Диагностика пьезокерамического элемента по активной составляющей проводимости Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Диагностика пьезокерамического элемента поактивной составляющей проводимости

В.Л. Земляков, С.А. Толмачев

Активная составляющая проводимости пьезокерамического элемента (ПКЭ) 0{а) является одной из основных частотных характеристик, позволяющих проводить диагностику ПКЭ. Она может быть записана в виде [1]:

О (а) =-2-Т > (1)

Я (1 +

где Я - активное сопротивление на частоте механического резонанса сор, у(а) = а]ар Iа, Qм - механическая добротность.

Рассматриваемая частотная характеристика может измеряться в непрерывном режиме, когда на ПКЭ воздействует синусоидальный сигнал с линейно изменяющейся частотой. Визуально наблюдаемая, например, на экране индикатора амплитудно-частотных характеристик, непрерывная функция в(а) позволяет качественно оценить свойства ПКЭ.

В последнее время получили распространение измерительно-вычислительные комплексы на базе персонального компьютера, в которых измерение частотной характеристики активной составляющей проводимости проводится в дискретных точках к значений О(а^ ) с шагом по частоте Аа^. При таких измерениях важно определить наибольшее значение Аа£, при котором сохраняется достаточная точность получения

результата, реализуется минимально возможный объем измерений и вычислительных операций.

Различные методы определения параметров ПКЭ по частотной характеристике активной составляющей проводимости рассмотрены, например, в [2 - 6].

Предполагая, что в зависимости от цели исследований ПКЭ, значение шага дискретизации может быть различным, рассмотрим определение Ас^ для трех измерительных задач:

1. Восстановление непрерывной частотной зависимости активной составляющей проводимости по последовательности отсчетов (в соответствии с теоремой В.А. Котельникова) [7, 8];

2. Определение добротности ПКЭ и пьезомодуля материала через интеграл от активной составляющей проводимости (площадь под кривой) [9];

3. Определение добротности ПКЭ и пьезомодуля материала по максимальному значению производной от активной составляющей проводимости [10 - 12].

Для решения первой задачи выполним следующие операции. Преобразуем у(с) к виду у(с) = 2(Ср — с)/ сор и, используя

обозначение а = Ыр / 2Qм , для О(с) получим

а2 1

= ---2-2. (2)

а + (юр — с)

Я

Используя симметрию преобразования Фурье относительно переменных с и ^ [7], для максимального шага дискретизации получим Аст = 2ж/Тс, где Тс - длительность сигнала £(/), формирующего спектральную функцию в(с).

Преобразование Фурье для функции О(с), представленной в виде (2), имеет вид

1 7 0(2 ejat а _nt S(t) = — Г-----da =— e а cosapt.

() R а2 + (ap-ю)2 R P

Потребуем выполнения равенства S(0)/S(Tc) = 100 [8], тогда

Ашт =

шр 2n

2Qm ln100

Учитывая, что Qm = Wp / Aw, где Aw - ширина резонансной кривой

активной составляющей проводимости на уровне 0,5 от максимального значения, получим, Awm ~ Aw / 2.

Учитывая рекомендацию выбирать Аш^ в три - четыре раза меньше

максимального значения, рекомендуемое число точек N в диапазоне значений, равном ширине резонансной кривой должно быть N = 10, или

Awk «Aw/10. (3)

Для решения второй задачи определим добротность через интеграл от активной составляющей проводимости.

7

Для вычисления интеграла I = j G(a)da, воспользуемся результатами

0

работы [9], в которой соотношение (1) представлено в виде

G(a) =

R ю1

L 4 Ю +

(r! 2 >

v L LC j

2 1

L2C 2

Тогда, используя обозначения

1

2

( R2 2 Л

v L LC j

1

, Л

LC

запишем

1 = Г

R 7 ю1 da

2L2 -7ю4 + 2ЦЮ1 + Л

После применения теоремы о вычетах получим

ю с2 йс _ . — /

К 4^,2, 2 = 2я1:

-ю

с4 + 2цс2 + 7 2^2(ц + 77)

Подставляя значения ^ и 77, в итоге получим

Ю 1

/ = |в(с)йс = ^ -. (4)

о 2 ^

Воспользуемся известной из электротехники связью динамической индуктивности с добротностью. Тогда

ю Ж Ю р

I =1 = -—р—. (5)

о 2 яа

м

Для решения третьей задачи воспользуемся тем, что график активной составляющей проводимости имеет точку перегиба, соответствующую частоте максимума производной от активной составляющей проводимости по частоте стах, как это сделано в работах [10 - 12]. Выполним дифференцирование выражения (1):

2

г\ СС р

аь(с) = — 2 ам у(сУ(с) _ с2

а® ^ я((1+^(с)ам))2 срЯ((1+^2с)ам))2'

Выполним некоторые преобразования, опираясь на формулу (1). Введем обозначение

(с—ср)

-— = .X,

(с1—ср)

где с - соответствует частоте, на которой активная составляющая

проводимости равна половине максимального значения.

Определим вторую производную от функции вида 1/ - + х2) и приравняем ее к нулю. В результате получим

1 л - 2 + 6х2

(—2) =-^Т = 0 ■

1 + х2 (1 + х2)3

Из последнего выражения следует, что х = 1 / л/3, следовательно, получаем

(юшах — юр) 1

(ю1—юр) л/3

(6)

Значение производной на частоте максимума, с учетом равенства (6), определяется по формуле

2 2 (Шшах — юр )

4ам( 4 шах р/)

ю,

|р О (юшах) = о/ _ т \

(1+(¿^^^А а м)2)2

ю,

'/7

(юшах — ^р )

4 а м ( / ч )

(ю1— юр) 1,3 б

(юшах юр2 юп^ (ю1—юр )

юрЯ (1 + (^7шах-Р)2)2 юр

В итоге получим

0,11юр0|(юшах) п юрО|(юшах)

0' 111С1Л. / V 111С4УЧ. / /П\

м = ~~ ■ (7)

О (юр) 4 О (юр)

Для проведения исследования трех рассмотренных измерительных задач с использованием среды программирования МайаЬ были разработаны соответствующие приложения.

В результате компьютерного эксперимента для эквивалентной электрической схемы ПКЭ с исходной добротностью бисх = 100 были получены результаты, представленные на рис. 1 а, б: рис. 1 а соответствует погрешности определения добротности по формуле (4), а рис. 1 б -определения добротности по формуле (7).

Погрешность определения величины добротности в зависимости от числа точек N в диапазоне значений, равном ширине резонансной кривой активной составляющей проводимости рассчитывалась по формуле

Д% = 100%

бм - б:

исх

б

исх

Поскольку при определении добротности путем интегрирования результат зависит от расположения точек измерения, на рис. 1 а приведены наибольшие значения погрешности при фиксированном N.

Д%

Д%

N

Рис. 1. Зависимость погрешности определения добротности от числа точек в диапазоне значений, равном ширине резонансной кривой

Из представленного материала следует, что, в зависимости от цели исследований ПКЭ, количество точек измерения активной составляющей проводимости (значение шага дискретизации) может быть различным:

для восстановления непрерывной частотной зависимости активной составляющей проводимости по последовательности отсчетов (в соответствии с теоремой В.А. Котельникова) необходимо иметь шаг дискретизации по частоте соответствующий наличию примерно 10 точек в диапазоне значений, равном ширине резонансной кривой активной составляющей проводимости;

- для определения добротности ПКЭ через интеграл от активной составляющей проводимости (площадь под кривой) необходимое количество точек измерения в том же диапазоне не менее 5 - 6;

- для определения добротности ПКЭ по максимальному значению производной от активной составляющей проводимости количество точек в диапазоне значений, равном ширине резонансной кривой активной составляющей проводимости составляет не менее 15 - 20.

Работа выполнена на оборудовании ЦКП «Высокие технологии» ЮФУ при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы».

Литература:

1. Пезокерамические преобразователи: Справочник. / Под ред. С.И.Пугачева. Л.: Судостроение, 1984. - 256 с.

2. Акопьян В. А., Соловьев А. Н., Шевцов С. Н. Методы и алгоритм определения полного набора совместимых материальных констант пьезокерамических материалов. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2008. 144 с.

3. Земляков В. Л. Методы и средства измерений в пьезоэлектрическом приборостроении: монография. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. 180 с. (Пьезоэлектрическое приборостроение. Т. 5).

4. V.L. Zemlyakov Methods for Determination of the Piezoelectric Coefficient of Piezoceramic Materials in Terms of Parameters of an Equivalent Circuit of a Piezoelement // Piezoelectrics and Related Materials: Investigations and Applications. Pub. Date: 2012 2nd Quarter, р. 117-142.

5. Zemlyakov V.V., Zemlyakov V.L. A new approach to measuring the piezomodulus of a piezoceramic material under dynamic conditions // Measurement Techniques. 2002. V. 45. N 4. P. 421.

6. Земляков В. Л. Измерение пьезомодуля по активной составляющей проводимости пьезокерамического элемента // Измерительная техника. 2009. № 8. С. 64-66.

7. Радиотехнические цепи и сигналы. / Под ред. К.А. Самойло. М.: Радио и связь, 1982. - 528 с.

8. Земляков В. Л. О дискретности записи частотной характеристики проводимости пьезоэлементов // Сборник трудов Междунар. научно-практич. конф. «Актуальные проблемы пьезоэлектрического приборостроения». Ростов н/Д: Изд-во ООО «ЦВВР», 2006. С. 160-162.

9. Патент РФ 1648175 МПК H03H 3/02. Способ определения пьезомодулей

/ В. Л. Земляков - Опубл. 28.02.1994. Бюл. № 8.

10. Земляков В. Л., Ключников С. Н. Определение параметров пьезокерамических элементов по амплитудным измерениям // Измерительная техника. 2010. № 3. С. 38-40.

11. Ключников С.Н. Метод определения добротности резонансных систем по амплитудным измерениям и его аппаратная реализация на базе LABVIEW [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. 2011. №4. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011/521.

12. Земляков В. Л., Ключников С. Н. Определение пьезомодуля материала пьезокерамического элемента. [Электронный ресурс]. Инженерный вестник Дона. 2012. № 2. - Режим доступа: (http://ivdon.ru/magazine/archive/n2y2012/803)