Единый рекурсивный алгоритм уравнивания и оценки точности геодезических наблюдений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕДИНЫЙ РЕКУРСИВНЫЙ АЛГОРИТМ УРАВНИВАНИЯ И ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ НАБЛЮДЕНИЙ

Амридон Гемзаевич Барлиани

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул.

Плахотного, 10, к.т.н., доцент кафедры прикладной информатики, тел. (983) 319-99-31

Светлана Александровна Егорова

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул.

Плахотного, 10, доцент кафедры прикладной информатики, тел. (923) 109-05-15, e-mail: EgorovaS.A@yandex.ru

В статье рассматривается единый рекурсивный алгоритм уравнивания и оценки точности геодезических сетей на основе псевдонормального решения.

Ключевые слова: геодезическая сеть, псевдообратная матрица, рекурсивный

алгоритм.

UNIFORM RECURSIVE ALGORITHM FOR GEODETIC OBSERVATIONS ACCURACY ADJUSTMENT AND ASSESSMENT

Amridon G. Barliani

Ph.D., Assoc. Prof., department of applied informatics, Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo st., 630108, Novosibirsk, phone: (983) 319-99-31

Svetlana A. Yegorova

Assoc. Prof., department of applied informatics, Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo st., 630108, Novosibirsk, phone: . (923) 109-05-15, e-mail: EgorovaS.A@yandex.ru

The uniform recursive algorithm for adjusting and assessing geodetic networks on the basis of pseudonormal solution is considered.

Keywords: geodetic network, pseudoinverse matrix, recursive algorithm.

В геодезической практике существует много задач, для которых в привязке сети к исходным твердым пунктам нет необходимости, например, при создании геодезического обоснования с целью выноса проекта инженерных сооружении, при наблюдениях за деформациями инженерных сооружений и др. [1, 3]. Более того, при уравнивании геодезических сетей (особенно обширных) коэффициенты уравнений поправок вычисляются приближенно, что может привести к плохой обусловленности или даже вырожденности матрицы коэффициентов нормальных уравнений.

Естественно в этих и других условиях, уравнивание и оценка точности геодезических сетей выходит за рамки классического метода наименьших квадратов. Поэтому при качественном решении плохо обусловленных систем уравнений можно улучшить качество результатов уравнивания и оценки

точности, если отказаться от поиска решения по методу наименьших квадратов в пользу метода псевдонормального решения. Посредством этого метода, как увидим дальше, с успехом решаются также задачи уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей.

Для начала необходимо остановиться на конкретном классе задач, которые связаны с уравниванием и оценкой точности свободных геодезических сетей. Можно рассмотреть следующую систему параметрических уравнений поправок:

ЛА +1 = V. (1)

Особенность свободных геодезических сетей заключается в том, что из-за недостатка исходных данных столбцы матрицы параметрических уравнении поправок (1) становятся линейно зависимыми. Поэтому данная система является несовместной. В связи с этим для решения несовместной системы уравнений (1) необходимо применить псевдонормальное решение [1, 2].

Рассмотрим уравнивание свободных геодезических сетей с неравноточно измеренными величинами с ковариационной матрицей:

ку=т2 р - (2)

где т - оценка средней квадратической ошибки единицы веса;

Р - диагональная матрица результатов измерений.

В этих условиях система параметрических уравнений поправок (1) перепишется следующим образом:

1 11 Р2ЛА + Р21 = Р^ . (3)

1 _ 1 _ 1 _

Необходимо ввести обозначения: Р2Л = Л , Р21 = I , Р^ = V . С учетом

введенных обозначений систему (3) можно переписать в следующей форме:

Л А+1 = V. (4)

Псевдонормальное решение системы (4) запишется так:

~ _ _ _ 1

А = -Л +1 =-Л +Р 21. (5)

Итак, на основании формулы (5) решается задача уравнивания свободных геодезических сетей методом псевдонормального решения. В данном случае

основная проблема состоит в вычислении псевдообратной матрицы Л+ .

На основании метода Гревилля, необходимо привести рекурсивный алгоритм вычисления псевдообратной матрицы [1, 2]. Для этого матрица параметрических уравнений поправок (4) запишется в виде:

Л =

а ,а ,...,а ,а ,...,а

1 2 г г +1 к

(6)

где а . - вектор-столбец, который имеет вид:

а- =

а

а

а

]П

Для начала рекурсии известным образом нужно найти псевдообратную вектор-строку по следующей формуле:

_ ат А++ = 1

о

где

а

2

а

квадрат евклидовой нормы вектора а

1'

Далее по следующей формуле:

а .

1 ҐІ

А + і

А + - А + 77

] -1 г-1 ]' ]

(7)

последовательно присоединяя столбцы из (6) и после (к -1)-кратного

обращения к ней, получается псевдообратная матрица А + параметрических уравнений поправок. Здесь /3. рассчитывается по формуле:

3г

С

т

2

если

С

сі1 А

С Ф 0

У

(10)

1+

]

тт+ г ]-1 2

і

если С . = 0 У

(11)

где

і] = А

- + а : ]-1 ]

С г = а - А і

] і і-1 і

(12)

(13)

Следует отметить, что при вычислении псевдообратной матрицы А + по формуле (7) возникают затруднения, связанные с выбором способа вычисления Р ^. В данном случае принципиально важно, будет или нет нулевым вектор С^.

В обычной арифметике с плавающей точкой, где имеются ошибки округления, крайне трудно установить, являются ли компоненты вектора С точными

нулями. Очевидно, что эти затруднения связаны с необходимостью одновременно с псевдообращением определять ранг матрицы А. Так как для свободных геодезических сетей ранг матрицы параметрических уравнений поправок известен и равен г = к — d. Поэтому для первых г столбцов вектор р/-

2

будет вычисляться по формуле (10), а для последних d = к — г столбцов матрицы (6) вектор р находится по формуле (11).

При таком подходе отпадает необходимость процесса сравнения компонентов вектора С с нулем, который является достаточно трудоемкой

процедурой.

При оценке точности неравноточно измеренных величин уравненных по методу псевдонормального решения, ковариационную матрицу параметров можно получить по формуле:

к~ =т2 а+а+т. (14)

В этих условиях среднеквадратическую ошибку -го параметра следует вычислять по выражению:

(15)

X

а+ j

При оценке точности результатов уравнивания геодезических сетей с неравноточно измеренными величинами, для оценки точности одной функции необходимо использовать следующую формулу:

тр =т

Б

(16)

Здесь вектор-строка Б = /А +.

В заключении необходимо перейти к сплошной оценке точности уравненного вектора равноточно измеренных величин. Для этого известным образом вектор-столбец уравненных измерений ~ нужно выразить в виде линейной функции уравненных параметров, которая запишется следующим образом:

_ 1

~ = ф°) — АА +Р 21. (17)

Здесь вектор-столбец <р(х°) состоит из неслучайных величин. Поэтому на основании известной теоремы оценки точности можно получить ковариационную матрицу уравненного вектора измерений:

к~ =т2 АА+А+ТАТ.

1 1

Здесь, учитывая тот факт, что Р2 Р— 1Р2 - единичная матрица

соответствующих размеров (п х п), поэтому окончательно можно получить следующее выражение для вычисления ковариационной матрицы неравноточно измеренного уравненного вектора:

I2АА+А+тАт.

Для удобства требуется ввести обозначение:

к~ =т2АА+А+ТАТ . (18)

В 11 В 12 В к 13 .В 1п В 1

В 21 В 22 В . 23 к В 2п В 2

В = АА + = В 31 В 32 В . 33 ..В 3п В 3

В п1 В п2 В к п3 . В пп В п

С учетом этого

К~ = м2ВВт.

(19)

На основании полученной ковариационной матрицы (19) можно получить удобную формулу, позволяющую вычислять среднеквадратические ошибки неравноточно измеренных величин, ее можно представить в виде:

т~ = м

У,

В

(20)

где

В

- как всегда евклидова норма ,-ой строки квадратной матрицы В.

Таким образом, решается проблема оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей уравненных на основании метода псевдонормального решения в параметрической версии.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных несвободных геодезических сетей на основе пседонормального решения : монография / А.Г. Барлиани. - Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.

2. Барлиани А. Г. Метод Гревилля при уравнивании геодезических сетей // ГЕО -Сибирь - 2008. Т. 1. Ч. 1. Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия. Спутниковые навигационные: сб. матер. IV Междунар. научн. конгресса «ГЕО - Сибирь -2008», 22 - 24 апреля 2008 г., Новосибирск. - Новосибирск : СГГА, 2008. - С. 271 - 273.

3. Маркузе Ю. И. и др. Геодезия. Вычисление и уравнивание геодезических сетей / Ю.И. Маркузе, Е. Г. Бойко, В. В. Голубев. - М.: Картоцентр - Геодезиздат, 1994. - 431 с.

© А.Г. Барлиани, С.А. Егорова, 2012