Анализ влияния факторов на осадку инженерных сооружений методом многофакторного регрессионного анализа Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 528

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ФАКТОРОВ НА ОСАДКУ ИНЖЕНЕРНЫХ СООРУЖЕНИЙ МЕТОДОМ МНОГОФАКТОРНОГО РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Амридон Гемзаевич Барлиани

Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (983)319-99-31

Валентина Сергеевна Чудова

Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, магистрант, кафедра физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. (913)702-43-30, e-mail: diva8450514@mail.ru

В статье рассматривается многофакторный регрессионный анализ с целью установления влияния различных факторов на осадки инженерных сооружений.

Ключевые слова: регрессионный анализ, рекурсивный алгоритм, осадка сооружений, наблюдение, вертикальное смещение.

ANALYSIS OF INFLUENCE FACTORS ON SEDIMENT ENGINEERING STRUCTURES BY THE METHOD OF MULTIVARIATE REGRESSION ANALYSIS

Amridon G. Barliane

Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., associate Professor in the Department of Applied Informatics and Information systems, tel. (983)319-99-31

Valentina S. Chudova

Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Master, Department of Physical Geodesy and Remote Sensing, tel. (913)702-43-30, e-mail: diva8450514@mail.ru

The article discusses the multivariate regression analysis to determine the impact of various factors on the precipitation of engineering structures.

Key words: regression analysis, recursive algorithm, draught facilities, surveillance, vertical offset.

Исследование зависимостей и взаимосвязей между объективно существующими явлениями и процессами позволяет глубже понять сложный механизм причинно-следственных отношений. В настоящее время важно уметь количественно измерить тесноту причинно-следственных связей и выявить форму связи между явлениями и процессами. Для исследования интенсивности, вида и формы причинных связей широко применяется корреляционный и регрессионный анализ.

В частности при исследовании геодезических приборов важно установит зависимость точности прибора от влияния различных факторов. А также при обработке результатов повторных наблюдении за осадками инженерных со-

оружении принципиально важно количественно оценить влияние природных и техногенных факторов на осадку сооружении и др.

При обработке результатов повторных наблюдении за осадками инженерных сооружений принципиально важно количественно оценить влияние природных и техногенных факторов на осадку сооружении.

Вертикальные смещения сооружений зависят, прежде всего, от физико-механических свойств грунтов и периодически возникающего техногенного влияния. Множество факторов, таких как влажность, уровень грунтовых вод, температура грунта и другие, сопутствуя измерениям и действуя совместно, нарушают закономерность развития этих смещений во времени.

Для установления математической формы зависимости между осадкой сооружений и различными факторами (природными и техногенными) применяют многофакторные модели регрессии.

В связи с этим возникает задача исследования зависимости одной зависимой (осадка) переменной У от нескольких объясняющих переменных (факторов) X1, Х2,..., Хк. Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа [1,3,4,5,6].

Модель множественной линейной регрессии можно представить для 1 = 1,2,...,п в виде:

У = а+а X + а X +,

1 0 1 г1 2 12

,+а X, +8 .

к 1к г

(1)

где а,а,а2,.••,ак~ неизвестные параметры модели; 8,- случайная ошибка

модели, обусловленная влиянием неучтенных факторов в модель, а также случайными ошибками наблюдении.

Для определения неизвестных параметров модели множественной регрессии из генеральных совокупностей сформированы две выборки объемами п:

У =

У

У

V п у

X * =

хи X• ^ X

.X,

V п1

12

22

X

п2

X и-Л

X

2к

X

пк у

Подставляя эти выборки в модель регрессии (1) получим систему уравнений множественной линейной регрессии:

у1 = а о + а1 х 11 + а 2 х 12 + — + а ^ 1к + 81

У2 = ап + а X^^ + а-) X и + — + а и X^I. + 8

"0

4 ^ 21

2 ^ 22

1кл 2к

2

У3 = а 0 + а1X 31 + а 2 ^ 32 + — + а kX 3к + 8 3

Уп = а 0 + а1 Xn1 + а 2 Xn2 + — + а к^^пк + 8

п

Включение в регрессионную модель новых объясняющих переменных (факторов) усложняет получаемые формулы и вычисления. Это приводит к целесообразности использования матричных обозначений. Матричное описание регрессии облегчает как теоретические концепции анализа, так и необходимые расчетные процедуры [8].

Т

Введем обозначения: У = (У,У ,...,У ) - вектор столбец, значений зави-

4 1 2 пу 1

симой переменной размера п;

^ Х11 Х12 Х13

X =

.Х

1к

1 Х21 Х22 Х23 •••Х2к

1 Х31 Х32 Х33

.X

3к

1 Хп1 Хп2 Хп3

.Х

- матрица значений объясняющих переменных,

пк

или матрица плана размера п х (к +1);

Т

а = (а, а ,•.., а ) - вектор столбец, параметров размера (£+1);

Т

е = (е ,г ,•..,г ) - вектор столбец, возмущений (случайных ошибок, ос-

татков) размера п.

Тогда в матричной форме модель (2) примет вид:

У = Ха + е.

Оценкой этой модели по выборке является уравнение

У = Ха + е,

(3)

(4)

Т

где а = (а^а1,a2,•••,ак) , е = (егe2,V--еп)

Поскольку система уравнений (4) недоопределена, она имеет множественное решение. Чтобы устранить недоопределенность системы, применим метод псевдонормальной оптимизации [3,8]. Для системы (3.28) псевдонормальное решение имеет вид [3,8]:

а = Х+У (5)

где Х + - псевдообратная матрица Мура - Пенроуза, обладающая известными свойствами псевдообратных матриц [3,8].

Наиболее эффективным способом решения задач, связанных с нахождением псевдонормального решения и псевдообращения матриц, является рекурсивный алгоритм, основанный на методе Гревилля [1]. Пусть произвольная прямоугольная матрица представлена в блочном виде:

\Т

Х = (Х0, x2,•••, Хк ),

(6)

где X] - вектор-столбец высоты п.

Для блочной матрицы (6) на основании доказанной теоремы 1.4 [3] можно записать рекурсивный алгоритм последовательного псевдообращения матриц, который имеет вид:

АХ+ Х] -1

т\

ЬТ

(7)

где

- Х]-1х]

(8)

Ь -

с

] -, если С] ф 0,

с

(х ]-l)Td]

—--если С] - 0.

1 +

d

(9)

с

X;

X]-1 • d].

(10)

Здесь || || - квадрат евклидовой нормы.

Предложенный метод используется для построения псевдообратной матрицы для произвольной прямоугольной матрицы X, представленной форме (6).

Начиная с первого столбца х0. Так как х0 состоит из одного столбца, Х+ - х+

находится по следующей формуле:

X 0+

Хг

т

Хг

(11)

Хг

Затем по формуле (7) с учетом формул (8), (9) и (10) последовательно вычисляются Х+, Х+, Х3+, и т. д. пока не будет получена псевдообратная матрица

Х,+ - X +.

Необходимо заметить, что в данном случае для первой рекурсии матрица Х 1 будет равняться вектор-столбцу хо, то есть Х0 - хо.

После каждой рекурсии матрица Х 1 будет расширяться на один вектор-

столбец. Например, для второй рекурсии она будет соответствовать: Х1 - (Х0 Х1), и т. д.

<

2

Необходимо отметить, что, как правило, в регрессионных моделях столбцы матрицы X линейно независимы, то алгоритм псевдообращения упрощается. А именно:

где

Х+

г Х+-1 -

к

т

з )

(12)

= Х +-1 хз

(13)

к,

с,

(14)

сз = хз -Хз-1 ■

(15)

с

2

Рассмотрим пример. Имеются результаты наблюдений за осадками сооружений из 12 циклов, таблица (исходные данные заимствованы из статьи [9]).

Таблица

№ цикла мм Н, мм V, м/мес Ь, м

1 3 48,8 13 66

2 3 14,3 12 76.5

3 2,1 54,6 10 85,5

4 2,6 25,7 13 96

5 2,5 54,4 13 108

6 2 50,6 13 120

7 2,5 31,1 11 132

8 2,2 53,5 11 143

9 2,3 28,6 5 41,5

10 2,4 59,7 10 43,5

11 2,5 19.5 10 47,5

12 2,3 31,8 10 53,5

В таблице 5 - осадка мм; Н - количество атмосферных осадок мм; Ь -удаленность от источника техногенной нагрузки (от мест ведения проходческих работ) м; V - скорость продвижения забоя м/мес.

По данным примера рассчитать параметры множественной регрессии и составить модель множественной регрессии.

Представим матрицу X и вектор Г, причем матрицу приведем в виде (6):

X — (Хо, , , Х3 ) —

1 48,8 13 66 " Г 3

1 14,3 12 76,5 3

1 54,6 10 85,5 2,1

1 25,7 13 96 2,6

1 54,4 13 108 2,5

1 50,6 13 120 2

; у —

1 31,1 11 132 2,5

1 53,5 11 143 2,2

1 28,6 5 41,5 2,3

1 59,7 10 43,5 2,4

1 19,5 10 17,5 2,5

1 31,8 10 53,5 , 2,3 ^ 2,3

По формулам (11), (12), (13) и (14) последовательно присоединяя столбцы этой матрицы окончательно получим:

0,434418 0,004089 0,062906 - 0,003909Л 0,117099 - 0,004089 0,06206 - 0,003909 0,106816 0,006150 - 0,025882 0,000200 0,159118 - 0,006287 0,043886 0,000130

( X 4+

(X+)т

- 0,429383 0,004573

- 0,373804 0,002575 0,219835 - 0,005255 0,011277 - 0,001372 1,255028 - 0,001372

- 0,005497 0,009899 0,403373 - 0,006171

0,029063 0,000182 0,020421 0,001573

- 0,033547 0,005381

- 0,107376 0,000646 0,107376 0,000646

0,005926 - 0,004332 0,010449 - 0,002264

ч0,288794 - 0,001552 0,003428 - 0,002153,

Далее по формуле (5) найдем оценку вектора неизвестных параметров регрессии:

а = Х+У =

2,158 - 0,009 0,089 Ч 0,004;

Оценка уравнения регрессии имеет вид:

£ = а0 + а1 Х1 + а2 Х2 + а3 Х3 = 2,158 - 0,009Н + 0,089К + 0,0041. (16)

Если полученное уравнение регрессии (16) значимо, то может быть использовано для прогнозирования вертикальных смещений марок.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барлиани А. Г. Метод Гревилля при уравнивании геодезических сетей // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск : СГГА, 2008. Т. 1, ч. 1. - С. 271 - 273.

2. Барлиани А. Г. Псевдорешение и метод наименьших квадратов // ГЕ0-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск : СГГА, 2008. Т. 1, ч. 1. - С. 160 - 163.

3. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе пседонормального решения: монография. - Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.

4. Барлиани А. Г., Егорова С. А. Единый рекурсивный алгоритм уравнивания и оценки точности геодезических наблюдений // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск : СГГА, 2012. Т. 1. - С. 85-89.

5. Барлиани А. Г., Барлиани И. Я. Процедура оценивания параметров эконометрической модели методом псевдонормальной оптимизации // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 1 (25). -С. 105-113.

6. Барлиани, А.Г. Эконометрика. В 2-х ч. Ч. 1 [Текст] / А.Г. Барлиани, И. Я. Барлиани. -Новосибирск: СГУГиТ, 2015. - 116 с.

7. Барлиани, А.Г. Эконометрика. В 2-х ч. Ч. 2 [Текст] / А.Г. Барлиани, И. Я. Барлиани. -Новосибирск: СГУГиТ, 2015. - 144 с.

8. Барлиани А. Г. Методы обработки и анализа пространственных и временных данных: монография / А. Г. Барлиани. - Новосибирск: СГУГиТ, 2016. - 165 с.

9. Ишутина А. С. Установление степени влияния факторов на осадку инженерных сооружений методом многофакторного корреляционного анализа. Приволжский научный вестник. 2014,-С.138-143.

© А. Г. Барлиани, В. С. Чудова, 2016