Асимптотический метод расчета поля от оптических элементов, обладающих зонной структурой Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДИФРАКЦИОННАЯ ОПТИКА

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОЛЯ ОТ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ, ОБЛАДАЮЩИХ ЗОННОЙ СТРУКТУРОЙ

С.И. Харитонов, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, М.Л. Каляев Институт систем обработки изображений РАН Самарский государственный аэрокосмический университет

Аннотация

Представлен новый асимптотический метод решения задачи дифракции света на дифракционных оптических элементах (ДОЭ) с зонной структурой. Метод включает строгое решение задачи дифракции на периодической структуре с периодом, сравнимым с длиной волны, и асимптотический подход к расчету поля за ДОЭ. Получено решение задачи дифракции света на эталонной квазипериодической структуре, сочетающей в себе функции дифракционной решетки и дифракционной линзы. На основе решения эталонной задачи получена простая аппроксимация для поля непосредственно за ДОЭ.

Введение

Рассмотрим дифракцию света на дифракционном оптическом элементе (ДОЭ), обладающем зонной структурой. Свет представляет собой электромагнитные волны, и поэтому строгое решение задачи дифракции должно быть основано на решении системы уравнений Максвелла с соответствующими задаче граничными условиями. Однако на практике хорошо известно, что решение уравнений Максвелла в коротковолновой области весьма трудоемкая задача даже для современных компьютеров. Для оценки поведения решения системы уравнений Максвелла в коротковолновой области широко используются асимптотические методы. Наиболее известным асимптотическим методом является приближение геометрической оптики [1]. Приближение геометрической оптики хорошо работает в случае, когда свойства среды слабо меняются на расстояниях сравнимых с длиной волны освещающего пучка. Методы решения задач дифракции на периодических структурах, основанные на точном решении уравнений Максвелла, хорошо известны [2]. Если структура не является периодической, то для решения задач дифракции используются конечно-разностные методы [3] или методы, основанные на решении соответствующих интегральных уравнений [4]. В работах [5-7] рассмотрены асимптотические методы решения волновых уравнений для решения задач дифракции в рамках скалярной теории. В работе [8] представлены методы расчета поля от спиральной фазовой пластинки в рамках параксиальной векторной теории. В работе [9] разработаны методы решения задач дифракции на микрочастицах.

В данной работе рассматривается асимптотический подход к решению широкого класса задач дифракции в рамках электромагнитной теории. Подход основан на синтезе асимптотического метода к

расчету поля после ДОЭ, основанного на вычислении интеграла Кирхгофа-Котлера методом стационарной фазы, и решения задач дифракции на квазипериодических структурах внутри ДОЭ. Полученные с использованием данного метода формулы для поля от ДОЭ можно легко интерпретировать в рамках геометрической оптики.

Применение асимптотических методов в физике связано в основном с использованием геометрической оптики [1], квазиклассического приближения в квантовой механике, а также с вычислением интеграла Кирхгофа-Гюйгенса [10] или Кирхгофа-Котлера [11] методом стационарной фазы или методом перевала. Физический смысл подхода в геометрической оптике состоит в замене решения исходной задачи на решение задачи дифракции локальной плоской волны в локально однородной среде или на плоской границе раздела двух сред. Метод перевала и метод стационарной фазы [10-12] также основаны на замене вычисляемого интеграла некоторым эталонным интегралом. Эти методы были положены в основу результатов, изложенных нами в работах [5-7] в рамках скалярной теории дифракции. В настоящей статье предложенный в [5-7] подход обобщен на случай строгой электромагнитной теории.

1. Теория представлений

для уравнений Максвелла

В данной работе расчет поля проводится в рамках строгой векторной электромагнитной теории. В декартовой системе координат систему уравнений Максвелла [13] для гармонических по времени полей можно представить в виде

где Н - матричный дифференциальный оператор Гамильтона-Максвелла,

W (X ) =

E

к2

Hi

H

k =

X = (, х2, х3) - декартовы координаты, X - длина

волны, Е, - поперечные компоненты электрического поля, Hi - компоненты магнитного поля.

Для описания электромагнитного поля в случае гармонического изменения поля по времени достаточно четырех компонент электромагнитного поля. Продольные компоненты электрического (и магнитного) поля в случае необходимости можно выразить через поперечные. Представление системы уравнений Максвелла в виде (1) удобно для решения задач дифракции, в которых описывается распространение электромагнитных волн через объекты, имеющие границы в форме параллельных плоскостей. Этим свойством обладают, например, элементы плоской оптики, работающие в оптическом диапазоне.

В дальнейшем четырехкомпонентный вектор И будем называть бивектором, а соответствующее поле - бивекторным электромагнитным полем.

В данной работе используются введенные П. Дираком [14] обозначения для полевых функций, принятые в квантовой механике, в т.ч. 5-функции. При этом одни и те же символы с разной индексацией могут иметь разный смысл.

Выражение (1) можно рассматривать как операторную запись в абстрактном гильбертовом пространстве бивекторов. В координатном представлении оператор Гамильтона-Максвелла Н имеет следующий вид:

" 0 А

H =

B 0

A =

-1

д / дх1 д / дх1 д / дх2 д / дх2

0

-1

-д / дх1 д / дх1 -д / дх2 д / дх2

0 -1

(2)

(3)

1 д / дх1 д / дх1 -д / дх1 д / дх1

= 2kf д / дх2 д / дх2 -д / дх2 д / дх2

"e 0" "0 -1"

0 e 1 0

(4)

где е - диэлектрическая проницаемость среды, ц = 1.

Представим решение уравнения Максвелла в виде разложения по базису

И = ХГ" (Хз)|Р„т1 (Х1,Х2)) . (5)

называть вол-

Набор функций {/пгт ( х3 )} будем

новыми функциями бивекторного электромагнитного поля в ^-представлении. пт" - набор индексов, характеризующий базисную функцию.

Каждому абстрактному оператору Н в данном базисе можно сопоставить многомерную матрицу (или тензор [15]) Н^"

Н\Кт" (Х1, Х2)) = X нт (/)| ^ (Х1, Х2 )) . (6)

пт"

В случае, когда набор базисных функций не является счетным, суммирование заменяется интегрированием. Система уравнений Максвелла в ^-пред-ставлении записывается в виде:

i дг

k дх3

■ = Е н;; (х3 )fpq' (х).

(7)

pql

Выберем в качестве системы линейно независимых решений набор функций, представляющих собой плоские волны. В этом случае решение представляется в виде:

ОТ ОТ

И = X [ ( Г"*' (з)| ^ (Х1, Х2)) ёа^а2, (8)

где аьа2 - пространственные частоты.

Базисные векторы запишем в виде матрицы

| ^ ( ^ Х2 )) = | ^а2 ) • еХР ( (а1Х1 + а 2 Х2 )) , (9)

1а2 ) "

a3a1 We| Г' a2 (Id >/e)-1 -a3a1 We| f1 a2 (d

a3a2 |We Г' -«1 (d N/t)-1 -a3a2 |We Г' -«1 (d n/t)-1

-a^Ve |W.|| a3a1 W f1 |W.| f1 -аза1 |K||

v a^ve I|W.|f a 3a 2\W„\ f1 a^ | |W.| f -a3«2\W„\f ,

(10)

где k = k04&, || Wj f =(а32 + e)(a2 +а2), = (а2 + e-1)( +а2) ,

т]1 -(а1 )2 -(а2 )2 .

Первый столбец матрицы описывает ТЕ-волну с пространственными частотами ю^ ю2, распространяющуюся в положительном направлении. Второй столбец описывает ТМ-волну с пространственными частотами ю1,ю2, распространяющуюся в положительном направлении. Третий столбец описывает ТЕ-волну с пространственными частотами ю1, ю2,

runs

распространяющуюся в отрицательном направлении. Четвертый столбец описывает ТМ-волну с пространственными частотами ю1, ю2, распространяющуюся в отрицательном направлении. В предельном случае, когда а1 = а2 = 0, будем использовать матрицу следующего вида:

'-1 0 1 0 ^ 1 0 10 1 ' 0 0 ^ -Те 0 -у/ё 0

ю-

(11)

Этот случай описывает волны, распространяющиеся перпендикулярно диэлектрическому слою.

Для того, чтобы записать систему уравнений Максвелла в пространственно-частотном представлении, необходимо найти матричные элементы оператора Н в пространственно-частотном представлении.

Матричные элементы оператора Н имеют вид:

= X РП (со,, С )Ю1Ю2 т | О^2 1^) , (12)

где РП - матрица, обратная к матрице парных скалярных произведений базисных векторов (10),

ОС01С02 =

0 А^

а^.

В®1®2 0

Ааа2 =е-1 (( -а„ с2 -а2 ) -

-8(( -а1,ю2 -а2)

0 1 -1 0

(13)

(14)

=-8(1 -а„ с 2-а 2) -

( )) 0

-е(ю1 -а.,ю2 -а,)

VI и 2 2} -1 0

Q =

-а2

(15)

(16)

е(ю1, ю2) - преобразование Фурье от распределения

диэлектрической проницаемости.

Система уравнений Максвелла в пространственно-частотном представлении имеет вид системы ин-тегро-дифференциальных уравнений

I д/ ^

к дх3

= Е/ I Н ££ (Х3)/ ^ (х3 а^ а 2.

(17)

Для многих задач вместо базиса, состоящего из волн различной поляризации, распространяющихся в различных направлениях, удобно использовать следующий базис

V

-1а2 )

\W1\\ ^Ц Ж2\

0 0

-а2\/е -а1с

¡^л/е -С

Wз

|W4||

. (18)

где || ^ || , I = 1,2,3,4 - нормировочные коэффициенты, обеспечивающие нормировку введенного базиса.

2. Решение эталонной задачи Предварительно рассмотрим задачу дифракции света на эталонном ДОЭ. Модельный ДОЭ должен сочетать в себе функции расщепителя пучка (дифракционной решетки) и при этом обладать фокусирующими свойствами. Такая модель позволяет охватить достаточно широкий класс существующих ДОЭ.

Для модельного расчета можно выбрать ДОЭ, расположенный перпендикулярно оси х3 в области 0 < x3 < D (рис. 1).

Рис.1. Оптическая схема

Диэлектрическая проницаемость в области эталонного ДОЭ имеет вид

е (^ х)=X gn ехр (1П (х, х)) -

(19)

где Х = (х1, х2) - декартовые координаты в плоскости оптического элемента, D - толщина диэлектрического слоя, п - целое число, х0 - точка на оптическом элементе в окрестности которой ищется поле. Функция g (х1, х2) имеет смысл функции эйконала для геометрооптического фокусатора [16-18].

Пусть функция g (х1, х2) является квадратичной формой

т

}

g Х2 ) = g (Х0 ) + (Vg (Х0 )(Х - Х0 ))

1 T

+2(x - x0 ) M(x0 )(x - x0 )

(20)

а матрица M имеет вид:

M =

a c c b

Для того чтобы решить задачу необходимо найти решение внутри ДОЭ (внутри диэлектрического слоя) и в свободном пространстве, удовлетворяющее условию непрерывности на границах раздела ДОЭ и окружающей среды.

2.1. Решение в диэлектрическом слое Для получения решения внутри диэлектрического слоя в окрестности точки х0 = ((х0) , (х0 )2) введем новые координаты у = (у,, у2):

Х1 (x0 )1 Х2 — (x0 )2

cos (0) - sin (9)" sin (0) cos (0)

У1 У 2

(21)

В этих координатах функция g (x,, x2) имеет вид: g (у,, У2) = g0 (0,0) + YT (y) + 2 (y)T M1 (y), (22)

где матрица M1 имеет диагональный вид:

"Р, 0"

_ 0 Р2 _

M1 = ZTMZ =

(23)

Z =

"cos (0) - sin(0)" sin (0) cos (0)

Угол 0 выбирается таким образом, чтобы матрица M1 = ZTMZ была диагональной.

Запишем Фурье-образ диэлектрической проницаемости

6 (<Х>1, ff>2 ) = X gm eXP (íkmg (0 0)) X

m

xDmm (l - mh> °2 - mY 2 )

6-1 (1, ®2 ) = X gm1 eXP (ikmg (0 0)) >

m

XxDmm (®l~ mh> ®2 - mY 2 )

(24)

(25)

у1 и у2 связаны с производными функции g (х1, х2) в исходной системе координат следующим образом

dg (x1, Х2 ) dx1

dg (x1, x2) dx2

cos (0) - sin (0)" sin (0) cos (0)

(26)

Dm1m2 (®1> ®2 ) =

ik

2nm1P1 V 2nm2P

ik

• exp

fit 42 / 42 Л ^ (®l ) + (®2 )

-ik

V v

2m1P1 2m2P2

(27)

//

Связь поля в координатном и пространственно-частотном представлении имеет вид, аналогичный (8):

W (У1, У2 )) =

да да

= X(( f ^ (Хз)|)X

X exp (ik (a1 y1 +a2y2 ))da2.

(28a)

Найдем матричные элементы оператора Гамильтона-Максвелла в пространственно-частотном представлении (13). Оператор Гамильтона-Максвелла для распределения диэлектрической проницаемости (24)-(25) имеет вид (12), где

О"1"2 =ХО (ю.,ю,,а-,а,)х

а а / , п, \ 1 > 2 > 1 > 2/

где

xD„1„1 (l "n,Yl ®2 -n,Y2 -а2),

G1 fap ®2 , «Р а 2 ) =

0 Ап, (ю,, ю2, а1, а2)

_вщ (ю2,«Ра2) 0

Ащ (ю^ ю2, а-2) = g- exP (ikn1 g0 ( 0))x

(28)

(29)

ю, ю, -а 2 а, -s» " 0 1"

ю2 ю2 -а 2 а, п -1 0

Вщ (ю, ,ш2a2 ) = -5^l - g„,exP (1 g (°>0 ))

(30)

(31)

0 -1 0 .

Двумерные матрицы, входящие в (13), представляются в виде:

А05,052 =XА (ю,,ю2,a,,а2)x

а, а - / i п, \ 1 > 2 > 1 > 2/

xD„,„, (®1 -nlYl -al,ю2 -nlY2 -а2), B05'052 =XB (ю,,ю2,а.,а,)x

/ - П, V 1' 2 > 1 > 2/

n

XDп]п] (®1 - П1 Yl -al, Ю2 - nlY 2 -а 2 ).

(32)

(33)

Запишем матричные элементы оператора Гамильтона-Максвелла в пространственно-частотном базисе (18)

HOZ = X(v^g, (ю,,ю2,«1,«2)|0>

п

Dl (1 - П1 Yl -ар ю2 - nlY2 -а2 ).

(34)

п

Решение системы уравнений Максвелла в пространственно-частотном представлении запишем в виде:

а1а21

( Х3 ) =

= X^ (Хз) ДА К - "1У1 - а2 - "2У2 ^2 )

(35)

§2 - произвольные постоянные, описывающие

наклон падающей волны по отношению к локальной решетке.

Подставляем выражения в исходную систему ин-тегро-дифференциальных уравнений Максвелла в пространственно-частотном представлении (17), получаем систему дифференциальных уравнений

^дvmm2I (Х3) .

X-^-(ю1 - mlYl -

к mlm2 дХз

Ю2 - т2 У 2 ) =

+ОТ +ОТ

= ХХ | | V^N>1,®2,а1,а2}),)>

(36)

"" П1<? —ОТ —ОТ

xv"1"29 (Хз ) Г>^2 (а1 - "1у1 - ^ а2 - "2у2 - §2 ) х ^п. (Ю1 - -аl, Ю2 - П1у2 -а2 )а1ёа2 .

Вычислим интеграл в правой части (36) методом стационарной фазы [10-12]. Получим:

дvmlm2i (х3 )

1X-к ^

к ,

дх3

(37)

xDm1m2 (Ю1 - mlУl - ^ Ю2 - m2У2 Ч2 ) =

= XX(V(юl,Ю2,а;,а2))а,,)>

"1 "2 П1 9

XV"1"29 (Х3 )Х D"l + п1"2+п2 (ю1 - (п1 + "1)У1 -

Чр ю2 - (п1 + "2)У 2 Ч2 ) , где стационарные точки

(сю -£1 )"1 а" =^1 + 1 1 ^ 1,

а2 = ^ + 1 2 ^ 2 • п, + "2

Введем новые обозначения для индексов суммирования в правой части (37)

Тогда в этой новой индексации

■X

дvm1m2i (х3 )

дх3

xdm1m2 (Ю1 - mlу1 Чи Ю2 - m2у 2 Ч2 ) =

= XX(vт,т21°п, (ю2,а",а2))а2,)>

m]m2 п,9

xv».,-nlm2-п,9 (х3 )х

xdm1m2 (ю1 - mlЧр ю2 - m2у 2 Ч2 ),

(38)

и стационарные точки

(ю1 Ч1)(ml -п1)

а" =^1 + -

а 2 = ^ +

(Ю2 Ч2 Ж - П1 )

Основной вклад в результат вносит функция

(ю1 - »У, Ч^ ю2 - m2 У 2 Ч2 )

в окрестности точек

Ю1 = »,У1 + ^ Ю2 = m2 У 2 +^2. Заменим в выражении для стационарных точек ю 1, ю 2 этими значениями.

Далее будем использовать стационарные точки

а" Ч1 +У, (ml -п1), а 2 = ^2 +У 2 ( - п1 ).

Эта замена при малых длинах волн не влияет на точность вычисления интеграла методом стационарной фазы.

Уравнение (38) является функциональным уравнением, так как в него входит зависимость от ю,,ю2.

Перейдем от дифференциально-функционального уравнения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого выберем систему линейно-независимых функций К»п (ю,,ю2).

Умножим (38) на каждую из базисных функций и в результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициен-

___ m1m,I

тов V 1 2 .

Бивекторное поле внутри диэлектрического слоя имеет вид:

|И2а-а2 (Х3)) = vа-а2l (Х3)|Va^) + +Vа-а22 (Х3 ^2^ +

+VаЛ3 (Х3 Ж^) +

+Vа-а24 (Х3 ^2^, где Vа а2 (х3 ) описывается выражением (35).

2.2. Распространение в свободном пространстве В пространстве с постоянной диэлектрической проницаемостью в плоскости Х3 = 0 решение системы уравнений Максвелла в пространственно-частотном ^-представлении запишем в виде:

/Г' (Х3 ) =

= X/Г* (0)DSЛ (а1 -"1У1 - (40)

"]"2

а2 - "2У2 Ч2 )еХР (±1ка3Х3 ), а3 = 1 -а21 -а22 .

(39)

m

m

2

Знак «+» берется для I = 1,2; знак «-» берется, если I = 3,4.

Введем следующие обозначения:

• область 1 - область, в которой распространяется падающая и отраженная волны (обозначим I -падающая волна, соответствующая ТМ-поляри-зации, и Я - падающая волна, соответствующая ТЕ-поляризации);

• /1а1а21 = Iа1а2* - коэффициент, описывающий падающую волну, соответствующую ТМ-поляри-зации. Соответствующий набор коэффициентов /■"1"21_1"\"2е.

• /1а,а22 = Iа,а2е - коэффициент, описывающий падающую волну, соответствующую ТЕ-поляри-зации. Соответствующий набор коэффициентов

/ "1 "2 2 _ 1"1"2 Ь .

• /1а,а23 = яа,а2Л - коэффициент, описывающий отраженную волну, соответствующую ТМ-поляри-зации. Соответствующий набор коэффициентов

у","23 _ Я","2е •

• /1а,а24 = яа,а2е - коэффициент, описывающий отраженную волну, соответствующую ТЕ-поляри-зации. Соответствующий набор коэффициентов

/Г","24 _ Я","2Ь •

• область 2 - область, содержащая диэлектрический слой с плоскими границами;

• область 3 - область, в которой распространяется прошедшая волна;

• /■а1а21 = та,а2е - коэффициент, описывающий прошедшую волну, соответствующую ТМ-поляриза-ции. Соответствующий набор коэффициентов

/ ","21 _ т"1"2е •

/з

a^2 2 _ гр а!а2е

_ T3

- коэффициент, описывающий прошедшую волну, соответствующую ТЕ-поляризации.

Соответствующий набор коэффициентов

/3

í,Í2 2 _h

Бивекторное поле в первой области имеет вид:

|И,а а2 (Х3 )) = I^ (Х3 ) ^ + +1а,а2е (Х3)+

+Яа,а2" (Х3 ) ^3) + +Я а,а2 ^ (Х3 ) ^4).

Бивекторное поле в третьей области имеет вид:

|И,а,а2 (Х3 )) = Та,агА (Х3 ) ^ + +Та,а2* (Х3 )| ^а,а2^.

(41)

(42)

Используя (40) и введенные выше обозначения для коэффициентов, получаем выражение для поля в пространственно-частотном представлении.

2.3. Сшивка решений

В предыдущих пунктах были записаны решения системы уравнений Максвелла в пространственно-частотном представлении в области диэлектрического слоя и в области свободного пространства в виде линейной комбинации с неизвестными коэффициентами. В настоящем пункте рассмотрим решение задачи дифракции плоской волны на диэлектрическом слое с диэлектрической проницаемостью е, представленной в форме (19).

Условие сшивки на первой границе - равенство бивекторных полей на границе раздела

И,а,а2 (0) = И2а,а2 (0) . (43)

Условие сшивки на второй границе - аналогично (43):

И2ал (D) = И3а,а2 (D), (44)

где D - толщина диэлектрического слоя.

Эти условия служат для определения коэффици-

ентов Tа

T aia2h Ra

Яа,а2". Таким образом, сшивка приводит к системе линейных алгебраических уравнений.

3. Коротковолновые асимптотики

3.1. Поле внутри слоя модуляции ДОЭ Рассмотрим теперь случай, когда длина волны освещающего пучка стремится к нулю (коротковолновая асимптотика). В этом случае

°щт2 (®1.Ю2)_8(Ю1'ю2) •

(45)

Используя линейную независимость 5-функций, получаем следующую систему линейных дифференциальных уравнений:

L V k

'(-3)

dx.

I <>

0 0

(V 4

n q

mi -n,m2 -n,q

(хз),

')) t )•

)\ af afq/

(46)

где

< +Yi (mi -ni) a2' + Y2 (m2 -ni)

_ miYi ®2 _ m2Y2 + ^2 •

Запишем систему уравнений только для подмножества индексов m1 _ m2 •

5vm,mi' (х3)

йх3

IVm°m°'|G (со0ю2,ai',ai')

1 - ni q (хз),

ni q

mi - n, mi -.

Vj

(47)

i2

где

< = I, + Y, (ml - п1 ), а2 = §2 + Y2 (ml - п1 ), ю0 = m,Yl + §р ю2 = m,Y2 +§2. Далее введем новые индексы суммирования Pl = ml - nl:

dv" (x3)

k dx3

= X(vW'|0m-p («of,а?)^• vP,q(x)

(48)

где

< =§, +Y,Pl, а2' =§2 + Y2P^ ю0 = mlYl +§l, ю2 = mlY 2 +§2.

Обозначим

Y, =Y cos ф, y 2 =Y sin ф.

Легко показать, что справедливы тождества

§1 + Y cos Ф Pl §2 + Y sin Ф Pl

cos 0 sin 0 - sin 0 cos 0

cos 0 - sin 0 sin 0 cos 0

§1 + YPl

§, +y cos ф m, §, +y cos ф m, §2 + Y sin ф Pl §2 + Y sin ф Pl cos 0 - sin 0

§2 - Y sin ф Pl §1 + Y cos ф Pl

§2 - YsinфPl §2 + YcosфPl

sin 0 cos 0

§1 +Yml §1 + YPl

-§ 2 §1 + YPl -§ 2 §1 + YPl

Используя эти тождества, можно доказать соотношение

(49)

VОт,-д (ю2,а;',а 1'))^?д) = = V 45 |°т,- р, (Юс" 2, 2 )), а 2 д) ,

а 1 =11 +У, Рх, а 2 =12 , ю, = т,у, +1,, ю2 =1

Следует отметить, что матричные элементы в правой части (49) соответствуют задаче конической дифракции [19] на одномерной периодической решетке.

Для дальнейшего анализа запишем уравнение в виде:

1 ^ = (х), (50;

k dx3

где

тт;,! _

HP,q =

= {У ^ ''|0; - P (1, <° 2, á - & 2 )) ,q) .

(51)

Структура оператора Гамильтона-Максвелла такова, что отличны от нуля только следующие восемь матричных элементов

тт"'] _

HP,3 =

rrm, 1 _

H P, 4 =

rrm, 2 _

HP,3 =

rrm, 2 _

H P, 4 =

rrm, 3 _ HP,l =

rrm, 3 _

HP,2 =

rrm, 4 _ HP,l =

rrm, 4 _

HP,2 =

V <°l <° 2 1

V <°l <° 2 1 у ю, сю 2 2 у ю, ю 2 2

у ®l °>23 у <°l °>2 3

у ю, ю 2 4

у

ю, ю2 4

Am,-P, ( ^ <° 2 , 1, £ 2 )) s Am, - P, ( 1, (0 2, Й1, « 2 )), а 24 Am, - P (1, <° 2, « 1, « 2 )), а 23 Am, - P, ( 1, <° 2, « 1, « 2 )), а 24 B; - P, ( 1, <° 2, Ü1, <X 2 )), а 2,

Bm-P, ( 1,ю2,1,a2),а22 B; - P ( 1, <° 2, 1, « 2 )), а 2l

B; - p, ( 1, <° 2, 1, 2 )), а 22

(52)

В последних выражениях использовались ненулевые компоненты соответствующих четырехмерных векторов.

Система распадается на две системы уравнений:

i dvm,! (x3) =

k dx3

=XX (x3 )=XX A";yq (x),

P q=3,4 P, q=3,4

'=1, 2,

i dvm,! (x3) = k dx3

= XX-(x3 ) = XX b;^ (x),

P q=1,2 Pl q=1,2

(53)

(54)

1=3, 4.

Полученные системы можно свести к системам уравнений второго порядка. При этом вдвое сокращается размерность системы уравнений:

1 d2v;l! (x3)

=м;у (x),

k %)

vV (x3 ) = X ESmL (a+mn exp (ik^) +

mn

+a~mn exp (;n (x3 - D))),

X MilK = ^PnE'jn,

n!

M; = XX AmIBPq,

ns / , / , Pq ns >

(55)

P q=3,4

!=l, 2,

1 д (Х3)

= КУ" (Х3),

^ д(х3 ) v",I (Х3 ) = X РП (»П ехр (¿к^Х) +

тп

+а^тп ехр („„ (Х3 - D))), (56)

ZN"qppI = ц2 Р"9

pI тп У"тп тп >

pI

= УУ Бт'Лр

:п/ / , рд п

Р 9=1,2

/=3, 4,

Б - толщина диэлектрического слоя.

В случае, когда плоская волна падает перпендикулярно к плоскости дифракционного оптического элемента, или радиально-симметричная волна падает на радиально-симметричный оптический элемент, имеем частный случай £2 = 0. В этом случае уравнения для коэффициентов, описывающих распространение поля внутри слоя, имеют вид:

дvml1 ( х3 )

дх3

дvml2 ( Х3 )

дг

дvml3 ( Х3 )

дг

дvm^4 ( Х3 )

к дг

= Лр:^3 (Х3),

=л^: vpl4 (Х3), = Л^1 (Х3),

= Л»1124Vpl2 (Х3).

(57)

(58)

(59)

(60)

При стремлении длины волны освещающего пучка к нулю выражение для поля внутри слоя имеет вид:

( Х3 ) =

= X^ (Х3 ) 5 (( - - а2 - ",У2 - £2 ).

(61)

В этом случае каждая система уравнений распадается на две. Каждая из полученных систем имеет меньшую размерность. Эти уравнения могут быть также сведены к системам уравнения второго порядка. Факторизация приводит к тому, что в данной системе могут распространяться волны, для которых направление электрического и магнитного полей совпадает с направлением локальной решетки, или их суперпозиция.

3.2. Коротковолновые асимптотики для прошедшего и отраженного полей в свободном пространстве

При стремлении к нулю длины волны освещающего пучка выражение для отраженного поля

Я^ (х3 ) =

= X Я""5 (( - "У, - а2 - "У 2 - £2 ) Х

"1

х ехр (-1ка3 х3 ),

У 3 ' (62)

Яа,а2 * (х3 ) =

= X Я"*5(, - "У, -£,, а2 - "У 2 -£2 )Х

"1

х ехр (-1ка3 х3 ). Для прошедшего поля

Т^ (Х3 ) = X Т",е5 (а, - -"1

^ а2 - ",У2 -£2 )ехР ((3 (Х3 - Б))

Та,а2* (Х3 ) = X Т5 (а, - ",у, -

"1

^ а2 - "1У2 -£2 )ехР ((3 (Х3 - Б ))

3.3. Условия сшивки полей

Условие непрерывности электрического и магнитного полей приводит к формулам для расчета локальных коэффициентов отражения и пропускания:

v",k (0) = I(0) V^11^2,) + +1". (0)V^11^22)-

+Я"1* (0)Vа-а2к||^а23>-

+Я"-. (0)Vа,а2к 11^24),

v",k (б) = Т",к (Б)(Vа,а2к ||^а,а2, ^ +

+Т",к (Б )(V а,а2к | | ^а,а21 ^ ,

где а, = ",у + ^1, а 2 = ",у + §2.

Нетрудно показать, что преобразование поворота не изменяет скалярное произведение

+ +

(63)

V а,а 2к\\р \ = V 2к||й' \

\ а,а2"/ \ II а ,сх 2"/'

где а, = ",у + §1, а2 = "1У + £2.

Следует отметить, что полученная система линейных уравнений совпадает с системой уравнений для определения коэффициентов дифракционной решетки в случае конической дифракции [2, 19].

3.4. Поле на выходе оптического элемента в случае £ 2 = 0

В случае, когда плоская волна падает перпендикулярно к плоскости дифракционного оптического элемента, или радиально-симметричная волна падает на радиально-симметричный оптический элемент, имеем частный случай £ 2 = 0. Учитывая формулы (28а), поле на выходе ДОЭ в пространственном представлении в переменных у,, у2 имеет вид:

"

И=

+да +Ю

= I | (( (х ) ^ а, ,) + Г^ (х )| ^ ,) )х (64)

-да -да

х ехр (|к (а,у, + а2у2 )х3 )а,й?а2,

где |ъа, а, - базисные вектора ^-представления.

Коэффициенты Т;е, Т;к, входящие в выражения (62), для случая 12 = 0 имеют вид:

Т;,е = а (0,0) Т^ (0,0); Т;,н = Ь (0,0) Т/1 (0,0) .

Коэффициент а (0,0) описывает вклад падающей волны в случае, когда направление электрического поля совпадает с направлением штрихов локальной дифракционной решетки.

Коэффициент Ь (0,0) описывает вклад падающей волны в случае, когда направление магнитного поля совпадает с направлением штрихов локальной дифракционной решетки. Т/1 (0,0), Т°е 1 (0,0) - коэффициенты дифракции в ; порядке для случая, когда направление магнитного и электрического (соответственно) поля параллельно штрихам дифракционной решетки.

Вычисляем интеграл в выражении (64), получаем поле в пространственном представлении в переменных у,, у,

И (у )) = Х а ( 0,0 ) 0,0)| ^+УЛ у 5П,+1,,) х

п1

х ехр (|кп, g (0,0)) ехр (|к ууп,) +

+Х Ь (00,0 )ТП (0,0 +У,п, У2 п, ^ х

п

х ехр ((кп,g (0,0)) ехр ((кууп,).

Теперь необходимо перейти от координат у,,у2 к координатам х,,х2. Этот переход осуществляется с помощью преобразования вращения. Поле в точке х0

И (х0 )) =

= Ха(00,0)ТЛ0,0+УЛ У2,+1,0х п1

х ехр (кп,g (0,0))+ (66)

+ХЬ (0,°)С (М+УЛ уЛ +1,2)х

п1

х ехр (кп,g (0,0)).

Матрица 22 имеет вид

(65)

гг =

г 0 0 г

Напомним, что матрица Ъ имеет вид (23). Для получения окончательного результата определим а и Ь, которые описывают падающую волну.

Бивектор электромагнитного поля падающей волны в плоскости х3 = 0 в координатах (у,,у2),

когда исходная электромагнитная волна падает перпендикулярно модулированной дифракционной решетке и вектор поляризации направлен вдоль оси х2, имеет вид:

И (0,0 ) = ( а (х0 )| + Ь ( х0 )| ),

(67)

где

И) =

-1 Л

а3 008 ф|| Ие а3 ¡¡¡Шф|| |-1

-БШфТец ие\р1

008 ф^ 11 И.|| 1

И)=

яп ф((И„у е

- оое ф(( \/е

/

-1 Л 1

а3 ооБ

а3 бш

ф\\ И„\ 1Пф|| И„\

(68)

ф = .

У,

Базисные вектора выбраны таким образом, чтобы электрическое поле в первом базисном бивекторе и магнитное поле во втором базисном бивекторе были направлены вдоль штрихов локальной дифракционной решетки.

Поле (67) в координатах (х,, х2) описывается выражением

и (х ) = гг (а (х )| ъ)+ь (х )| ъ)),

(69)

Щъ)=

( II ш II-1 ^

а3 00Б "I Ие |

а3 б1п ю|| И II 1

v

- Б1П Ю 00Б Ю

^11 И|| 1

(

г2!^,) =

ю = ф + О.

б1П ю( И,

-1 Л

-00БЮ|11 И,

а3 00Б Ю И, а3 б1пю||

(70)

Бивектор, описывающий подающую волну в случае, когда она нормально падает на элемент, имеет вид:

W =

0 1

0

(71)

' 0 " - cos ю - sin ю

1 - sin ю + b cos ю

= a sin ю>/е - cos ю\/е

0 - cos юл/е - sin юл/е

Для определения а и Ь необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений

(72)

В этом случае

a = —/2sin(cp + 9), b =V2cos(cp + 9)

и окончательное выражение для электромагнитного поля на выходе модулированной дифракционной решетки имеет вид:

W ( X )) =

= V2£ZZ(-sin(cp + e) (,1) + (73)

n1

+cos(cp + e)ТП (o|F.m,^ ))exp(g(:)),

где Ten = Ten (o),Thn = ТП1 (o), - коэффициенты дифракции на локальной решетке для Е- и ^-поляризации, соответственно. В случае, когда вектор поляризации направлен вдоль оси x1:

(74)

a = -V2cos(cp + e), b =-V2sin(cp + e), (75) и выражение для поля принимает вид:

|W ( X )) =

= -V2£ZZ (cos(cp + e)Tn (( Ж^Л) + (76)

n

+ sin (cp ++ e) ТП (;?o)) ,Y2„ 2)) exp (g (;?o)).

4. Асимптотики для псевдопериодических структур в рамках электромагнитной теории

В данном пункте рассмотрим применение вышеизложенных методов для расчета поля в случае дифракции волны на ДОЭ, которые обладают зонной структурой. В предыдущем разделе мы рассматривали дифракцию на модельном ДОЭ. Рас-

" 1 " - cos ю - sin ю

0 - sin ю + b cos ю

0 = a sin ю>/е - cos юл/е

A - cos юл/е - sin ю\/е

смотрим теперь диэлектрический слой с диэлектрической проницаемостью, которая описывается выражением (19). Случай, когда функция g ( х,, х2 )

является линейной, будет соответствовать чисто периодической структуре (дифракционной решетке). В случае, когда функция g (х,, х2 ) не является линейной, получаем дифракционную структуру с изменяющимся периодом.

Для того чтобы воспользоваться результатами предыдущего раздела, сделаем предположение о том, что поле в данной точке зависит от распределения диэлектрической проницаемости только в окрестности данной точки. Это предположение основано на принципе локализации, который рассмотрен выше. Далее разложим функцию g (х,, х2 ) в окрестности точки Х0 в ряд Тейлора с точностью до членов второго порядка.

Полученное выражение по форме совпадает с выражением для поля на выходе дифракционного оптического элемента, полученного в рамках метода нелинейного предыскажения фазы, рассмотренного в работах [16, 17]. Оно также объясняет возможность использования приближения тонкого оптического элемента. Отличие состоит в том, что коэффициенты Тп = С (х0) и Тп = Тп (Х0) имеют другой физический смысл. Напомним, что в методе предыскажения коэффициент Тп = т;- (Х0 ) = Т? = Т? () совпадал

с коэффициентом разложения в ряд Фурье функции предыскажения. В нашем случае он определяется согласно методу, изложенному в предыдущем разделе настоящей работы.

5. Расчет поля фокусатора в кольцо

Рассмотрим поле от фокусатора в кольцо. В этом случае функция g (г) имеет вид:

(77)

g (г) = >/(г - г0 )2 + /\ г = 7х,2 + Х22 ,

г0 - радиус кольца фокусировки.

По аналогии с (76) следует, что электромагнитное поле на выходе дифракционного оптического элемента, фокусирующего в кольцо, имеет вид:

|W (X1, X2 )) =

= V2exp^-jlZZ [T:\F.n 01)-

+Te I Fyn 0 2

)) exp (ikng (r)),

dg (r)

(78)

Y =

dr

Были проведены расчеты распределения интенсивности электромагнитного излучения в фокальной плоскости фокусатора в кольцо для различных сочетаний параметров системы.

Вычисление поля проводилось на основе распределения поля на выходе ДОЭ (78) с помощью про-пагатора, описанного в работе [13].

На рис. 2 приведены примеры расчета полей от фокусатора в кольцо для значений, указанных в табл. 1 (все размеры в мкм). При малых отношениях ст / / , где ст - параметр освещающего гауссова пучка, распределение интенсивности в фокальной плоскости фокусатора в кольцо близко к распределениям интенсивности, полученным в работах [18,20,21] в рамках скалярного приближения. В этом случае распределение энергии практически радиально-симметрично. При увеличении фокусного расстояния степень симметричности увеличивается. При увеличении отношения ст / / в распределении энергии вдоль кольца появляется асимметричность. Наличие асимметричности связано со следующими факторами:

• наличие линейной поляризации у падающей волны нарушает радиальную симметрию задачи, так как в разных точках фокальной плоскости электрические поля от различных точек на фоку-саторе приходят под разными углами;

• при увеличении отношения <з// появляется зависимость коэффициентов дифракции от направления локальной дифракционной решетки в случае линейной поляризации падающей волны.

Неравномерность интенсивности излучения в плоскости наблюдения на выходе из фокусатора в кольцо обусловлена неравномерностью значений коэффициентов пропускания (отражения) Е- и ^-поляризации в зависимости от текущего значения периода зонной структуры (дифракционной решетки).

Заключение

В данной статье представлен асимптотический метод решения задач дифракции на ДОЭ, который сочетает в себе решение задачи дифракции на периодической структуре с периодом сравнимым с длиной волны и геометрооптический подход. Решена задача дифракции на эталонной квазипериодической структуре, сочетающей в себе функции расщепителя пучка и дифракционной линзы. На основе решения эталонной задачи получено простое выражение для поля в плоскости, непосредственно прилегающей к ДОЭ. Полученное выражение позволяет оценить распределение поля на выходе ДОЭ, не прибегая к сложным вычислительным методам.

Благодарности Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 07-07-97601, 07-07-96602, 08-07-99005, 07-07-91580-АСП, а также российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» ("БИЛЕ").

Таблица 1

Параметр Значение (вариант 1), мкм Значение (вариант 2), мкм

Длина волны X 1 0,1

Параметр гауссова пучка ст 50 50

Расстояние от оптического элемента до плоскости наблюдения 1000 100

Фокусное расстояние 1000 100

Габаритные размеры оптического элемента 500x500 500x500

Рис. 2. Рассчитанные распределения интенсивности поля в фокальных плоскостях фокусаторов в кольцо с параметрами, приведенными в Табл. 1 (вариант 1 — слева; вариант 2 — справа).

Литература

Кравцов, В.В. Геометрическая оптика неоднородных сред / В.В. Кравцов, А. А. Орлов. - М.: Наука, 1979. Moharam, M.G. Rigorous coupled-wave analysis of metallic surface-relief gratings / M.G. Moharam, T.K. Gaylord // JOSA A., 1986. - Vol. 3. - Issue 11. - P. 1780.

3. Taflove, A. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method (2nd ed.) / A. Taflove, S. Hagness - Arthech House Publishers, Boston, 2000. - P. 852.

4. Ильинский, А. С. Математические модели электродинамики. / А.С. Ильинский, В.В. Кравцов, А.Г. Свешников. - M.: Высшая школа, 1991.

5. Харитонов, С.И. Асимптотические решения скалярного волнового уравнения / С.И. Харитонов, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский // Компьютерная оптика, 2003. - № 25. - С. 49-53.

6. Досколович, Л.Л. Асимптотические решения уравнения Гельмгольца для псевдопериодических структур / Л.Л. Досколович [и др.] // Компьютерная оптика, 2005. - № 27. - С. 50-55.

7. Досколович, Л.Л. Асимптотические методы для решения задач дифракции на ДОЭ / Л.Л. Досколович [и др.] // Компьютерная оптика, 2006. - № 30. - С. 49-52.

8. Ковалев, А. А. Дифракция плоской волны на ограниченной спиральной фазовой пластинке: параксиальная теория / А.А. Ковалев, В.В. Котляр // Компьютерная оптика, 2007. - №31. - С. 4-8.

9. Котляр, В.В. Методы быстрого расчета дифракции лазерного излучения на микрообъектах / В.В. Котляр, Р.В. Скиданов, А.Г. Налимов // Оптический журнал, 2005. - Т.72, №5. - С. 55-61.

10. Борн, М. Основы Оптики / М. Борн, Э. Вольф. - Per-gamon Press, 1986.

11. Виноградова, М.Б. Теория волн / М.Б. Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков. - М.: Наука, 1976.

12. Федорюк, М.В. Асимптотики, интегралы и ряды / М.В. Федорюк. - М.: Наука, 1987.

13. Казанский, Н.Л. Компактная запись решений системы уравнений Максвелла в пространственно-час-

тотном представлении / Н.Л. Казанский, М.Л. Каляев, С.И. Харитонов // Антенны, 2007. - № 10. - С. 13-21.

14. Дирак, П. Принципы квантовой механики / П. Дирак. - М.: Мир, 1979.

15. Дубровин, Б. А. Современная геометрия / Б. А. Дубровин [и др.]. - М.: Наука, 1979.

16. Golub, M.A. Computer generated diffractive multi-focal lens / M.A. Golub [and other] // Journal of Modern Optics, 1992. - Vol.39, № 6. - P. 1245-1251.

17. Голуб, М.А. Дифракционный подход к синтезу многофункциональных фазовых элементов / М.А. Голуб [и др.] // Оптика и спектроскопия, 1992. - Т.73, №1. -С. 191-195.

18. Голуб, М.А. Дифракционный расчет оптического элемента, фокусирующего в кольцо / М.А. Голуб [и др.] // Автометрия, 1987. - № 6. - С. 8-15.

19. Electromagnetic Theory on Gratings / Ed. by R.Petit. -Springer-Verlag, 1980.

20. Голуб, М.А. Вычислительный эксперимент с элементами плоской оптики / М.А. Голуб [и др.] // Автометрия, 1988. - № 1. - С. 70-82.

21. Казанский, Н.Л. Исследование дифракционных характеристик фокусатора в кольцо методом вычислительного эксперимента / Н.Л. Казанский // Компьютерная оптика. - М.: МЦНТИ, 1992. - Вып.10-11. -С. 128-144.