести и при наибольших скоростях диаграммам с хрупким разрушением. Найденные аналитические соотношения, описывающие изменение свойств материала с ростом скорости деформации, в частности, изменение предела текучести с ростом скорости деформации, использованы для построения динамической функции отклика клеточных автоматов, которая необходима для моделирования задач высокоскоростного нагружения материалов и конструкций. В результате предложена основанная на использовании калибровочной теории дефектов функция, позволяющая задать зависящий от скорости деформирования интегральный отклик клеточного автомата, учитывающий физические механизмы пластической деформации, развивающиеся на более низком структурном уровне.
Построенная функция отклика апробирована на основе моделирования тестовой задачи по одноосному нагружению образцов с различными скоростями. Получено, что поведение моделируемого образца под нагрузкой качественно соответствует действительности.
Авторы выражают благодарность профессору В.А. Скрипняку за конструктивные замечания и обсуждение данной работы.
Работа выполнена при поддержке гранта Фонда содействия отечественной науке в рамках программы «Лучшие аспиранты РАН» и гранта РФФИ № 05-01-00303-а.
Литература
1. Psakhie S., Horie Y, Ostermeyer G., Korostelev S., Smolin A., Shilko E., Dmitriev A., Blatnik S., Spegel M., Zavsek S. Movable cellular automa-
ton method for simulating materials with mesostructure // Theor. and Appl. Fract. Mech. - 2001. - No. 37. - P. 311-334.
2. Псахъе С.Г., ЧертовМ.А., ШилъкоЕ.В. Интерпретация параметров
метода подвижных клеточных автоматов на основе перехода к континуальному описанию // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - №3. -С. 93-96.
3. Popov VL., PsakhieS.G., DmitrievA.I., ShilkoE.V. Quasi-fluid nanolayers at the interface between rubbing bodies: simulations by movable cellular automata // Wear. - 2003. - V. 254. - P. 901-906.
4. Псахъе С.Г., Шилъко Е.В., Астафуров С.В. Изучение особенностей
механического отклика гетерогенных материалов с границами раздела, характеризующимися высокой деформационной способностью // Письма в ЖТФ. - 2004. - Т. 30. - Вып. 6. - С. 45-51.
5. Чертов МА., Сонг И., Чен К., Хуанг Д., Смолин А.Ю., ШилъкоЕ.В., Псахъе С.Г. Использование метода подвижных клеточных автоматов для описания больших объемных деформаций и высокоскоростного нагружения // Современные проблемы физики, технологии и инновационного развития: Сб. статей молодых ученых. -Томск: Изд-во ТГУ, 2003. - С. 52-54.
6. ГриняевЮ.В., ЧертоваНВ., ЧертовМ.А. Анализ влияния скорости деформирования на характер диаграмм G-е // ПМТФ. -2002. - Т. 43. - № 4. - С. 150-154.
7. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дискли-
наций. - М.: Мир, 1987. - 168 с.
8. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Динамическая теория дефектов и пол-
зучесть твердых тел // Письма в ЖТФ. - 2000. - Т. 26. - Вып. 16. -С. 57-62.
9. Чертова Н.В., Гриняев Ю.В. Анализ длительности процессов ползучести в рамках полевой теории дефектов // Письма в ЖТФ. -2001. - Т. 71. - Вып. 7. - С. 57-59.
10. Chertova N.V, Grinyaev Yu.V Theory of defects and its applications to description of solids deformation // Proc. 6th Int. Conf. for Meso-mechanics “Multiscaling in Applied Science and Emerging Technology. Fundamentals and Applications in Mesomechanics”, Patras, Greece, May 31 - June 4, 2004 / Eds. by G.C. Sih, Th.B. Kermanidis, Sp.G. Pantelakis. - Patras: Patras University, 2004. - P. 106-112.
11. Гриняев Ю.В., Панин В.Е. Полевая теория дефектов на мезоуровне // Докл. РАН. - 1997. - Т. 353. - № 1. - С. 37-39.
12. Popov VL., ChertovaN.V Gauge theory of “plastically incompressible” elastic-plastic medium. II. Dispersion relations with dissipation // Int. J. Engng. Sci. - 1992. - V. 30. - No. 3. - P. 335-340.
13. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Полевая теория дефектов // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 5. - С. 19-32.
14. КосевичА.М. Основы механики кристаллической решетки. - М.: Мир, 1972. - 280 с.
15. ЛандауЛ.Д., ЛифшицЕ.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1987.247 с.
16. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.
17. Дударев Е.Ф. Микропластическая деформация и предел текучести поликристаллов. - Томск: Изд-во ТГУ, 1988. - 256 с.
18. Рыбин В.В. Структурно кинетические аспекты физики развитой пластической деформации // Изв. вузов. Физика. - 1991. - № 3. -С. 7-21.
19. Конева Н.А., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пластической деформации // Изв. вузов. Физика. - 1990. - № 2. - С. 89106.
20. ФридманЯ.Б. Механические свойства металлов. - М.: Оборонгиз, 1952. - 256 с.
21. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990. - 400 c.
22. Гилман Дж.Д. Микродинамическая теория пластичности // Микропластичность. - М.: Металлургия, 1972. - Р. 18-37.
23. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Макаров П.В. и др. Физическая мезо-механика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с.
