Асимптотические решения скалярного волнового уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СКАЛЯРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

С.И. Харитонов, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский Институт систем обработки изображений РАН, Самарский государственный аэрокосмический университет

Аннотация

Рассмотрены асимптотические методы решения уравнения Гельмгольца. Представлен новый метод решения задачи дифракции на одномерных дифракционных оптических элементах с зонной структурой. Метод использует специальные представления для поля и диэлектрической проницаемости в зоне микрорельефа, позволяющие свести задачу дифракции на зонах микрорельефа к задаче дифракции на системе дифракционных решеток. Метод обобщает приближение Кирхгофа и применим для асимптотического решения уравнений Максвелла.

Введение

В общем случае решение задач дифракции представляет собой сложную математическую задачу и требует специальных численных методов и больших вычислительных затрат [1, 2]. Асимптотические методы относятся к категории аналитических методов и играют большую роль. В ряде случаев они позволяют быстро и эффективно оценить результат, не прибегая к громоздким численным расчетам. Для развития новых асимптотических подходов для решения уравнений Максвелла (или уравнений акустических волн) целесообразно первоначально рассмотреть более простую задачу решения скалярного волнового уравнения. Асимптотическим методам решения уравнения Гельмгольца и посвящена настоящая работа.

Приближение геометрической оптики основано на асимптотическом методе решения уравнения Гельмгольца. Известные аналитические методы решения задач дифракции на дифракционных оптических элементах (ДОЭ) используют приближение геометрической оптики для расчета поля непосредственно за дифракционным микрорельефом [1, 2]. Целью данной работы является анализ геометрооп-тического подхода и построение новых асимптотических решений уравнения Гельмгольца, основанных на более точной локальной аппроксимации поля в рельефе полем в дифракционной решетке.

1. Геометрооптический подход

В дифракционной оптике широко используются два асимптотических метода:

1. лучевой метод или приближение геометрической оптики [3-5];

2. метод перевала или метод стационарной фазы [3, 6].

Рассмотрим подробнее первый метод. Распространение света в скалярной теории описывается волновым уравнением Гельмгольца. В неоднородной среде уравнение имеет вид:

АЕ (х, у, г ) + к 2е(х, у, г )Е (х, у, г ) = 0, (1)

где к = 2%Тк, X - длина волны, Е - компонента комплексной амплитуды электрического поля, е - диэлектрическая проницаемость материала, (х, у, г) -декартовы координаты.

Представим комплексную амплитуду в показательной форме Е = А ехр (¡ку), где А - амплитуда

поля, у - эйконал поля и подставим ее в уравнение (1). В результате получим

¡к ( 2УАУу + ААу) + + (АА - к2А (Уу)2 + к2еА) = 0.

(2)

Это комплексное уравнение соответствует системе двух уравнений

йУ(А2Уу) = 0, (Уу) =е+ -к^-.

к2 А

(3)

В случае, когда свойства среды, амплитуда и фаза решения уравнения Гельмгольца изменяются медленно, система уравнений принимает следующий вид [3-5]:

йУ (А2Уу) = 0, (Уу)2 = е.

(4)

В этом случае уравнения перестают быть связанными друг с другом и их можно решать последовательно. Уравнения (4) называются уравнениями переноса и эйконала и описывают геометрооптиче-ский подход [3-5]. Геометрооптический метод является асимптотическим решением уравнения Гельм-гольца при к ^го.

Для того, чтобы найти решение системы уравнений (4), необходимо задать значения амплитуды и эйконала поля на некоторой начальной поверхности. Если начальная поверхность является плоскостью г = 0 и е = 1, то решение уравнений (4) можно записать в виде [5]

Е (х, у, г ) = А(и ,у

,0)ехр(у(,уи,0)+ 4 (,уи))) ,(5)

Р (, Уп )

х = х (и у = х (и

г = К

где J(и, у) =

п Н п Н

.+—4

ди "

ь

' ду "

(6)

,5уу Г5у

ди ) V ду, дх (и, у)ду (и, у) дх (и, у) ду (и, у)

- яко-

ди ду ду ди

биан преобразования, индекс п представляет номера лучей, пришедших в точку (х, у, г) из точек (ип, уп ) плоскости г=0, Ьп - расстояние от точки выхода луча до точки прихода луча (х,у, г).

п

Использование формулы (5) на практике приводит к проблеме поиска всех корней системы алгебраических уравнений (6).

В случае, когда корень не единственный, поиск корней становится сложной и неустойчивой задачей. Кроме того, выражения (5), (6) перестают быть справедливыми в области каустик и фокальных точек. Для того, чтобы выражения (5), (6) было удобно ис-

пользовать для решения практических задач, необходимо их модифицировать.

Найдем модуль выражения (5)

/ ч / ч А2 (и ,V ,0) . . Е (х, у, 2 )Е * (х, у, 2 ) = X Л ) +а(Х, У,2 №

п (ип , Уп )

a(x, y, z ) =

А (, vn ,0 )) * (, v„ ,0 )exp (( (у(, ^ ,0 ) + Ln (, ^ )-у(ия, v„ ,0 )-Lm (um, v„ )))

= Х

(8)

4J (un , vn )J (um , vm )

Наблюдаемая интенсивность света, которая регистрируется прибором (или глазом), имеет вид:

U (x, У, z ) = J G (x - x,, y - y )x xE(x,,У,,z)E*(x,,y,,z) dy,,

(9)

где интегрирование производится по апертуре датчика. Функция О (х - х1, у - у1) зависит от устройства регистрации и, например, может иметь вид га-уссианы:

(

exp

G (x, y )=■

2 , 2 ЛЛ

x + y

2пст

где ст характеризует размер датчика. При ст^- 0 и к , выражение (9) можно переписать в виде:

А2 (ип, у ,0)_

U (x, y, z )=Х-

dx(un, vn ) Ф (un > vn ) ^ (un > vn ) Ф (un > vn )

dv

dv

du

U (x, y, z ) =

= Js(x - x(u,v); y - y (u,v))A2 (u, v, z)dudv.

(!0)

В (10) интегрирование ведется по поверхности, на которой заданы начальные условия.

Практическое использование формулы (10), предполагает замену дельта функции Дирака на ее аппроксимацию, например, на гауссиану

(

exp

y ) = ■

2 , 2 \\ x + y '

a2

2na

(H)

где a - параметр регуляризации (по порядку величины a равно размеру датчика). Формулы (Ш), (ii) представляют собой основу целого класса алгоритмов трассировки лучей (ray tracing). Выражение (Ш) справедливо в окрестности каустик и фокальных точек. В этом случае формула (Ш) дает значение интенсивности, усредненное по поверхности регистратора. Отметим, что интенсивность, рассчитанная по формуле (5), в окрестности каустик и фокальных точек стремится к бесконечности.

2. Модифицированный геометрооптический метод Рассмотренный выше геометрический или лучевой подход справедлив, если свойства среды и поля изменяются медленно. Рассмотрим модификацию

данного метода. Пусть решение скалярного волнового уравнения представляется в виде

Е (х, у, 2) = А ехр (/'к у) =

= X А (х ^2) ехР [/ку 1 (х ^2), (12)

1

где , у у - медленно меняющиеся функции. В этом случае функции А, у можно не считать медленно меняющимися. Подставим (12) в уравнение Гельм-гольца и получим

Х(/к (2УА, Уу 1 + А] Ду 1) +

j

+ (ДА. - к 2 А, (Уу . )2 + к 2еА. ))х (13)

х ехр (/к у 1) = 0.

Умножим (13) на /(х,у,2)ехр(-/кут), где / (х, у, 2) - произвольная гладкая функция, и проинтегрируем по области пространства, содержащей точку, в которой требуется вычислить поле:

{Х(/к (2УА1 уу 1 + А Ду 1) +

1

+ (ДА1 -к2А (уу 1 )2 + кН))х (14)

х ехр (ку 1) ехр (-/ку т) х х / (х, у, 2) с1х dy С2 = 0.

Пренебрегая величинами более высокого порядка малости, будем иметь

{(/к (2УАтУут + АтДут ) +

+ (ДАт - к 'Ат (Уу т ) + к 2 ^ ))х (15)

х / (х, у, 2 ^)СхСуС2 = 0.

Учитывая произвольность функции /(х,у,2) в (15), получим уравнения для главных членов асимптотического разложения

div (Am Уу m ) = 0, (Уу m )2 =s.

(,6)

Для решения полученной системы дифференциальных уравнений (16) необходимо задать на начальной поверхности значения функций А1, у 1.

n

3. Асимптотические разложения при использовании дифракционных оптических элементов

Рассмотрим асимптотическое решение уравнения Гельмгольца (1) для случая дифракции на одномерном (цилиндрическом) дифракционном оптическом элементе (ДОЭ).

ДОЭ предполагаем расположенным в области 0 < г < a, где 0 и a - минимальная и максимальная высоты дифракционного микрорельефа. Распределение диэлектрической проницаемости в области ДОЭ предлагается описать выражением

е(х, г) = Xе" (х, г )ехр [//эту(х),

(17)

где у(х) - эйконал ДОЭ. Под эйконалом ДОЭ будем понимать функцию, определяющую границы зон на оптическом элементе. Границы зон определяются из уравнения

у(х„ ) = тк.

В области за ДОЭ (7>а) и в области перед ДОЭ (7<0) диэлектрическую проницаемость считаем постоянной.

Решение уравнения Гельмгольца в области ДОЭ (0 < г < а), в области за ДОЭ и в области перед ДОЭ представим в виде:

Е(х, г) = Х С" (х, г)ехр \/'/эту(х)] ,

п

Ег>а ( г) = Х Т" (х' г)еХР \_'кп^(х)] ,

п

Ег<0 ( г) =

= X (((х, г) + К" (х, г)) ехр ("у (х)),

(18)

(19)

(20)

где функции С" (х, г), Т" (х, г), К" (х, г) подлежат

дальнейшему определению. Функции I" в (20) определяют подающую волну.

Для решения задачи дифракции достаточно определить функции Т" (х, г), К" (х, г) на границах

области ДОЭ при 7=0 и ъ=а. Знание поля на границах области рельефа позволяет найти поле в любой области пространства, используя, например, интеграл Кирхгофа.

Производные поля (18) имеют вид:

д2Е (х, г) ^дС" (х, г) г . .-,

—-—- = X—дТ2 ехР \-'к"У(х ),

дг2

д2 Е (х, г) = дг2 "

= -Хехр [/к"у (х)] С" (х, г )к2"2

ду(х) дг

(21)

(22)

В (22) оставлены только главные члены разложения. Подставляя (17), (21), (22) в уравнение Гельмгольца, получим

X ехр\//эту (х )]

"

-С" (х,г)к

(

д2С" (х, г )

дг2

(ду(х)

дх

+к2С" (х,г)Хет (х,г)ехр[/'кдау(х)] I = 0.

т )

Умножим (23) на ехр\-/кру(х) /(х) и проинтегрируем по х по апертуре Б. Оставляя только главные члены порядка к 2 , получим уравнение:

ду (х

г ( д2Ср (х, г) . . , ,

/б I-- СР (x, г )к 2 р

дг2

дх

+ X кVр (х, г) Ср (х, г)) / (х) с!х = 0. " )

(24)

Учитывая, что уравнение (24) должно выполняться при любой функции / (х), получим для определения функций С" (х, г) систему обыкновенных дифференциальных уравнений

д 2Ср (х, г)

дг2

-Ср (х,г)к2р2

ду (х)

дх

(25)

+Х к2е"- (х, г)С" (х, г) = 0, р = -да, +да.

Введем понятие локального периода или локальной ширины зоны ДОЭ

С (х) = к/ ^, Сх

(26)

В этом случае уравнения (25) принимают вид:

гЛг< Р<___\ \2

д'С(х,г> -Ср (х,г)(ИР I +

дг2 ^ \ С )

+Х к2б"-р (х, г)С" (х, г) = 0, р = -да, +да.

(27)

Уравнения (27) при каждом фиксированном х = х0 совпадают с уравнениями для поля внутри дифракционной решетки с периодом С и распределением диэлектрической проницаемости [7, 8]

■(^ г ) = Хе"(xo, г )ехр

2п" I-х

С

Полученный результат позволяет локально описывать ДОЭ дифракционной решеткой.

Решение уравнений (25) представим в виде

Ср (х, г) = ир (х, г) А" (х) + V- (х, г)В" (х), (28)

, ч , ч сСС" (х,0) где А" (х)= С" (х,0), В" (х)=-. В (28) и

ёг

ниже предполагается суммирование по повторяющимся индексам (правило Эйнштейна). Функции ир (х, г) и V/ (х, г) в (28) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

сир , .

-р = ш'ид —- =

Сг2 д р , с1г2 д р '

(29)

п

п

п

"

н" =-|2т) 5" + к2е-р, Р = (30)

с начальными условиями

, ч й¥Р (х,0) ир (х,0)- тК/ ' =ър.

, , аир (х,0) V" (х,0)-—тУ '- 0, т v ' сЪ

(31)

(32)

5" - символ Кронекера.

Подставляем (28) в (18) и получаем поле в области ДОЭ:

Е (х, 2) = (и" (х, 2)А" (х) +

+V" (х,г)В" (х))ехр(/к"у (х)).

Производная поля равна

СЕ (х, 2 ) ( аи" (х, 2 ) . . --" ^ >-А" (х) +

Сг I Сг dV„p (х, 2)

В" (х) I ехр (кру (х)).

Сг

На границах области ДОЭ (при 2 - +0 и при 2 - а - 0) поле и производная имеют вид:

Е (х, 2) - А" (х)ехр (кру (х)), ( ' )- В" (х )ехр (г'кру(х)),

(33)

С2

Е (х,а)-(ир (х,а)Ап (х) +

+ Vп" (х,а)Вп (х))ехр (кру (х)),

СЕ (х, 2) (Си" (х,а) , . ^ ' - п ^ '-А" (х) +

(34)

С2

С2

dVnp (х,а) , .) / , чЧ —п К ' Вп (х) ехр (гк"у (х)).

Поле и производная поля перед ДОЭ (при 2 - -0 ) и сразу после ДОЭ (при 2 - а + 0) могут быть получены из (19), (20) в виде:

Е (х, -0) -I" (х, -0) ехр (кпу (х)) + +Я" (х, -0) ехр (кпу (х)),

(35)

ёЕ (х,0)

-- 1к

С2

ду (х)

дх

х (I" (х, -0) - Я" (х, -0)) ехр (кпу (х)), Е(х, а + 0) - Т" (х, а + 0)ехр(/'кпу(х)),

СЕ (х, а + 0)

С2

■ -/к. е-п

ду (х)

(37)

(38)

<Т" (х, а + 0)ехр (кпу(х)).

Запишем условия непрерывности полей и производных (33)-(38) на границах области ДОЭ

Т" (х, а + 0)ехр(/кпу (х)) - (и" (х, а)А" (х) + + V"" (х, а)В" (х)) ехр (("у (х)).

(39)

/к. е-"

ду (х)

дх

Т" (х, а + 0)

с ехр (к"у (х)) -

СУ" (х, а)

Си" (х, а)

С2

А" (х) +

(40)

С2

В" (х) ехр (/к"у(х)),

А" (х) ехр (/к"у (х)) -- (I" (х, -0) + Я" (х, -0)) ехр (у (х)),

В" (х)ехр("у (х)) - /к. 1е-"

ду (х)

V дх /

< (I" (х, -0) + Я" (х, -0))ехр(к"у (х)).

(41)

(42)

на

Умножая уравнения (39)-(42) ехр [-/к"у( х)] / (х) и интегрируя по х по апертуре ДОЭ, получим систему уравнений для определения функций А(х), В(х), Я (х, -0) , Т(х, а + 0)

Тт (х, а + 0) - (ит (х, а)А" (х) + Vm (х, а) В" (х))

/к. е-т

ду (х)

дх

Тт (х, а + 0)-

Си^ (х, а)

С2

А" (х) +

dVnm (х, а)

С2

В" (х)

А" (х,0) - (I" (х, -0) + Я" (х, -0))

В" (х,0)- /к^е-"2 ^ (I" (х,-0) + Я" (х,-0)).

(43)

Система уравнений (43) при любом фиксированном х совпадает с системой линейных уравнений для определения коэффициентов дифракции на периодической дифракционной решетке с периодом (26) [7, 8].

Поле на выходе ДОЭ имеет вид:

Е(х, а) - £ Т" (х, а + 0)ехр [гк"у(х)]. (44)

"

Для того, чтобы найти поле в области за ДОЭ, будем использовать интеграл Кирхгофа

E (x, z) = J E (x,a)

-ikz

27 (x - u )2 +(z - a )2 (45) x H J (k^ (x-и)2 +(z - a )2

Предложенный метод расчета поля (43), (45) целесообразно использовать для расчета полей от ДОЭ с зонной структурой. Зонная структура характерна для ДОЭ, рассчитанных в приближении геометрической оптики. Метод (43), (45) позволяет моделировать ДОЭ с большим размером апертуры в тысячи длин волн. Данный подход является обобщением метода нелинейного предискажения, изложенного в работах [1, 2, 9]. Метод также обобщает приближение Кирхгофа [3, 4].

Пример расчета

В качестве примера рассмотрим ДОЭ, выполненный в виде градана с двумя возможными значениями показателя преломления п 1, П 2. Распределение диэлектрической проницаемости в этом случае описывается следующим выражением:

со

е (x) = е0 + £ 2 |еи| cos (((x) + arg (еи)),

=¿л(1 - exp (-2п int»+

П 2

-(l - exp (-2п int)),

2%1п

80 = П^ + П 2 (1 - О'

где г - коэффициент заполнения диэлектриком с показателем преломления п 1. Пусть коэффициент г не меняется от зоны к зоне. В этом случае коэффициенты Тп в (44) зависят от следующих переменных

Тп (х, а + 0) = Тп (п 1, п 2,г' а, й (х)) , где й (х) - локальная ширина зоны ДОЭ, а-высота области ДОЭ. Подставляя выражения для коэффициентов Тп в (44) и используя интеграл Кирхгофа (45), получим следующее выражение для поля в произвольной точке полупространства т>а

E (x, z )=£J.

-ik (z - a)

(x - u )2 + (z - a)2

xTn

П i,п

, t, a, X

d у (u ) du

i Л

exp [ikny (u )] x (46)

xHJ (((x - u )2 + (z - a )2 )du .

В качестве примера оценим значение интенсивности поля в фокусе одномерной линзы

у = -к^и2 + (/ - а)2 , где (/-а) - фокусное расстояние. В этом случае основной вклад в поле в фокусе будет вносить одно слагаемое в (46) при п = 1. Заменим в (46) функцию Ханкеля ее асимптотикой

Hi (z) =

и получим

2 ff тп п

expI i I z----

nz 11 2 4

/ \ rR/2 1

7 (0' f )= J-R/2T

П 1, П 2't, a>

X^ju2 + (f - a)2

V

(f - a)2

--3 du

X(u2 + (f - a)2 )

В параксиальном приближении функция T1 (ni, n2, t,a) = C и не зависит от размера зоны. В

этом случае значение интенсивности в фокусе ' f )=f

совпадает с результатом, полученным по методу нелинейного предыскажения [1, 2, 9].

Заключение Рассмотрены асимптотические методы решения скалярного волнового уравнения. Разработан новый метод решения задачи дифракции на цилиндрических ДОЭ. Специальные представления для поля и диэлектрической проницаемости в области микрорельефа ДОЭ позволили локально свести задачи дифракции на ДОЭ к задаче дифракции на дифракционной решетке. Данный подход является обобщением методов, основанных на представлении поля в виде системы дифракционных порядков. Предложенный подход можно использовать для получения асимптотических решений системы уравнений Максвелла.

Благодарность Работа выполнена при поддержке грантов Президента РФ № МД -210.2003.01 и № НШ-1007.2003.1, гранта РФФИ № 01-01-00097 и российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» («BRHE»).

Литература

1. Методы Компьютерной Оптики. Под редакцией В.А.Сойфера // М.: «Физматлит», 2000, 688 с.

2. Methods For Computer Design of Diffractive Optical Elements. Edited by Victor A. Soifer. // A Wiley-Interscience Publication John Wiley & Sons, Inc., 2002. 765 p.

3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики // Pergamon Press, 1986.

4. Виноградова М.Б., Руденко О.В, Сухору-ков А.П. Теория волн // М.: Наука, 1979.

5. Кравцов В.В., Орлов А.А. Геометрическая оптика неоднородных сред // М.: Наука. 1979.

6. Федорюк М. В. Асимптотики Интегралы и ряды // М.: Наука 1987.

7. Moharam M.G., Grann E.B., Pommet D.A. Formulation for stable and efficient implementation of the rigorous coupled-wave analysis of binary gratings // J. Opt. Soc. Am. A, 1995. V. 12. №5. Р. 1068-1076.

8. Moharam M.G., Grann E.B., Pommet D.A. Gaylord T.K. Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings: enhanced transmittance matrix approach // J. Opt. Soc. Am. A, 1995. V. 12. №5. Р. 1077-1086.

9. Computer generated diffractive multi-focal lens / Golub M.A., Doskolovich L.L., Kazanskiy N.L., Kharitonov S.I., Soifer V.A. // Journal of Modern Optics. - 1992. - Vol.39, №6. - P.1245-1251.

2

x

n=1